Kockáztatott érték: Value - at - Risk (VaR)

Ahhoz, hogy kockázatot menedzselni lehessen, valamit tudni kell róla. A VaR b¶vszó a kockázat mérésére alkalmas valamilyen mutatót is jelent, de az eljárást is, amivel meghatározzuk. Csak likvid eszközök esetén alkalmazható a mutató, számszer¶síti a kockázatot. Egy VaR mutató (mérték) adott portfoliót jellemez egy jöv®beni id®pontban, és a portfoliót jellemz® minden számszer¶ mutató: a portfolió jelenlegi ismert értékének és a jöv®beni nem ismert, valószín¶ségi változóként leírt értékének bármely függvénye ebbe a körbe tartozik. Egy korai példaként említhet® Markowitz (1952), aki a hozam varianciáját alkalmazta portfolió optimalizálási modelljében.

A leggyakrabban azonban egy portfolió VaR mutatóján a portfolió értékében beálló veszteség megadott p-kvantilisét értik (p rendszerint 0,90; 0,95 vagy 0,99) egy adott id®pontra (VaR horizontra): l_p azt a számot jelenti valamilyen megadott pénznemben, amelyre fennáll, hogy annak a valószín¶sége, hogy a portfolió értéke (ára) a jelenlegi P⁰ értékéhez képest a szóban forgó id®pontra legfeljebb l_p−vel csökken, egyenl® p−vel. Másként fogalmazva ez azt jelenti, hogy 1−p annak a valószín¶sége, hogy a portfolió akkori P¹ értéke legfeljebbP⁰−l_p lesz. Az egynapos 95% HUF VaR például egy maP⁰érték¶ portfolió esetében azt azl0,95értéket jelenti magyar forintban, amelyre fennáll, hogy 95% annak a valószín¶sége, hogy egy nap múlva a portfolió értéke legalábbP⁰−l0,95 lesz: P(P¹ ≥P⁰−l0,95) = 0,95.

Bármely VaR mutató a portfolió piaci értékének a valószín¶ségeloszlására épül, amelyet a piaci kockázat minden forrása befolyásol, legalábbis elméletben. Egy VaR mutató a portfolió értékét a szóbanforgó id®pontban leíró valószín¶ségeloszlás va-lamilyen jellemz® értéke, pl. az l0,95, vagy pl. az eloszlás varianciája vagy szórása.

Ha ismerjük e valószín¶ségeloszlást, akkor meg tudunk határozni bármilyen VaR mutatót. Az els® teend® természetesen az, hogy leírjuk a portfolió P¹ értékének a valószín¶ség eloszlását a P⁰ ismeretében. Gyakran el®fordul, hogy feltételezhet-jük, P¹ valamilyen ismert eloszlást követ: ekkor a feladatunk leegyszer¶södik arra, hogy az eloszlás paramétereit meghatározzuk. Ha például arra a következtetésre jutunk, hogy P¹ normális eloszlású µ¹ várható értékkel és σ¹ szórással, akkor a P (P¹ ≥P⁰−l0,95) = 0,95egyenlet, amely ekvivalens a

P P¹ < P⁰−l0,95

= 0,05 egyenlettel, így fogalmazható meg:

Φ

P⁰ −l0,95−µ¹ σ¹

= 0,05⇔ P⁰−l_0,95−µ¹

σ¹ = −1,645, Φ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. Ebb®l

l_0,95= 1,645σ¹ +P⁰−µ¹

adódik. Ha ezen felül azt is reális feltételezni, hogy P¹ várható értéke a portfolió jelenlegi P⁰ értékével közelíthet®, akkor például

95% V aR = l0,95'1,645σ¹; 90% V aR = l0,90'1,282σ¹; 99% V aR = l0,99'2,326σ¹.

Egy portfolió jövend® értékének (árának) a várható értéke és varianciája a port-foliót alkotó vagyonelemek jövend® értékének a várható értékét®l és varianciájától, illetve az ezek közötti korrelációs együtthatóktól függ, vizsgáljuk meg, hogyan. Te-kintsünk egy m-féle vagyonelemb®l álló portfoliót, az egyes vagyonelemek mennyi-ségét a portfolióban jelölje x1, ..., xm. Ekkor a portfolió P¹ ára, ha a P₁¹, P₂¹, ..., P_m¹ valószín¶ségi változók jelölik e vagyonelemek árát egy jövend® id®pontban, a követ-kez® valószín¶ségi változó lesz:

P¹ =x1P₁¹ +x2P₂¹+...+xmP_m¹.

P¹ várható értékét és szórását P₁¹, P₂¹, ..., P_m¹ várható értékeinek, szórásainak és kor-relációs együtthatóinak segítségével számolhatjuk ki, amelyeket az alábbi m kom-ponens¶ vektorokban illetve m×m méret¶ mátrixban foglaljuk össze:

m = µ¹₁, µ¹₂, ..., µ¹_m az adott id®pontban. A valószín¶ségelméletb®l ismeretes, hogy P¹ várható értéke:

µ¹ =x1µ¹₁+x2µ¹₂+...+xmµ¹_m, P¹ szórása pedig így kapható:

σ¹ =

E képletek alkalmazásához nincs szükség P¹ valószín¶ség eloszlásának ismeretére, csak a portfoliót alkotó vagyonelemek jövend® várható értékeire, szórásaira, korrelá-ciós együtthatóira, amelyek múltbeli áradataik segítségével becsülhet®k. Ha azonban jogos azt feltételeznünk, hogy a portfolióban lév® vagyonelemek jövend® árai egyen-ként normális eloszlás szerint alakulnak, akkor a portfolió ára is normális eloszlású lesz.

Nézzünk egy példát arra, hogyan alkalmazhatjuk az immunizációval és a kockáz-tatott értékkel kapcsolatos fogalmakat. Megjegyezzük, hogy az alkalmazott fogal-mak és összefüggések birtokában e kis példával illusztrált modell többféle irányban továbbfejleszthet®.

7.1. Példa. Kötelezettségünk egyetlen, két év múlva esedékes, 100 darab egységnyi érték¶ kizetésb®l áll. Három befektetési lehet®ségünk van:

• egy hároméves lejáratú, évente 5% kamatot zet® kötvény, az egységnyi névér-ték¶ papír ára P₁⁰ = 0,9 (valamilyen pénzegységben);

• egy négyéves lejáratú kötvény, amely négy év múlva a névérték 124%-át zeti, az egységnyi névérték¶ papír ára P₂⁰ = 0,94;

• egy kétéves lejáratú kötvény, amely egy év múlva 10% kamatot, két év múlva a névértéket zeti, az egységnyi névérték¶ papír ára P₃⁰ = 0,91.

A diszkonttényz®k az egyes évekre: (0,901; 0,826; 0,772; 0,735). Számításainkban folytonos kamatozást feltételezünk.

Lehet, hogy két év múlva a portfoliót el kell adnunk azért, hogy kötelezett-ségünknek eleget tegyünk. Kötvényeink P₁¹, P₂¹, P₃¹ árai két év múlva normális eloszlást követ®

valószín¶ségi változók, várható értékük, szórásuk és korrelációs együtthatóik a követ-kez®k:

µ¹₁ = 1,15;µ¹₂ = 1,10;µ¹₃ = 1,20;

σ¹₁ = 0,01;σ¹₂ = 0,025;σ¹₃ = 0,02;

ρ₁₂ = −0,1;ρ₁₃= 0,1;ρ₂₃=−0,01.

Mennyit tartalmazzon a befektetési portfoliónk e három értékpapírból, ha kötelezett-ségünkhöz legjobban illeszked® portfoliót szeretnénk összeállítani, és szeretnénk, hogy ha erre szükség mutatkozna, eladásuk révén 90%-os valószín¶séggel ki tudnánk zetni kötelezettségünket. E feltételek mellett minimalizálni akarjuk a befektetési portfoliónk jelenlegi árát.

Írjunk fel egy matematikai modellt e feladat megoldására.

Megoldás. Modellünk változói: x1, x2, x3 azt mutatják, hogy a portfolió a három értékpapírból hányat tartalmazzon. Vegyük sorra a feltételeket.

Azx= (x1, x2, x3)vektorra teljesülnie kell a nemnegativitási feltételnek.

Határozzuk meg a modellben szerepl® együtthatókat a várható futamid®re és a kon-vexitásra vonatkozó Redington feltételekhez.

A kötelezettségek és a szóba jöhet® befektetések pénzáramlásának id®pontjai: (t₁, t₂, t₃, t₄) = (1,2,3,4),0 a jelenlegi: az értékelési id®pont.

A 2. évben esedékes 100 érték¶ kötelezettségünk jelenértéke: Pk = 100·0,826 = 82,6.

A kötelezettségünk hátralév® futamidejének várható értéke maga a futamid®, és konvexitása: D_k = 2 és K_k= 2·2 = 4.

Az egyes befektetési portfolió elemek pénzáramlását és azok jelenértékeit a következ®

táblázat tartalmazza:

7.1. táblázat. A befektetési portfolió elemek pénzáramlása és jelenértékei

Hátra lév® 1. Jelen- 2. Jelen- 3.

Jelen-futamid® kötvény értéke kötvény értéke kötvény értéke

1 év 0,05 0,04505 0 0 0,1 0,0901

2 év 0,05 0,0413 0 0 1,0 0,826

3 év 1,05 0,8106 0 0 0 0

4 év 0 0 1,24 0,9114 0 0

Összesen 0,89695 0,9114 0,9161

A befektetési portfolió jelenértéke így a következ® lesz:

Pb = 0,89695x1+ 0,9114x2+ 0,9161x3.

Következzék a várható hátralév® futamid® és a konvexitás elemzése. A hátralév®

futamid® mint valószín¶ségi változó - jelöljük t-vel - lehetséges értékei: 1, 2, 3 és 4.

Az egyes id®pontok bekövetkezési valószín¶ségeit úgy kapjuk, hogy a szóban forgó id®pontbeli pénzáram jelenértékét elosztjuk az egész portfolió jelenértékével:

P (t= 1) = 0,04505x₁+ 0,0901x₃

P_b ,

P (t= 2) = 0,0413x₁+ 0,826x₃

P_b ,

P (t = 3) = 0,8106x₁ P_b , P (t = 4) = 0,9114x₂

P_b .

A befektetési portfolió várható hátralév® futamideje és konvexitása így D_b = 1P (t = 1) + 2P (t= 2) + 3P (t= 3) + 4P(t= 4) ; K_b = 1²P (t= 1) + 2²P(t= 2) + 3²P (t= 3) + 4²P (t = 4). A számításokat automatizálhatjuk, ha táblázatba foglaljuk:

7.2. táblázat. A pénzáram jelenértékei szorozva az id®pontokkal és négyzeteikkel Hátra lév® 1. kötvény 2. kötvény 3. kötvény

futamid® ·t ·t² ·t ·t² ·t ·t²

1 0,04505 0,04505 0 0 0,0901 0,0901

2 0,0826 0,1652 0 0 1,652 3,304

3 2,4318 7,2954 0 0 0 0

4 0 0 3,6456 14,5824 0 0

Összesen: 2,5601 7,50565 3,6456 14,5824 1,7421 3,3941

A befektetési portfolió hátralév® várható futamideje ebb®l a következ®:

D_b = 2,5601x₁+ 3,6456x₂+ 1,7421x₃

P_b ;

és konvexitása:

K_b = 7,5065x₁+ 14,5824x₂+ 3,3941x₃

P_b .

A befektetési portfolió jelenlegi ára így írható fel:

P⁰ = 0,9x₁+ 0,94x₂+ 0,91x₃.

Következzék a 90% VaR feltétel. Szükségünk van a portfoliónk két év utáni P¹ értékének várható értékére és szórására:

µ¹ = 1,15x₁+ 1,1x₂+ 1,2x₃; σ¹2

= 0,01²x²₁+ 0,025²x²₂+ 0,02²x²₃

−2·0,1·0,01·0,025x₁x₂ +2·0,1·0,01·0,02x1x3

−2·0,01·0,025·0,02x2x3.

A P (P¹ ≥100)≥0,90feltételünk ekvivalens a következ® feltétellel:

P⁰−l_0,9 =−1,282σ¹+µ¹ ≥100.

Ez a következ® kvadratikus egyenl®tlenséghez vezet:

100 ≤ −1,282·10⁻² q

x²₁+ 6,25x²₂+ 4x²₃−0,5x₁x₂+ 0,4x₁x₃−0,1x₂x₃ +1,15x₁+ 1,1x₂+ 1,2x₃.

Foglaljuk össze megoldandó modellünket:

0,9x1+ 0,94x2 + 0,91x3 →min

0,8972x₁+ 0,9114x₂+ 0,9165x₃ = 82,6, 2,5601x₁+ 3,6456x₂+ 1,7429x₃ = 165,2, 7,5075x₁+ 14,5824x₂+ 3,3957x₃ ≥ 330,4,

−1,282·10⁻² q

x²₁+ 6,25x²₂+ 4x²₃−0,5x₁x₂+ 0,4x₁x₃−0,1x₂x₃ +1,15x₁+ 1,1x₂+ 1,2x₃ ≥ 100, x₁, x₂, x₃ ≥0.

In document Kockázat, díj, tartalék. Matematikai módszerek a vagyonbiztosításban (Pldal 162-168)