Kármentességi bónusz

A biztosító gyakran díjengedményt ad a következ® id®szakra azoknak a biztosítottak-nak, akik az adott id®szakban nem jelentettek be kárt, illetve magasabb díjat állapít meg a bejelentett kártól függ®en. Ez a bónusz-málusz rendszer, amelynek f® célja az, hogy a biztosítottat érdekeltté tegye a kármentességben.

Ha a biztosító már alkalmazza a bónusz-málusz rendszert, ez azt jelenti, hogy már meghatározott bónusz illetve málusz osztályokba sorolta be a kötvényeket. A következ® id®szak díjainak megállapításához tudni szeretné, várhatóan mennyien tartoznak majd a következ® id®szakban az egyes osztályokba. Ehhez szüksége van az úgynevezett átmeneti valószin¶ségek mátrixára, amelynek i. sorában és j. osz-lopában álló p_ij szám azt mutatja meg, mennyi a valószin¶sége annak, hogy egy kötvénytulajdonos az i. osztályból a j. osztályba lép át. Ha x1, x2, ..., xr jelenti az els®, a második, azr. osztályban jelenleg lév® kötvények számát, akkor a következ®

id®szakban az egyes osztályokba kerül®k várható száma sorra a következ® lesz:

r

X

i=1

xipi1,

r

X

i=1

xipi2, ...,

r

X

i=1

xipir.

Amint a megfogalmazásból már kiderült, lényegében zárt állományt képzelünk el, amelyb®l nem lépnek ki és amelyhez nem csatlakoznak biztosítottak. (Tudjuk, hogy ez a feltétel csak korlátozott mértékben teljesülhet.) Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük és fel is tesszük itt, hogy x₁, x₂, ..., x_r az 1.,2., ..., r. osztályokban jelenleg lév® kötvények arányát képviselik, ezértxj felfogható úgy, mint annak a va-lószín¶sége, hogy egy véletlenszer¶en kiválasztott kötvény aj.osztályban van. Ezek a valószín¶ségek évr®l évre változnak. Ha a biztosító már hosszú ideje alkalmazza a bónusz-málusz rendszert, akkor általában stabilizálódik az egyes osztályokban lév®

kötvények aránya. Ez az átmeneti valószín¶ségekt®l függ ugyan, de ésszer¶ rendsze-rekben a stabilizálódás végbe megy. E stabilx₁, x₂, ..., x_r arányok természetszer¶leg ki kell, hogy elégítsék a következ® egyenletrendszert:

x₁+x₂+...+x_r = 1,

r

X

i=1

xipij = xj, j = 1, ..., r.

Feladatunk az, hogy ezeket a stabil arányokat: a stacionárius valószín¶ségeket meg-határozzuk.

A következ® részben felhívjuk az olvasó gyelmét a kármentességi bónusz modell szélesebb elméleti és módszertani kontextusára, majd egy példán bemutatjuk azt az eljárást, amellyel a stacionárius valószín¶ségeket meghatározhatjuk.

5.6.1. A kármentességi bónusz modell: Markov lánc

A t-edik évi

x^(t)₁ , x^(t)₂ , ..., x^(t)r

valószín¶ségeloszlást a kiinduló: 0-adik évi

x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , ..., x⁽⁰⁾r

= (x₁, x₂, ..., x_r) valószín¶ségeloszlás és az átmeneti valószín¶sé-gek értékei egyértelm¶en meghatározzák.

Vezessük be a ξ_t valószín¶ségi változót, amely azt írja le, hogy egy véletlensze-r¶en kiválasztott kötvény melyik osztályban van a t-edik évben. Lehetséges értékei az 1,2, ..., r és a hozzájuk tartozó valószín¶ségek: P(ξ_t=i) = x^(t)_i . Vegyük észre, hogy {ξ_t:t >0, t eg´esz} diszkrét idej¶ sztochasztikus folyamat, hasonlóan a (diszkrét) kárszám folyamathoz, többlet folyamathoz, amelyekr®l korábban szó volt.

Markov folyamatot (Markov láncot) alkot, mert a következ® tulajdonságokkal ren-delkezik: 1) Aξ_t-nek véges számú lehetséges értéke van: egy kötvény minden évben véges számú állapot valamelyikében van; 2) Az, hogy egy kötvény a következ® év-ben milyen állapotba kerül, csak attól függ, hogy jelenleg milyen állapotban van és nem függ az el®z® évek történetét®l; 3) Az átmeneti valószín¶ségek évr®l-évre vál-tozatlanok; 4) adott a ξ₀ valószín¶ségi változó eloszlása. Ha mindegyik állapotból minden más állapotba el®bb-utóbb el lehet jutni, akkor az átmeneti valószín¶sé-gek mátrixát irreducibilisnek nevezzük. Ahhoz, hogy stacionárius valószín¶sévalószín¶sé-gek létezzenek, szükséges feltétel, hogy az átmeneti valószín¶ségek mátrixa irreducibilis legyen.

5.2. Példa. Egy biztosító gépjárm¶-biztosítási kötvényeire a biztosítottak 5 szint¶

engedményt kapnak, ezek: 0%,5%,15%,30%,50%. Jelölje x1, x2, ..., x5 az egyes bó-nusz osztályokban jelenleg lév®k arányát. Közöttük az átlépés az alábbiak szerint történik: Egy kármentes év után a biztosított a következ® osztályba lép, vagy az 50%-os szinten marad. Ha egy kár történt, kett®vel alacsonyabb szintre lép vissza, vagy csak eggyel, ha az 5%-os szinten volt, illetve marad, ha a 0%-os szinten volt.

Ha kett® vagy több kár történik, akkor a biztosított a 0%-os szintre lép vissza (ott marad). Minden egyes biztosított kárszáma Poisson eloszlást követ λ várható ér-tékkel. Az állomány nagyszámú kötvényb®l áll, a biztosító régóta alkalmazza ezt a bónusz-málusz rendszert változatlan szabályok szerint, az egyes osztályokban lév®k,

illetve kerül®k aránya stabilizálódott. Határozzuk meg az egyes osztályokban lév®k arányát: a stacionárius valószín¶ségeket az állományon belül. Határozzuk meg az egyes osztályokban lév®k arányát, ha λ= 0,2.

Megoldás: El®ször írjuk fel az átmeneti valószín¶ségek mátrixát. Figyelembe véve a szabályokat és a biztosítottak kárszám-eloszlását, a mátrix a következ® lesz:

0% 5% 15% 30% 50%

0% 1−e^−λ e^−λ 0 0 0

5% 1−e^−λ 0 e^−λ 0 0

15% 1−e^−λ 0 0 e^−λ 0

30% 1−e^−λ−λe^−λ λe^−λ 0 0 e^−λ 50% 1−e^−λ−λe^−λ 0 λe^−λ 0 e^−λ

Ha az x₁, x₂, ..., x₅ értékek stabilak, ki kell, hogy elégítsék a következ® egyenle-teket.

1 = x₁+x₂+x₃+x₄+x₅ x₁ = (x₁ +x₂+x₃) 1−e^−λ

+ (x₄+x₅) 1−e^−λ−λe^−λ x₂ = x₁e^−λ+λx₄e^−λ

x₃ = x₂e^−λ+λx₅e^−λ x₄ = x₃e^−λ

x₅ = (x₄ +x₅)e^−λ

Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk. Egy megközelítés lehet az alábbi.

Tekintetbe véve az els® és utolsó egyenletet, átalakítjuk a második egyenletet, majd ebb®l a harmadik, negyedik és ötödik egyenletet:

x₁ = 1−e^−λ−λx₅ x₂ = e^−λ− e^−λ2

−2λx₅e^−λ+λx₅ x3 = e^−λ2

− e^−λ3

−2λx5 e^−λ2

+ 2λx5e^−λ x4 = e^−λ3

− e^−λ4

−2λx5 e^−λ3

+ 2λx5 e^−λ2

Felhasználva, hogy az arányok összege 1, az e^−λ4

=x₅

1−2λ e^−λ3

egyenletb®l x5, majd a többi egyenletb®l a többi arány kifejezhet®. Ha λ = 0,2, akkor x₁ = 0,066;x₂ = 0,075;x₃ = 0,1557;x₄ = 0,1275;x₅ = 0,5757.

5.6.2. A díj Loimaranta hatékonysága

Az egyes bónuszosztályokban lév®k stabil arányai a kárszám valószín¶ségeloszlásá-tól és annak paramétereit®l, példánkban a Poisson eloszlás λ paraméterét®l függe-nek: (x₁, x₂, ..., x_r) = (x₁(λ), x₂(λ), ..., x_r(λ)). A továbbiakban feltesszük, hogy a kárszám λ paraméter¶ Poisson eloszlású, a gondolatmenet azonban más eloszlások esetében is alkalmazható.

Az (x₁(λ), x₂(λ), ..., x_r(λ)) arányoknak és az egyes bónuszosztályokban lév®k (b₁, b₂, ..., b_r)díjel®írásának ismeretében meghatározhatjuk az átlagdíjat:

b(λ) =

r

X

i=1

x_i(λ)b_i.

A (b₁, b₂, ..., b_r) díjel®írás hatékonyságát a b(λ) átlagdíj elaszticitásával mérhet-jük, ami lényegében azt mutatja, hány százalékkal változik az átlagdíj, ha a kárszám λ várható értéke 1%-kal n® - ez a Loimaranta hatékonyság ¹:

e(λ) = λ b(λ)

db(λ) dλ .

A gyakorlatban, ésszer¶ díjak esetében0< e(λ)<1.A(b₁, b₂, ..., b_r)díjel®írás annál hatékonyabb, minél közelebb van 1-hez.

5.3. Példa. Határozzuk meg a fenti példában a b(λ) átlagos díjbevételt, ha λ = 0,2 és az egyes osztályokban a díjak: (100,95,85,70,50)! Mennyi ekkor a díjel®írás hatékonysága?

Megoldás. Ha λ= 0,2, akkor az átlagos díjbevétel: b(0,2) = 64,68. Ha λ= 0,202, akkor az átlagos díjbevétel b(0,202) = 64,84173, vagyis a várható kárszám 1%-os növekedése az átlagdíj negyedszázalékos növekedését vonja maga után.

1Ld. Kaas et al. (2001), Loimaranta (1972). A koncepciót általánosítják pl. De Pril (1978) és Borgan et all. (1981)

In document Kockázat, díj, tartalék. Matematikai módszerek a vagyonbiztosításban (Pldal 115-120)