4. VISZONTBIZTOSÍTÁS 83
4.6. A kezdeti tartalék becslése
A tartalékot az u kezdeti tartalék, a befolyóD díj és kizetett károk alapján az id®
függvényében írtuk fel. Egy id®szakra leegyszer¶sítve a következ® értékegyenlethez jutunk:
U =u+D−S
ahol U az id®szak (év) végi tartalék, S pedig az id®szakban kizetett kár nagysága.
Többletr®l beszéltünk els®sorban, de már eddig is használtuk a tartalék szót azués U jelentésére, jogos az is, ha u-t nyító t®kének hívjuk.
Alkalmazzuk, mint eddig is gyakran, az
S =X1 +X2+...+XN
összefüggést, ahol N jelöli az id®szak alatt bekövetkez® károk számát, amelyr®l fel-tesszük, hogy Poisson eloszlású valószín¶ségi változó λ paraméterrel. Tudjuk, hogy ekkor E[N] = V ar[N] = λ. Feltesszük, hogy az X1, X2, ..., XN eseti kárnagyságok azonos eloszlásúak - jelölje X ezt a közös eloszlású valószín¶ségi változót -, függet-lenek egymástól és az N kárszámtól: az S összkár tehát összetett Poisson eloszlású.
Ekkor S várható értéke és varianciája a következ®: E[S] = λE[X], V ar[S] = λE[X2], és a várható érték díj elv alkalmazása esetén a díj: D = λE[X](1 +θ), θ a relatív biztonsági pótlék. Az S összkár normális eloszlással közelíthet®, ha λ elég nagy.
Azt vizsgáljuk, mekkora id®szak eleji t®kére tartalékra van szükség ahhoz, hogy annak a valószín¶sége, hogy az id®szak alatt cs®d következik be, ne haladja meg az el®re megadott és elfogadhatónak tekintett ε valószín¶séget u érték¶ kezd®t®ke esetén: P(tartalék az id®szak végén ) ≤ ε Ez azt jelenti, hogy fenn kell állnia a
P (u+λE[X] (1 +θ)< S)≤ε ⇔ P (u+λE[X] (1 +θ)≥S)≥1−ε összefüggésnek.
Ha S folytonos, akkor
P(u+λE[X] (1 +θ)≥S) = P (u+λE[X] (1 +θ)> S)
=FS(u+λE[X] (1 +θ)),
ahol FS az S valószín¶ségi változó eloszlásfüggvénye. Vagyis az egyenl®tlenség így írható fel: FS(u+λE[X] (1 +θ))≥1−ε.
Ha λ elég nagy - és itt ezt is feltesszük -, akkor S eloszlása normális eloszlással közelíthet®, így
FS(u+λE[X] (1 +θ)) = Φ u+λE[X] (1 +θ)−λE[X]
pλE[X2]
!
≥1−ε,
ahol Φ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. Minthogy Φ növekv® függ-vény, ezért létezik inverze és teljesül, hogy
u+λE[X] (1 +θ)−λE[X]
pλE[X2] ≥Φ−1(1−ε), Azt kapjuk tehát, hogy u értéke kielégíti a következ® összefüggést:
u≥p
λE[X2]Φ−1(1−ε)−λE[X]θ
=p
V ar[S]Φ−1(1−ε)−E[S]θ.
Megállapíthatjuk, hogy
• az id®szak eleji tartalék és biztonsági pótlék összefügg: minél magasabb a biztonsági pótlék, annál kisebb id®szak eleji tartalékra van szükség és fordítva;
• ha a biztonsági pótlék 0, akkor az id®szak eleji tartalék arányos az összkár szórásával;
• ha a jobb oldal negatív: ha θ >
pV ar[S]Φ−1(1−ε)
E[S] ,
akkor nincs szükség id®szak eleji tartalékra.
Tekintsünk egy példát.
4.5. Példa. Az alábbi táblázat egy biztosítási portfólió meggyelt kárnagyságait mu-tatja intervallumonként (ezer Ft-ban) egy adott évben és a káresemények relatív gya-koriságát: azon százalékát, amelyek kárnagyságai az adott intervallumba estek. (Ha felrajzolnánk e relatív gyakoriságokat a kárnagyság függvényében, a jól ismert hisz-togramot kapnánk). Az intervallumokat a számításokban középpontjaikkal becsüljük.
A biztosítási portfólió 1000 kötvényt tartalmaz. A biztosító év eleji tartaléka 200 (ezer Ft). A biztosítási díj várható érték elv¶, a biztonsági pótlék 5%. Annak a valószín¶sége, hogy egy kötvényre kár következik be: 0,035. Ha szükséges, a bizto-sító Excess of Loss viszontbiztosítást köthet 20,30 vagy40(ezer Ft) megtartási szint mellett. Mi az a megtartási szint, amely mellett a biztosító 99%-os valószín¶ség-gel fedezni tudja a kárkizetési kötelezettségeit, ha az összkár becslésére az összetett Poisson eloszlást alkalmazza?
Megoldás. A táblázat utolsó oszlopában az intervallumok középpontjainak négy-zeteit is feltüntettük, utolsó soraiban pedig a kárnagyság várható értékének illetve négyzete várható értékének becslésére a középpontok illetve négyzeteik átlagát tün-tettük fel viszontbiztosítás nélkül és20,30illetve40(ezer Ft) megtartási szint mel-lett.
Kárnagyság Középpont Relatív gyakoriság Középpont négyzete
[0−10) 5 0,5 25
[10−20) 15 0,220 225
[20−30) 25 0,155 625
[30−40) 35 0,094 1225
[40−50) 45 0,031 2025
viszontbiztosítás nélkül 14,36 336,8
m= 20 11,4 174
m= 30 13,425 271,375
m= 40 14,205 323,625
Foglaljuk össze az adatainkat: A nyító t®ke: u = 200 (e Ft), θ = 0,05;ε = 0,01; Φ−1(0,99) = 2,33. Az állományban bekövetkez® károk száma, mint err®l az egyéni kockázati modellek vizsgálatakor már szó volt, binomiális eloszlást követ, amelynek becsült várható értéke: 1000·0,035 = 35. A binomiális eloszlást Poisson eloszlással közelítjük, amit megtehetünk azért, mert a kár bekövetkezésének való-szín¶sége elég kicsi. Így a várható érték és a variancia közel azonos érték¶, ez az érték egyben a Poisson eloszlás paramétere: λ= 35.
Újabb közelítést alkalmazunk: mivel λ elég nagy, ezért az összkár eloszlását normálisnak foghatjuk és fogjuk fel. Írjuk fel az összkár várható értékét, szórá-sát és a szükséges kezdeti tartalékot az egyes megtartási szintek mellett: Ha nincs
viszontbiztosítás:
E[S] = 35·14,36 = 502,6;V ar[S] = 35·336,8 = 11788;
u≥2,33·√
11788−0,05·502,6 = 227,844.
Vegyük észre, hogy Φ
200 + 35·14,36·0,05
√11788
= Φ (2,074) = 0,981,
vagyis a 200 érték¶ kezdeti tartalék98,1% biztonságot nyújt. Ha m= 20:
E[S] = 399;V ar[S] = 6090;u≥161,39.
Ha m= 30:
E[S] = 469,875;V ar[S] = 9498,125;u≥183,63.
Ha m= 40:
E[S] = 497,175;V ar[S] = 11326,875;u≥223,12.
Ha tehát a biztosító társaság e viszontbiztosítási lehet®ségek közül választ, akkor legfeljebb 30 (ezer Ft) lehet a megtartási szintje, ennél nagyobb megtartási szint mellett a 200 érték¶ kezdeti tartalék nem nyújt 99%-os valószín¶séggel fedezetet a kötelezettségeire. Megjegyezzük, hogy ugyanezt a fedezetet a biztosító társaság úgy is elérheti, hogy a 200 érték¶ nyító t®két az el®z® év végén megtoldja27,844 érték¶
biztosítástechnikai tartalékkal, vagy ilyen mérv¶ t®keemelést hajt végre.
4.7. Gyakorló feladatok
1. Legyen az egy évre es® kárszám Poisson eloszlású λ = 1 paraméterrel, az egyes kárigények egymástól és a kárszámtól függetlenek, azonos eloszlásúak, eloszlásuk a következ®: P (X = 1) = 0,5; P (X = 2) = 0,4;P (X = 3) = 0,1. Az éves díj:
D = 2. Határozzuk meg a várható nyereséget (a díjnak a várható kockázat feletti részét) és az R szolvencia paraméter értékét
- viszontbiztosítás nélkül;
- Stop Loss viszontbiztosítás esetén, ha a megtartási szintd= 1,had= 2, illetve had= 3, és a viszontbiztosítás díja a fedezett kár várható értékének a másfélszerese.
2. Tegyük fel, hogyaésbolyan számok, amelyekreP(a <S <b) =0. Mutassuk meg, hogy mi az összefüggés E[Sv(d)]és E[Sv(a)]között, ha a < d < b.
3. Egy viszontbiztosító a d megtartási szint fölötti rész 80%-át zeti meg, de legfeljebb egy m maximális értéket. Fejezzük ki a viszontbiztosító által vállalt kár várható értékét az SL viszontbiztosítás várható értéke segítségével.
4. Legyen S összetett Poisson eloszlású, paraméterei: λ = 3 és P(X = 1) = 5/6;P(X = 2) = 1/6. Határozzuk meg az fS(x), P(S ≤ x), E[Sv(x)] értékeket x= 0,1,2 esetén.
5. Egy 20000 kötvényb®l álló haláleseti biztosítási állomány három csoportra osztható a biztosítási összegek szerint, amint a táblázat mutatja. Minden biztosí-tott esetében 0,01 annak a valószín¶sége, hogy a biztosíbiztosí-tott meghal egy éven belül.
A kötvényekre a biztosító XL viszontbiztosítást köt. A viszontbiztosító díja az általa Biztosított összeg: Kötvények száma:
1 10000
2 5000
3 5000
vállalt kár várható értékének 120 %-a. Azután, hogy az állományból az összes díj be-érkezett, a biztosító T érték¶ t®kével rendelkezik. A biztosító arra törekszik, hogy a T t®ke legalább 0,95 valószín¶séggel fedezze a kárkizetésb®l + a viszontbiztosítónak kizetett díjból álló összes költségét.
Mennyi legyen legalább e T t®ke, ha a h megtartási szint:
a) h = 1; b) h = 2;
c) 1 < h <2: Írjuk fel a szükséges t®két h függvényében!
d) Milyen valószín¶séggel fedezi a költségeket a biztosító t®kéje, ha T = 405 és h = 2,5?
5. fejezet
DÍJSZÁMÍTÁS
A biztosítási termék helyes árazása életbevágóan fontos lehet, hiszen a túl alacsony ár veszteségbe sodorhatja a biztosító társaságot, a túl magas ár pedig kiszoríthatja a piacról. A biztosítás díja ezenkívül politikai kérdés is lehet pl. a társadalombizto-sítás, egészségbiztotársadalombizto-sítás, gépkocsi felel®sségbiztosítás területén. Végül a felügyelet is különleges gyelemmel gyeli a biztosítási díjakat.
A szerz®désben megállapított biztosítási díj nyilvánvalóan magában kell hogy foglalja a biztosítással kapcsolatosan felmerül® összes költséget és a társaság nyere-ségét is. Mi azonban itt a költségeknek csak azt a részét vesszük gyelembe, amely a biztosított kár nagyságához kapcsolódik szorosan. A díj a kár nagyságának a vár-ható értékére épül, de tükrözi azt a tényt is, hogy a kár nagysága a várvár-ható értékkel csak ritkán vagy soha nem egyezik meg, ezért a díj egy, a kárnagyság terjedelmét kifejez® biztonsági pótlékot is magában foglal. Err®l az eddigi fejezetekben már sok szó esett, koncepcionális újdonságot nem várhat az olvasó, egyik célunk az, hogy összefoglaljuk és rendezzük azt, amit a biztosítási díjról eddig megtudtunk. Má-sik célunk az, hogy bemutassuk, hogyan vehetjük gyelembe a kockázatról szerzett múltbeli tapasztalatokat a díj megállapításában. Két modellt mutatunk be ebben a fejezetben: a megbízhatósági díj és a kármentességi bónusz számítását.
105