ALM a vagyonbiztosításban

Egy valószín¶séggel korlátozott lineáris programozási modell

⁴

Vagyonbiztosító társaságok befektetési és biztosítási politikájukat rendszerint egy id®szakra (évre) tervezik meg. Jövedelmeik az egyes befektetések hozamából és az egyes biztosítási tevékenységekb®l protként származnak ez utóbbit a biztosítási tevékenység hozamának tekintjük. Modellünkben a biztosító társaság saját t®kéje évi hozamának maximalizálását tekintjük célnak, ezért a társaság portfoliója befek-tetési lehet®ségeket és biztosítási szerz®déstípusokat egyaránt tartalmaz. Ezek egy egységéhez tartozó hozamokat normális eloszlású valószín¶ségi változóknak feltéte-lezzük, és feltesszük, hogy a társaságnak saját t®kéje után más hozama nincsen.

A feltételek egy részét az egyes befektetés-fajták illetve biztosítási szerz®déstípu-sok részesedésére vonatkozó korlátozászerz®déstípu-sok jelentik. A befektetés-fajtákra a korláto-zások lehetnek hatósági el®írások is: a biztonság érdekében a befektetési állomány-ban a kockázatos értékpapírok maximális arányát jogszabály írja el®. A biztosítási

4E modell Li, S. X. (1995) dolgozatában található.

7.4. táblázat.

Kezd®

portfolió

Mennyiségekre vonatkozó feltételek Értékekre vonat-kozó feltételek

portfolió-elemek mennyiségére is ésszer¶ el®írni korlátozásokat, hiszen széleskör¶ biz-tosítási termékajánlattal rendelkez® társaságok egyik évr®l a másikra drasztikusan nem növelhetik, sem csökkenthetik állományaikat lényeges piaci veszteség nélkül.

A következ® feltételt a biztosítási díjbevételek saját t®kéhez viszonyított aránya je-lenti, amely arányra fels® korlátot, a szolvencia érdekében, szintén jogszabály mond ki. (Magyarországon ez 16-18%.) A biztosítási díjbevételek befektethet® részaránya illetve a szolgáltatások kizetéséhez szükséges likvid eszközrész leírása szerepel az utolsó feltételben.

Minthogy a hozamráták valószín¶ségi változók a modellben (és a valóságban is), ezért a saját t®ke hozama is valószín¶ségi változó, így maximalizálni csak a várható értékét lehet, vagy, amint a modellünkben tesszük, maximalizálni annak a valószín¶ségét, hogy e hozam egy elfogadhatónak tartott hozamnál nem lesz kisebb.

A saját t®ke jelenlegi mennyiségét a következ®kben egy érték¶nek tekintjük. Ez csak annyit jelent, hogy ez a pénzértékegység a modellben, a továbbiakban minden pénzértéket ebben mérünk.

Soroljuk fel a modellben szerepl® fogalmakat és jelöléseket, és fogalmazzuk meg a feltételeket.

• ρ₁ρ₂, . . ., ρ_n jelöli az n fajta befektetési lehet®ség évi hozamrátáját,

ρ_n+1, ρ_n+2, . . ., ρ_n+h jelöli a h fajta biztosítási szerz®déstípus évi hozamrátá-ját (protrátáhozamrátá-ját) valószín¶ségi változók, együttes valószín¶ségi eloszlásuk normális. Ismertek a várható értékük, varianciájuk és kovarianciájuk, az i-edik hozamráta várható értéke: E[ρ_i] = r_i, V ar[ρ_i] = σ²_i, az i-edik és j-edik kovarianciája: cov

ρ_i, ρ_j

, (i= 1, ..., n+h, j = 1, ..., n+h);

• x₁, x₂, . . ., x_n az n befektetési lehet®ség mennyisége ésx_n+1, x_n+2, . . ., x_n+h ah biztosítási szerz®déstípus díjbevételeib®l a kötelezettség teljesítésére fordított mennyiségek (a továbbiakban díjbevételen ezt értjük) a portfolióban egyúttal ezek a saját t®kéhez viszonyított arányok is, hiszen a saját t®ke értéke 1. Ezek az értékek együttesen képviselik a portfolió összetételét. A modellben ezeket fogjuk meghatározni, ezek a modell változói.

• x⁰ = x⁰₁, x⁰₂, ..., x⁰_n+h

ésx^” = x^”₁, x^”₂, ..., x^”_n+h

n + h komponens¶ vektorok az egyes befektetési ill. biztosítási portfolióelemek mennyiségére - saját t®kéhez viszonyított arányára - el®írt alsó és fels® korlátok. A portfolió összetételének tehát teljesítenie kell az alábbi feltételeket, amelyek a modell els® feltételcsoportját alkotják:

x⁰_i ≤x_i ≤x_i” i= 1, ..., n, n+ 1, ..., n+h.

π a saját t®ke éves hozama: a befektetésb®l származó hozam és a díjbevételekb®l származó prot összege:

π szükségképpen valószín¶ségi változó, normális eloszlású, hiszen normális eloszlású valószín¶ségi változók összege. Várható értéke és varianciája, mint ismeretes, így számolható: Minthogy a díjakat el®re zetik, és lényeges id®beli eltérés lehet a kárkizetés és a kár bekövetkezése között, a díjtartalék egy része befektethet®. Hogy milyen része, az függ a szóban forgó biztosítási termékt®l, a kárrendezés id®tartamától. Jelölje γ_n+1, ..., γ_n+h az els®, a második,. . ., ah-adik biztosítási termék esetében a díjbevé-telnek a szolgáltatás teljesítésére szánt részének a díjtartaléknak a befektethet®

arányát.

Fogalmazzuk meg, hogy a befektethet® alapok forrásainak és azok felhasználásá-nak egyensúlyban kell lennie: Az összes befektetés a saját t®kének és a díjbevétel befektethet® részének az összege:

n az értékegyenletben 1 a saját t®ke mennyisége.

A biztosítási díjbevételek saját t®kéhez viszonyított arányára alsó korlátot - a szol-vencia érdekében - rendszerint jogszabály mond ki. Itt ezt az arányt δ jelöli. A biztosító társaságnak nem lehet érdeke, hogy a szükségesnél nagyobb saját t®kével rendelkezzen, ezért a következ® feltétel ezt az el®írást egyenl®ség formájában mondja

ki: n+h

X

i=n+1

xi =δ.

A kárkizetés rendszerint a beérkez® díjbevételekb®l történik. Ha ez nem elegend®, akkor a biztosítónak készpénzzé kell tennie eszközeinek egy részét. Ezért a biztosító társaság elég likvid eszközzel kell, hogy rendelkezzék ahhoz, hogy a készpénzzetési kötelezettségének eleget tehessen. Nézzük, mib®l származhat a társaságnak kész-pénze.

• Készpénzzé teheti a likvid befektetéseit teljes egészében hozamaikkal együtt,

• nem likvid befektetéseinek likvid részét illetve azok hozamát: li és di jelöli ezeket (i = k+1, . . . , n); és

• a biztosítási tevékenységb®l származó protot.

Az n befektetési lehet®ség közül az els® k-t tekintjük likvid befektetésnek, a követ-kez® n−k-t pedig nem likvid befektetésnek.

A következ® egyenl®ség ezt az összefüggést fogalmazza meg. A biztosító készpénzé-nek és likvid eszközeikészpénzé-nek összege valószín¶ségi változó, y jelöli:

y=

k

X

i=1

xi(1 +ρ_i) +

n

X

i=k+1

xi(li+di) +

n+h

X

i=n+1

xiρ_i.

A hozamok sztochasztikus természete miatt nem zárhatjuk ki annak a lehet®ségét, hogy a biztosító társaság nem tud eleget tenni egy x minimális βval jelölt - kész-pénzzetési kötelezettségének. E modellben a biztosító kockázati szintjét ennek az eseménynek a bekövetkezési valószín¶sége képviseli. Ezért olyan portfolió-összetételt keresünk, amely azt a feltételt is kielégíti, hogy a biztosító kockázati szintje ne legyen nagyobb egy el®re megadott α értéknél:

P (y < β)≤α.

(Ez azt jelenti, hogy a biztosító társaság a minimális készpénzzetési kötelezettsé-gének legfeljebb α valószín¶séggel nem tud eleget tenni. )

A biztosító társaságok gyakran megállapítanak saját t®kéjükre kielégít® hozamszin-tet, jelölje ezt π₀. Ezért a biztosító célja az, hogy maximalizálja annak a valószín¶-ségét, hogy π hozama ezt a kielégít® hozamszintet eléri.

Írjuk fel a kapott sztochasztikus programozási modellt:

P (π≥π₀)→max

A szóban forgó hozamráták mint valószín¶ségi változók tulajdonságainak ismereté-ben felírható e modell determinisztikus ekvivalens megfogalmazása is. Az átalakítás részleteit®l megkíméljük az olvasót, de egy kis példán bemutatjuk a menetét. Megje-gyezzük, hogy az átalakítás eredményeként kvadratikus feladathoz jutunk, amelynek a megoldása még nagy méretek esetén sem reménytelen abban az esetben, ha va-lamennyi valószín¶ségi változó normális eloszlásúnak tekinthet®.

7.5. Példa. Annak a valószín¶ségét maximalizáljuk, hogy a saját t®ke hozama leg-alább az el®re megadott π₀ értéket eléri.

Egyetlen befektetési lehet®ség van: évesρ₁ hozamrátájának várható értéke: E[ρ₁] = 0,12, varianciája: V ar[ρ₁] = 0,01. Eladható évközben.

Két biztosítási termékünk van, hozamrátájuk ρ₂ és ρ₃ , E[ρ₂] = 0,15, V ar[ρ₂] = 0,0025 illetveE[ρ₃] = 0,18, V ar[ρ₃] = 0,0036.

Mindhárom valószín¶ségi változó normális eloszlású és páronként függetlenek, ezért cov(ρi, ρj) = 0, ha i6=j(i= 1,2,3).

A további paraméterértékek legyenek a következ®k:

δ= 0,18; α = 0,05; γ₂ = 0,5; γ₃ = 0,6.

β és π0 értékét a feladatban nem specikáljuk.

Írjuk fel aπ és y valószín¶ségi változókat (4) és (6) feltétel -, várható értéküket és varianciájukat:

π=x₁ρ₁+x₂ρ₂+x₃ρ₃ y=x₁(1 +ρ₁) +x₂ρ₂+x₃ρ₃ E[π] = 0,12x₁+ 0,15x₂+ 0,18x₃

V ar[π] = 0,01x²₁+ 0,0025x²₂+ 0,0036x²₃ E[y] = 1,12x₁ + 0,15x₂+ 0,18x₃

V ar[y] = 0,01x²₁+ 0,0025x²₂+ 0,0036x²₃

Vizsgáljuk meg a feltételeket. Alsó és fels® korlátokat itt nem adtunk meg, ezért, mivel a portfolió összetételének komponensei értelemszer¶en nemnegatívok, az (1) feltételcsoport az x₁≥ 0, x2≥ 0, x3≥ 0 feltételekb®l áll.

A (2) feltétel így alakul: x1 = 1 + 0,5x2+ 0,6x3. A (3) feltétel: x₂+x₃ = 0,18.

Az (5) feltétel azt mondja ki, hogy annak a valószín¶sége, hogy az y valószín¶-ségi változó értéke kisebb, mint a β minimális szint, ne legyen nagyobb 0,05-nél:

P (x1(1 +ρ₁) +x2ρ₂+x3ρ₃ < β)≤0,05.

Minthogy az y=x₁(1 +ρ₁) +x₂ρ₂+x₃ρ₃ normális eloszlású valószín¶ségi változók összege, így maga is normális eloszlású, ezért az egyenl®tlenség baloldalán lév® való-szín¶ség a standard normális valóvaló-szín¶ségi eloszlásΦeloszlásfüggvényének az értéke a √^β−E[y]

V ar[y] helyen. A feltétel tehát így alakul:

Φ β−1,12x₁−0,15x₂ −0,18x₃ p0,01x²₁+ 0,0025x²₂+ 0,0036x²₃

!

≤0,05.

A Φ eloszlásfüggvény értékei táblázatokban is megtalálhatók. Az az argumentum, amelyre Φ értéke 0,05: -1,645. Ezért az (5) feltétel így alakul:

β−1,12x₁−0,15x₂−0,18x₃

p0,01x²₁+ 0,0025x²₂+ 0,0036x²₃ ≤ −1,645,

vagyis

−1,645 q

0,01x²₁+ 0,0025x²₂+ 0,0036x²₃+ 1,12x₁+ 0,15x₂+ 0,18x₃ ≥β.

Végül nézzük a célfüggvényt. Annak a valószín¶ségét maximalizáljuk, hogy a saját t®ke π hozama legalább az el®re megadott π₀ értéket eléri:

P (x1ρ₁+x2ρ₂+x3ρ₃ ≥π0)→max.

Ez azonos azzal, hogy minimalizáljuk annak a valószín¶ségét, hogy a saját t®ke π hozama kisebb az el®re megadott π₀ értéknél:

P (x₁ρ₁+x₂ρ₂+x₃ρ₃ < π₀)→min.

Minthogyπ normális eloszlású, a minimalizálandó célfüggvényünk értéke:

Φ π0−(0,12x1+ 0,15x2+ 0,18x3) p0,01x²₁+ 0,0025x²₂+ 0,0036x²₃

! .

Ez pedig akkor lesz minimális, ha az argumentum minimális.

Foglaljuk össze a modellt a példabeli feladatunkra:

π0−(0,12x₁+0,15x2+0,18x3)

√

0,01x²₁+0,0025x²₂+0,0036x²₃ →min (1) x₁, x₂, x₃ ≥0,

(2) x₁ = 1 + 0,5x₂+ 0,6x₃, (3) x₂+x₃ = 0,18,

(5) −1,645p

0,01x²₁+ 0,0025x²₂+ 0,0036x²₃+ 1,12x₁+ 0,15x₂+ 0,18x₃ ≥β.

Megjegyezzük, hogy ez a feladat a hiperbolikus programozás körébe tartozik. Ezért további olyan átalakításokra is nyílik mód, amelyek a feladat megoldását meg-könnyíthetik. Jelöljük a célfüggvény nevez®jének a reciprokát a t változóval. Szo-rozzuk meg az egyes feltételeket t-vel és helyettesítsük txi-t yi-vel. A következ®

feladathoz jutunk:

π0t−0,12y1−0,15y2−0,18y3 →min (1) y1, y2, y3, t≥0,

(2) y1−0,5y2−0,6y3−t= 0, (3) y2+y3−0,18t = 0,

(5) 1,12y1+ 0,15y2+ 0,18y3−βt≥1,645.

Lineáris programozási feladatot kaptunk tehát. Ha a feladat y₁, y₂, y₃, t optimális megoldásában t > 0, akkor x₁ = ^y_t¹, x₂ = ^y_t², x₃ = ^y_t³ eredeti feladatunknak is optimális megoldása.

In document Kockázat, díj, tartalék. Matematikai módszerek a vagyonbiztosításban (Pldal 183-191)