KDE kezdetiérték feladatainak numerikus megoldása . 171

Tekintsük az

x(t) =. f(t, x(t)), x(t0) = x0, t∈[t0, T], f :R×Rⁿ→Rⁿ (5.38) feladatot, és legyent₀ < t₁ < ... < t_M =T a[t₀, T]intervallum egy egyenletes felosztása, vagyis legyen h= ^T_M^−t0, ésti =t0+ih. Az (5.38) közelít® numeri-kus megoldása alatt egy olyan {y_i}^M_i=0 vektorsorozatot értünk, amelyt®l azt várjuk, hogy az x(t_i)−y_i hiba kicsi legyen. Hogyan lehet ilyen y_i értékeket kiszámítani? A legegyszer¶bb ötletet az adja, hogy a dierenciálhányadost egy dierenciahányadossal közelítjük:

x(t_i+1)−x(t_i)

h ∼x(t^. _i) = f(t_i, x(t_i)).

Ha itt a közelít® egyenl®ség helyett egyenl®séget, x(t_j) helyett pedig y_j-t veszünk, átrendezéssel máris eljutunk a jól ismert explicit Euler módszer képletéhez:

y_i+1 =y_i+hf(t_i, y_i).

Mivel x(t₀) = x₀ adott, y₀ = x₀ kiindulással a fenti képlet megadja az y1, y2, ..., yM kiszámítási szabályát. Bebizonyítható, hogy ha f lokális Lips-chitz feltételnek tesz eleget, akkor

lim

M→∞ max

0≤i≤Mkx(t_i)−y_ik= 0.

Megjegyezzük, hogy ismeretesek az Euler módszernél lényegesen hatékonyabb numerikus eljárások, amelyekre igaz az, hogy az osztópontok számának nö-velésével a pontos megoldás értékeihez konvergáló közelít® sorozatot szolgál-tatnak. Az érdekl®d® olvasó hasznos ismereteket találhat például a [12], vagy [7] könyvekben.

5.5.2. Egzakt és közelít® diszkrét idej¶ modell meghatá-rozása

Legyen adott a τ_c >0 paraméter és egy tetsz®leges, szakaszonként konstans u(.)vezérlés, amelyre

u(t) =u_k, t∈[kτ_c,(k+ 1)τ_c).

Az x₀ értékb®l kiindulva, tekintsük az .

x(t) = f(x(t), u_k), t∈[kτ_c,(k+ 1)τ_c]

x(kτ_c) = x_k, k = 0,1, ... (5.39)

kezdetiérték feladatot. Megfelel® feltételek mellett ennek létezik egyetlen megoldása, ami az egész[kτ_c,(k+ 1)τ_c]intervallumon értelmezve van: ξ(t) = x(t;kτc, xk, uk). Az

F_τ^E_c(xk, uk) = ξ((k+ 1)τc) denícióval az

x_k+1 =F_τ^E_c(x_k, u_k), x₀ adott, k= 0,1, ... (5.40) egzakt diszkrét idej¶ modellhez jutunk.

Az (5.39) kezdetiérték feladat megoldására alkalmazzunk egy h = τ_c/M lépésköz¶ numerikus eljárást, amely az y₀^k =x_kértékb®l kiindulva kiszámítja azy^k₁, ..., y_M^k , közelít® értékeket. Az

F_τ^A

c,h(x_k, u_k) =y^k_M denícióval megkapjuk az

x_k+1 =F_τ^A_c,h(x_k, u_k), x₀ adott, k= 0,1, ... (5.41) közelít® diszkrét idej¶ modellt. HaM = 1, akkor perszeh=τ_c, így az (5.41) egyetlen paraméterrel jellemezhet®, ezért egyszer¶bben leírható. Megjegyez-zük azonban, hogy a 2 független paraméter megléte elméleti szempontból lényegesen könnyebben vizsgálható rendszert eredményez.

A közelít® diszkrét idej¶ rendszer felhasználásával különböz® célból és különböz® módszerekkel lehet vezérléseket kiszámítani. Mi most csak arra korlátozzuk a gyelmünket, hogy a csúszó id®horizont módszerre egy olyan algoritmust ismertessünk, ami tekintetbe veszi a mérések és számítások okoz-ta id®késleltetést, valamint a modell közelítéséb®l ered® hibát.

Azt gondolhatnánk, hogy az (5.41) modellt®l elegend® megkövetelni, hogy az (5.40) és az (5.41) joboldalának eltérése, vagyis a

F_τ^E_c(x, u)−F_τ^A

c,h(x, u) mennyiség kicsi legyen, és akkor az (5.41) alapján kiszámolt vezérlés jó lesz az (5.39) rendszerhez is. Hogy ez nem így van, mutatja az alábbi példa.

5.1. Példa.Tekintsük az

x.₁ =x₂, x^.₂ =u

rendszert azu(t) = u_k, hat∈[kτ_c,(k+ 1)τ_c),szakaszonként konstans vezér-léssel. Egyszer¶ számolással ellen®rizhetjük, hogy az egzakt diszkrét idej¶

modell az alábbi:

x_1,k+1 =x_1,k+τ_cx_2,k+ τ_c²

2u_k, (5.42)

x_2,k+1 =x_2,k+τ_cu_k.

Az Euler módszerrel számolt közelít® diszkrét idej¶ modellh=τ_c mellett az

x_1,k+1 =x_1,k+τ_cx_2,k, (5.43)

x_2,k+1 =x_2,k+τ_cu_k

alakban adható meg. Számoljunk ki az (5.43) rendszerhez egy stabilizáló visszacsatolást a csúszó id®horizont módszerrel, az alábbi célfüggvény gye-lembe vételével:

J_τc(x₀, u(.)) =x^T₂Gx₂+

1

X

k=0

(x^T_kQ_τcx_k+u^T_kR_τcu_k),

ahol G= 0, R_τc =τ_c², Q_τc =

17/τ_c² 4/τ_c 4/τ_c 1

. Ez a v_τ^A_c(x_k) =− 2

τ_c²x_1,k− 5

2τ_cx_2,k (5.44)

visszacsatolást szolgáltatja, amely az

x_1,k+1 =x_1,k+τ_cx_2,k, x_2,k+1 =−2

τ_cx_1,k− 3 2x_2,k

közelít® zárt rendszert eredményezi. Az együtthatómátrix sajátértékeire |λ1|

=|λ₂| = √

2/2 < 1, tehát a közelít® zárt rendszer aszimptotikusan stablis az origó körül a τ_c paraméter választásától függetlenül. Ugyanakkor ez a visszacsatolás az

x_1,k+1 =−τ_c 4x_2,k, x_2,k+1 =−2

τ_cx_1,k− 3 2x_2,k

egzakt zárt rendszert adja, amelynek az egyik pólusa −1,78078 minden τ_c esetén, így ez a rendszer nem stabilis.

Itt a bajt az okozta, hogy az (5.44) nem egyenletesen korlátos τ_c-ben, hanem tetsz®leges rögzített x6= 0 esetén

v_τ^A_c(x)

→ ∞, ha τc →0.

Ez a példa arra gyelmeztet bennünket, hogy megfelel® feltételek kikö-tésével biztosítani kell a hasonló helyzetek elkerülését. Az ezzel kapcsolatos technikai részleteket mell®zzük, helyette egy olyan algoritmust ismertetünk, ami - megfelel® feltételek mellett - stabilis rendszert eredményez még számí-tások okozta késleltetések esetén is.

5.5.3. Többszörös mintavételezett rendszerek késleltetés-sel

Az alábbiakban két dolog gyelembevételére készülünk. Az egyik az, hogy hogyan vehet® tekintetbe az a pozitív id®tartam, ami alatt az y(t_k) output-ból az (A/D) konverzió, bizonyos számítások, valamint a (D/A) konverzió után megkapjuk az alkalmazandóu(.) vezérlést. Világos, hogy a valóságban a t_k id®pontbeli állapot a visszacsatoláson keresztül, csak a fenti késés után hat a rendszerre. Egyszer¶ számpéldával megmutatható, hogy a késleltetés nem kell®en gondos kezelése instabil zárt rendszert eredményezhet még ak-kor is, ha ez a késleltetés tetsz®legesen kicsi. A másik dolog, amit gyelembe szeretnénk venni, az az, hogy a mérések gyakorisága és a vezérlésben tekin-tett mintavételezési periódus nem feltétlenül kell, hogy megegyezzék, hanem lehetséges, hogy az el®z® az utóbbinak többszöröse.

Tegyük fel, hogy az állapot mérése a jτ^m, j = 0,1, ... id®pontokban történik, és legyen

y_j =x(jτ^m), j = 0,1, ...

a mérés eredménye, ahol τ^m jelöli a mérési periódust. A korábbiakhoz ha-sonlóan jelöljükτc-vel azon szakaszok hosszát, amelyeken a vezérlés konstans érték¶, és tegyük fel, hogy

τ^m=`τ_c

ahol ` > 0egész szám. Tegyük fel továbbá, hogy az y<sub>j</sub> mérési érték `₁τ_c id®

múltán lesz elérhet® a számoláshoz, ami viszont`2τc id®t vesz igénybe, ahol

`<sub>1</sub>, `₂ nemnegatív egészek és ` ≥ `₁ +`<sub>2</sub> =: `. Világos, hogy a 0, `τ_c

id®-intervallumon csak egy el®re meghatározott u^c =

n

u^c₀, u^c₁, ..., u^c_`−1

o vezérlést tudunk alkalmazni (pl. az azonosan nulla vezérlést). A j-dik mérés alapján kiszámított új vezérlés csak ajτ^m+`τ<sub>c</sub> id®pont után áll rendelkezésre, így a [jτ<sup>m</sup>, jτ<sup>m</sup> +`τc) intervallumon a régi vezérlést tudjuk csak alkalmazni.

Minthogy az egzakt trajektóriát nem ismerjük, a ξ_j^E egzakt állapot helyett a közelít® modellb®l becsültζ_j^Aközelítés alapján végezhetjük a vezérlés számí-tását.

A vezérlés kiszámítására az el®z® pontban megismert diszkrét idej¶ csú-szó id®horizont módszert fogjuk alkalmazni egy megválasztandóT_p =T ∈N diszkrét idej¶ tervezési id®horizonttal. A minimalizálási problémára

P_τ^A

c,h(0, T, x^A₀) jelöléssel hivatkozunk, ahol az x^A₀ helyére az éppen alkalma-zandó kezd®állapotot írjuk. Diszkrét idej¶ kontroll horizontnak az` értéket fogjuk tekinteni, tehát most a Tc:=` választással élünk.

Vezessük be a τ_j^∗ :=jτ^m+`τ_c jelölést j = 0,1, ....

l₂

5.5. ábra. Az algoritmus sémája Az algoritmus a következ®.

Algoritmus.

Válasszunk egy T (diszkrét) id®horizont hosszúságot, legyen j = 0, τ₋₁^∗ = 0, és legyen u⁽⁰⁾ = u^(p,0) = u^(c) = n

u^c₀, ..., u^c_`−1o

. Mérjük az y(0) = x₀ kezd®állapotot.

j. lépés.

1.) Alkalmazzuk azu^(j) vezérlést az egzakt rendszerre a

τ_j−1^∗ , τ_j^∗

interval-lumon.

2.) Számítsuk ki a közelít® diszkrét idej¶ modell alapján a τ_j^∗ id®pontbeli állapot ζ_j^A=x^A(`;y(j),u^(p,j))becslését.

Az algoritmus sémája az5.5 ábrán látható.

Bebizonyítható, hogy reálisan elvárható feltételek mellett a fenti algorit-mus olyan rendszet szolgáltat, amely aξ₀^E, ζ₀^Akezd®állapotokra vonatkozóan praktikusan aszimptotikusan stabilis. Ezt úgy kell érteni, hogy tetsz®leges r₀ >0 számhoz megadható olyan h^∗ >0, hogy ha az approximációban hasz-nálthlépésközre teljesül a0< h≤h^∗ feltétel, akkor a szóban forgó rendszer az origó körüli r₀ sugarú gömb körül aszimptotikusan stabilis.

A feltételek pontos megfogalmazása és a bizonyítás meghaladja ennek a jegyzetnek a kereteit.

In document Optimális irányítások (Pldal 175-180)