Feedback ekvivalens rendszerek













0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ...

0 0 0 ... 1 a₀ a₁ a₂ ... an−1















mátrix karakterisztikus polinomja

ϕAe(λ) = λⁿ−an−1λⁿ⁻¹−a₁λ−a₀,

tehát az M mátrix (i,1) és az N mátrix (1, n −i+ 1) eleme azonos kell, hogy legyen az (A, B)-vel ekvivalens kétféle alakban. Ezeket az elemeket az A mátrix egyértelm¶en meghatározza a det(λI −A) = ϕ_A(λ) karakte-risztikus polinom együtthatói által. A 2.3. Tételben adott (A, B) párral meghatározott rendszert az(A, B)párhoz tartozó rendszer irányítható kano-nikus alakjának, míg az(A, B)e párral meghatározott rendszert az(A, B)pár irányítási kanonikus alakjának nevezzük.

2.3. Megjegyzés.A 2.3. Tételb®l és a 2.2. Következményb®l láthatjuk, hogy azn-dimenziós állapotter¶ és egy bemenet¶, teljesen irányítható lineáris id®-invariáns rendszer leírható n darab paraméterrel, csupán a koordinátarend-szert kell alkalmasan megválasztani. Mi több, ez aznparaméter az egymással lineárisan ekvivalens rendszerekre ugyanaz, tehát a rendszer invariánsának tekinthet®. A kés®bbiekben látni fogjuk, hogy ez az alak egy gyakorati szem-pontból fontos feladat (a póluselhelyezési feladat) megoldhatóságának elvi alapját adja.

Nézzük meg, hogyan átalánosítható a fenti fogalom és a fenti eredmény több-bemenet¶(m >1)rendszerre!

2.4.2. Feedback ekvivalens rendszerek

2.3. Definíció.LegyenA, A ∈ R^n×n ésB, B ∈ R^n×m. Azt mondjuk, hogy az(A, B)és az(A, B)mátrixpárokkal jellemzett lineáris rendszerekfeedback ekvivalensek, ha létezik olyanP ∈ R^n×n ésV ∈R^m×m invertálható mátrix és F ∈R^m×n mátrix, hogy

P⁻¹(A+BF)P =A és P⁻¹BV =B.

A feedback ekvivalenciát az alábbi módon jelöljük:

(A, B)≡(A, B).

A feedback ekvivalencia megfelel egy-egy bázistranszformációnak az állapot-és az irányítási térben, állapot-és egy u=F x+u⁰ feedback transzformációnak, ahol u⁰ az új irányítási változó.

Könnyen ellen®rízhetjük, hogy a ≡ reláció valóban ekvivalenciareláció, valamint ha(A, B)≡(A, B), akkor az(A, B)pár akkor és csak akkor teljesen irányítható, ha az(A, B) pár is az (lásd a 2.17. Feladatot).

2.4. Definíció.Pozitív egész számoknak egyκ= (κ₁, ..., κ_r)sorozatát azn felbontásának nevezzük, ha

κ₁ ≥κ₂ ≥...≥κ_r és

κ₁+κ₂+...+κ_r =n.

Az n minden felbontásához hozzárendelhetjük az (A_κ, B_κ) mátrixpárt, ahol

Azt mondjuk, hogy az(A_κ, B_κ)pár Brunovsky-féle kanonikus alakú.

Az n bármely κ felbontása esetén az (Aκ, Bκ) pár teljesen irányítható.

Világos, hogy

rangB_κ =r ≤m.

Láttuk, hogy m = 1 esetén tetsz®leges teljesen irányítható (A, B) rendszer lineárisan ekvivalens egy, a 2.2. Következményben meghatározott (A, Be ) rendszerrel, vagyis létezik olyan invertálható Pe mátrix, hogy Pe⁻¹APe=Ae= Γ +BN és Pe⁻¹B = B. Ha az F mátrixot az F = −NPe⁻¹ egyenl®ségnek megfelel®en választjuk, akkor a

Pe⁻¹(A+BF)Pe=Pe⁻¹APe−Pe⁻¹BN = Γ +BN −BN = Γ

összefüggésb®l látható, hogy az egybemenetel¶ teljesen irányítható rendszer feedback-ekvivalens az(A_κ, B_κ)rendszerrel, ahol κ=κ₁ =n.

Célunk annak bemutatása, hogy tetsz®leges teljesen irányítható (A, B) rendszer feedback ekvivalens egy egyértelm¶en meghatározott Brunovsky-féle kanonikus rendszerrel.

El®ször nézzük meg azt, hogy hogyan lehet megkonstruálni az n egy olyanκfelbontását, amely bármely két feedback ekvivalens rendszer esetében ugyanaz.

Rögzítsünk egy tetsz®leges teljesen irányítható (A, B) párt, és írjuk fel a Kalman-féle rangfeltételben szerepl® mátrixot oszloponként. így a

b¹, ... , b^m, Ab¹, ... , Ab^m, ... , Aⁿ⁻¹b¹, ... , Aⁿ⁻¹b^m

vektorsorozatot kapjuk, ahol b^j jelöli a B mátrix j. oszlopvektorát. Ebben a sorozatban egy vektort függ®nek nevezünk, ha kifejezhet® a sorozatban el®t-te álló vektorok lineáris kombinációjaként, különben az illet® vektort függet-lennek nevezzük. Megmutatható, hogy ha az Aⁱb^j vektor függ®, akkor az Aⁱ⁺¹b^j vektor is az. Rendezzük el a fenti vektorokat a

b¹ b² ... b^m Ab¹ Ab² ... Ab^m ... ... ... ...

Aⁿ⁻¹b¹ Aⁿ⁻¹b² ... Aⁿ⁻¹b^m

(2.35)

táblázatba. Legyenλ_i a fenti táblázat i. sorában található, fenti értelemben független vektorok száma. Ha rangB = r, akkor λ₁ = r, és λ₁ ≥ λ₂ ≥ ...≥λ_s, ahol saz utolsó olyan sor indexe, ahol legalább egy független vektor található. Mivel az (A, B) pár teljesen irányítható, ezért λ₁ +λ₂ + ...+ λ_s = n. így a (λ₁, λ₂, ..., λ_s) az n egy felbontását adja, amit az (A, B) pár egyértelm¶en meghatároz, és amelyet λ(A, B)-vel jelölünk. Megmutatható, hogy ha(A, B)≡(A,e Be), akkor λ(A, B) =λ(A,e B)e (lásd a 2.18.. Feladatot).

2.5. Definíció.Aznegy adott λ= (λ₁, λ₂, ..., λ_s)felbontásánakkonjugáltja alatt pozitív egész számok olyanλ⁰ = (λ⁰₁, λ⁰₂, ..., λ⁰_s0)együttesét értjük, aholλ⁰_i megadja aλfelbontási-nél nem kisebb elemeinek számát.

A konjugált deníciójából következik, hogy s⁰ = λ₁ = r, λ⁰₁ ≥ λ⁰₂ ≥ ... ≥ λ⁰_s0 és λ⁰₁ +λ⁰₂ +...+λ⁰_s0 = n, tehát λ⁰ szintén az n egy felbontását adja. A λ és λ⁰ közötti kapcsolat megértését segíti a 0 és 1 számokból álló, úgynevezett Young-táblázat, amely azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ha egy eleme 0, akkor sem t®le jobbra, sem alatta nem fordulhat el® az 1 szám, és nincsen csak 0-t tartalmazó sora és oszlopa. Az n egy adott λ = (λ₁, λ₂, ..., λ_s) felbontásához rendeljük hozzá az s×λ₁ méret¶ Young-táblázatot, amelynek els® sorába λ₁ darab egyest írunk, második sorába (az els® oszloptól kezd®d®en) λ₂ darab egyest, és így tovább. Például az n = 4szám (2,1,1)felbontásához az alábbi táblázatot rendeljük:

1 1 1 0 1 0 .

Megfordítva, egy pontosanndb egyest tartalmazó Young-táblázat azn egyet-len felbontásából származik.

Észrevesszük, hogy λ felbontás Young-táblázatának els® oszlopa ponto-san annyi darab egyest tartalmaz, ahány egynél nem kisebb eleme vanλ-nak, a második oszlopa annyit, ahány eleme nem kisebb mint 2, és így tovább.

Tehát a λ Young-táblázatának transzponáltja éppen a λ⁰ konjugált Young-táblázatát adja. Ebb®l következik, hogy λ⁰⁰ =λ, így λ⁰ egyértelm¶en megha-tározzaλ-t.

2.6. Definíció.Az (A, B) teljesen irányítható pár κ(A, B) irányíthatósági indexeaκ₁, ..., κ_relemekκ= (κ₁, ..., κ_r)együttese, amely aznszámλ(A, B) felbontásának konjugáltja.

Mivel teljesen irányítható feedback ekvivalens rendszerek eseténλ(A, B) = λ(A,e B)e , ezért irányíthatósági indexeik is megegyeznek. Igazolhatjuk azt is, hogy az n bármely eκ felbontása esetén

κ(Aeκ, B

κe) = eκ. (2.36)

2.4. Tétel. Tetsz®leges teljesen irányítható (A, B) párhoz létezik az n-nek egy olyan egyértelm¶en meghatározott κ felbontása, hogy (A, B)≡(A_κ, B_κ).

Bizonyítás. Legyen κ⁰ és κ⁰⁰ az n két tetsz®leges felbontása. Ha (A, B) ≡ (A_κ⁰, B_κ⁰) és(A, B)≡(A_κ⁰⁰, B_κ⁰⁰), akkor

κ⁰ =κ(Aκ⁰, Bκ⁰) =κ(A, B) = κ(Aκ⁰⁰, Bκ⁰⁰) =κ⁰⁰,

ami a κ egyértelm¶ségét mutatja. Lássuk be, hogy van olyan κ, amely-re (A, B) ≡ (A_κ, B_κ). Ezt a feedback ekvivalencia deníciójában szerepl®

transzformációk lépésr®l lépésre történ® megkonstruálásával mutatjuk meg.

Vegyük a B mátrix oszlopainak olyan permutációját, hogy a (2.35) táblázat oszlopaiban található független vektorok száma nem-növekv® legyen (vagyis a V most egy permutációs mátrix, P =I, F = 0). Jelöljük BV-t továbbra isB-vel, oszlopait pedigb^j-vel. Legyen továbbra isr=rang B. Minthogy az el®bbi permutáció eredményeként a B els® r oszlopa tartalmazza a lineári-san független oszlopokat, j > r esetén b^j kifejezhet® az els® r oszlop lineáris kombinációjaként:

b^j =

r

X

i=1

αjibⁱ. Az

u=V u

denícióval vezessünk be új irányítási változót, ahol

V =

I_r V₁₂ 0 −I_m−r

, és V₁₂ =







α_r+1,1 ... α_m,1 ... ... ...

α_r+1,r ... α_m,r





.

Ekkor Bu = BV u és BV = (b¹, ..., b^r,0, ...,0). A BV mátrixot továbbra is B-vel jelöljük, és a továbbiakban feltesszük, hogy

B = (b¹, ..., b^r,0, ...,0). (2.37) Jelölje a (2.35) táblázati-dik oszlopában található független vektorok számát κ_i. Ekkor a

b¹, ..., A^κ1−1b¹, b², ..., A^κ2−1b², ...., b¹, ..., A^κr−1b^r (2.38)

vektorok az R egy bázisát alkotják. A függ®ség deníciója alapján tudjuk, hogy bármely j-re megadható az alábbi lineáris kombináció

A^κjb^j+X (Ez azt fejezi ki, hogy A^κjb^j megadható az ®t megel®z® vektorok lineáris kombinációjaként.) Alkalmazzunk az irányítási változók terében egy újabb koordináta-transzformációt, amelynek eredményeként egy Be =BVe mátrixot kapunk

eb^j :=b^j +X

l<j

α_jlob^l , 1≤j ≤r

oszlopokkal, miközben az utolsóm−r(csupa0oszlopot) változatlanul hagy-tuk. Visszanevezzük Be-t ismétB-re, így a (2.39) az alábbi alakba írható:

A^κjb^j + (ahol persze az α_jlk együtthatók az el®bbiekt®l különböznek). Minden j = 1, ..., r és s = 1, ..., κ_j értékre nézve vezessük be az e_js jelölést az alábbi

sorrendbe. Ha ezt összehasonlítjuk azRⁿbázisát alkotó (2.38)-beli vektorok-kal, amit most

b¹, b², ..., b^r;Ab¹, Ab², ...

sorrendben írunk fel, láthatjuk, hogy az e_js vektorokat egység-háromszög típusú lineáris kombinációval kaphatjuk a fenti sorrendben felírt bázisvekto-rokból. így az e_js (j = 1, ..., r; s = 1, ..., κ_j) vektorok lineárisan függetlenek (és így szintén az Rⁿ bázisát alkotják). Tekintsük most a

P =

e_1κ1, e_1(κ1−1), ..., e₁₁, e_2κ2, e_2(κ2−1), ..., e₂₁, ..., e_rκr, e_r(κr−1), ..., e_r1 mátrixot, ami a fentiek értelmében invertálható. Legyen

Ae=P⁻¹AP, Be =P⁻¹B,

és írjuk azAemátrixot a κ= (κ₁, ..., κ_r) felbontásnak megfelel® blokkosított

A PAe=AP egyenl®ség két oldalán szerepl® mátrixok oszlopait összehason-lítva igazolhatjuk, hogy azAef®diagonálisában szerepl® A_ii blokkok

Aii=

alakúak, ahol csak a csillagok helyén állhatnak nullától különböz® számok.

Ehhez azt kell belátnunk, hogy s < κ_j esetén Ae_js=e_j(s+1)−

Másrészt a Be mátrix aPBe =B mátrixegyenlet egyértelm¶ megoldása, ami-b®l közvetlenül következik, hogy

Be=B_κ,

ahol a B_κ-t a (2.33), (2.34) képletekkel határoztuk meg. (Emlékeztetünk rá, hogy a B mátrix az irányítási vektorok terében végrehajtott koordináta-transzformációk eredményeként alakult ki, és a (2.37) képletnek megfelel®

alakú!)

Eddig tehát azt kaptuk, hogy a kiindulási rendszer lineárisan ekvivalens az (A,e Be) alakú rendszerrel, ami alakját tekintve az 1-bemenet¶ (m = 1) rendszerek irányítási kanonikus alakjával analóg. Az m = 1 esettel ellentét-ben azonban a 0-tól és 1-t®l különböz® elemeket az eredeti (A, B) pár nem határozza meg egyértelm¶en, így az(A,e B)e párt nem tekinthetjük kanonikus alaknak. Az (A_κ, B_κ) kanonikus alakot megkaphatjuk (A,e B)e -ból úgy, hogy azAe→Ae+BeFe feedback transzformációt alkalmazzuk, ahol azFe mátrixba azAemátrix csillaggal jelölt elemeit gy¶jtjük össze ellentétes el®jellel.

In document Optimális irányítások (Pldal 46-53)