3. Optimális vezérlések 83
3.2. A Pontrjagin-féle maximumelv
Rögzített végpontú, id®invariáns rendszer optimalizálása változó id®tartam esetén
Tekintsük az
x(t) =. f(x(t), u(t)), t∈ I = (t, t)⊂R (3.9) nemlineáris id®invariáns irányítási rendszert, ahol x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, f : Rn ×Rm → Rn folytonos és az els® (vektor)változójában folytonosan dierenciálható. Legyent0 ∈ I a rögzített kezd® id®pont, és legyenx0 ∈Rna megadott kezd®állapot,x1 ∈Rnpedig a szintén megadott célállapot. (Az at1 id®pont, amikor azx1 pontba el kell jutni, nincs el®re meghatározva.) Legyen U ⊂Rmadott kompakt halmaz. A megengedett irányítások∆halmaza most is∆ = ∪t0≤t1∆(t0, t1) alakban adott, ahol
∆(t0, t1) ={u(.) : u(.) mérhet® és u(t)∈ U, t0 ≤t≤t1}.
Egyu megengedett irányítást eredményesnek nevezünk, ha a (3.9) egyenlet-nek létezik x(t0) = x0 és x(t1) = x1 peremfeltételeket kielégít® megoldása.
Jelöljük az összes eredményes irányítás halmazát ∆e-vel. Világos, hogy az eredményes (ξ(.), u(.)) folya-matot teljesen meghatározza az u(.) vezérlés, ezért min®ségét jellemezhetjük egy, csak az u-tól függ® funkcionállal. Ren-deljük hozzá az u(.) vezérléshez a
J(u(.)) =
t1
Z
t0
f0(ξ(t), u(t))dt
célfüggvényt, aholf0 :Rn×Rm →Rfolytonos és az els® (vektor)változójában folytono-san dierenciálható függvény, ξ(.) a (3.9) dierenciálegyenlet u(.) -hoz tartozó,x(t0) = x0 kezdeti feltételt kielégít® megoldása.
Keresend® egy olyan u∗(.)∈∆e eredményes vezérlés, amelyre minden u(.)∈∆eesetén
J(u∗(.))≤J(u(.)).
Az u∗(.)ekkor optimális.
Miel®tt az optimum szükséges feltételét adó Pontrjagin-féle maximumel-vet megfogalmaznánk, szükségünk lesz néhány jelölésre. Adott u(.) vezér-léshez és a (3.9) neki megfelel® ξ(.) megoldásához vezessünk be egy új x0(.)
függvényt az
denícióval. Ekkor x0(.)majdnem minden t-re dierenciálható, x.0(t) =f0(x(t), u(t))
és
x0(t0) = 0, x0(t1) =J(u(.)).
Egészítsük ki az eredeti változókat és dierenciálegyenleteket ezzel az új vál-tozóval és dierenciálegyenlettel: legyen bx(.) = (x0(.), xT(.))T, fb(bx, u) = kezdetiérték feladatot. Vegyük ehhez Mc1 célhalmazként Rn+1-ben a (0, x1) pontba állított, az x0 tengellyel párhuzamos egyenest:
Mc1 =
Az eredeti optimalizálási feladatot tehát úgy fogalmazhatjuk át, hogy kere-send® egy olyan megengedett vezérlés, amelyhez a (3.10) megoldása a Mc1 halmazban végz®dik, mégpedig a lehet® legkisebb x0 koordinátájú pontban.
A 3.2 ábra egy n = 2 dimenziós feladatra szemlélteti a három dimenzióra történ® kiegeszítést.
Adott u(.) ∈ ∆ vezérlés esetén vegyük a (3.10) linearizált egyenletét a (3.10) megfelel® ξ(.)b megoldása körül (lásd a2.1 pontot):
d
Tekintsük ennek az adjungált dierenciálegyenletét:
d
dtψ(t) =b −fbT
bx(ξ(t), u(t))b ψb(t), (3.12)
x
3.2. ábra. Az optimalizálási feladat átfogalmazásának szemléltetése vagy részletesen kiírva,
3.6. Megjegyzés. A H segítségével a (3.10) és (3.12) dierenciálegyenleteket összefoglalhatjuk egy Hamilton-típusú
diereciálegyenlet-rendszerben. (Hamilton-típusú egyenletek gyakran fordul-nak el® a mechanikában.) AH függvényt a rendszer Hamilton-függvényének fogjuk nevezni.
3.1. Definíció.Azt mondjuk, hogy egy (bξ(.), u(.)) folyamat kielégíti a Pontrjagin-féle maximumelvet, ha a (3.12) adjungált rendszernek létezik olyan nemtriviális ψ(.)b megoldása, hogy
(i) H(ψ(t),b ξ(t), u(t)) =b M(ψ(t),b ξ(t)),b majdnem mindent∈[t0, t1]-re;
(ii) M(ψ(t),b ξ(t))b ≡0, mindent∈[t0, t1]-re;
(iii) ψ0(t)≡ψ0(t0)≤0, mindent∈[t0, t1]-re.
3.7. Megjegyzés. Észrevesszük, hogy a H függvény - és vele együtt az M függvény - nem függ az x0 változótól, ezért az (bξ(.), u(.)) folyamat helyett tekinthetjük az(ξ(.), u(.))folyamatot is, és beszélhetünk arról, hogy ez utóbbi folyamat eleget tesz a Pontrjagin-féle maximumelvnek.
3.3. Tétel. Tegyük fel, hogy u∗(.)∈∆e optimális irányítás [t0, t∗1] értelme-zési tartománnyal, és ξ∗(.) neki megfelel® trajektória, tehát
.
ξ∗(t) = f(ξ∗(t), u∗(t)), ξ∗(t0) = x0, ξ∗(t∗1) =x1. (3.13) Ekkor az (ξ∗(.), u∗(.)) folyamat kielégíti a Pontrjagin-féle maximumelvet.
A tétel bizonyítása meglehet®sen bonyolult. Az érdekl®d® olvasó megta-lálja pl. a [9] 101-145. oldalán, vagy a [6] 134-146. oldalán.
Ha a (3.9) rendszerre vonatkozóan az id®optimum feladatot tekintjük, akkor a maximumelv némileg egyszer¶bb formában is megfogalmazható. Le-gyen ugyanis a célfunkcionál
J(u(.)) =
t1
Z
t0
1dt =t1−t0,
vagyisf0(x, u)≡1. Vezessük be aH ésMhelyett aH :Rn×Rn×Rm →R és M :Rn×Rn →R függvényeket a
H(ψ, x, u) = ψ1f1(x, u) +...+ψnfn(x, u), M(ψ, x) = max
u∈U H(ψ, x, u) egyenl®séggel.
Adott u(.) ∈ ∆ és a (3.9) neki megfelel® ξ(.) megoldásához tekintsük a (3.9) linearizált egyenletének adjungáltját:
.
ψ(t) =−fxT(ξ(t), u(t))ψ(t), (3.14) vagy részletesen kiírva
.
ψi(t) = −
n
X
j=1
∂fj
∂xi(ξ(t), u(t))ψj(t), i= 1, ..., n.
3.2. Definíció.Azt mondjuk, hogy az(ξ(.), u(.))folyamat kielégíti azid ˝oop-timumra vonatkozó Pontrjagin-féle maximumelvet, ha a (3.14) adjungált rend-szernek létezik olyan nemtriviálisψ(.)megoldása, hogy
(i) H(ψ(t), ξ(t), u(t)) =M(ψ(t), ξ(t)), majdnem mindent∈[t0, t1]-re;
(ii) M(ψ(t), ξ(t))≡M(ψ(t1), ξ(t1))≥0, mindent∈[t0, t1]-re.
3.1. Következmény. Tegyük fel, hogy az u∗(.) id®optimális vezérlés a [t0, t∗1] intervallumon, ξ∗(.) pedig neki megfelel® trajektória, tehát a (3.13) teljesül. Ekkor a (ξ∗(.), u∗(.)) folyamat kielégíti az id®optimumra vonatkozó Pontrjagin-féle maximumelvet.
Bizonyítás. Mivel most f0(x, u)≡1, ezért
H(ψ,b bx, u) =ψ0+H(ψ, x, u), és
M(ψ,b x) = maxb
u∈U (ψ0 +H(ψ, x, u)) =ψ0+M(ψ, x).
Ebb®l következik, hogy a3.2. Deníció(i)feltétele a(ξ∗(.), u∗(.))folyamatra pontosan akkor teljesül, amikor a 3.1. Deníció (i) feltétele. Mivel pedig a3.3. Tétel szerint az is igaz, hogy minden t ∈[t0, t∗1]-ra
0≡ M(ψb∗(t),ξb∗(t)) =ψ0+M(ψ∗(t), ξ∗(t)),
ésψ0 ≤0, ebb®l következik, hogy a3.2. Deníció(ii)feltétele is teljesül.
3.8. Megjegyzés. Érdemes megnézni, hogy mit ad a3.1. Következmény line-áris id®optimum feladat esetén. Ha f(x, u) =Ax+Bu, akkor fx(x, u) =A, ezért a (3.14) adjungált rendszer sem az állapottól, sem az irányítástól nem függ, hanem az alábbi egyszer¶ alakban adható meg:
.
ψ =−ATψ, ψ(t0) = ψ0,
amelynek a megoldása a ψ0 paraméter függvényében kiszámítható. Az M függvényt meghatározó összefüggés most a következ®:
maxu∈U H(ψ, x, u) = max
u∈U(ψTAx+ψTBu) =ψTAx+ max
u∈U ψTBu.
Meg kell tehát keresni a
ψ(t)TBu(t) = max
v∈U (ψT(t)Bv), t≥t0
feltételnek eleget tev® u(.) vezérléseket. (Lehet, hogy ennek megoldása nem egyértelm¶.) Ezután minden u(.)vezérléshez meg kell határozni az
x. =Ax+Bu(t), x(t0) = x0
ξ(.)megoldását és ellen®rízni kell, hogy valamilyent1-re teljesül-e aξ(t1) = x1 egyenl®-ség. Ha a válasz igenl®, akkor a (ξ(.), u(.)) folyamat optimális lehet a (t0, t1) intervallumon, ellenkez® esetben biztosan nem az.
3.9. Megjegyzés. Nézzük meg, hogy hogyan alkalmazhatjuk a maximumelvet az bx0 pontban kezd®d® és azMc1 egyenesen végz®d® trajektóriák és a nekik megfelel® vezérlések közül azoknak a kiválasztására, amelyek a maximum-elvben szerepl® összes feltételeknek eleget tesznek! Ismeretlen a t1 id®pont, az m darab uj(.), az n + 1 darab xi(.) és az n + 1 darab ψk(.) függvény.
Adott ξ(t)b és ψ(t)b esetén a 3.1. Deníció (i) feltétele majdnem minden t-re meghatározza azmkomponensb®l állóu(t)vektort (esetleg nem egyértelm¶-en). Marad tehát 2n+ 2 ismeretlen függvény és a t1 skalár paraméter. Az ismeretlen függvényekre rendelkezésre áll 2n+ 2 darab dierenciálegyenlet, amelyek2n+ 2kezdeti feltétel megadása esetén egyértelm¶en meghatározzák a megoldást. Nekünk azonban csak n+ 1kezdeti feltétel és n végfeltétel áll rendelkezésünkre, mégpedig bx(t0) =bx0 ésx(t1) =x1. Mivel azonban a ψj(.) függvények és az összes feltétel is csak egy pozitív konstans szorzó erejéig meghatározottak (hiszen a H függvény a ψb-nak homogén függvénye), ezért a 2n+ 2 skalár paraméterb®l egy nem lényeges. Az ismeretlent1 paraméter meghatározására felhasználhatjuk az M(ψ(tb 1), ξ(tb 1)) = 0 egyenletet. Végs®
soron tehát ugyanannyi egyenletünk van, mint amennyi ismeretlenünk, ezért
várható, hogy csak különálló, izolált trajektóriák vannak, amelyek az x0 és x1 pontokat összekötik, és amelyek a maximumelv összes feltételet kielégítik.
Látjuk, hogy nem tudunk olyan lépésr®l-lépésre haladó eljárást mutat-ni, amely a maxi-mumelv alapján elvezetne az optimális megoldáshoz. Ha azonban az(i) maximum feltételb®l ki tudjuk fejezni azu-t a ψbésx függvé-nyeként, vagyis ha meg tudunk adni egy olyan u(x,ψ)b értéket, amelyre
H(ψ,b x, u(x,b ψ)) =b M(ψ,b x),b
akkor ezt behelyettesítve a (3.10)-be és a (3.14)-be, és gyelembe véve az x(t1) = x1 és M(ψ(tb 1),x(tb 1)) = 0 egyenleteket, az alábbi peremérték fel-adathoz jutunk:
x.i(t) =fi(x(t), u(x(t),ψ(t))),b
.
ψi(t) =−
n
X
j=0
∂fj
∂xi(x(t), u(x(t),ψ(t)))ψb j(t), xi(t0) =x0i, xi(t1) = x1i, i= 1, ..., n,
ψ0(t) =−1vagy 0, M(ψ(tb 1), x(t1)) = 0.
Itt már gyelembe vettük azt is, hogyMnem függx0-tól. Egy ilyen peremér-ték feladat megoldása lényegesen nehezebb feladat mind elvi, mind gyakorlati szempontból, mint egy kezdetiérték feladaté, éppen ezért fokozottabban igaz rá, hogy megoldása többnyire csak numerikus úton reményteljes.
Jelent®sen egyszer¶bb a helyzet, ha a fenti peremérték feladatot vissza tudjuk vezetni kezdetiérték feladatra.
Nézzünk most néhány egyszer¶, kidolgozott példát a maximumelv alkal-mazására.
3.3. Példa.Tekintsük az alábbi feladatot:
x.1 =x2,
x.2 =−x1+u, U = [−1,1], x0 = x10
x20
, x1 = 0
0
és azt vizsgáljuk, hogyan juthatunk el leggyorsabban az x0-ból az x1-be.
Megoldás.Az id®optimum feladathoz tartozóHHamilton függvény az alábbi:
H(ψ, x, u) = ψ1x2−ψ2x1+ψ2u.
Ennek maximuma u∈[−1,1]-re az
M(ψ, x) = ψ1x2−ψ2x1+|ψ2|,
ami az u=sgn ψ2 mellett realizálódik. A ψ adjungált változókra a
.
ψ1 =ψ2,
.
ψ2 =−ψ1
egyenletet kapjuk. Vegyük ennek a ψ(0) = (cosα,sinα) kezdeti feltételt kielégít® megoldását:
ψ1(t) ψ2(t)
=
cost sint
−sintcost
cosα sinα
=
cos(α−t) sin(α−t)
.
(Minthogy kψ(t)k 6= 0 kell legyen, és a ψ(.)csak egy pozitív konstans szorzó erejéig meghatározott, az általánosság megszorítása nélkül ψ(0) választható 1 normájúnak.)
Az u = sgn(sin(α −t)) összefüggésb®l következ®en a vezérlés felváltva +1 és −1értéket vesz fel π hosszúságú intervallumokon, az els® és az utolsó részintervallum kivételével, amelyek lehetnek rövidebbek.
Ha egy [t0, t1] intervallumon u(t) ≡ 1, akkor a megoldandó dierenciál-egyenlet rendszer
x.1 =x2, x.2 =−x1+ 1. (3.15) Vezessük be az y1 =x1−1, y2 =x2 új változókat. Ekkor az y.1 = y2, y.2 =
−y1 egyenletet kapjuk, amelynek megoldása
y1(t) =Rcos(γ−t), y2(t) = Rsin(γ−t)
alakban adható meg, tehát a trajektóriák az[y1, y2]síkban origó körüli R su-garú körök, amelyeken a fázispont az óramutató járásával megegyez® irány-ban mozog. Azy1ésy2deníciójából következik, hogy a (3.15) trajektóriái az [x1, x2]síkban szintén az óramutató járásával megegyez®en befutott R suga-rú körök, amelyeknek a középpontja az (1,0)koordinátájú O1 pont. Analóg meggondolással azt kapjuk, hogy azu(t)≡ −1vezérlésnek megfelel® dieren-ciálegyenlet trajektóriáiO−1 = (−1,0) középpontú, R sugarú, az óramutató járásával megegyez® irányban befutott körök.
Észrevesszük, hogy mindkét körsereg esetén kizárólag az 1 sugarú kör megy át az origón. Minthogy a záróintervallum hossza kisebb, vagy egyenl®
π, ezért+1 vezérléssel az O1 középpontú 1sugarú körx1 tengely alatti OM1 ívének pontjaiból, míg −1 vezérléssel az O−1 középpontú, 1 sugarú kör x1 tengely feletti N1O ívének pontjaiból pontjaiból lehet id®optimálisan elérni az origót. Az OM1 körív pontjait egy legfeljebb π hosszúságú intervallumon
−1 értéket felvev® vezérléssel lehet az id®re optimálisan elérni, így a −1 vezérlést azon pontok esetében kell alkalmazni, amelyek az O−1 pont körüli R = 3 sugarú kör fels® íve alatt, és az N2N1, N1O, és OM1 körívek felett helyezkednek el. Az N2N1, körívet az OM1 körívO−1 körüli, π szöggel való
u=+1
u= −1
u= −1 u= −1
u= −1
u=+1
u=+1 u=+1
x1
1
−1 1
x2
2 3
3 2 1
M M M
O O
N N N
O
3.3. ábra. Átkapcsolási görbék és trajektóriák
elforgatásával kaptuk. Ha viszont az N1O körívet forgatjuk el O1 körül −π szöggel, megkapjuk azM1M2 körívet, így id®optimálisan azO1 körüli R= 3 sugarú kör alsó íve felett, és azN1O, OM1,ésM1M2körívek alatti pontokból lehet elérni az N1O körívet. Ezt a meggondolást folytathatva belátható, hogy az id®optimális vezérlés az ábra N3N2N1OM1M2M3 ív felett és az N3N2N1O görbe pontjaiban −1-gyel, míg az N3N2N1OM1M2M3 ív alatt és az OM1M2M3 görbe pontjaiban+1-gyel lesz egyenl®.
A Pontrjagin-féle maximumelv tehát (véges sok id®pont kivételével) egy-értelm¶en meghatározza azt a vezérlést, amely id®optimális lehet. (A fenti megfontolásokban a vezérlés jobbról való folytonosságának megkövetelésével a vezérlést minden pontban egyértelm¶vé tettük.) A 3.2. Tételb®l és a 3.4.
Megjegyzésb®l következik, hogy optimális vezérlés létezik, tehát a megtalált vezérlés valóban optimális.
3.4. Példa. (Merev test szögsebességének vezérlése).Térjünk vissza az 1.2.
és3.2. Példában vizsgált feladathoz, és keressük az I1ω.1(t) = (I2−I3)ω2(t)ω3+u1(t),
I2ω.2(t) = (I3−I1)ω3(t)ω1+u2(t), (3.16) I3ω.3(t) = (I1−I2)ω1(t)ω2+u3(t)
dierenciálegyenletekkel leírt rendszer ω(0) = (ω01, ω02, ω03)T kezd®állapo-tához az ori-góba történ® id®optimális irányítást, miközben a megengedett
irányítások értékeiket vagy az
U1 ={u∈R3 : u21+u22 +u23 ≤1}, ((a) eset) vagy az
U2 ={u∈R3 : |ui| ≤1, i= 1,2,3}, ((b) eset) halmazból veszik.
A rövidebb írás kedvéért bevezetünk néhány jelölést. Legyen wk(t) = Ikωk(t), k= 1,2,3,
L1 = 1/I3−1/I2, L2 = 1/I1−1/I3, L3 = 1/I2−1/I1. Ezekkel a jelölésekkel a (3.16) egyenlet a
w.1(t) = L1w2(t)w3(t) +u1(t),
w.2(t) = L2w3(t)w1(t) +u2(t), (3.17) w.3(t) = L3w1(t)w2(t) +u3(t)
alakot ölti. Ennek a rendszernek a Hamilton függvénye
H(ψ, x, u) =L1w2w3ψ1 +L2w3w1ψ2+L3w1w2ψ3+ +u1ψ1+u2ψ2+u3ψ3, az adjungált egyenlete pedig
.
ψ1(t) = −L2w3(t)ψ2(t)−L3w2(t)ψ3(t),
.
ψ2(t) = −L1w3(t)ψ1(t)−L3w1(t)ψ3(t), (3.18)
.
ψ3(t) = −L1w2(t)ψ1(t)−L2w1(t)ψ2(t) alakú.
Tekintsük el®ször az (a) esetet. Ekkor maxu∈U1
H(ψ, x, u) =M(ψ, w) = L1w2w3ψ1+L2w3w1ψ2+L3w1w2ψ3+kψk, ahol
kψk= q
(ψ1)2+ (ψ2)2+ (ψ3)2, és a maximum az egyértelm¶en meghatározott
ui =vi(ψ) = ψi
kψk, i= 1,2,3
értéknél realizálódik. Behelyettesítve az ui(t) = vi(ψ(t)) vezérlést a (3.17) dierenciálegyenlet-rendszerbe, és hozzávéve a (3.18) dierenciálegyenletet, valamint az
w1(0) =I1ω01, w1(t∗1) = 0, w2(0) =I2ω02, w2(t∗1) = 0, w3(0) =I3ω03, w3(t∗1) = 0, és az
M(ψ0, w(0)) =M(ψ(t∗1),0)
feltételi egyenleteket, akkor ezzel megkapjuk a megoldandó peremérték fel-adatot. Az egyenletek speciális alakja itt lehet®vé teszi, hogy ennél tovább menjünk, és megadjuk az optimális vezérlést állapot-visszacsatolás alakjá-ban. Keressük aψ(.) függvényt
ψi(t) =−wi(t)/kw(t)k alakban, ekkor a fentiek értelmében
ui(t) = vi(ψ(t)) =−wi(t)/kw(t)k.
Ha ezt helyettesítjük be a (3.17) dierenciálegyenletbe, akkor a w(.) függ-vényre egy kezdetiérték feladatot kell megoldani. Behelyettesítéssel ellen®riz-hetjük, hogy a fenti ψ(.) függvény ekkor kielégíti a (3.18) rendszert. Az is könnyen látható, hogy ekkorM(ψ(t), w(t))≡1. Meg kell még mutatni, hogy a kapott kezdetiérték feladat megoldá-sára a végfeltétel is teljesül valamilyen t∗1 id®pontban. Ezt beláthatjuk úgy, hogy kiszámítjuk a kw(.)k függvény deriváltját a (3.17) felhasználásával. Erre azt kapjuk, hogy
d
dtkw(t)k=−1,
ezért a t∗1 = kw(0)k id®pontban w(t∗1) = 0. így az id®optimum feladat megoldását egy kezdetiérték feladat megoldására vezettük vissza.
A (b) esetben
maxu∈U2H(ψ, x, u) =M(ψ, x) =L1w2w3ψ1+L2w3w1ψ2 +L3w1w2ψ3+kψk1, ahol
kψk1 =|ψ1|+|ψ2|+|ψ3|. A maximumot szolgáltatóu(.)az
ui(t)
= 1, haψi(t)>0,
=−1, haψi(t)<0,
∈[−1,1],haψi(t) = 0
összefügéssel adható meg. A megoldás részletes elemzésére nem térünk ki, az I1 =I2 speciális esetre az megtalálható az [5] 503-506. oldalán.