Definíció: Korlátos sorozat, felső korlát, legkisebb felső korlát
6. Tétel: Weierstrass tétele
1.7.5. Határértékek meghatározásaszámítógéppel
A 121–124. feladatokban számítógép segítségével keressünk olyan N számot, amelyre fennáll, hogy a megadott egyenlőtlenség minden esetén fennáll. Feltéve, hogy az egyenlőtlenségek a sorozat határértékének definíciójának felelnek meg, melyik sorozatokról van szó, és mennyi a határérték?
27.
28.
29.
30.
31. Newton-módszerrel generált sorozatok. Newton módszerét egy differenciálható függvényre való alkalmazásakor, egy kezdőérték alapján definiálunk egy sorozatot, amely – bizonyos feltételek teljesülése mellett – a függvény egyik zérushelyéhez konvergál. A sorozatot megadó rekurziós képlet:
1. Igazoljuk, hogy az ( ) függvény esetében a rekurziós képlet alakban írható fel!
2. Számítsuk ki és ábrázoljuk a sorozat első néhány tagját az és értékek esetén! Melyik szám egyre pontosabb közelítését kapjuk így meg? Válaszunkat indokoljuk!
32. (Az előző feladat folytatása.) Ismételjük meg a 125. feladat (b) részét -vel.
33. Rekurziós képlet -re. Az , rekurziós összefüggésekkel adott sorozat gyorsan konvergál -höz.
1. Próbáljuk ki!
2. Az ábra alapján magyarázzuk meg, miért olyan gyors a konvergencia!
34. A Wall Street Journal 1992. december 15-i számának címlapján olvashatjuk a következőket: a Ford Motor Co. gyáraiban egy átlagos jármű karosszériája óra alatt készült el; 1980-ban a Fordnak ugyanehhez 15 órára, a japán autógyártóknak – 1992-ben – mindössze órára volt szükségük.
A Ford 1980 óta évente átlagosan 6 százalékkal csökkentette a szóban forgó munkaidőt. Ugyanebben az ütemben fejlődve 1992 után n évvel a Ford
óra alatt készít el egy karosszériát. Ha a japánok nem javítanak, hány évbe telik, amíg a Ford beéri távol-keleti riválisait? Kövessünk két gondolatmenetet!
1. Határozzuk meg azt az n indexet, amelytől kezdve az sorozat tagjai nem nagyobbak, mint 3.5!
2. T Ábrázoljuk az függvényt; a programunk segítségével állapítsuk meg, hogy hol metszi az f függvény grafikonja az egyenletű egyenest!
1.7.6. Számítógépes vizsgálatok
A 129–140. feladatokban számítógép alkalmazásával hajtsuk végre a következő lépéseket:
• Számítsuk ki és ábrázoljuk a sorozatok első 25 tagját! Mire következtethetünk ebből: korlátos-e a sorozat alulról vagy felülről? Konvergens-e a sorozat, és ha igen, mi lehet az L határértéke?
• Ha a sorozat konvergens, keressünk olyan N pozitív egész számot, amelyre teljesül, hogy minden esetén ! A sorozat hányadik tagjától kezdve kerülünk L-hez 0.0001-nél kisebb távolságra?
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. Kamatos kamat, betét, kivét. Ha fix r kamatra, évente m jóváírással elhelyezünk a bankban egy összeget, és betétünk minden év végén egy konstans b összeggel növekszik (vagy csökken, amennyiben
), akkor év után a betétünk
1. Számítsuk ki az első száz pontot, amennyiben , , és . Mennyi pénz van a számlánkon az ötödik év végén? Vizsgáljuk meg az sorozatot konvergencia és korlátosság szempontjából!
2. Ismételjük meg a feladat (a) részét az , , és adatokkal!
3. Ha 5000 dollárt helyezünk el évi 4.5 százalékos kamatra, negyedévenkénti jóváírással, akkor közelítőleg hány év múlva lesz a számlánkon 20 000 dollár? És ha a kamat 6.5 százalék?
4. Belátható, hogy tetszőleges esetén az (1) rekurzív definícióval definiált sorozatra teljesül az
összefüggés. Ellenőrizzük, hogy a feladat (a) részében kiszámított ötven tag rendre az, amit a (2) egyenlet alapján kapunk!
16. Logisztikus differenciaegyenlet. Az
rekurziós összefüggést logisztikus differenciaegyenletnek nevezzük; ha megadjuk az első tagot, akkor az egyenlet az logisztikus sorozatot definiálja. A feladatban mindvégig feltesszük, hogy , például
.
1. Legyen . Számítsuk ki a sorozat első 100 tagját és ábrázoljuk a megfelelő pontokat!
Konvergensnek tűnik a sorozat? Mi lehet a határérték? Függ-e a határérték az választásától?
2. Válasszunk néhány r számot az intervallumból és ismételjük meg az iménti eljárást! Válasszunk olyan pontokat is, amelyek közel esnek az intervallum végpontjaihoz! Mit tapasztalunk?
3. Ezután vizsgáljuk meg, mi történik, ha a intervallum végpontjaihoz közel eső r számokat választunk. Az számot bifurkációs értéknek nevezzük, és azt mondjuk, hogy a sorozat az új intervallumban vonzó 2-ciklust ír le.
4. Folytassuk a vizsgálódást a , valamint a intervallum végpontjaihoz közelítő értékekkel. Ábrázoljuk a sorozatok első 200 tagját! Fogalmazzuk meg, mit tapasztalunk! Hány érték között oszcillálnak a sorozatok tagjai az egyes intervallumokban? A két tizedesre kerekített és az
számokat szintén bifurkációs értékeknek nevezzük.
5. A dolog ezután egyre érdekesebb lesz. Létezik a bifurkációs értékek egy növekvő sorozata, amelyre teljesül, hogy a egyenlőtlenségeket kielégítő r-ek esetén az logisztikus sorozat tagjai különböző érték között váltakoznak (ezt nevezzük -ciklusnak). A bifurkációs értékek sorozatának 3.57 felső korlátja, a sorozat tehát konvergens. Egy számot választva így egy -ciklus tagjait kapjuk. Próbáljuk ki például az
számot, és számítsuk ki a sorozat első háromszáz tagját!
6. Vizsgáljuk meg mi történik, ha . Válasszuk az számot, és számítsuk ki az sorozat első 300 tagját! Figyeljük meg, ahogy a tagok össze-vissza változnak. Az előző tagok ismeretében a sorozat egyetlen tagját sem tudjuk előrejelezni.
7. Az esetben válasszunk két egymáshoz közel eső értéket, például a 0.3 és a 0.301 számokat.
Mindkét kezdőérték esetén számítsuk ki a sorozat első 300 tagját, és vessük össze a két sorozat viselkedését. Hányadik tagtól kezdve térnek el egymástól? Ismételjük meg ugyanezt az esetben.
Látjuk-e, hogy a sorozat egészen más képet mutat? Azt mondjuk, hogy a logisztikus sorozat érzékeny az kezdeti feltételre.
2. 11.2. Végtelen sorok
Végtelen sornak nevezzük a végtelen sok tagból álló,
alakú összegeket. Ebben az alfejezetben azt vizsgáljuk meg, hogyan lehet értelmet adni egy végtelen összegnek, és hogy miként lehet kiszámítani. Mivel végtelen sok tag van, nem lehet az összeadásokat elvégezni, hogy lássuk, mi az eredmény. Ehelyett megnézzük, mit kapunk, ha összeadjuk az első n tagot, és megnézzük, tudunk-e mondani valamit tudunk-enntudunk-ek az össztudunk-egntudunk-ek a vistudunk-elktudunk-edéséről, ha n tart a végttudunk-eltudunk-enbtudunk-e. Az tudunk-első n tag
összege – a sorozat n-edik részletösszege – a szokásos módon kiszámítható. Ha a végtelen összeghez valamilyen értéket tudunk rendelni, akkor azt várjuk, hogy a részletösszegek egyre közelebb kerülnek ehhez az értékhez, ahogy n növekszik, azaz a részletösszegek sorozatának van határértéke.
Tekintsük példaként az
végtelen sort. Vizsgáljuk meg, felismerhető-e valamilyen szabályosság a részletösszegek sorozatában. (A mértani sorozat összegének középiskolából ismert képletének egy átalakítását alkalmazzuk. A képletet a 1.
példa előtt újra le is vezetjük.)
Részletösszeg képlete értéke
első: 1
második:
harmadik:
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
n -edik:
11.5. ábra. Amint az számokat összadjuk, az összeg egyre közelebb kerül 2-höz.
A szabályosság szembeötlő. A részletösszegek sorozatának n-edik tagja:
A részletösszeg-sorozat 2-höz tart, elvégre . Ekkor azt mondjuk, hogy ,,az végtelen sor összege 2”. Megkaphatjuk-e a 2-t úgy, hogy csupán véges számú tagot adunk össze? Nem. Össze tudunk adni végtelen sok számot? Nem. Mégis definiálható az összeg: mint a részletösszegek sorozatának határértéke az esetben (11.5. ábra). A sorozatok határértékének ismeretében megszabadulhatunk a végesség korlátaitól.