A régi és az új koordináták közötti összefüggés
3. példa: A ciklois paraméteres megadása
4.3. Brachisztochron és a tautochron
Ha a 10.31. ábrát a feje tetejére állítjuk, akkor a (10.28) egyenletet továbbra is alkalmazhatjuk. Az így előálló görbe, amely a 10.32. ábrán látható, két érdekes fizikai tulajdonsággal rendelkezik. Tekintsük az origót és a görbe legmélyebb pontját, a B pontot. E két pontot összekötő összes sima görbe közül éppen a ciklois az, amely mentén haladva egy súrlódásmentesen, csupán a nehézségi erő hatása alatt mozgó tömegpont (kis gyöngy vagy golyó) a leggyorsabban jut el O-ból B-be. E tulajdonsága miatt nevezik a cikloist brachisztochronnak, legrövidebb idejű görbének. A ciklois másik érdekes tulajdonsága, hogy bárhonnan is indítjuk a tömegpontot B
felé, ugyanannyi idő alatt jut el oda. E tulajdonsága miatt nevezik a cikloist tautochronnak, azonos idejű görbének.
Létezik-e más, az O és B pontokat összekötő brachisztochron-görbe is, vagy a ciklois az egyedüli? Ezt a kérdést az alábbi módon önthetjük matematikai formába. Induláskor a golyó mozgási energiája 0, mivel sebessége 0.
Miközben a golyót a gravitációs erő a pontból az pontba mozgatja, munkát végez, s ez egyenlő a mozgási energia megváltozásával, azaz
Ezért a golyó sebessége az pontban
azaz
vagy másképp
Az az idő, amely alatt a golyó valamely pályán O-ból eljut a pontba:
(10.29)
Milyen görbe esetén lesz – ha egyáltalán van ilyen görbe – minimális ennek az integrálnak az értéke?
10.33. ábra. a 10.32. ábrát feje tetejére állítottuk, hogy így tanulmányozhassuk a fordított ciklois mentén a gravitációs erő hatására megvalósuló mozgást. Így az y-tengely a gravitációs erő irányába mutat, s az alsó féltengely pontjai lesznek pozitív koordinátájúak. A cikloist megadó egyenletrendszer és paramétertartomány
továbbra is , , . A nyíl mutatja t növekedésének irányát.
Első látásra feltételezhetjük, hogy az O és B pontokat összekötő egyenes vonal mentén haladva kapjuk a legrövidebb időt, de lehet, hogy ez nem így van. Az is értelmes felvetés, hogy a golyó először lefelé indul azért, hogy fokozza a sebességét. Ha nagyobb a sebessége, még hosszabb utat is képes gyorsabban megtenni, s így elsőként ér B-be. Valóban ez a helyes elgondolás. A megoldást variációszámítással kapjuk – ami a matematika egyik ága –, s kiderül, hogy az eredeti ciklois az egyetlen brachisztochron-görbe O és B között.
Mivel a brachisztochron-probléma megoldása számunkra jelenleg még nem érthető, most csak azt mutatjuk meg, hogy miért tautochron a ciklois. Ciklois esetén (10.29) a
A (10.28) egyenletből , és
alakot ölti. Azaz a súrlódásmentesen csúszó golyó, miután O-ból elengedtük, idő alatt ér B-be.
Tegyük fel, hogy most nem O-ból, hanem valamivel lejjebbről, a paraméterértéknek megfelelő pontból indítjuk a golyót. A ciklois mentén haladó golyó sebessége valamely későbbi pontban:
Ennek megfelelően, az pontból a B pontba a golyó
T
idő alatt jut el. Ez pontosan annyi idő, mint amennyire a golyónak az O-ból B-be való eljutáshoz szüksége van.
A golyó mindig ugyanannyi idő alatt jut el B-be, bárhonnan is indul. Például a 10.34. ábra O, A és C pontjából induló golyók mind egyszerre érnek a B pontba. Ez az oka annak, hogy Huygens ingaórájának járása független a lengés amplitúdójától.
10.34. ábra. Ha egyszerre indítunk el golyókat az O, A és C pontokból a ciklois mentén, azok egyszerre érkeznek a B pontba.
4.4. 10.4. Feladatok
4.4.1. Kúpszeletek paraméteres egyenletrendszere
A 1–12. feladatokban megadtuk egy -síkban mozgó részecske mozgásának paraméteres egyenletrendszerét és a paramétertartományt. Határozzuk meg a részecske mozgásának pályáját oly módon, hogy mozgásegyenletét Descartes-koordinátákban írjuk fel. Ábrázoljuk a Descartes-koordinátákban felírt görbét! Jelöljük ki a görbének azt a részét, amelyet a részecske bejár! Állapítsuk meg a részecske mozgásának irányát is!
1. , ,
2. , ,
3. , ,
4. , ,
5. , ,
6. , ,
7. , ,
8. , ,
9. , ,
10. , ,
11. , ,
12. , ,
13. Hipociklois. Gördüljön végig egy kör valamilyen rögzített kör kerületén, de a rögzített kör belsejében.
A gördülő kör kerületének valamely P pontja hipocikloist ír le. Legyen a rögzített kör, legyen a gördülő kör sugara b, s a P pont a mozgás megkezdésekor legyen az pontban. Írjuk fel a hipociklois paraméteres egyenletrendszerét úgy, hogy az x tengely pozitív felének a körök középpontjait összekötő egyenessel alkotott hajlásszöge legyen a paraméter. Arra az esetre, ha – mint a mellékelt ábrán is – , mutassuk meg, hogy a hipociklois azonos az
egyenletű csillaggörbével.
14. Még többet a hipocikloisról. A mellékelt ábra egy a sugarú kört mutat, amely belülről érintkezik egy sugarú körrel. A P pont, amely pillanatnyilag a körök érintkezési pontja, a kisebbik körhöz van rögzítve.
Milyen utat jár be a P pont, miközben a kis kör végiggördül a nagyobbik kör kerületén?
15. A mellékelt ábrán az N pont az egyenes mentén mozog, P pedig úgy mozog, hogy teljesüljön az egyenlőség. Paraméteres egyenletrendszerrel írjuk le P mozgását! A paraméter az y-tengely pozitív fele és az egyenes által bezárt szög legyen!
16. Trochoid. Egy a sugarú biciklikerék csúszásmentesen gördül egy vízszintes egyenes mentén.
Paraméteres egyenletrendszerrel írjuk le a küllő egy P pontjának pályáját, ha az b távolságra van a kerékagytól! A paraméter legyen a kerék forgásszöge. A P által leírt görbét trochoisnak nevezzük, melyből a
esetben ciklois lesz.
4.4.2. Távolágmeghatározás paraméteres egyenletrendszerrel
17. Keressük meg az , , parabolának azt a pontját, amelyik a legközelebb van a ponthoz. (Útmutatás: Minimalizáljuk a távolság négyzetét mint t függvényét.)
18. Keressük meg az , , ellipszisnek azt a pontját, amelyik a legközelebb van a ponthoz. (Útmutatás: Minimalizáljuk a távolság négyzetét mint t függvényét.)
4.4.3. Grafikai felfedezőút
Ha van paraméteres egyenletek megjelenítésére alkalmas grafikai programunk, ábrázoljuk a következő egyenletrendszert a megadott intervallumokon.
19. Ellipszis. , a
1.
2.
3.
intervallumon.
20. Hiperbolaág. ( -ként kell begépelni), ( -ként kell begépelni) a 1.
2.
3.
intervallumon.
21. Parabola. , ,
22. Ciklois. , a
1.
2.
3.
intervallumon.
23. Egy szép görbe (deltoid).
Mi történik, ha az x-et és y-t megadó egyenletben 2-t -vel helyettesítjük? Ábrázoljuk az új egyenleteket!
24. Még szebb görbe.
Mi történik, ha az x-et és y-t megadó egyenletben 3-at -mal helyettesítjük? Ábrázoljuk az új egyenleteket!
25. Három gyönyörű görbe.
1. Epiciklois
2. Hipociklois
3. Hipotrochois
26. Még szebb görbék.
1. , ;
2. , ;
3. , ;
4. , ;
5. 10.5. Polárkoordináták
Ebben az alfejezetben a polárkoordinátákat tárgyaljuk és viszonyukat a Descartes-koordinátákkal. A sík tetszőleges pontjának pontosan egy Descartes-koordináta-párja van, azonban végtelen sok polárkoordinátapárja lehet. Ennek érdekes következményei vannak az ábrázolásnál, amint ezt a következő alfejezetben látni fogjuk.