Szerkesztette Szász, Domokos, Szép, Gabriella, és Csaba, Ferenc Gerner, József

(1)

Thomas-féle kalkulus

III. kötet

Thomas, George B., Massachusetts Institute of Technology Weir, Maurice D., Naval Postgraduate School

Hass, Joel, University of California, Davis Giordano, Frank R., Naval Postgraduate School

Szerkesztette Szász, Domokos, Szép, Gabriella, és Csaba, Ferenc Gerner, József

Csaba, Ferenc

Ruzsa, Zoltán

Szép, Gabriella

(2)

Thomas-féle kalkulus: III. kötet

írta Thomas, George B., Weir, Maurice D., Hass, Joel, Giordano, Frank R., Szász, Domokos, Szép, Gabriella, és Csaba, Ferenc

Gerner, József Csaba, Ferenc Ruzsa, Zoltán Szép, Gabriella

A könyv első kiadása a Korszerű Mérnökért Alapítvány és a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Rektori Hivatalának támogatásával, illetve az Oktatási Minisztérium által kiírt Felsőoktatási Tankönyv- és Szakkönyv-támogatási Pályázat keretében jelent meg.

Szakmailag ellenőrizte: Horváth Miklós, Moson Péter, Nagyné Szilvási Márta, Serény György és Szabados Tamás Az eredeti mű címe:Thomas' Calculus, 11th Edition.

Authorized translation from the English Language edition, entitled THOMAS' Calculus, 11th Edition, ISBN 0321185587, by Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; and Giordano, Frank R., published by Pearson Education, Inc, publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2005 Pearson Education, Inc. All rights reserved.

Hungarian translation © Csaba Ferenc; Gerner József; Ruzsa Zoltán; Szép Gabriella; Typotex, 2007 http://www.typotex.hu

(3)

Tartalom

1. 10. fejezet Kúpszeletek és polárkoordináták ... 1

1. 10.1. Kúpszeletek és másodfokú egyenletek ... 1

1.1. Parabola ... 1

1.2. Ellipszis ... 4

1.3. Hiperbola ... 8

1.4. A hiperbola aszimptotái és ábrázolása ... 9

1.5. Tükrözési tulajdonságok ... 11

1.6. 10.1. Feladatok ... 13

1.6.1. Grafikonok azonosítása ... 13

1.6.2. Parabolák ... 14

1.6.3. Ellipszisek ... 15

1.6.4. Hiperbolák ... 15

1.6.5. Kúpszeletek eltolása ... 16

1.6.6. Egyenlőtlenségek ... 18

1.6.7. Elmélet példákkal ... 18

2. 10.2. Kúpszeletek osztályozása excentricitásuk alapján ... 22

2.1. Excentricitás ... 22

2.2. 10.2. Feladatok ... 27

2.2.1. Ellipszisek ... 27

2.2.2. Hiperbolák ... 28

3. 10.3. Másodfokú egyenletek és forgatások ... 30

3.1. Vegyes tagot tartalmazó kifejezés ... 30

3.2. A másodfokú egyenletek grafikonja ... 34

3.3. A diszkrimináns vizsgálata ... 35

3.4. Hogyan számolja ki a kalkulátor a szinusz és a koszinusz értékét forgatás segítségével? 36 3.5. 10.3. Feladatok ... 37

3.5.1. A diszkrimináns alkalmazása ... 37

3.5.2. A koordinátatengelyek elforgatása ... 38

4. 10.4. Kúpszeletek és paraméteres egyenletek, a ciklois ... 41

4.1. Parabola és hiperbola ... 41

4.2. Ciklois ... 42

4.3. Brachisztochron és a tautochron ... 43

4.4. 10.4. Feladatok ... 46

4.4.1. Kúpszeletek paraméteres egyenletrendszere ... 46

4.4.2. Távolágmeghatározás paraméteres egyenletrendszerrel ... 47

4.4.3. Grafikai felfedezőút ... 47

5. 10.5. Polárkoordináták ... 48

5.1. A polárkoordináták definíciója ... 49

5.2. Polárkoordinátás egyenletek és ábrázolásuk ... 50

5.3. A polárkoordináták és a Descartes-koordináták viszonya ... 52

5.4. 10.5. Feladatok ... 55

5.4.1. Polárkoordináta-párok ... 55

5.4.2. Polárkoordináták átírása Descartes-koordinátákká ... 56

5.4.3. Polárkoordinátás egyenletek és egyenlőtlenségek ábrázolása ... 56

5.4.4. Polárkoordinátás egyenletek átírása Descartes-koordinátákra ... 56

5.4.5. Descartes-koordinátákban felírt egyenletek átírása polárkoordinátákba .... 57

6. 10.6. Ábrázolás polárkoordinátákban ... 58

6.1. Szimmetria ... 58

6.2. Meredekség ... 59

6.3. Egy ábrázolási módszer ... 61

6.4. A polárkoordinátás grafikon metszéspontjainak megkeresése ... 63

6.5. Polárgörbék paraméteres ábrázolása ... 64

6.6. 10.6. Feladatok ... 65

(4)

6.6.1. Szimmetriák és polárgörbék ... 65

6.6.2. Polárgörbék meredeksége ... 65

6.6.3. Csigagörbék ... 66

6.6.4. Polárkoordinátákban felírt egyenlőtlenségek ábrázolása ... 66

6.6.5. Metszéspontok ... 66

7. 10.7. Terület és hosszúság polárkoordinátákban ... 68

7.1. Szektortartomány területe ... 68

7.2. Polárgörbe ívhossza ... 72

7.3. Forgásfelület felszíne ... 74

7.4. 10.7. Feladatok ... 76

7.4.1. Polárgörbe által határolt szektortartomány területe ... 76

7.4.2. Görbevonalú szektortartományok közös részének területe ... 76

7.4.3. Polárgörbék ívhossza ... 77

7.4.4. Forgásfelületek felszíne ... 77

7.4.6. Görbevonalú szektortartományok súlypontja ... 78

8. 10.8. Kúpszeletek polárkoordinátákban ... 79

8.1. Egyenesek ... 79

8.2. Körök ... 80

8.3. Ellipszis, parabola, hiperbola ... 82

8.4. 10.8. Feladatok ... 85

8.4.1. Egyenesek ... 85

8.4.2. Körök ... 86

8.4.3. Kúpszeletek meghatározása excentricitásuk és vezéregyenesük alapján ... 87

8.4.4. Parabola és ellipszis ... 87

8.4.5. Egyenlőtlenségek ábrázolása ... 88

8.4.8. Számítógépes vizsgálatok ... 90

9. Áttekintő kérdések ... 90

10. Gyakorló feladatok ... 91

10.1. Kúpszeletek ábrázolása ... 91

10.2. Kúpszeletek eltolása ... 92

10.3. Kúpszeletek felismerése ... 92

10.4. A diszkrimináns használata ... 93

10.5. Kúpszeletek elforgatása ... 93

10.6. Síkbeli paraméteres egyenletrendszerek ... 93

10.7. Grafikonok a polárkoordináta-síkban ... 93

10.8. Egymást metsző grafikonok a polársíkon ... 95

10.9. Polárkoordinátákról Descartes-koordinátákra ... 95

10.10. Descartes-koordinátákról polárkoordinátákra ... 96

10.11. Kúpszeletek polárkoordinátákban ... 96

10.12. Terület, ívhossz és felszín polárkoordinátákban ... 97

10.13. További példák és feladatok ... 97

11. Az anyag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok ... 98

11.1. Kúpszelet egyenletek ... 98

11.2. Egyenletek és egyenlőtlenségek ... 99

11.3. Paraméteres egyenletek és cikloisok ... 99

11.4. Polárkoordináták ... 100

11.5. Elmélet példákkal ... 100

11.6. Polárkoordinátákban megadott görbe sugáriránya és érintője által bezárt szög . 102 2. 11. fejezet Sorozatok és végtelen sorok ... 106

1. 11.1. Sorozatok ... 106

1.1. Konvergens és divergens sorozatok ... 108

1.2. Sorozat határértékének kiszámítása ... 110

1.3. A L’Hospital-szabály alkalmazása ... 113

1.4. Gyakran előforduló határértékek ... 114

1.5. Rekurzív definíciók ... 116

(5)

1.6. Korlátos monoton sorozatok ... 116

1.7. 11.1. Feladatok ... 117

1.7.1. Sorozat tagjainak kiszámítása ... 117

1.7.2. Sorozat képletének megkeresése ... 118

1.7.3. Határértékek meghatározása ... 118

1.7.4. További példák és feladatok ... 121

1.7.5. Határértékek meghatározásaszámítógéppel ... 125

2. 11.2. Végtelen sorok ... 127

2.1. Mértani sorok ... 129

2.2. Divergens sorok ... 133

2.3. Az n-edik tagon alapuló divergenciateszt ... 133

2.4. Műveletek sorokkal ... 134

2.5. Tagok elhagyása és hozzáadása ... 136

2.6. Végtelen sor átindexelése ... 136

2.7. 11.2. Feladatok ... 136

2.7.1. Részletösszegek ... 136

2.7.2. Mértani sorok ... 137

2.7.3. Részletösszegek vizsgálata ... 137

2.7.4. Konvergencia és divergencia ... 138

2.7.5. Mértani sorok ... 139

2.7.6. Végtelen szakaszos tizedes törtek ... 140

3. 11.3. Az integrálkritérium ... 142

3.1. Növekvő részletösszegek ... 143

3.2. Az integrálkritérium ... 144

3.3. 11.3. Feladatok ... 147

3.3.1. Konvergens és divergens sorok ... 148

4. 11.4. Összehasonlító kritériumok ... 152

4.1. Határértékeket is használó összehasonlító kritériumok ... 153

4.2. 11.4. Feladatok ... 156

5. 11.5. A hányados- és a gyökkritérium ... 158

5.1. A gyökkritérium ... 161

5.2. 11.5. Feladatok ... 163

6. 11.6. Alternáló sorok, abszolút és feltételes konvergencia ... 166

6.1. Abszolút és feltételes konvergencia ... 169

6.2. Végtelen sor tagjainak átrendezése ... 170

6.3. 11.6. Feladatok ... 172

6.3.1. Alternáló sorok ... 172

6.3.2. Abszolút konvergencia ... 173

6.3.3. Hibabecslés ... 175

7. 11.7. Hatványsorok ... 178

7.1. Hatványsorok, konvergencia ... 178

7.2. Hatványsor konvergenciasugara ... 182

7.3. Tagonkénti differenciálás ... 183

7.4. Tagonkénti integrálás ... 184

7.5. Hatványsorok szorzata ... 186

7.6. 11.7. Feladatok ... 187

7.6.1. Konvergenciaintervallumok ... 187

8. 11.8. Taylor- és Maclaurin-sorok ... 191

8.1. Függvény hatványsora ... 191

(6)

8.2. Taylor- és Maclaurin-sorok ... 192

8.3. Taylor-polinomok ... 193

8.4. 11.8. Feladatok ... 196

8.4.1. Taylor-polinomok ... 196

8.4.2. Maclaurin-sorok ... 196

8.4.3. Taylor-sorok ... 197

8.4.5. Kvadratikus közelítés ... 198

9. 11.9. A Taylor-sorok konvergenciája, Taylor tétele ... 198

9.1. Taylor tétele ... 198

9.2. A maradéktag közelítő értéke ... 200

9.3. Kerekítési hiba ... 202

9.4. Műveletek Taylor-sorokkal ... 204

9.5. Az Euler-képlet ... 204

9.6. Taylor tételének bizonyítása ... 205

9.7. 11.9. Feladatok ... 206

9.7.1. Taylor-sorok helyettesítéssel ... 206

9.7.2. További Taylor-sorok ... 207

9.7.3. Hibabecslés ... 207

9.7.4. Maclaurin-sorok ... 208

9.7.6. Az Euler-formula ... 210

9.7.7. Linearizáció, másod- és harmadfokú közelítés (számítógéppel) ... 211

10. 11.10. Hatványsorok alkalmazása ... 211

10.1. Binomiális sorok hatványokhoz és gyökökhöz ... 212

10.2. Differenciálegyenletek és hatványsorok ... 213

10.3. Nemelemi integrálok kiszámítása ... 217

10.4. Arkusztangens ... 218

10.5. Határozatlan alakok kiszámítása ... 219

10.6. 11.10. Feladatok ... 222

10.6.1. Binomiális sorok ... 222

10.6.2. Kezdetiérték-feladatok ... 223

10.6.3. Közelítő értékek ... 223

10.6.4. Határértékek kiszámítása ... 224

11. 11.11. Fourier-sorok ... 227

11.1. A Fourier-sorok konvergenciája ... 231

11.2. 11.11. Feladatok ... 232

11.2.1. Fourier-sorok ... 232

13.1. Konvergens és divergens sorozatok ... 234

13.2. Konvergens sorok ... 235

13.3. Konvergens vagy divergens? ... 236

13.4. Hatványsorok ... 237

13.5. Maclaurin-sorok ... 237

13.6. Taylor-sorok ... 238

13.7. Kezdetiérték-feladatok ... 238

13.8. Elemi függvényekkel nem kifejezhető integrálok ... 239

13.9. Határértékek ... 239

13.11. Fourier-sorok ... 242

14.1. Konvergencia vagy divergencia? ... 242

14.2. Taylor-sorok középpontjának megválasztása ... 243

14.4. Valószínűségekkel súlyozott értékek ... 247

3. 12. fejezet Vektorok és a tér geometriája ... 252

1. 12.1. Háromdimenziós koordináta-rendszerek ... 252

(7)

1.1. Távolságok és gömbök a térben ... 254

1.2. 12.1. Feladatok ... 257

1.2.1. Halmazok, egyenletek és egyenlőtlenségek ... 257

1.2.2. Távolság ... 259

1.2.3. Gömbök ... 260

2. 12.2. Vektorok ... 261

2.1. Vektorok koordinátái ... 261

2.2. Vektoralgebrai műveletek ... 264

2.3. Egységvektorok ... 267

2.4. Szakasz felezőpontja ... 269

2.5. 12.2. Feladatok ... 270

2.5.1. Vektorok a síkban ... 270

2.5.2. Vektorok a térben ... 271

2.5.3. Szerkesztés ... 271

2.5.4. Hossz és irány ... 272

2.5.5. Pontokkal megadott vektor, felezőpont ... 273

3. 12.3. Skalárszorzat ... 274

3.1. Vektorok által közbezárt szög ... 275

3.2. Merőleges (ortogonális) vektorok ... 278

3.3. A skalárszorzat tulajdonságai és a vektorok merőleges vetítése ... 279

3.4. Munka ... 282

3.5. Vektor felírása ortogonális vektorok összegeként ... 282

3.6. 12.3. Feladatok ... 284

3.6.1. Skalárszorzat és vetület ... 284

3.6.2. T Vektorok szöge ... 285

3.6.3. Vektorok felbontása ... 286

3.6.4. Geometria példákkal ... 286

3.6.6. Egyenes egyenlete ... 287

3.6.7. Munka ... 288

3.6.8. Síkbeli egyenesek szöge ... 288

3.6.9. Differenciálható görbék szöge ... 289

4. 12.4. Vektoriális szorzat ... 289

4.1. Két vektor vektoriális szorzata ... 289

4.2. egy paralelogramma területe ... 291

4.3. Az vektoriális szorzat determináns-alakja ... 291

4.4. Forgatónyomaték ... 294

4.5. Vektorok vegyesszorzata ... 295

4.6. 12.4. Feladatok ... 296

4.6.1. A vektoriális szorzat kiszámítása ... 296

4.6.2. Háromszögek a térben ... 297

4.6.3. Vegyesszorzat ... 297

4.6.5. Terület ... 299

5. 12.5. Egyenesek és síkok a térben ... 299

5.1. Egyenesek és egyenes szakaszok a térben ... 299

5.2. Pont és egyenes távolsága ... 303

5.3. Egy sík egyenlete ... 304

5.4. Síkok metszésvonala ... 306

5.5. Pont és sík távolsága ... 307

5.6. Síkok által közbezárt szög ... 308

5.7. 12.5. Feladatok ... 309

5.7.1. Egyenesek és egyenes szakaszok ... 309

5.7.2. Síkok ... 310

5.7.3. Távolság ... 311

5.7.4. Szögek ... 311

5.7.5. Metsző egyenesek és síkok ... 312

(8)

5.7.7. Számítógépes grafika ... 313

6. 12.6. Hengerek és másodrendű felületek ... 314

6.1. Hengerek ... 314

6.2. Másodrendű felületek ... 315

6.3. Műszaki alkalmazás – A tér megjelenítése ... 322

6.4. 12.6. Feladatok ... 322

6.4.1. Egyenletek és felületek összepárosítása ... 323

6.4.2. Ábrázolás ... 324

6.4.4. Számítógépes grafikai vizsgálatok ... 327

6.4.5. Számítógépes vizsgálatok: felületek kirajzoltatása ... 328

8.1. Vektorszámítás két dimenzióban ... 329

8.2. Vektorszámítás három dimenzióban ... 329

8.3. Egyenesek, síkok, távolságok ... 330

8.4. Másodrendű felületek ... 333

4. 13. fejezet Vektor értékű függvények, mozgás a térben ... 339

1. 13.1. Vektorfüggvények ... 339

1.1. Határérték és folytonosság ... 341

1.2. Deriváltak és mozgás ... 342

1.3. Differenciálási szabályok ... 346

1.4. Állandó hosszúságú vektorfüggvények ... 348

1.5. Vektorfüggvények integrálása ... 349

1.6. 13.1. Feladatok ... 352

1.6.1. Mozgás az -síkban ... 352

1.6.2. Sebesség és gyorsulás a térben ... 352

1.6.3. Vektorfüggvények integrálása ... 353

1.6.4. Kezdetiérték-feladatok vektorfüggvényekre ... 353

1.6.5. Sima görbe érintője ... 354

1.6.6. Körkörös mozgás ... 354

1.6.7. Egyenes vonalú mozgás ... 355

1.6.9. Görbék érintőjének számítógépes vizsgálata ... 359

2. 13.2. Egy lövedék röppályájának leírása ... 359

2.1. Az ideális lövedék vektor- és paraméteres egyenlete ... 360

2.2. Pályamagasság, levegőben töltött idő, lőtávolság ... 362

2.3. Az ideális lövedék röppályája parabola ... 364

2.4. Lövés az pontból ... 364

2.5. Széllökés hatása a lövedék pályájára ... 367

2.6. 13.2. Feladatok ... 368

2.6.1. Lövedék lineáris ellenerővel ... 373

3. 13.3. Ívhossz és a normált érintővektor ... 374

3.1. Térgörbe ívhossza ... 374

3.2. Sima görbe mentén mért sebesség ... 377

3.3. A normált érintővektor ... 377

3.4. 13.3. Feladatok ... 379

3.4.1. Normált érintővektor, ívhossz ... 379

3.4.2. Ívhosszal való paraméterezés ... 380

4. 13.4. Görbület és a normált főnormális ... 381

4.1. Síkgörbe görbülete ... 381

4.2. A simulókör ... 385

4.3. Térgörbék görbülete és főnormálisa ... 387

4.4. 13.4. Feladatok ... 388

4.4.1. Síkgörbék ... 388

4.4.2. Térgörbék ... 389

4.4.3. Görbület ... 390

4.4.4. Számítógépes ábrázolás ... 390

(9)

4.4.5. A simulókör számítógépes vizsgálata ... 391

5. 13.5. Torzió és a normált binormális ... 391

5.1. Torzió ... 392

5.2. A gyorsulásvektor érintő- és főnormális irányú komponense ... 393

5.3. Képletek térgörbék görbületére és torziójára ... 396

5.4. 13.5. Feladatok ... 399

5.4.1. Torzió és binormális ... 399

5.4.2. A gyorsulásvektor érintő- és főnormális irányú komponense ... 399

5.4.3. Fizikai alkalmazások ... 400

5.4.5. A görbület, torzió, és a kisérő triéder számítógépes vizsgálata ... 401

6. 13.6. Bolygómozgás és műholdpályák ... 401

6.1. Mozgás leírása polár- és hengerkoordináta-rendszerben ... 401

6.2. A bolygók síkban mozognak ... 403

6.3. Koordináták és kezdeti értékek ... 404

6.4. Kepler első törvénye ... 405

6.5. Kepler második törvénye ... 405

6.6. Kepler első törvényének bizonyítása ... 406

6.7. Kepler harmadik törvénye ... 408

6.8. Keringési adatok ... 409

6.9. 13.6. Feladatok ... 411

8.1. Mozgás a síkon ... 414

8.2. Lövedék pályája, mozgás a síkon ... 415

8.3. Mozgás a térben ... 417

9.1. Alkalmazások ... 418

9.2. Polárkoordináta-rendszer ... 420

9.3. Hengerkoordináta-rendszer ... 421

5. 14. fejezet Parciális deriváltak ... 422

1. 14.1. Többváltozós függvények ... 422

1.1. Értelmezési tartomány és értékkészlet ... 423

1.2. Kétváltozós függvények ... 423

1.3. Kétváltozós függvény grafikonja, szintvonalai ... 425

1.4. Háromváltozós függvények ... 427

1.5. Számítógépes grafika ... 429

1.6. 14.1. Feladatok ... 431

1.6.1. Értelmezési tartomány, értékkészlet, szintvonal ... 431

1.6.2. Felületekhez tartozó szintvonalak felismerése ... 431

1.6.3. Kétváltozós függvények felvázolása képlet alapján ... 434

1.6.4. Szintvonal meghatározása ... 434

1.6.5. Szintfelületek felvázolása ... 435

1.6.6. Szintfelület egyenlete ... 435

1.6.8. Számítógépes vizsgálatok: explicit alakban adott felületek ... 436

1.6.9. Implicit alakban adott felületek ... 436

1.6.10. Paraméteresen adott felületek ... 437

2. 14.2. Határérték és folytonosság magasabb dimenzióban ... 437

2.1. Határérték ... 437

2.2. Folytonosság ... 440

2.3. Függvények több, mint két változóval ... 444

2.4. Korlátos, zárt halmazon folytonos függvények szélsőértékei ... 444

2.5. 14.2. Feladatok ... 444

2.5.1. Kétváltozós határérték ... 444

2.5.2. Hányadosok határértéke ... 445

2.5.3. Háromváltozós határértékek ... 445

2.5.4. Kétváltozós függvények folytonossága ... 446

2.5.5. Háromváltozós függvények folytonossága ... 446

2.5.6. Nemlétező határérték ... 446

(10)

2.5.8. Áttérés polárkoordinátákra ... 448

2.5.9. A definíció használata ... 450

3. 14.3. Parciális deriváltak ... 450

3.1. Kétváltozós függvény parciális deriváltjai ... 450

3.2. Számítások ... 453

3.3. Számítógép alkalmazása parciális deriváltak meghatározására ... 454

3.4. Függvények több, mint két változóval ... 456

3.5. Parciális deriváltak és folytonosság ... 457

3.6. Másodrendű parciális deriváltak ... 458

3.7. Vegyes parciális deriváltak ... 459

3.8. Magasabbrendű parciális deriváltak ... 460

3.9. Differenciálhatóság ... 460

3.10. 14.3. Feladatok ... 461

3.10.1. Elsőrendű parciális deriváltak számítása ... 461

3.10.2. Másodrendű parciális deriváltak számítása ... 463

3.10.3. Vegyes parciális deriváltak ... 463

3.10.4. A parciális deriváltak definíciójának használata ... 464

3.10.5. Implicit deriválás ... 464

3.10.6. A Laplace-egyenlet ... 465

3.10.7. A hullámegyenlet ... 466

3.10.8. Folytonos parciális deriváltak ... 466

4. 14.4. A láncszabály ... 466

4.1. Kétváltozós függvények ... 467

4.3. Felületeken definiált függvények ... 470

4.4. Implicit deriválás újratárgyalva ... 473

4.5. Sokváltozós függvények ... 474

4.6. 14.4. Feladatok ... 474

4.6.1. Láncszabály, egy független változó ... 474

4.6.2. Láncszabály, kettő és három független változó ... 475

4.6.3. Diagram használata ... 475

4.6.4. Implicit deriválás ... 476

4.6.5. Háromváltozós implicit deriválás ... 476

4.6.6. Parciális deriváltak meghatározása adott pontokban ... 477

4.6.8. Függvények változása görbék mentén ... 478

4.6.9. Integrálok deriválása ... 478

5. 14.5. Iránymenti deriváltak és gradiens vektor ... 479

5.1. Iránymenti derivált a síkban ... 479

5.2. Az iránymenti derivált geometriai jelentése ... 481

5.3. Iránymenti derivált számítása gradiensvektorral ... 482

5.3.1. Gradiensek és szintvonalak érintői ... 485

5.5. 14.5. Feladatok ... 488

5.5.1. Gradiens számítása adott pontban ... 488

5.5.2. Iránymenti derivált meghatározása ... 488

5.5.3. A leggyorsabb növekedés és csökkenés iránya ... 489

5.5.4. Görbék érintőegyenesei ... 489

6. 14.6. Érintősíkok és differenciálok ... 491

6.1. Érintősík és normálegyenes ... 491

6.2. Változás becslése egy adott irányban ... 494

6.3. Kétváltozós függvény linearizálása ... 495

6.4. Differenciálok ... 498

6.5. Kettőnél több változós függvények ... 501

6.6. 14.6. Feladatok ... 502

6.6.1. Felületek érintősíkjai és normálegyenesei ... 502

6.6.2. Görbék érintőegyenesei ... 502

6.6.3. Változás becslése ... 503

(11)

6.6.4. Linearizáció meghatározása ... 504

6.6.5. Lineáris közelítés hibájának felső korlátja ... 504

6.6.6. Háromváltozós függvények ... 505

6.6.7. Becsült hiba, a változás érzékenysége ... 506

7. 14.7. Szélsőértékek és nyeregpontok ... 509

7.1. Lokális szélsőérték vizsgálata deriváltakkal ... 510

7.2. Abszolút maximum és abszolút minimum egy korlátos, zárt tartományon ... 514

7.3. 14.7. Feladatok ... 517

7.3.1. Abszolút szélsőértékek meghatározása ... 518

7.3.3. Szélsőértékek paraméteres görbéken ... 521

7.3.4. Legkisebb négyzetek és regressziós egyenes ... 522

7.3.5. Lokális szélsőértékhelyek és kritikus pontok megtalálása ... 527

8. 14.8. Lagrange-multiplikátorok ... 527

8.1. Feltételes maximum és minimum ... 527

8.2. Lagrange-féle multiplikátoros módszer ... 531

8.3. Lagrange-féle multiplikátorok két feltétel esetén ... 535

8.4. 14.8. Feladatok ... 538

8.4.1. Két független változó, egy feltétel ... 538

8.4.2. Három független változó, egy feltétel ... 539

8.4.3. Szélsőérték két feltétellel ... 540

8.4.5. Számítógépes vizsgálatok: a Lagrange-féle multiplikátoros módszer alkalmazása 541 9. 14.9. Feltételes parciális deriváltak ... 542

9.1. Döntsük el, mely változók függők, melyek függetlenek ... 542

9.2. Hogyan számítsuk ki a függvény parciális deriváltját, ha a független változók egyenlőségekkel vannak korlátozva? ... 544

9.3. Jelölés ... 545

9.4. Nyíl-diagramok ... 546

9.5. 14.9. Feladatok ... 547

9.5.1. Parciális deriváltak meghatározása korlátozott változók szerint ... 547

9.5.2. Parciális deriváltak adott képletek nélkül ... 549

10. 14.10. Kétváltozós Taylor-formula ... 549

10.1. A 11. Tétel levezetése (szélsőérték létezésének ellenőrzése második parciális deriváltakkal) ... 549

10.2. A lineáris közelítés hibaképlete ... 551

10.3. Kétváltozós függvények Taylor-formulája ... 552

10.4. 14.10. Feladatok ... 554

10.4.1. Négyzetes és köbös közelítés meghatározása ... 554

12.1. Értelmezési tartomány, értékkészlet, szintvonalak ... 556

12.2. Határértékek meghatározása ... 556

12.3. Parciális deriváltak ... 557

12.4. Másodrendű parciális deriváltak ... 557

12.5. Láncszabály ... 558

12.6. Implicit differenciálás ... 558

12.7. Iránymenti derivált ... 558

12.8. Gradiens, érintősík, normálegyenes ... 559

12.9. Görbék érintői ... 559

12.10. Linearizációk ... 560

12.11. Becslések és érzékenység a változásra ... 560

12.12. Lokális szélsőérték ... 561

12.13. Abszolút szélsőérték ... 561

12.14. Lagrange-féle multiplikátorok ... 561

12.15. Feltételes parciális deriváltak ... 562

(12)

13.1. Gradiensek és érintők ... 565

13.2. Szélsőértékek ... 566

13.4. Az egydimenziós hőegyenlet ... 567

6. 15. fejezet Többes integrálok ... 569

1. 15.1. Kettős integrál ... 569

1.1. Kettős integrál téglalaptartomány felett ... 569

1.2. Kettős integrál és térfogat ... 571

1.3. Fubini tétele kettős integrálok kiszámítására ... 571

1.4. Számítógéphasználat: Többszörös integrálás ... 574

1.5. Kettős integrál korlátos, nem téglalap alakú tartományon ... 574

1.6. Az integrálás határainak felírása ... 581

1.7. A kettős integrálok tulajdonságai ... 583

1.8. 15.1. Feladatok ... 584

1.8.1. Integrálási tartományok meghatározása és kettős integrálás ... 584

1.8.2. Az integrálás sorrendjének felcserélése ... 585

1.8.3. Kettős integrálok kiszámítása ... 586

1.8.4. felület alatti térfogat meghatározása ... 587

1.8.5. Integrálok nemkorlátos tartomány felett ... 587

1.8.6. Kettős integrálok közelítő kiszámítása ... 588

1.8.8. Számítógépes vizsgálatok: kettős integrálok numerikus kiszámítása ... 589

2. 15.2. Terület, nyomaték, tömegközéppont ... 590

2.1. Korlátos síktartományok területe ... 590

2.2. Átlagérték ... 592

2.3. Vékony lemez nyomatékai és tömegközéppontja ... 593

2.4. Tehetetlenségi nyomaték ... 595

2.5. Geometriai alakzatok súlypontjai ... 599

2.6. 15.2. Feladatok ... 600

2.6.1. Terület kettős integrállal ... 600

2.6.2. Az integrálási tartomány meghatározása ... 600

2.6.3. Átlagérték ... 600

2.6.4. Állandó sűrűség ... 601

2.6.5. Változó sűrűség ... 601

2.6.7. Párhuzamos tengelyek tétele ... 603

2.6.8. Papposz formulája ... 604

3. 15.3. Kettős integrálás polárkoordinátákkal ... 605

3.1. Integrálás polárkoordinátákkal ... 605

3.2. Az integrálás határainak meghatározása ... 607

3.3. Áttérés derékszögű koordinátákról polárkoordinátákra ... 609

3.4. 15.3. Feladatok ... 611

3.4.1. Polár integrálok számítása ... 611

3.4.2. Terület meghatározása polárkoordinátákkal ... 612

3.4.3. Tömeg és momentumok ... 613

3.4.4. Átlagértékek ... 613

3.4.6. Számítógépes vizsgálatok: koordináta-transzformáció ... 614

4. 15.4. Hármas integrál derékszögű koordináta-rendszerben ... 615

4.1. Hármas integrálok ... 615

4.2. A tér egy tartományának térfogata ... 616

4.3. Integrálási határok meghatározása ... 616

4.4. Függvény átlagértéke a térben ... 623

4.5. A hármas integrálok tulajdonságai ... 624

4.6. 15.4. Feladatok ... 624

4.6.1. Hármas integrálok kiszámítása különböző sorrendekben ... 624

4.6.2. Háromszoros integrálok kiszámítása ... 625

4.6.3. Térfogat háromszoros integrállal ... 626

4.6.4. Átlagértékek ... 629

4.6.5. Az integrálás sorrendjének megváltoztatása ... 629

(13)

4.6.7. Számítógépes vizsgálatok: numerikus kiértékelések ... 630

5. 15.5. Tömeg és nyomaték három dimenzióban ... 630

5.1. Tömeg és nyomatékok ... 630

5.2. 15.5. Feladatok ... 634

5.2.1. Konstans sűrűség ... 635

5.2.2. Változó sűrűség ... 636

5.2.3. Munka ... 637

5.2.4. Párhuzamos tengelyek tétele ... 637

5.2.5. Papposz-formula ... 638

6. 15.6. Hármas integrálok henger- és gömbi koordináta-rendszerben ... 639

6.1. Integrálás hengerkoordináta-rendszerben ... 639

6.2. Hogyan integráljunk hengerkoordináta-rendszerben? ... 642

6.3. Gömbi koordináták és integrálás ... 645

6.4. Integrálási határok felírása gömbi koordináta-rendszerben ... 649

6.5. 15.6. Feladatok ... 652

6.5.1. Integrálok számítása hengerkoordináta-rendszerben ... 652

6.5.2. Az integrálási határok felcserélése hengerkoordináták esetén ... 653

6.5.3. Háromszoros integrálok hengerkoordinátákkal ... 654

6.5.4. Integrálok kiszámítása gömbi koordinátákkal ... 655

6.5.5. Az integrálás sorrendjének felcserélése gömbkoordináta-rendszerben .... 656

6.5.6. Háromszoros integrálok határai gömbi koordináta-rendszerben ... 656

6.5.7. Derékszögű, henger- és gömbkoordináták ... 657

6.5.8. Térfogat ... 658

6.5.9. Átlagérték ... 659

6.5.10. Tömeg, nyomaték, súlypont ... 660

7. 15.7. Helyettesítés többes integráloknál ... 661

7.1. Helyettesítés kettős integrálokban ... 661

7.2. Helyettesítés hármas integráloknál ... 666

7.3. 15.7. Feladatok ... 671

7.3.1. Jacobi-determináns és transzformált tartomány meghatározása ... 671

7.3.2. Kettős integrálok kiszámítása transzformációval ... 672

7.3.3. Jacobi-determináns kiszámítása ... 673

7.3.4. Transzformáció alkalmazása hármas integrálok számításánál ... 674

9.1. Integrálás sík tartományon ... 675

9.2. Integrálási határok felcserélése ... 675

9.3. Kettős integrálok kiszámítása ... 676

9.4. Terület és térfogat ... 676

9.5. Átlagérték ... 676

9.6. Tömeg és momentumok ... 677

9.7. Polárkoordináták ... 677

9.8. Hármas integrálok Descartes-féle koordináta-rendszerben ... 678

9.9. Henger- és gömbkoordináták ... 679

9.10. Helyettesítések ... 680

10. Az anyag alaposabb megértését segítő további feladatok ... 680

10.1. Az integrálási sorrend felcserélése ... 681

10.2. Tömeg és nyomatékok ... 682

7. 16. fejezet Integrálás vektormezőben ... 685

1. 16.1. Vonalintegrál ... 685

1.1. Additivitás ... 687

1.2. Tömeg és nyomaték számítása ... 688

1.3. 16.1. Feladatok ... 691

1.3.1. Térgörbék vektoregyenletei ... 691

1.3.2. Vonalintegrálok számítása térgörbék mentén ... 692

1.3.3. Vonalintegrálok síkgörbék felett ... 693

1.3.4. Tömeg és nyomaték ... 694

(14)

1.3.5. Számítógépes vizsgálatok: vonalintegrálok numerikus számítása ... 694

2. 16.2. Vektormezők, cirkuláció, munka, áramlás ... 695

2.1. Vektormezők ... 695

2.2. Erő által végzett munka egy görbe mentén a térben, görbementi integrál ... 699

2.3. Integrál áramlási mezőben, cirkuláció ... 702

2.4. Fluxus síkgörbén ... 704

2.5. 16.2. Feladatok ... 706

2.5.1. Vektormező, gradiensmező ... 706

2.5.2. Munka ... 707

2.5.3. Vonalintegrálok és vektormezők a síkban ... 707

2.5.4. Görbementi integrálok, cirkuláció és fluxus ... 708

2.5.5. Vektormezők felvázolása a síkban ... 709

2.5.6. Áramlási integrálok a térben ... 709

2.5.8. Számítógépes vizsgálatok: munka numerikus meghatározása ... 710

3. 16.3. Útfüggetlenség, potenciálfüggvény, konzervatív vektormező ... 711

3.1. Útfüggetlenség ... 711

3.2. Tulajdonságok, amelyeket mostantól fogva mindig feltételezünk: Összefüggő, egyszeresen összefüggő tartomány ... 712

3.3. Vonalintegrálok konzervatív erőtérben ... 712

3.4. Konzervatív erőtér potenciáljának meghatározása ... 715

3.5. Egzakt differenciálkifejezések (differenciálformák) ... 717

3.6. 16.3. Feladatok ... 719

3.6.1. Erőtér konzervativitásának ellenőrzése ... 719

3.6.2. Potenciálfüggvény meghatározása ... 719

3.6.3. Vonalintegrálok kiszámítása ... 720

3.6.4. További példák és alkalmazások ... 721

4. 16.4. Green-tétel a síkban ... 722

4.1. Divergencia ... 723

4.2. Tengely körüli forgás: a rotáció k-komponense ... 724

4.3. A Green-tétel két formája ... 727

4.4. Matematikai feltételek ... 728

4.5. A Green-tétel alkalmazása vonalintegrálok kiszámítására ... 729

4.6. A bizonyítás kiterjesztése más tartományokra ... 732

4.7. 16.4. Feladatok ... 736

4.7.1. A Green-tétel érvényességének megmutatása ... 736

4.7.2. Óramutató járásával ellentétes körüljárással számított cirkuláció és fluxus kifelé mutató normálissal ... 736

4.7.3. Munka ... 737

4.7.4. Vonalintegrálok számítása a síkban ... 737

4.7.5. Terület számítása Green-tétellel ... 737

4.7.7. Számítógépes vizsgálatok: cirkuláció meghatározása ... 740

5. 16.5. Felület felszíne és felületi integrál ... 741

5.1. Felület felszíne ... 741

5.2. Felületi integrálok ... 745

5.3. Irányítás ... 748

5.4. Vektormező felületmenti integrálja ... 749

5.5. Vékony héjak tömege és nyomatékai ... 750

5.6. 16.5. Feladatok ... 752

5.6.1. Felület felszíne ... 752

5.6.2. Felületi integrálok ... 753

5.6.3. Felületmenti integrál (fluxus) ... 753

5.6.5. Különböző alakú képletek felszín meghatározására ... 755

6. 16.6. Paraméteresen adott felületek ... 756

6.1. Felületek paraméterezése ... 756

6.2. Felület felszíne ... 759

6.3. Felületi integrálok ... 763

6.4. 16.6. Feladatok ... 767

(15)

6.4.1. Felületek paraméterezése ... 767

6.4.2. Paraméteresen adott felületek felszíne ... 767

6.4.3. Felületi integrálok paraméteresen adott felületeken ... 768

6.4.4. Felületmenti integrál (fluxus) paraméteresen adott felületeken ... 768

6.4.6. Paraméteresen adott felületek érintősíkjai ... 769

6.4.7. További példák paraméterezésre ... 769

7. 16.7. Stokes-tétel ... 771

7.1. Stokes-tétel ... 772

7.2. szemléltetése lapátkerékkel ... 776

7.3. A Stokes-tétel olyan felületekre, amelyeken lyukak vannak ... 780

7.4. Egy fontos azonosság ... 781

7.5. Konzervatív vektormezők és a Stokes-tétel ... 781

7.6. 16.7. Feladatok ... 782

7.6.1. A Stokes-tétel alkalmazása cirkuláció számítására ... 782

7.6.2. Rotáció felületmenti integrálja ... 782

7.6.3. A Stokes-tétel paraméteresen adott felületekre ... 783

8. 16.8. A Gauss–Osztrogradszkij-tétel ... 785

8.1. Divergencia a háromdimenziós térben ... 785

8.2. A Gauss–Osztrogradszkij-tétel ... 786

8.3. A Gauss–Osztrogradszkij-tétel bizonyítása speciális tartományokra ... 787

8.4. A Gauss–Osztrogradszkij-tétel kiterjesztése más tartományokra ... 790

8.5. Az elektrosztatika Gauss-törvénye ... 792

8.6. A hidrodinamika folytonossági törvénye ... 793

8.7. Az integráltételek egyesítése ... 795

8.8. 16.8. Feladatok ... 796

8.8.1. Divergenciaszámolás ... 796

8.8.2. Felületi integrál kiszámolása a Gauss–Osztrogradszkij-tétellel ... 796

8.8.3. Rotáció és divergencia ... 797

10.1. Vonalintegrálok számítása ... 801

10.2. Felületi integrálok számítása ... 802

10.3. Paraméteresen adott felületek ... 803

10.4. Konzervatív vektormezők ... 804

10.5. Munka és cirkuláció ... 804

10.6. Tömeg és nyomaték ... 805

10.7. Fluxus síkgörbéken és térben ... 806

11.1. Terület számítása Green-tétellel ... 807

A. Függelékek ... 811

1. F.6. Gyakran előforduló határértékek ... 811

1.1. 4. határérték: Ha , akkor ... 811

1.2. 5. határérték: Bármilyen x számra ... 811

1.3. 6. határérték: Bármilyen x számra ... 811

2. F.7. A vektoriális szorzás disztributivitása ... 812

3. F.8. A vegyes deriváltak egyenlőségéről és a kétváltozós függvények megváltozásáról szóló tétel bizonyítása ... 813

4. F.9. Paralelogramma síkra eső vetületének területe ... 819

B. Megoldások ... 822

1. 10. fejezet ... 822

1.1. 10.1. Kúpszeletek és másodfokú egyenletek. ... 822

1.2. 10.2. Kúpszeletek osztályozása excentricitásuk alapján. ... 826

1.3. 10.3. Másodfokú egyenletek és forgatások. ... 827

1.4. 10.4. Kúpszeletek és paraméteres egyenletek, a ciklois. ... 828

(16)

1.5. 10.5. Polárkoordináták. ... 829

1.6. 10.6. Ábrázolás polárkoordinátákban. ... 832

1.7. 10.7. Terület és hosszúság polárkoordinátákban. ... 835

1.8. 10.8. Kúpszeletek polárkoordinátákban. ... 836

1.9. Gyakorló feladatok. ... 838

1.10. Az anyag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. ... 840

2. 11. fejezet ... 842

2.1. 11.1. Sorozatok. ... 842

2.2. 11.2. Végtelen sorok. ... 844

2.3. 11.3. Az integrálkritérium. ... 845

2.4. 11.4. Összehasonlító kritériumok. ... 846

2.5. 11.5. A hányados- és a gyökkritérium. ... 847

2.6. 11.6. Alternáló sorok, abszolút és feltételes konvergencia. ... 848

2.7. 11.7. Hatványsorok. ... 849

2.8. 11.8. Taylor- és Maclaurin-sorok. ... 849

2.9. 11.9. A Taylor-sorok konvergenciája, Taylor tétele. ... 850

2.10. 11.10. Hatványsorok alkalmazása. ... 851

2.11. 11.11. Fourier-sorok. ... 853

3. 12. fejezet ... 857

3.1. 12.1. Háromdimenziós koordináta-rendszerek. ... 857

3.2. 12.2. Vektorok. ... 858

3.3. 12.3. Skalárszorzat. ... 860

3.4. 12.4. Vektoriális szorzat. ... 862

3.5. 12.5. Egyenesek és síkok a térben. ... 863

3.6. 12.6. Hengerek és másodrendű felületek. ... 865

4. 13. fejezet ... 874

4.1. 13.1. Vektorfüggvények. ... 874

4.2. 13.2. Egy lövedék röppályájának leírása. ... 875

4.3. 13.3. Ívhossz és a normált érintővektor. ... 876

4.4. 13.4. Görbület és a normált főnormális. ... 877

4.5. 13.5. Torzió és a normált binormális. ... 878

4.6. 13.6. Bolygómozgás és műholdpályák. ... 879

5. 14. fejezet ... 881

5.1. 14.1. Többváltozós függvények. ... 881

5.2. 14.2. Határérték és folytonosság magasabb dimenzióban. ... 884

5.3. 14.3. Parciális deriváltak. ... 885

5.4. 14.4. A láncszabály. ... 887

5.5. 14.5. Iránymenti deriváltak és gradiens vektor. ... 889

5.6. 14.6. Érintősíkok és differenciálok. ... 890

5.7. 14.7. Szélsőértékek és nyeregpontok. ... 891

5.8. 14.8. Lagrange-multiplikátorok. ... 893

5.9. 14.9. Feltételes parciális deriváltak. ... 893

5.10. 14.10. Kétváltozós Taylor-formula. ... 893

6. 15. fejezet ... 897

6.1. 15.1. Kettős integrál. ... 897

6.2. 15.2. Terület, nyomaték, tömegközéppont. ... 900

6.3. 15.3. Kettős integrálás polárkoordinátákkal. ... 902

6.4. 15.4. Hármas integrál derékszögű koordináta-rendszerben. ... 903

6.5. 15.5. Tömeg és nyomaték három dimenzióban. ... 905

6.6. 15.6. Hármas integrálok henger- és gömbi koordináta-rendszerben. ... 906

6.7. 15.7. Helyettesítés többes integráloknál. ... 909

(17)

6.9. Az anyag alaposabb megértését segítő további feladatok. ... 911

7. 16. fejezet ... 912

7.1. 16.1. Vonalintegrál. ... 912

7.2. 16.2. Vektormezők, cirkuláció, munka, áramlás. ... 913

7.3. 16.3. Útfüggetlenség, potenciálfüggvény, konzervatív vektormező. ... 914

7.4. 16.4. Green-tétel a síkban. ... 914

7.5. 16.5. Felület felszíne és felületi integrál. ... 915

7.6. 16.6. Paraméteresen adott felületek. ... 916

7.7. 16.7. Stokes-tétel. ... 918

7.8. 16.8. A Gauss–Osztrogradszkij-tétel. ... 918

C. A három kötet tartalomjegyzéke ... 921

Tárgymutató ... 926

(18)

(19)

1. fejezet - 10. fejezet Kúpszeletek és polárkoordináták

Ebben a fejezetben geometriai definíciót adunk a parabolára, az ellipszisre és a hiperbolára, és levezetjük normálegyenletüket. Ezeket a görbéket kúpszeleteknek nevezzük. Kúpszeletpályán mozognak a bolygók, a mesterséges holdak és minden olyan test, amelyet a távolság négyzetével fordítottan arányos erő mozgat. A 13.

fejezetben látni fogjuk, hogy amennyiben egy test pályájáról tudjuk, hogy az kúpszelet, akkor a test sebességéről és a rá ható erőről is közvetlenül informálódni tudunk. A bolygók mozgását célszerű polárkoordinátákkal leírni, ezért a görbéket, a deriváltjaikat és az integrálokat ebben az új koordináta-rendszerben is tanulmányozni fogjuk.

1. 10.1. Kúpszeletek és másodfokú egyenletek

A 1. fejezetben a kört olyan síkbeli pontok mértani helyeként definiáltuk, amelyek egy rögzített ponttól azonos távolságra vannak. Ha a középpont a pont, a sugár pedig a, akkor a kör normálegyenlete . A kör példa kúpszeletre. A kúpszeletek olyan görbék, amelyek egy kettős kúp és egy sík metszésvonalaként állnak elő (10.1. ábra).

A parabolát, az ellipszist és a hiperbolát most koordinátasíkban fekvő másodrendű görbeként fogjuk leírni.

1.1. Parabola

Definíció: parabola, fókusz, direktrix

A sík azon pontjainak halmazát, amelyek a sík egy rögzített pontjától és egy rögzített egyenesétől egyenlő távolságra vannak, parabolának nevezzük. A rögzített pont a parabola fókusza, a rögzített egyenes a parabola vezéregyenese vagy direktrixe.

Ha az F fókusz az L egyenesre illeszkedik, akkor a parabola az F-en átmenő, L-re merőleges egyenes. Ez elfajult eset, s ezentúl úgy vesszük, hogy F nem lehet rajta L-en.

(20)

10.1. ábra. A nem elfajult kúpszeletek (a) olyan görbék, amelyek egy sík és egy kettős kúp metszésvonalai. A hiperbola két részből áll, ezeket a hiperbola ágainak nevezzük. A kettős kúp csúcsán átmenő síkokkal vett síkmetszetek az elfajult kúpszeletek (b).

A parabola egyenlete akkor a legegyszerűbb, ha a fókusz és a vezéregyenes közrefogja az egyik koordinátatengelyt. Tegyük fel például, hogy a fókusz az y-tengely pontja, a vezéregyenes pedig az egyenes. A 10.2. ábra jelöléseivel a pont akkor és csak akkor van rajta a parabolán, ha . A távolságképletből:

Ha a két kifejezést egymással egyenlővé tesszük és egyszerűsítünk, akkor azt kapjuk, hogy

(10.1)

Ezek az egyenletek a parabola y-tengelyre vonatkozó szimmetriáját mutatják. Az y-tengelyt a parabola tengelyének (szimmetriatengelyének) nevezzük.

(21)

10.2. ábra. Az , parabola.

A parabola és a szimmetriatengely metszéspontja a tengelypont. Az parabola tengelypontja az origó (10.2. ábra). A p pozitív szám a parabola fókusztávolsága (paramétere).

Ha a parabola lefelé nyitott, fókusza a pont, vezéregyenese az egyenes, akkor a (10.1) egyenlet

alakú lesz (10.3. ábra). Hasonló egyenleteket kapunk jobbról, illetve balról nyitott parabolára is (10.4. ábra és 10.1. táblázat).

Egyenlet Fókusz Vezéregyenes Tengely Nyitott

y -tengely felülről y -tengely alulról x -tengely jobbról x -tengely balról

10.1. táblázat. A parabola egyenletének normálalakja, amikor a tengelypont az origóban van

10.3. ábra. Az , parabola.

(22)

10.4. ábra. (a) Az parabola. (b) Az parabola.

1. példa

Határozzuk meg az parabola fókuszpontját és vezéregyenesét!

Megoldás

Az normálegyenlet alapján meghatározzuk p értékét:

Ezután meghatározzuk az ehhez a p értékhez tartozó fókuszpontot és vezéregyenest:

Fókusz:

Vezéregyenes:

∎

Más helyzetű parabolák egyenletét úgy kaphatjuk meg, hogy a 10.1. táblázatban szereplő egyenletekre alkalmazzuk 5. alfejezetbeli eltolási képleteket (lásd a 39., 40. és 45–48. gyakorlatokat).

10.5. ábra. Ellipszis rajzolása két szeg, fonal és ceruza segítségével.

1.2. Ellipszis

Definíció: Ellipszis, fókuszok

(23)

Az ellipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két rögzített pontjától mért távolságösszege állandó. A rögzített pontokat az ellipszis fókuszpontjainak nevezzük.

Ellipszist legegyszerűbben a definícióból kiindulva rajzolhatunk. Egy fonaldarab két végét összekötve készítsünk hurkot, a hurok belsejében üssünk le két szeget, -et és -t, majd egy ceruza segítségével feszítsük ki a fonalat. Ha a ceruzát a szegek körül körbevisszük úgy, hogy a fonal mindvégig feszes maradjon, egy zárt görbét rajzolunk ki (10.5. ábra). A görbe ellipszis lesz, mivel a távolságösszeg egyenlő a zsinór hosszának és a szegek távolságának különbségével, ami állandó érték. Az ellipszis fókuszai az , pontok.

Definíció: Tengelyegyenes, középpont, tengelypont

A fókuszpontokon átmenő egyenes az ellipszis tengelyegyenese, a fókuszokat összekötő szakasz felezőpontja az ellipszis középpontja vagy centruma, a tengelyegyenes és az ellipszis metszéspontjai az ellipszis csúcspontjai vagy tengelypontjai.

10.6. ábra. Az ellipszis tengelyegyenesének nevezetes pontjai

Ha a fókuszpontok és (10.7. ábra), és a távolságot -val jelöljük, akkor az ellipszis P pontjának koordinátáira fennáll a

egyenlőség. Ezt az egyenletet úgy egyszerűsítjük, hogy a második négyzetgyökös kifejezést átvisszük a jobb oldalra, négyzetre emelünk, a fennmaradó gyökös kifejezést egy oldalra rendezzük és újra négyzetre emelünk.

Így kapjuk az

(10.2)

alakot. Mivel nagyobb az távolságnál (ez a háromszögre vonatkozó háromszög- egyenlőtlenségből következik), nagyobb lesz -nél. Egy pont tehát akkor és csak akkor pontja az ellipszisnek, ha koordinátái kielégítik a (10.2) egyenletet.

Ha

(10.3) akkor , és a (10.2) egyenlőség a

(10.4)

alakot ölti.

(24)

10.7. ábra. A összefüggéssel definiált ellipszis az görbe grafikonja, ahol .

A (10.4) egyenlőség azt mutatja, hogy az ellipszis szimmetrikus az origóra és mindkét koordinátatengelyre nézve. Az és egyenesek által határolt téglalapban fekszik. A koordinátatengelyeket a és

pontokban metszi. E pontbeli érintők merőlegesek a tengelyekre, mivel a

Ezt (10.4)-ből közvetett deriválással kapjuk.

nulla, ha és végtelen, ha .

A (10.4) egyenlettel adott ellipszis nagytengelye a pontokat összekötő szakasz hossza. A kistengely a pontokat összekötő szakasz hossza. Az a szám a félnagytengely, a b szám a félkistengely. A (10.3) egyenletből kifejezhető

szám a középpont és a fókusz távolsága. Ha ez a távolság nulla, akkor az ellipszis kör.

10.8. ábra. Vízszintes nagytengelyű ellipszis (2).

2. példa: Vízszintes nagytengely

Az

(10.5)

ellipszis (10.8. ábra) félnagytengelye:

félkistengelye:

középpont–fókusz távolsága:

(25)

fókuszpontjai:

tengelypontjai:

középpontja: .∎

3. példa: Függőleges nagytengely

Az

(10.6)

ellipszist úgy kaptuk, hogy a (10.5) egyenletben x-et és y-t fölcseréltük. Ennek az ellipszisnek függőleges lesz a nagytengelye (10.9. ábra). Mivel most és , azt kapjuk, hogy az ellipszis

félnagytengelye:

félkistengelye:

középpont–fókusz távolsága:

fókuszpontjai:

tengelypontjai:

középpontja: .∎

10.9. ábra. Függőleges nagytengelyű ellipszis (3. példa).

Amikor a (10.5) és (10.6) egyenleteket vizsgáljuk, ne tartsunk keveredéstől. Egyszerűen csak az ellipszis koordinátatengelyekkel vett metszéspontjait keressük. Tudni fogjuk, hogy milyen állású lesz a nagytengely, hiszen a két tengely közül az a nagyobb. A középpont mindkét esetben az origóban van, a fókuszok és a tengelypontok pedig a nagytengelyen.

Origó középpontú ellipszis egyenletének normálalakja.

Ha a fókuszpontok az x-tengelyen vannak:

középpont–fókusz távolság:

fókuszpontok:

tengelypontok:

(26)

Ha a fókuszpontok az y-tengelyen vannak:

fókuszpontok:

tengelypontok:

A félnagytengely mindkét esetben a, a félkistengely pedig b.

1.3. Hiperbola

Definíció: Hiperbola, fókuszpontok

A hiperbola a sík azon pontjainak halmaza, amelyeknek a sík két rögzített pontjától mért távolságának különbsége állandó érték. A rögzített pontokat a hiperbola fókuszainak nevezzük.

Ha a fókuszpontok az és pontok, a távolság különbség pedig (10.10. ábra), akkor az pont akkor és csak akkor pontja a hiperbolának, ha

(10.7)

Ezt az egyenletet úgy egyszerűsítjük, hogy a második négyzetgyökös kifejezést átvisszük a jobb oldalra, négyzetre emelünk, a fennmaradó gyökös kifejezést egy oldalra rendezzük és újra négyzetre emelünk. Így kapjuk az

(10.8)

egyenletet. Ez éppen olyan, mint az ellipszis egyenlete. Most azonban negatív, mivel , a háromszög két oldalának különbsége kisebb mint a harmadik oldal, azaz .

10.10. ábra. A hiperbolának két ága van. Az itt látható hiperbola jobb oldali ágának pontjaira . A

bal oldali hiperbolaág pontjaira . Ilyenkor .

A (10.8) egyenlethez vezető algebrai lépéseket visszafelé is elvégezhetjük azért, hogy lássuk: minden olyan P pont, amely eleget tesz ennek az egyenletnek esetén, az a (10.7) egyenletet is kielégíti.

Ha b-vel jelöljük pozitív négyzetgyökét:

(10.9) akkor és a (10.8) a még tömörebb

(27)

(10.10)

alakot ölti. A (10.10) egyenlet és a (10.4) ellipszis-egyenlet között egy mínusz jel a különbség, valamint az új

A (10.9) egyenletből

összefüggés.

Akárcsak az ellipszis, a hiperbola is szimmetrikus az origóra és a koordinátatengelyekre. Az x-tengelyt a pontokban metszi. Az e pontokhoz tartozó érintői függőlegesek, mivel a

Ezt (10.10)-ből közvetett deriválással kapjuk.

mennyiség végtelen, ha . A hiperbolának nincs metszéspontja az y-tengellyel: valóban, a görbének egyetlen darabja sincs az és egyenesek között.

10.11. ábra. A hiperbola tengelyegyenesének nevezetes pontjai.

Definíció: Tengelyegyenes, középpont, tengelypont

A fókuszpontokon átmenő egyenes a hiperbola tengelyegyenese, a fókuszokat összekötő szakasz felezőpontja a hiperbola középpontja vagy centruma, a tengelyegyenes és a hiperbola metszéspontjai a hiperbola csúcspontjai vagy tengelypontjai. (10.11. ábra)

1.4. A hiperbola aszimptotái és ábrázolása

Ha a (10.10) egyenletet y-ra megoldjuk, akkor azt kapjuk, hogy

vagy négyzetgyökvonás után:

Amint , a tényező 1-hez tart és a tényező válik dominánssá. Ezért a (10.10) egyenlettel definiált hiperbola aszimptotái az

(28)

egyenesek. Aszimptotái segítségével gyorsan ábrázolhatjuk a hiperbolát. Az aszimptoták egyenletét legegyszerűbben úgy határozhatjuk meg, hogy a (10.10) egyenletben 1 helyébe 0-t írunk, s aztán az egyenletet megoldjuk y-ra:

Origó középpontú hiperbolák normálalakja.

Ha a fókuszpontok az x-tengelyen vannak:

fókuszpontok:

tengelypontok:

aszimptoták: vagy

Ha a fókuszpontok az y-tengelyen vannak:

fókuszpontok:

tengelypontok:

aszimptoták: vagy

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az aszimptota egyenletek nem egyformák (az első esetben , a második esetben szerepel x együtthatójaként).

4. példa: A fókuszpontok az x-tengelyen vannak

10.12. ábra. A 4. példában szereplő hiperbola és annak aszimptotái.

Az

(29)

(10.11)

egyenlet valójában a (10.10) egyenlet az és értékekkel (10.12. ábra). Erre a hiperbolára:

a középpont–fókusz távolság:

a fókuszpontok:

a tengelypontok:

a középpont:

az aszimptoták: vagy ∎

5. példa: A fókuszpontok az y-tengelyen vannak

10.13. ábra. A 5. példában szereplő hiperbola és annak aszimptotái.

Az

hiperbolát úgy kaptuk, hogy a (10.11) egyenletben x-et és y-t felcseréltük. Így ennek a hiperbolának a tengelypontjai nem az x-, hanem az y-tengelyen vannak (10.13. ábra).

Továbbra is igaz, hogy és . Erre a hiperbolára:

a középpont–fókusz távolság:

a fókuszpontok:

a tengelypontok:

a középpont:

az aszimptoták: vagy ∎

1.5. Tükrözési tulajdonságok

A parabola legfontosabb alkalmazási területe a fényt és a rádióhullámokat visszaverő parabolatükör. A parabola fókuszpontjából kibocsátott fénysugarat a parabola a tengelyével párhuzamosan veri vissza (10.14. ábra és 90.

gyakorlat). Sőt a fókuszból induló fénysugár bármerre is indul, a parabolatükörről visszatükröződve ugyanannyi idő alatt jut el a parabola direktrixével párhuzamos (tehát a tengelyére merőleges) egyeneshez. Ez a tulajdonsága teszi alkalmassá jelzőfények, reflektorok és antennák előállítására.

(30)

10.14. ábra. A parabolatükör a fókuszából induló fénysugarakból párhuzamos nyalábot állít elő. Ha a parabolatükörre a tengelyével párhuzamos fénysugarakat küldünk, a tükör a fénysugarakat a fókuszpontjába gyűjti.

Ha egy ellipszist megforgatunk a főtengelye körül, akkor egy ellipszoidnak nevezett felületet kapunk. Az ellipszoid belső felületét befoncsorozva tükröző felület jön létre, amely az egyik fókuszpontból kiinduló fénysugarakat a másik fókuszpontban gyűjti össze (10.15. ábra). A hanghullámokkal ugyanez történik, ezért lehet megépíteni az úgynevezett suttogószobákat, melyek fókuszpontjaiban álló személyek suttogva beszélgethetnek egymással (ilyen suttógószoba például a Kapitóliumban a Statuary Hall). A hiperbola egyik fókuszpontjába irányított fénysugarat a hiperbolikus tükör a másik fókuszpont irányában veri vissza. A hiperbola, a parabola és az ellipszis tükrözési tulajdonságait kombinálják néhány modern teleszkópban. A 10.16.

ábra egy ilyen teleszkópot mutat. A távoli csillag fényét először az elsődleges parabolikus tükör veri vissza annak fókusza irányába. Azután egy kis hiperbolikus tükrön verődik vissza, amely úgy van elhelyezve, hogy egyik fókusza megegyezzék a parabolikus tükör fókuszával, . A fénysugár a hiperbolikus tükörről visszaverődve annak másik fókusza felé tart. Ez a fókusz egyben egy elliptikus tükör egyik fókusza is, azaz

. Az elliptikus tükör a fényt másik saját fókuszpontjába továbbítja, ahol azt a megfigyelő érzékeli.

10.15. ábra. Az elliptikus tükör (itt oldalról látható) az egyik fókuszból induló fénysugarat a másik fókuszba tükrözi.

(31)

10.16. ábra. Tükrös távcső vázlatos rajza.

1.6. 10.1. Feladatok

1.6.1. Grafikonok azonosítása

A 1–4. feladatok grafikonjait társítsuk az alábbi egyenletekkel:

1.

2.

3.

4.

(32)

A 5–8. feladatokban szereplő grafikonokhoz rendeljünk hozzá egyet-egyet az alábbi egyenletek közül:

Keressük meg a fókuszpontokat és tengelypontokat is, illetve a hiperbolák aszimptotáit!

5.

6.

7.

8.

1.6.2. Parabolák

A 9–16. feladatokban megadtuk egy-egy parabola egyenletét. Határozzuk meg fókuszpontjukat és direktrixüket!

Ábrázoljuk a görbéket! Az ábrán a direktrix és a fókusz is legyen rajta!

9.

(33)

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

1.6.3. Ellipszisek

A 17–24. feladatokban megadtuk egy-egy ellipszis egyenletét. Hozzuk normálalakra az egyenleteket!

Ábrázoljuk az ellipsziseket, valamint fókuszpontjaikat!

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

A 25. és 26. feladatban megadtuk az ellipszis fókuszainak és tengelypontjainak koordinátáit. Az ellipszisek az -síkban fekszenek, középpontjuk az origó. Ezeknek az információknak a segítségével határozzuk meg az ellipszisek normálegyenletét!

25. Fókuszok:

Tengelypontok:

26. Fókuszok:

Tengelypontok:

1.6.4. Hiperbolák

A 27–34. feladatokban hiperbolák egyenletét adtuk meg. Hozzuk normálalakra ezeket az egyenleteket és határozzuk meg a hiperbola aszimptotáit! Ezután ábrázoljuk a hiperbolákat, aszimptotáikat és fókuszaikat.

27.

28.

29.

30.

(34)

31.

32.

33.

34.

A 35–38. feladatokban megadtuk a hiperbola fókuszait és aszimptotáit. A hiperbolák az -síkban fekszenek, középpontjuk az origó. Ezeknek az információknak a segítségével határozzuk meg a hiperbolák normálegyenletét!

35. Fókuszok:

Aszimptoták:

36. Fókuszok:

Aszimptoták:

37. Fókuszok:

Aszimptoták:

38. Fókuszok:

Aszimptoták:

1.6.5. Kúpszeletek eltolása

39. Az parabolát két egységgel lefelé és egy egységgel jobbra tolva létrehozzuk az parabolát.

1. Határozzuk meg az új parabola csúcspontját, fókuszát és vezéregyenesét!

2. Jelöljük ki az új csúcspontot, fókuszpontot és vezéregyenest, majd ábrázoljuk a görbét!

40. Az parabolát 1 egységgel balra és 3 egységgel felfelé toljuk. Így az parabola jön létre.

1. Határozzuk meg az új parabola csúcspontját, fókuszát és vezéregyenesét!

2. Jelöljük ki az új csúcspontot, fókuszpontot és vezéregyenest, majd ábrázoljuk a görbét!

41. Az ellipszist 4 egységgel jobbra és 3 egységgel felfelé toljuk. Az így keletkező ellipszis egyenlete:

1. Határozzuk meg az új ellipszis fókuszait, tengelypontjait és centrumát!

2. Jelöljük ki a fókuszpontok, a tengelypontok és a centrum helyét, majd ábrázoljuk az ellipszist!

42. Az ellipszist 3 egységgel balra és 2 egységgel lefelé toljuk. Az így keletkező ellipszis egyenlete:

1. Határozzuk meg az új ellipszis fókuszait, tengelypontjait és centrumát!

(35)

2. Jelöljük ki a fókuszpontok, a tengelypontok és a centrum helyét, majd ábrázoljuk az ellipszist!

43. Az hiperbolát 2 egységgel jobbra toljuk. Az így keletkező hiperbola egyenlete:

1. Határozzuk meg az új hiperbola centrumát, fókuszait, tengelypontjait és aszimptotáit!

2. Jelöljük ki a centrumot, a fókuszpontokat, a tengelypontokat és az aszimptotákat, majd ábrázoljuk a hiperbolát!

44. Az hiperbolát 2 egységgel lefelé tolva az

hiperbolát kapjuk.

1. Határozzuk meg az új hiperbola centrumát, fókuszait, tengelypontjait és aszimptotáit!

2. Jelöljük ki a centrumot, a fókuszpontokat, a tengelypontokat és az aszimptotákat, majd ábrázoljuk a hiperbolát!

A 45–48. feladatokban megadjuk egy parabola egyenletét és azt, hogy hány egységgel kell eltolni vízszintes és függőleges irányban. Adjuk meg az új parabola egyenletét, keressük meg csúcspontját, fókuszát és vezéregyenesét!

3. , balra 2, le 3 4. , jobbra 4, fel 3 5. , jobbra 1, le 7 6. , balra 3, le 2

A 49–52. feladatokban megadunk egy-egy ellipszisegyenletet és megmondjuk, hány egységgel kell eltolni az ellipszist vízszintes és függőleges irányban. Határozzuk meg az új ellipszis egyenletét, fókuszpontjait, tengelypontjait és középpontját!

7. , balra 2, le 1

8. , jobbra 3, fel 4

10. , balra 4, le 5

A 53–56. feladatokban megadunk egy-egy hiperbolaegyenletet és megmondjuk, hány egységgel kell eltolni a hiperbolát vízszintes és függőleges irányban. Határozzuk meg az új hiperbola egyenletét, középpontját, fókuszpontjait, tengelypontjait és aszimptotáit!

12. , balra 2, le 1

13. , balra 1, le 1

(36)

A 57–68. feladatokban határozzuk meg a kúpszeletek centrumát, fókuszpontjait, tengelypontjait, aszimptotáit, sugarát, melyiknek mije van!

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

1.6.6. Egyenlőtlenségek

Rajzoljuk fel azokat az -síkbeli tartományokat, amelyeknek a koordinátái eleget tesznek a 69–74.

feladatokban megadott egyenlőtlenségnek vagy egyenlőtlenségpárnak.

27.

28. és

29. és

30.

31.

32.

1.6.7. Elmélet példákkal

33. Archimédesz térfogatképlete parabolikus testre. Forgassuk meg az parabola és az egyenes által határolt tartományt az y-tengely körül. Az így előállt forgástestet mutatja az alábbi ábra.

Mutassuk meg, hogy a forgástest térfogata a megfelelő kúp térfogatának a 3/2-szerese!

(37)

34. A függőhíd tartókötele parabolaalakot vesz fel. Tegyük fel, hogy az alább látható függőhíd kábeljét egyenletesen w N terheli vízszintes méterenként. Meg lehet mutatni, hogy ha H a tartókötélre a 0 pontban ható feszítőerő, akkor a kötél által felvett görbe eleget tesz a

egyenletnek. Ezt a differenciálegyenletet megoldva mutassuk meg, hogy a kötél alakja parabolaív. A kezdeti feltétel: , ha .

35. Határozzuk meg az , és pontokon átmenő kör egyenletét!

36. Határozzuk meg a , és pontokon átmenő kör egyenletét!

37. Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a pont és átmegy az ponton. Az a körön belül, kívül vagy rajta van?

38. Adjuk meg az kör érintőit a kör és a koordinátatengelyek metszéspontjaiban!

39. Ha az , parabola valamely P pontján keresztül párhuzamosokat húzunk a koordinátatengelyekkel, akkor a két egyenes és a koordinátatengelyek által határolt téglalaptartományt a parabola két tartományra, A-ra és B-re osztja fel.

1. Forgassuk meg ezeket a tartományokat az y-tengely körül és mutassuk meg, hogy a generált forgástestek térfogatának aránya .

2. Mi lesz a forgástestek térfogatának aránya, ha az x-tengely körül forgatunk?

40. Mutassuk meg, hogy az egyenes bármely pontjából az görbéhez húzott érintők merőlegesek lesznek egymásra!

41. Mekkorák az oldalai annak a maximális területű téglalapnak, amelyet az ellipszisbe írhatunk, és amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel? Mekkora lesz ennek a téglalapnak a területe?