Az sorozat végtelenhez divergál, ha tetszőleges M számhoz létezik olyan N pozitív egész szám, hogy minden N-nél nagyobb n-re . Jelölés:
Hasonlóan: az sorozat a mínusz végtelenhez divergál, ha tetszőleges m számhoz létezik olyan N pozitív egész szám, hogy minden N-nél nagyobb n esetén . Jelölés:
Egy sorozat divergens lehet úgy is, hogy sem végtelenhez, sem a mínusz végtelenhez nem divergál. Ilyen sorozattal már találkoztunk a 2. példában, de ilyen az vagy az
sorozat is.
1.2. Sorozat határértékének kiszámítása
Nem lenne könnyű dolgunk, ha minden alkalommal a sorozat határtékére vonatkozó ,,hivatalos”, ϵ–N-es definíciót kellene alkalmaznunk. Szerencsére erre nincs is szükség: néhány alapvető példából kiindulva számos további sorozat határértékét kiszámíthatjuk. Ehhez értelmeznünk kell, miként kaphatunk – például algebrai műveletek vagy kompozíció eredményeként – új sorozatokat régiekből, és mikor mondunk egy sorozatot valamely másiknál kisebbnek. Figyelembe véve, hogy a sorozatokat speciális – pozitív egész számokon értelmezett – függvényekként értelmeztük, a legkevésbé sem meglepő, hogy a függvények határértékére vonatkozó, a 2. fejezetben bebizonyított tételek megfelelői a sorozatokra is érvényesek.
1. Tétel
Legyenek és sorozatok, A és B pedig valós számok; tegyük fel továbbá, hogy és . Ekkor teljesülnek a következők:
1. Összegszabály: ;
2. Különbségszabály: ;
3. Szorzatszabály: ;
4. Konstanssal való szorzás: ;
5. Hányadosszabály: , ha , .
A bizonyítást, amely hasonló a 2. alfejezetbeli LABEL:th:2.1. Tétel bizonyításához, ehelyütt elhagyjuk.
3. példa
A 1. Tétel állításai és a 1. példában szereplő határértékek alapján kapjuk a következőket:
1. (konstanssal való szorzás, 1. példa (a) része);
2.
(különbségszabály; 1. példa (a) része);
3. (szorzatszabály);
4. (szorzat- és hányadosszabály).∎
A 1. Tétel állításai nyilvánvalóan nem megfordíthatóak. A tétel nem állítja, hogy az és sorozatoknak mindig van határértéke, amennyiben – például – az sorozatnak van. Az és a
sorozatok például divergensek, összegsorozat viszont
nyilvánvalóan 0-hoz tart.
A 1. Tételből következik, hogy bármely divergens sorozatot egy nemnulla konstanssal megszorozva újra csak divergens sorozatot kapunk. Ha ugyanis a sorozat valamely szám esetén konvergens, akkor a 1.
Tételbeli konstansszabály alapján a állandóval kapott
sorozat konvergál. A sorozat tehát csak úgy lehet konvergens, ha is az. Ha tehát nem konvergens, akkor sem az.
A következő tétel a 2. alfejezetbeli szendvicstétel sorozatos megfelelője (a bizonyítását a 95. feladatban tűzzük majd ki).
2. Tétel: Szendvicstétel sorozatokra
Legyenek , és olyan sorozatok, amelyeknek minden tagja valós szám. Ha valamely N indextől kezdve minden n-re teljesül, továbbá fennáll
, akkor is igaz.
A 2. Tétel közvetlen következménye: ha és , akkor is fennáll, elvégre . A következő példában ezt ki is használjuk.
4. példa: A szendvicstétel alkalmazása
Mivel , fennállnak a következők:
1. , mivel ;
2. , mivel ;
3. , mivel .∎
A 1. és a 2. Tétel általánosítása is igaz: ha egy konvergens sorozat tagjaira egy folytonos függvényt alkalmazunk, akkor az így kapott sorozat is konvergens. A tételt újfent bizonyítás nélkül mondjuk ki (de lásd a 96. feladatot).
3. Tétel: A sorozatokra vonatkozó folytonosfüggvény-tétel
Legyen valós számokból álló sorozat. Ha , f pedig az L helyen folytonos függvény, amely valamennyi -re értelmezve van, akkor .
5. példa: A 3. Tétel alkalmazása
Igazoljuk, hogy !
Megoldás
Tudjuk, hogy . Az és választással a 3. Tétel szerint
. ∎
6. példa: A sorozat
Az sorozat 0-hoz tart. Az , és választással a 3. Tétel alapján azt
kapjuk, hogy . A sorozat határértéke tehát 1 (11.3.
ábra).∎
11.3. ábra. Amint , és (6. példa).
1.3. A L’Hospital-szabály alkalmazása
A következő tétel – amely a és a közötti kapcsolatot formalizálja – azt mutatja meg, miként alkalmazható a L’Hospital-szabály bizonyos sorozatok határértékének kiszámítására.
4. Tétel
Tegyük fel, hogy az függvény minden esetén értelmezve van, továbbá, hogy olyan sorozat, amelyre teljesül, hogy minden esetén . Ekkor
Bizonyítás
Tegyük fel, hogy . Ekkor tetszőleges pozitív ϵ számhoz létezik olyan M szám, amelyre teljesül, hogy minden x-re
Ha most N tetszőleges M-nél nagyobb és -nál nem kisebb egész szám, akkor
∎
7. példa: A L’Hospital-szabály alkalmazása
Igazoljuk, hogy
Megoldás
Az függvény minden számra értelmezve van, és a függvényérték minden pozitív egész szám esetén egyenlő a sorozat megfelelő tagjával. A 4. Tétel szerint így megegyezik a határértékkel, amennyiben az utóbbi létezik. A L’Hospital-szabály szerint
így tehát . ∎
Amikor a L’Hospital-szabályt alkalmazzuk egy sorozat határértékének kiszámítására, n-t gyakran egy differenciálható függvény független változójának tekintjük, és – ahelyett, hogy a 7. példa mintájára átírnánk a képletet – közvetlenül n szerint deriválunk.
8. példa: A L’Hospital-szabály alkalmazása
Határozzuk meg a határértéket!
Megoldás
A L’Hospital-szabályt alkalmazzuk, ezúttal n szerint deriválunk:
∎
9. példa: A L’Hospital-szabály alkalmazása sorozat konvergenciájának megállapítására
Konvergens-e az a sorozat, amelynek n-edik tagja Ha igen, mennyi ?
Megoldás
A határérték alakú határozatlan kifejezés. Első lépésben az tagok természetes alapú logaritmusát véve alakra hozzuk:
aminek alapján
L’Hospital-szabály
Mivel , pedig folytonos, a 4. Tétel alapján azt kapjuk, hogy
Az sorozat határértéke tehát . ∎
1.4. Gyakran előforduló határértékek
A következő tételben néhány gyakran előforduló határértéket rögzítünk.
5. Tétel: Nevezetes határértékek
1. ;
2. ;
3. ( );
4. ( );
5. (tetszőleges x-re);
6. (tetszőleges x-re).
A 3–6. képletekben az x állandó marad, amint .
Bizonyítás
Az első határértéket a 7. példából már ismerjük, a következő kettő a 4. Tétel alapján igazolható (93. és 94. feladat), a többit a F.6. függelékben bizonyítjuk be. ∎
Faktoriális
(kiolvasása ,,n faktoriális”) az szorzatot jelöli, így például és .Definíció szerint . A faktoriális az exponenciális függvénynél is gyorsabban növekszik, amint azt a következő táblázat is mutatja:
n (kerekítve)
0 3 1
5 148 120
10 22 026 3 628 800
20
10. példa: A 5. Tétel alkalmazása
a. (1. képlet)
b. (2. képlet)
c. (3. képlet), x helyében 3-mal,
és (2. képlet)
d. (4. képlet), x helyében -del
e. (5. képlet), x helyében -vel
f. (6. képlet), x helyében
100-zal.∎
1.5. Rekurzív definíciók
A sorozatokat az előzőekben úgy adtuk meg, hogy explicite megmondtuk, miként kell az n ismeretében az n-edik tagot meghatározni. Gyakran előfordul azonban, hogy egy sorozatot rekurzív módon adunk meg, azaz 1. megadjuk a sorozat első (néhány) tagját, és
2. egy szabályt, amelynek alapján a későbbi tagokat az őket megelőző tag(ok) ismeretében kiszámíthatjuk. Az ilyen képletet rekurzív képletnek nevezzük.
11. példa: Rekurzív módon megadott sorozatok
a. Az , feltételek az sorozatot adják meg. Valóban: ha rekurzív definíció olyan sorozatot ad meg, amely a egyenlet egyik megoldásához konvergál.∎
1.6. Korlátos monoton sorozatok
Egy sorozat tagjai alkalmanként ide-oda ugrálnak, máskor egyre nagyobbak, vagy egyre kisebbek lesznek.
Fontos speciális esetet jelentenek azok a sorozatok, amelyeknek minden tagja legalább akkora, mint az őt közvetlenül megelőző.