Fraktális analízissel kapott eredmények általános értelmezése

Az analízis folyamata szempontjából az jelenthető ki, hogy az indirekt megközelítést alkalmazó multifraktális formalizmus különböző szintjei egyaránt árulkodnak a folyamat dinamikájáról, korreláltságáról, illetve a skálafüggetlen tulajdonság heterogenitásáról (azaz a multifraktalitásáról). Az alacsony frekvenciájú dinamikához jellemzően nagy amplitúdójú mérték tartozik, ennek megfelelően a nagy ablakmérethez tartozó fluktuáció (DFA esetében), vagy variancia (SSC esetében) nagy lesz. A pozitív rendű momentumok számolása során a nagy mértékű jelablakok kerülnek túlsúlyba, azaz a lassú dinamikát a q>0 emeli ki (multifraktális spektrum bal szára). A negatív rendű momentumok ezzel szemben a gyors (kis jelablakokhoz tartozó), kis amplitúdójú dinamikát emelik ki amelyet tehát a multifraktális spektrum jobb szára reprezentál (lásd (10) 3. ábrája).

Az autokorreláció egy jelben való jelenléte azt mutatja, hogy a folyamat nem egymással korrelálatlan (normális eloszlás esetén: nem egymástól független) véletlenszerű eseményekből épül fel. Ebből következik az, hogy a folyamatot reprezentáló valószínűségi változó eloszlása (P) nem exponenciálisan cseng le, hanem annál lassabban: lim

𝑋→∞𝑒^𝜆𝑥∙ 𝑃[𝑋 > 𝑥] = ∞, ahol λ>0. P-nek ezt a tulajdonságát

„faroknehéz” (heavy-tailed) eloszlásnak nevezzük, mely jellemző az LRC folyamatokra.

A természetben előforduló folyamatokat nagyon sok kismértékű véletlen hatás alakítja. A valószínűségszámítás fogalmaival kifejezve az eredő – sztochasztikus – folyamat állapotát reprezentáló valószínűségi változó értéke a kismértékű hatásokhoz rendelt valószínűségi változók összegeként¹⁷ vagy szorzataként adható meg. Amennyiben tetszőleges, de azonos eloszlást mutató és ideális esetben független valószínűségekről van szó (I. I. D. = independent and identically distributed), akkor az összegük Gauss-eloszlást fog követni a centrális határeloszlás tétele szerint. Ha feltételezzük, hogy egy állapot kialakulásának valószínűsége a kis hatások valószínűségeinek szorzataként adható meg – feltéve, hogy ezek függetlenek egymástól – akkor könnyen belátható hogy a kis hatások mértékének logaritmusainak összege normál eloszlású (hiszen alkalmazható rá a centrális határeloszlás-tétele), vagyis az eredeti állapot valószínűségi eloszlása log-normális. A véletlen változók produktumainak Lamperti-féle határeloszlástétele pedig azt mondja ki, hogy ha egy folyamat véletlen változók normalizált parciális szorzatának a határértéke, akkor az szükségképpen önhasonló (57). A különböző mértékű önhasonlóságot mutató folyamatok tehát természetes módon előállnak, ha a sok kis azonos eloszlású hatás között különböző mértékű függőségben megnyilvánuló kapcsolat van¹⁸.

A skálafüggetlenség a komplex rendszerek általános jellemvonása, melynek önszervező módon történő kialakulásának egyszerű matematikai magyarázatát adja preferált kapcsolódás modellje (42). Ez egy olyan dinamikusan változó gráf, melyben a

17 Összeg jelentése: egalább egyikük „bekövetkezik”, szorzat: együttes bekövetkezés esete (egyszerű esetben, indikátor eloszlású valószínűdégi változókra vonatkoztatva)

18 Az egyes állapotok normális eloszlása esetén a függőség helyett a korreláltság fogalma is használható.

hálózat nagy fokszámú csúcsai (csomópontjai) nagyobb valószínűséggel létesítenek új éleket (kapcsolatokat). A Barabási–Albert-modell evolúciója során hatványfüggvényt követő fokszámeloszlás alakul ki, amely a skálafüggetlenséget tükrözi. Az így kapott hálózat dinamikai vizsgálatával (bejövő stimulációk, pl. homokszemekkel képviselt perturbációk sorozata) kimutatható a fraktális autokorreláltság, mely a frekvenciatartományban az 1/f^βmodellnek felel meg. Ez kifejezi, hogy a folyamat gyakori eseményeihez egy nagyságrenddel kisebb teljesítmény tartozik, mint az egy nagyságrenddel kisebb frekvenciájú eseményekhez. Bár ez egy lineáris dinamikai aspektus, melynek önmagában számos oka lehet (34); mégis a komplexitás egyik fémjelzőjének tekinthetjük, amit számos természeti jelenség példája igazol (1, 222-224).

Míg a multifraktális spektrum csupán a szingularitások eloszlását ragadja meg, addig a direkt módszerek számára hozzáférhető Hölder-trajektória megmutatja annak lokális változásait is, azaz magát a multifraktalitást is. A momentumok segítségével a folyamat diszkrét állapotai homogén fraktális tulajdonságú (azonos szingularitású) csoportokba rendeződnek, melyek az idő mentén egymással elkeveredve jelennek meg. A skálafüggetlenség időben változó mértékének, és a fraktalitás ezen heterogén megnyilvánulásának hátterében valószínűsíthető a rendszerben zajló fázisátalakulás. Az általunk használt multifraktalitás erősségét kifejező paraméterek az eloszlás szélességén, illetve a skálázási függvény (s→0) divergenciájának mértékén keresztül közvetett információt adnak ezen nem-lineáris dinamikáról. Vizsgálatunkban a multifraktalitás által feltárt fázisátalakulás a neuronális bemenet által létrehozott hemodinamikai választ összekötő nem-lineáris átviteli karakterisztikának megnyilvánulása lehet.

A fázisátalakulást mutató rendszerekre jellemző az ún. önszerveződő kritikalitás (SOC), mely számos természeti folyamat mellett (216, 225) az agyi működés lokális (neuronális) és globális (hálózati) dinamikájában is megnyilvánul (151, 226-229). A kritikalitás jegyeit mutató rendszerben kis mértékű lokális behatások is kiterjedt (akár globális) választ váltanak ki, míg az önszerveződő jelleg azt jelenti, hogy ez külső

kontrollparaméter¹⁹ nélkül következik be. A SOC általunk is alkalmazott „homok-dűne”

modelljét Bak és mtsai írták le (216), melyben megmutatták, hogy a vizsgált folyamat dinamikájának teljesítménysűrűsége 1/f^β szerint függ a frekvenciától. A komplex rendszerek lineáris dinamikájának ezen általános tulajdonságának fizikai kialakulása az önszerveződő kritikalitás következménye. Ez magyarázatot ad széles körű előfordulásukra, hiszen a SOC spontán kialakulása számára kedvező feltételek valósulnak meg nem-egyensúlyi, termodinamikailag nyitott rendszerekben. Ilyen például – a

„homokdűne-modellhez” hasonlóan folyamatos energiaátáramlással jellemezhető – az élő szervezet (230), melyben tehát a kritikalitás önszervező módon jelenik meg. A SOC ugyanakkor önfenntartó is: a makroszkopikus egyensúlyi állapot makroszkopikus (eloszlásában véve igen, de lokálisan nem) stabilitását a fluktuáció–disszipáció-tétele biztosítja (231). A statisztikus fizikának ez a jelentős tétele azt fejezi ki, hogy zavaró (perturbáló) hatások következtében fellépő állapotváltozásokat (fluktuációt) a rendszert szimbolizáló funkcionális hálózat tompítja (közömbösíti, disszipálja). A fluktuáció a hálózat kapcsolatai mentén terjedve annak csúcsain oszlik el, melynek lefolyása kaszkádszerű lavinához hasonlatos. A folyamat lényeges tulajdonsága, hogy egyensúlyhoz közeli állapotban ez éppen minimális entrópia produkcióval jár (230). A SOC-ot mutató rendszerek környezeti behatások iránti érzékenységének (és magának a kritikalitásnak) indikátora, hogy a kialakuló lavinák mérete és élettartama a skálafüggetlenséget kifejező inverz hatványfüggvényt követi, míg a lavinák között eltelt idő exponenciális eloszlású (209, 232).