A fókusz-alapú multifraktális formalizmus értékelése

A standard multifraktális formalizmus feltételezi a Legendre-transzformáció alkalmazási kritériumának teljesülését, amely garantálja a D(h) által kifejezett függvénykapcsolat

„épségét”. Az ismertetett, „monofraktális szemléletű” (momentumonként külön és szabadon végzett) regressziós analízissel kapott eredmények rávilágítanak, hogy ez még ideális multifraktálok esetében sem mindig valósul meg; annak ellenére, hogy itt ab ovo nem kellett számolni zaj, illetve trend hatásával. A probléma szempontjából kulcsfontosságúnak bizonyult az a kérdés, hogy érvényesül-e a S(q, s) multifraktális

modellt tükröző homogenitása: azaz a skálázási függvény-profilok konvergenciája és a regressziós elemzéssel kapott meredekségek monotonitása. A bemutatott numerikus eredmények alapján kijelenthető, hogy a fókusz-alapú regressziós modell általában biztosítja a D(h) számításához szükséges köztifüggvény konkavitását. Az alább ismertetett levezetésnek megfelelően analitikusan is belátható, hogy a fókusz-alapú regresszió miért garantálja a H(q) monotonitását.

5.3.1 A standard multifraktális formalizmus kritikus viselkedése

Álláspontom szerint a homogenitás sérüléséhez jelentősen hozzájárul a véges méret hatás.

Az inhomogenitás eme eredete mellett szól az a tény, hogy a standard multifraktális formalizmus számos GB-MFM típusú jel esetében vezetett invertált D(h)-hoz, mégpedig a vizsgált jel hosszával fordított arányban (ami nem feltétlenül lineáris) álló gyakorisággal (2. táblázat). Másfelől nem tulajdoníthatjuk az eredmények kvalitatív jellegét kizárólag a szintézis sztochasztikus természetének, vagy az FFM-alapú hangolás után megjelenő trend hatásának . Ez utóbbi egyébként sem számottevő a ∆H15 által bejárt 0,2-1 intervallumban ([17] alapján, lásd 3.1.2 alfejezet), mivel az ennek megfelelő modell–paraméter értékek (0,56<p1<0,69) esetében a lineáris trendeltávolítás hatékonyan kompenzálja az FFM által előidézett sodródást (p1>0,7 esetén jelentős a magasabb rendű trend hatása). Tényszerűen bizonyított, hogy determinisztikus binomiális kaszkádjelek is vezethetnek a D(h) megtöréséhez.

Ismeretes, hogy egy jel diszkrét természete és véges hossza (tehát maga a véges méret hatás) statisztikai bizonytalanságnak a forrása. A multifraktális szerveződés rövidebb idősorok esetében kevésbé reprezentált, annak analitikai rekonstruálása ennél fogva pontatlanabb. Ezért minden egyes q érték esetén a standard regressziós modell illesztésével kapott Ĥ(q) értékek a valódi érték körül fognak ingadozni (nagyobb |q| esetén nagyobb bizonytalansággal (10, 75, 182)). A statisztikai momentumok egyes rendjeit egymás közelében megválasztva előállhat az a helyzet, hogy q2>q1 ellenére H(q2)>H(q1), ami a monoton csökkenés kritériumának megsértését jelenti (lásd alább) és rövidebb jelek esetében ennek valószínűsége nagyobb, ami a generalizált Hurst-exponens függvény torzított becsléséhez vezet. Bár az analízis hosszabb jelek esetén általánosságban pontosabb (10), ez a végkimenetel ugyanakkor igen hosszú jel esetén is előállhat.

Felmerülhet megoldásként, hogy a skálázási függvény meghatározása nagyobb skálasűrűséggel (nem-diadikus értékek mentén) és átfedő analizáló jelablakok alkalmazásával történjen. Elvi értelemben azonban ez nem kezeli a jel diszkrét véges reprezentáltságából eredő problémát. Továbbá a tapasztalat is azt mutatja, hogy az inhomogenitás kialakulása sem előzhető meg teljes biztossággal ezekkel a változtatásokkal. Végső soron tehát a véges méret hatás felelős az egyébként értelmezhető függvénykapcsolatot kifejező multifraktális spektrum meghatározásának sikertelenségéért.

5.3.2 A fókuszt tartalmazó regressziós modell érvényessége

A fókusz létezését a skálázási függvényt definiáló egyenlet q-függetlensége biztosítja s=L esetén. Megjegyzendő, hogy a módszercsalád nem korlátozódik időtartományra, a wavelet-tartományban is alkalmazható (10). A fókuszponton áthaladó, legjobban illeszkedő regressziós egyenesek meredekségei az S(q,s) momentum-függő rendjét kell hogy kövessék, amelyek jól kivehetőek a 3. ábrán is. Leszögezendő, hogy S(q,s) a választott mérték q-adrendű momentumhoz tartozó hatványközép-értékkel ekvivalens.

Ennél fogva a fókusz-alapú regressziós modellel meghatározott Ĥ(q) monotonitása következik a hatványközép-értékekre vonatkozó, ismert algebrai egyenlőtlenségből:

𝑞₂ > 𝑞₁ ⇒ 𝑆(𝑞₂, s) > 𝑆(𝑞₁, s). [41]

Ezt követően a matematikai analízis eszköztárával vizsgáltam, hogy biztosítja-e a Ĥ(q) monotonitás a τ(q) köztifüggvény konkavitását, mely tehát a Legendre-transzformációnak előfeltétele. Mivel a konkavitás azt jelenti, hogy d²τ(q)/dq² negatív, vegyük szemügyre a [13] egyenlet második analitikus deriváltját:

𝑑²(𝑞 ∙ 𝐻̂(𝑞) − 1)

𝑑𝑞² = 2𝑑𝐻̂(𝑞)

𝑑𝑞 + 𝑞 ∙𝑑²𝐻̂(𝑞)

𝑑𝑞² < 0. [42]

A monoton csökkenő Ĥ (q) miatt az egyenlőtlenség bal oldalának első tagja negatív.

A tapasztalat szerint a Ĥ (q) tipikus viselkedése miatt egyben ez dominálja az összeget is.

Elméletileg a momentum rendjének és a Ĥ(q) második deriváltjának szorzata ennél lehetne nagyobb. Ez mégis valószínűtlen és élettani folyamatok esetén nem tapasztaltuk:

vagy a kis |q| (bár Ĥ (q) inflexiója a 0 környezetében kifejezett), vagy pedig a nagy |q|

érték mellett az empirikus jelek esetében korlátos Ĥ(q) kvázi-lineárissá válása

(„ellapulása”) miatt a tag egy nagyságrenddel elmarad a negatív domináns tagtól. Bár igen ritkán, előfordulhat, hogy az [42] egyenlőség bal oldala pozitív, azonban az ehhez szükséges H(q) élettani adatokból aligha adódhat (létre tudtam hozni ilyen jelet in silico).

Ennek alapján kijelenthető, hogy a standard formalizmus alkalmazása nem jelent garanciát a nem-monoton csökkenő Ĥ(q) mint köztifüggvény realizálásához, aminek a fenti egyenlőség értelmében – vagyis a [42] bal oldalán az első tag pozitív – következménye a τ(q) nem-konkáv jellege és a D(h) inverziója (ugyanazokat a kivételes eseteket leszámítva). Megfordítva: a Ĥ(q) monotonitásának biztosításához és a „törött”

D(h) elkerüléséhez általában elegendő a fókusz-alapú regressziós modell alkalmazása.

Végső soron ennek eredményeképpen számolhatjuk ki – a Legendre-transzformáció feltételét nem sértve – az ismert multifraktális végpont-paramétereket. Megemlítést érdemel, hogy egy wavelet–tartományba transzformálást is magában foglaló alternatív megoldás már született a multifraktális analízis robusztusabbá tételére, amely a vizsgált jel hosszához tartozó skálát használta fel a stabil Hölder-exponens becsléséhez (66).

5.3.3 A robusztusság és validitás jelentősége az empirikus multifraktális elemzés során

Az FMF-módszerek regressziós modellje a fókuszpont felhasználása miatt merevebb, a nagyobb számú illesztett paraméter a várakozásoknak megfelelően következetesen nagyobb becslési hibát eredményezett, mint a standard formalizmusnak megfelelő regressziós analízis. Az illeszkedési hibát kifejező SSE egyrészt fontos szerepet játszik a paraméterbecsléshez alkalmazott numerikus módszerekben, másrészt a multifraktális modell inhomogenitásáról is tájékoztat. Ezt bizonyítja, hogy az FMF-SSE i) a D(h) inverzió igen erős prediktorának bizonyult (lásd eredmények), ii) kifejezi a DHM-algoritmussal generált multifraktális zaj heterogenitását is (lásd 4.B ábra: FSSE=54,38 és SSE: 30,09; 4.A ábra ideális multifraktál: FSSE=47,06 és MF-SSE=46,94).

Le kell szögezni azonban, hogy az FMF-SSE közvetlenül csupán a statisztikai bizonytalanságot tükrözi, és nehezen használható annak eldöntésére, hogy a multifraktális modell egy vizsgált jelenség esetében elvetendő-e. Értékét ugyanis számos körülmény befolyásolja, ezért célszerű az illeszkedési hiba normalizált változatával dolgozni, mint pl. a skálák számát figyelembe vevő MSE(q) függvény. Független statisztikai mérőszám

a momentumok számával normalizált MSE érték, amelynél csak a modell-illeszkedés r² értéke alkalmasabb széles körű összehasonlításokra (bár jelen munkának nem volt kifejezett célkitűzése a különböző q és s értékek analízisre gyakorolt hatását vizsgálni).

A négyzetes hibaösszeg további problémája, hogy ugyanazon empirikus jelet vizsgálva az FMF-SSE jelentősen nagyobb lehet, mint az MF-SSE, megegyező q és s értékek mellett is számolva. Ez nemcsak a véges méret hatásból eredő statisztikai bizonytalanságnak tulajdonítható, hanem utal a homogén multifraktális modell kevésbé pontos illeszkedésére is. Következésképpen hiába lehet a „monofraktális” szemléletű multifraktális regressziós analízist nagyon kis illeszkedési hibával elvégezni, az csak az egyedi Ĥ(q) értékek bizonytalanságát minimalizálja, de nem jelent garanciát a D(h)

„töretlenségére” vonatkozóan. Megjegyzendő, hogy Wendt és munkatársai egy ún.

„bootstrapping” technika bevezetésével valósítottak meg egy wavelet alapú multifraktális analízist (182). Ennek relevanciája abban áll, hogy momentumonként megadható a becslés konfidencia intervalluma, mely tájékoztat a D(h)-ra vonatkozó becslés hibájáról is (ami – mint az várható – numerikus okok miatt nagy |q| esetén nagyobb(75)).

A vizsgált élettani idősorokat általában ismeretlen mechanizmusok által alakított folyamatokból mintavételezett adatpontok alkotják, melyekben a multifraktalitás soha nem tisztán jelenik meg. Ez az elemzés során mint inhomogenitás jelentkezik, ami a fókusz-alapú multifraktális analízissel minden esetben kezelhető; szemben a homogenitást csak feltételező standard multifraktális formalizmust alkalmazó indirekt módszerekkel (ezt szemléltetik a 15. ábrán feltüntetett esetek, lásd Ĥ(q) púp). A fókusz-alapú regressziós analízis a multifraktális elemző módszereket nagyfokú robusztussággal ruházza fel, melyek így az empirikus jelek vizsgálata során gyakorlatilag sosem eredményeznek invertált szingularitási spektrumot. Éppen ez teszi szükségessé, hogy bizonyos kritériumok szerint a vizsgált jelenség vonatkozásában mindig validáljuk a multifraktális modellt, tisztázzuk annak eredetét. Felvetődik az SSE alapú normalizált paraméterek használata, amelyhez előzetesen önkényes küszöbértékeket kell definiálni.

Ezzel a megközelítéssel azonban nem különíthetőek el élesen a valódi multifraktális típusok a többitől, éppen azért, mert az SSE-alapú mérőszámok magukban foglalják a véges méret hatásból eredő hibát is. A hatványtörvényt követő skálázási összefüggést független statisztikai teszteléssel kell igazolni Clauset és mtsai ajánlásait követve (208).

A valós, mérési adatok kvalitatív vizsgálatának további pilléreit képezik a

pszeudomultifraktális zaj és eloszlási típusú esetek elkülönítése azon esetektől, ahol a multifraktalitás markánsan jelen van, és a korrelációs strukturáltságban gyökerezik. A valódi korrelációs típusú multifraktalitás kimutatását konvencionális statisztikai küszöbértékekkel kontrollálhatjuk, amennyiben pl. p<0,05 szignifikanciaszintet választunk.

Mind a standard, mind az FMF-alapú elemző módszerek alkalmazása során számolni kell a becsült paraméterek bizonyos torzításával, különösen valós élettani jelek esetén.

Bár a D(h) inverzióját a homogén multifraktális modell illesztésével megelőzhetjük, a lehető legpontosabb becsléshez további tényezőket kell számításba venni. Ismert a korrelált/korrelálatlan zaj jelenlétének torzító hatása, ami a már említett trenddel szemben egy frekvens dinamikában nyilvánul meg (183, 184, 188). Általában számolni kell a zaj jelenlétével, amelyet viszont nem könnyű olyan előkezelési eljárással eltávolítani, hogy az ne befolyásolja jelentősen a multifraktális analízis eredményét. Nem utolsósorban az is lényeges szempont, hogy a skálázási tulajdonság a vizsgált idősorokban mindig egy véges skálázási tartományban van jelen, aminek nem feltétlenül részhalmaza az analízis szempontjából optimális [smin, smax]. Ennek gondos azonosítása történhet pl. skálázási-tartomány adaptív elemző módszerek alkalmazásával (76, 221, 241), amely az agyi hemodinamikai fluktuációk analízise során szükségesnek bizonyult és megtörtént (lásd következő alfejezet). Ennek eredményeképpen egyrészt elkerülhetőek a zaj által dominált, jellegzetes skálázási törvényt nem követő időtartományok; másrészt így tovább csökkenthető a becsült multifraktális végpont-paraméterek torzítása.

5.4 A humán agykérgi hemoglobin koncentrációváltozások dinamikájának