Alapk´ epletek

Ebben a r´eszben r¨oviden ´attekintek n´eh´any klasszikus defin´ıci´ot ´es k´epletet (l. pl.

Newkirk ´es Karlquist 2004; Schottstaedt 2003), amelyeket a k¨ovetkez˝o fejezetekben haszn´alni fogok. A legegyszer˝ubb periodikus jelet egy szinusz (vagy koszinusz) f¨ ugg-v´eny ´ırja le. Ennek h´arom param´etere van: a frekvenci´aja, amplit´ud´oja ´es f´azisa.

B´armelyiket lehets´eges modul´alni.

8.1.1. Az amplit´ud´omodul´aci´o

Az amplit´ud´omodul´aci´o (AM) a legegyszer˝ubb a h´arom k¨oz¨ul. Legyen a c(t) viv˝ohull´am egy egyszer˝u szinuszf¨uggv´eny:

c(t) =Ucsin(2πfct+ϕc), (8.1) ahol az Uc, fc ´es ϕc konstans param´eterek rendre az amplit´ud´o, a frekvencia ´es a (kezd˝o)f´azis.

Jelentse azU_m(t) f¨uggv´eny a tetsz˝oleges hull´amform´aj´u ´atvivend˝o jelet! Az ¨ uze-net tov´abb´ıt´oja azUm(t) inform´aci´os jellel v´altoztatja a viv˝ohull´amUcamplit´ud´oj´at,

´

es ezzel l´etrehozza a k¨ovetkez˝o modul´alt jelet:

UAM(t) = [Uc+Um(t)] sin(2πfct+ϕc). (8.2) A legegyszer˝ubb eset, amikor maga a modul´al´o jel is szinuszos

Um(t) =U_m^Asin(2πfmt+ϕ^A_m). (8.3) A (8.3) k´epletet behelyettes´ıtve (8.2)-be, ´es n´eh´any trigonometrikus ¨osszef¨ugg´est alkalmazva, a (8.2) kifejez´es ´at´ırhat´o mint

U_AM(t) =U_csin(2πf_ct+ϕ_c) + U_m^A

2

sin

2π(f_c−f_m)t+ϕ⁻ + sin

2π(f_c+f_m)t+ϕ⁺ , (8.4) ahol ϕ⁻ =ϕc−ϕ^A_m+π/2 ´es ϕ⁺ =ϕc+ϕ^A_m−π/2. A ±π/2 f´aziseltol´od´asok az´ert l´epnek fel, mert a szinusz- ´es koszinuszf¨uggv´enyek egy¨uttes haszn´alata helyett v´egig tiszta szinuszos formalizmust haszn´altam.

A (8.4) egzakt analitikus Fourier-transzform´altj´at az A.1. f¨uggel´ekben adtam meg. A frekvenci´ak spektrumbeli alapvet˝o eloszl´asa a transzform´alt kisz´am´ıt´asa n´ el-k¨ul a (8.4). k´epletb˝ol is leolvashat´o. Mivel egy szinuszf¨uggv´eny Fourier-spektruma annak frekvenci´aj´an´al l´ev˝o egyetlen cs´ucsb´ol ´all², a fenti (8.4) kifejez´es spektruma a j´ol ismert triplett-szerkezet, ahol f_c ´es f_c±f_m cs´ucsok l´athat´ok. Azf_c±f_m oldal-cs´ucsok amplit´ud´oja mindig egyenl˝o nagys´ag´u. A viv˝ohull´am Fourier-amplit´ud´oja (π√

2πUc), ami a viv˝ofrekvenci´an tov´abb´ıtott energi´at jellemzi, ´alland´o.

A viv˝ohull´am A(f_c) amplit´ud´oja ´es az oldalcs´ucsok A(f_c±f_m) amplit´ud´oja a modul´aci´os m´elys´egen kereszt¨ul kapcsol´odnak egym´ashoz. ´Irjuk ´at a (8.2) egyenletet

´

ugy, hogy

UAM(t) =

1 +Um(t) U_c

c(t). (8.5)

Ha U_m(t) korl´atos f¨uggv´eny, l´etezik azU_m^max maxim´alis ´ert´eke, akkor amodul´aci´os m´elys´eg a h = U_m^max/U_c k´eplettel defini´alhat´o. A fent eml´ıtett szinuszos esetben h =U_m^A/Uc´esA(fc±fm)/A(fc) = ¹₂h. M´as szavakkal, az oldalcs´ucsok amplit´ud´oja a k¨ozponti cs´ucs amplit´ud´oj´anak fele.

8.1.2. A sz¨ogmodul´aci´ok

A frekvencia- ´es a f´azismodul´aci´ot egy¨uttesen sz¨ogmodul´aci´onak is szok´as h´ıvni, mivel ha (8.1) szinuszos viv˝ohull´amot t´etelez¨unk fel, c(t) = Ucsin[Θ(t)] szerint, a Θ(t) = 2πf_ct+ϕ_cjelenti a f¨uggv´eny sz¨ogf¨ugg˝o r´esz´et.

A f´azismodul´aci´o (PM) a viv˝ohull´am f´azissz¨og´et v´altoztatja. Legyen U_m(t) a modul´al´o vagy m´ask´eppen inform´aci´os jel, akkor Θ(t) = 2πfct+ [ϕc +Um(t)].

AmennyibenUm(t) f¨uggv´eny korl´atos, defini´alhatjuk ak_PM=|U_m^max(t)|/2 konstanst.

Ezzel a modul´alt jel

UPM(t) =Ucsin

2πfct+kPMU_m^P(t) +ϕc

, (8.6)

alakra hozhat´o, ahol |U_m^P(t)| ≤1. A modul´alt jelpillanatnyi frekvenci´aja:

f(t) = dΘ

dt =f_c+k_PMdU_m^P(t)

dt . (8.7)

Afrekvenciamodul´aci´o (FM) azU_m(t) modul´al´o jellel a viv˝ojel frekvenci´aj´at v´altoztatja meg. Θ(t) = 2πf(t)t+ϕ_c´es itt azf(t) pillanatnyi frekvencia azk_FMU_m^F(t) jellel van modul´alva a

f(t) =fc+kFMU_m^F(t) (8.8) kifejez´esnek megfelel˝oen. Ebben az egyenletben az kFM az ´un. frekvenciadevi´aci´o, ami az f_c-t˝ol val´o maxim´alis elt´er´est jelenti egy ir´anyban, amennyiben feltessz¨uk, hogy U_m^F(t) korl´atos a (−1, . . . ,+1) intervallumon. A pillanatnyi frekvencia ´es f´azis

2Itt mindig a val´os r´eszt veszem csak figyelembe, l. m´eg A.1. f¨uggel´ek.

defin´ıci´oit felhaszn´alva a (8.8) kifejez´es ´at´ırhat´o mint Θ(t) = 2πf_ct+2πk_FMRt

Az FM-nek ez a defin´ıci´oja a legkev´esb´e intuit´ıv a h´arom modul´aci´ot defini´al´o egyen-let (8.2, 8.6 ´es 8.9) k¨oz¨ul. A (8.6) ´es (8.9) egyenleteket ¨osszehasonl´ıtva ´eszrevehetj¨uk, hogy azokban a modul´al´o jel egym´assal deriv´alt-integr´al kapcsolatban van. A gya-korlatban a modul´al´o jelek le´ırhat´ok analitikus f¨uggv´ennyel, ´ıgy ha egy FM vagy PM jelet detekt´alunk an´elk¨ul, hogy tudn´ank melyikr˝ol van sz´o, nem tudunk k¨ul¨onbs´eget tenni az FM ´es PM k¨oz¨ott.

El˝osz¨or legyen a modul´al´o jel is egyfmfrekvenci´aj´u szinuszos jel. Egy ilyen jelet le´ır´o f¨uggv´eny integr´alja

U_m^F(t) = U_m^F kifejez´ese lesz, ez ugyanis f¨uggetlen az f_m modul´aci´os frekvenci´at´ol. A trigonomet-rikus ´es Bessel-f¨uggv´enyek k¨oz¨otti ¨osszef¨ugg´esek (pl. Abramowitz ´es Stegun 1972) felhaszn´al´as´aval (8.11) fel´ırhat´o mint

UFM(t) =Uc

∞

X

k=−∞

Jk(η) sin [2π(fc+kfm)t+kϕm+ϕc], (8.12) aholJ_k(η) azηargumentumra vonatkoz´o els˝ofaj´uk-ad rend˝u Bessel-f¨uggv´enyt jelenti (l. n´eh´any f¨uggv´enyt a 8.1. ´abr´an);ϕ_mvagyϕ^F_m-t, vagyϕ^P_m-t jelent. A k´epletet szok´as Chowning-rel´aci´onak is h´ıvni (Chowning, 1973). Mert b´ar el˝otte sokan fel´ırt´ak m´ar ezt az ¨osszef¨ugg´est, az FM szint´ezisben (elektronikus hangszintetiz´al´asban) bet¨olt¨ott kulcsszerep´et Chowning ismerte fel.

Hasonl´ok´eppen az (8.4) egyenlethez, a (8.12) kifejez´es is seg´ıt elk´epzelni a jel Fourier-spektrum´at. Ez afcviv˝ofrekvenci´ab´ol ´es t˝ole jobbra ´es balra szimmetrikusan f_m t´avols´agra elhelyezked˝o cs´ucsokb´ol ´ep¨ul fel. Az amplit´ud´ok a Bessel-f¨uggv´enyek szerint v´altoznak. A Bessel-f¨uggv´enyek viselked´ese j´ol ismert: a kis argumentumok (x < k) kiv´etel´evel a lefut´asuk csillap´ıtott harmonikus f¨uggv´enyre hasonl´ıt (l. m´eg 8.1. ´abra). Nagyobb indexekre a magasabb rend˝u oldalcs´ucsok fokozatosan egyre fontosabbak lesznek, a k¨ozponti cs´ucs amplit´ud´oja pedig egyre kisebb lesz. Egy FM jel spektruma elvben v´egtelen sz´am´u oldalcs´ucsot tartalmaz, de a Bessel-f¨uggv´enyek lecseng´es´et k¨ovet˝o cs¨okken˝o amplit´ud´oik miatt a gyakorlatban mindig csak viszony-lag kis sz´am´u mutathat´o ki.

-0.6

8.1. ´abra.Azx argumentumhoz tartoz´o nulladik, els˝o-, m´asod- ´es tizedrend˝u els˝ofaj´u Bessel-f¨uggv´eny k´epe.J0(x)– (piros) folytonos vonal,J1(x)– (z¨old) szaggatott vonal, J₂(x) – (k´ek) pontozott vonal,J₁₀(x) – (lila) r¨ovid-hossz´u szaggatott vonal.

Ha |η| 1, akkor azt kapjuk, hogy J₀(η)≈1,|J±1|=η/2, ´esk >1-re J_k ≈0.

Vagyis a spektrum k¨ozel´ıt˝oleg le´ırhat´o egy, az AM spektrum´ahoz hasonl´o, egyenk¨oz˝u triplettel. A jel maga azonban alapjaiban k¨ul¨onb¨oz˝o. Az FM modul´alt jel amplit´ u-d´oja mindig ´alland´o. Ha az η n¨ovekszik, az oldalcs´ucsok amplit´ud´oi is n¨ovekszenek, de a viv˝ojel Fourier-amplit´ud´oja cs¨okken. M´ask´eppen: az oldalcs´ucsok nagyobbak is lehetnek, mint a k¨oz´epponti frekvencia cs´ucsa, illetve a magasabb rend˝u oldalcs´ucsok is lehetnek nagyobbak, mint az alacsonyabb rend˝u cs´ucsok.

Egy ´altal´anosabb esetre adott k´epletet Schottstaedt (1977):

UFM(t) =Ucsin jel spektruma a viv˝ofrekvenci´ara szimmetrikus ekvidiszt´ans frekvenci´akb´ol ´all. Az fc±kpfm^(p) oldalcs´ucsok amplit´ud´oit Bessel-f¨uggv´enyek szorzatai adj´ak meg.

8.1.3. A kombin´alt modul´aci´o

A gyakorlatban az elektronikus ´aramk¨or¨ok, amelyek modul´alt jeleket ´all´ıtanak el˝o, mindig kevert, egyszerre amplit´ud´o- ´es sz¨ogmodul´alt jeleket k´epesek gener´alni. Ezek a kombin´altan modul´alt jelek a r´adi´ot´avk¨ozl´esben kifejezetten zavar´oak, ´es a m´ern¨ o-k¨ok mindent megtesznek a kevered´es cs¨okkent´es´e´ert. Ugyanakkor a Blazsk´o-effektust mutat´o RR Lyrae csillagok v´altoz´asa, amint azt majd l´atni fogjuk, ilyen kevert mo-dul´aci´oval ´ırhat´o le legjobban. Ez´ert itt ´attekintj¨uk a kombin´alt modul´aci´o alapvet˝o jellemz˝oit Cartianu (1966) k¨onyv´et k¨ovetve. A legegyszer˝ubb esetb˝ol indulunk ki, ahol mind az AM, mind az FM egy azonos frekvenci´aj´u szinuszf¨uggv´ennyel le´ırhat´o.

U_Comb(t) =U_c(1 +hsin 2πf_mt) sin [2πf_ct+ηsin (2πf_mt+φ_m) +ϕ_c]. (8.14) A kezd˝oepocha megfelel˝o megv´alaszt´as´aval az ´altal´anoss´ag minden tov´abbi megszo-r´ıt´asa n´elk¨ul a kezd˝of´azist megv´alaszthatjuk ϕ_c = 0 alakban. Itt φ_m az AM ´es FM jelek k¨oz¨otti relat´ıv f´azisk¨ul¨onbs´eget jelenti. A t¨obbi jel¨ol´es a kor´abbiakkal megegye-z˝o. A (8.14) szorzat harmadik t´enyez˝oje megegyezik a (8.11) egyenlet jobb oldal´aval, ez´ert a (8.12) Chowning-rel´aci´ot alkalmazva azt kapjuk, hogy

UComb(t) =Uc(1 +hsin 2πfmt)

∞

X

k=−∞

Jk(η) sin [2π(fc+kfm)t+kφm]. (8.15) Ez a kifejez´es v´egtelen sok amplit´ud´omodul´alt hull´amot ´ır le. Trigonometrikus ´ at-alak´ıt´asok ut´an kapjuk, hogy: L´athat´o, hogy a v´egtelen sor minden egyes tagja h´arom azonos frekvenci´aj´u, de k¨ul¨onb¨oz˝o f´azis´u szinuszf¨uggv´enyb˝ol ´all. A (8.16) kifejez´es alapj´an a (8.14) kombi-n´alt modul´aci´os jel Fourier-spektruma felfoghat´o mint h´arom FM jel spektrum´anak a kombin´aci´oja. A cs´ucsok azonos helyen vannak mint a (8.12) f¨uggv´eny spektru-m´anak cs´ucsai, de az egyes oldalcs´ucsok amplit´ud´oi ´altal´aban nem szimmetrikusak.

N´eh´any trigonometrikus azonoss´agot, a p´arhuzamos rezg´esek ¨osszet´etel´ere vonat-koz´o szab´alyokat ´es a Bessel-f¨uggv´enyekkel val´o kapcsolatukat figyelembe v´eve egy adott frekvencia Fourier-amplit´ud´oj´ara azt kapom, hogy:

A(fc+kfm)∼Uc

(k= 0,±1,±2, . . .). Szeidl ´es Jurcsik (2009) nyom´an bevezetve azoldalcs´ucs tel-jes´ıtm´enyk¨ul¨onbs´eget ∆_l := A²(f_c+lf_m)−A²(f_c−lf_m), ahol l = 1,2,3. . . ´es figyelembe v´eve a (8.17) k´epletet, kapom, hogy

∆l=−4hl

ηU_c²J_l²(η) sinφm. (8.18) Ez a k´eplet Szeidl ´es Jurcsik (2009) l= 1-re ´esl = 2-re vonatkoz´o ¨osszef¨ugg´es´enek egyenes ´altal´anos´ıt´asa tetsz˝olegesl-re. Nyilv´anval´o, hogy ez az aszimmetri´at jellemz˝o param´eter egyed¨ul aφ_m relat´ıv f´azist´ol f¨ugg. A bal oldali oldalcs´ucs nagyobb, mint a jobb oldali p´arja (∆l < 0), ha 0< φm < π, a ford´ıtott helyzetbenπ < φm < 2π

´

es ∆_l > 0. Abban a speci´alis esetben, ha φ_m = 0 vagy φ_m = π az oldalcs´ucsok amplit´ud´oi azonosak. Megjegyzend˝o, hogy ha a modul´aci´ok k¨oz¨ul az AM vagy az FM sokkal er˝osebb a m´asikn´al (h η vagy η 1), akkor a spektrum a kor´abban t´argyalt tiszta modul´aci´os jelek´ehez hasonl´o lesz, ´es ´ıgy az oldalcs´ucsok amplit´ud´oi is k¨ozel azonosak.

In document RR Lyrae v´ altoz´ ocsillagok vizsg´ alata fotometriai (Pldal 148-153)