A vizsgált stacionárius feketelyuk-téridők

A stacionárus feketelyuk-téridők általános definícióját a 2.3. alfejezetben határoztuk meg.

Ebben a fejezetben olyan sima, erősen kauzális, négydimenziós(M, gab) feketelyuk-téridő-ket tekintünk, amelyeken megadható egy olyanφt egyparaméteres izometriacsoport, me-lyet egy t^a Killing-vektormező generál. Ezen felül azt is megköveteljük, hogy amikor a téridőben valamilyen anyagmező található, akkor az azt ábrázoló tenzormező is legyen φt-invariáns. Egy (M, gab) stacionárus feketelyuk-téridő aszimptotikus tartománya min-dig tartalmaz olyan sima, akauzális C hiperfelületet, hogy annak valamely C^stac ⊂ C, a Rⁿ⁻¹ \B(R^stac) halmazzal diffeomorf részén a t^a Killing-vektormező szigorú értelem-ben időszerű. Ekkor a feketelyuk-téridők különféle részhalmazainak meghatározása során alapvető szerepet játszó M^stac ⊂ M stacionárius tartományt egyszerűen a C^stac halmaz φ{C^stac}=∪^t∈Rφt[C^stac] pályájaként határozzuk meg.

A korábbi fejezetekben megszokott módon feltesszük, hogy a téridőben található fekete-lyuk-, de nincs fehérlyuk-tartomány, azazB =M \I⁻[M^stac] ésW =M \I⁺[M^stac] =∅, amiből M = I⁺[M^stac] következik. Ekkor a külső kommunikációs tartományt és a jövő eseményhorizontot a D = I⁻[M^stac] és az N = ∂I⁻[M^stac] relációkkal határozzuk meg.

Végül megköveteljük, hogy N legyen sima, míg az N-et generáló fényszerű geodetiku-sok teréről feltesszük, hogy az a kétdimenziós gömb topológiájával rendelkezik, azaz N topológiáját azR×S² szorzattal adhatjuk meg.

Érdemes megemlíteni, hogy az utóbbi mondatban felsorolt feltételek feleslegesek. Elő-ször is a következő alfejezetben található eredményeknek megfelelően N szükségképpen azR×Σtopológiával rendelkezik, ahol Σegy kompakt halmaz. Ezek után a feketelyuk-topológiai tétel alapján (lásd a 7. fejezetet)N minden összefüggő részhalmazáról megmu-tatható, hogy az azR×S² szorzattopológiával rendelkezik. Hasonlóan – ugyan ismét

meg-6.3. A KILLING-PÁLYÁK TERE 87 követeltük, hogy azN hiperfelület legyen sima –, érdemes felidézni (lásd a 2.4.1. definíciót követő megjegyzést is), hogy amennyiben a stacionárius feketelyuk-téridő sima vagy ana-litikus, akkor az N eseményhorizont is sima vagy analitikus hiperfelülete a vizsgált tér-időnek [41, 26].

6.3. A Killing-pályák tere

Ebben a részben a Killing-pályák és a jövő eseményhorizont rövid jellemzése található.

6.3.1. Lemma. Legyen(M, gab)a 6.2. alfejezetben meghatározott stacionárius feketelyuk-téridő. Ekkor bármely q ∈ N-re és tetszőleges t 6= 0 esetén φt(q) 6=q, azaz t^a sehol nem tűnhet el az N horizonton.

Bizonyítás: Az állítással ellentétben tegyük fel, hogy létezik olyan q ∈ N és t 6= 0, amelyre φt(q) = q. Mivel M = I⁺[M^stac], léteznie kell olyan p ∈ M^stac pontnak, amelyre p ∈ I⁻(q). Mivel tetszőleges n egész értékre φ_nt(q) = q, így az is teljesül, hogy φnt(p)∈ I⁻(q) bármely n-re, amiből azt kapjuk, hogy φ{p} ⊂I⁻(q). Így a 2.3.1. lemma alapján I⁻(q) ⊃ M^stac, és így I⁻(q) ⊃ I⁻[M^stac] = D. Mivel N = ∂I⁻[M^stac] a q pont szükségképpen az N horizont valamely jövőirányban kiterjeszthetelen γ fényszerű geodetikus generátorához tartozik. Legyen mostraqpont jövőjében fekvő pontγmentén, O pedig legyen olyan nyílt környezete r-nek, mely nem tartalmazza q-t, végül V ⊂ O legyen tetszőleges nyílt környezete r-nek. Mivel r ∈ N = ∂I⁻[Masz] = ∂D, a V ∩ D metszet nem lehet üres. Így, mivelI⁻(q)⊃ D, biztosan létezik olyan jövőirányúλkauzális görbe, mely aV ∩ D metszetből indul ésq-ban végződik. Ezt aλ görbét aγ generátornak a q és r pontokat összekötő szakaszával kiegészítve egy olyan jövőirányú kauzális görbét kapunk, mely azrpont tetszőlegesen választottV környezetéből indul, elhagyja azt, majd visszatér aV környezetbe, így az erős kauzalitási feltétel sérül azr pontban.

Érdemes megjegyezni, hogy a fenti lemma bizonyítása során sem N topológiája, sem differenciálhatósági tulajdonságai nem játszottak szerepet.

6.3.2. Lemma. Tetszőlegesp∈ D választás mellett azN horizonton futóλ Killing-pálya pontosan egyszer metszi a C ≡∂I⁺(p) – lokálisan Lipshitz – hiperfelületet.

Bizonyítás: Mivel aλKilling-pályaφ_t-invariáns, azazφ{λ}=λ– a 2.3.1. lemma alapján – vagy I⁻[λ]∩ D = ∅, vagy pedig I⁻[λ] ⊃ D teljesül. Az első eshetőség nem valósulhat meg, hiszen M = I⁺[M^stac] = I⁺[D], és így biztosan létezik olyan q ∈ λ pont, amelyre q ∈ I⁺(p). A második esetben, azaz amikor I⁻[λ] ⊃ D – az imént bizonyított lemma

88 6. FEJEZET. A TENGELYSZIMMETRIA LÉTEZÉSÉRŐL értelmében I⁻(q) nem tartalmazhatja a D külső kommunikációs tartományt –, biztosan létezik olyan t >0 valós szám, hogy q 6∈ I⁺(φ_t(p)). Ez azt jelenti, hogy φ_−t(q) 6∈ I⁺(p), amiből az következik, hogy a λ Killing-pálya biztosan metszi a C hiperfelületet.

Tegyük fel, hogy r ∈ λ ∩ C. Ha λ több pontban is metszhetné a C hiperfelületet, akkor létezne olyan t > 0 valós szám, hogy az r ∈ λ pont mellett a φt(r) pont is a C hiperfelületen feküdne. Ebből azonban az következne, hogy az r pontnak egyidejűleg az I⁺(p) és I⁺(φ_−t(p)) jövőhalmazok határához kellene tartoznia, ami ellentmond a p ∈ I⁺(φ₋t(p))relációnak. Így bármely, azN horizonton futóλKilling-pálya pontosan egyszer metszi a C =∂I⁺(p)hiperfelületet.

Az imént bizonyított lemma értelmében Σ = C ∩ N az N horizonton futó Killing-pályákra nézve egy globális szelést határoz meg.

6.3.3. Lemma. Tegyük fel, hogy az N jövő eseményhorizont sima, valamint Σ =C ∩ N kompakt. Ekkor Σ az N horizontot kifeszítő fényszerű geodetikusokra nézve is globális szelést határoz meg.

Bizonyítás: Az N simaságára vonatkozó feltételünk kizárja, hogy N bármely γ fény-szerű geodetikus generátorának lehessen múltbeli végpontja. (A jövő végpontok létezése automatikusan kizárt, hiszen N az I⁻[M^stac] múlt-halmaz határa.) Annak belátása ér-dekében, hogy γ szükségképpen metszi Σ-át, válasszunk egy tetszőleges r pontot γ-án és legyen ¯t olyan valós szám, amelyre φ₋¯t(r)∈ Σ. Ilyen szám biztosan létezik, hiszen Σ az N horizont Killing-pályáira nézve globális szelést határoz meg.

Tegyük fel, hogy ¯t > 0. Amennyiben γ nem metszené Σ-át, akkor γ-nak az r pont múltjába eső szakasza egy olyan múltirányban kiterjeszthetetlen, fényszerű geodetikus görbét határozna meg, mely mindvégig azN horizontΣésφ¯t[Σ] halmazok által határolt, kompakt részhalmazában futna, és így sérülne az erős kauzalitási feltétel [53, 87]. Hasonló érvelés alkalmazható a¯t <0esetben is, így bebizonyítottuk, hogyγ szükségképpen metszi Σ-át.

Végül tegyük fel, hogy γ legalább két pontban, a q és s pontokban, metszi Σ-át.

Ekkor, a C hiperfelület akronalitása folytán, a γ görbe q és s pontok közötti szakasza a C hiperfelület valamely λ fényszerű generátorával kell, hogy egybeessen. Tekintsük ezen szakasz múltirányú maximális λmax kiterjesztését. Ekkor N simasága folytán, valamint amiatt, hogyC egy jövőhalmaz határa, továbbá mivelp6∈ N, aλ_max görbének egyidejűleg azN horizonton és a C hiperfelületen kell futnia. Emiatt λmax egy olyan, múltirányban kiterjeszthetetlen, fényszerű geodetikus, mely mindvégig aΣ = C∩N kompakt halmazban fut, ami ellentmond az erős kauzalitási feltételnek.

6.4. AZ ANALITIKUS ESET 89