A topológia tétel

A diszkusszió során azt is megmutatom, hogy ez a technikai feltétel egy nagyon egyszerű geometriai követelménnyel egyenértékű. Ott azt is megmutatom, hogy a formai különbsé-gek ellenére a fent megfogalmazott feltételünk a [2, 3] referenciákban alkalmazott szigorú stabilitási feltétellel ekvivalens. Mielőtt továbbmennénk, fontos annak hangsúlyozása, hogy a fenti definícióban megfogalmazott feltételek nem extrém elvárások. Például a Minkowski-téridő, vagy a Schwarzschild-téridő összes metrikus gömbje szigorú értelem-ben stabil felület.

7.3. A topológia tétel

A fejezet legfontosabb eredményét a következő tételben foglalhatjuk össze.

7.3.1. Tétel. Legyen (M, gab) egy tetszőleges n ≥ 4 dimenziós téridő. Tegyük fel, hogy az általánosított domináns energiafeltétel teljesül valamely f : M → R valós függvény választás mellett, valamint S egy szigorú értelemben stabil (n − 2)-dimenziós felület.

Ekkor,

(1) Ha f ≥0 a S felületen, akkor S pozitív Yamabe-típusú, azaz Y(S)>0.

(2) Ha Y(S)<0 és f_min^S <0, ahol f_min^S az f függvény S-en felvett minimumát jelöli, akkor az A(S) =R

S ǫǫq, of S felszín eleget tesz a A(S)≥

µ|Y(S)| 2|f_min^S |

¶ ^s₂

(7.3.1) egyenlőtlenségnek, ahol s=n−2 =dim(S).

Bizonyítás: A fenti állítás bizonyítása során ismét központi szerepet játszik egy Gauss-féle fényszerű koordinátarendszer, melynek legfontosabb elemeit a következők szerint ha-tározhatjuk meg: Először is idézzük fel, hogy az(n−2)-dimenziósS felületen értelmezett ℓ^a és n^a jövő-, illetve múltirányú fényszerű vektormezők külön-külön merőlegesek S-re, továbbá rájuk ℓ^an_a= 1 normálási feltétel teljesül. Legyen N az a fényszerű hiperfelület, melyet az S pontjaiból n^a érintővektorral indított geodetikusok feszítenek ki. Ekkor az N felület S egy elegendően kicsiny környezetében sima. Jelölje u az N felület generá-torainak azon szinkronizált paraméterét, amelyre u = 0 az (n−2)-dimenziós S felület pontjaiban. Jelölje k^a azN fényszerű hiperfelületet érintő (∂/∂u)^a múltirányú, fényszerű vektormezőt, valamint ℓ^a az N felület u=állandóS_u szeléseire merőleges, a gabk^aℓ^b = 1 feltétel által egyértelműen meghatározott, jövőirányú, fényszerű vektormezőtN-en. Ezek

120 7. FEJEZET. A FEKETELYUKAK TOPOLÓGIÁJA után a 2.1.3. alfejezetben leírtakat követve, S egy elegendően kicsiny O környezetében értelmezhetjük az (u, r, x³, . . . , xⁿ) lokális koordinátákat. Az O környezetben – melynek azu =állandó, r =állandó feltételekkel meghatározott (n−2)-dimenziós S_u,r felületek egy sima, kétparaméteres foliációját adják – a metrikát (2.1.3)-nek megfelelően a

gab = 2 ¡

∇^(ar−r α∇^(au−r β(a¢

∇^b)u+γab (7.3.2) alakban írhatjuk fel, továbbá a k^a és ℓ^a vektormezők a k^a = (∂/∂u)^a és ℓ^a = (∂/∂r)^a alakban adhatók meg, és így kommutálnak O felett.

A 2.1.3. alfejezetben azt is említettük, hogy γab, valamint az (n−2)-dimenziós S_u,r felületeken indukált qab pozitív definit metrika a

qab =r²β^cβcℓaℓb−2rβ(aℓb)+γab (7.3.3) reláción keresztül kapcsolódnak egymáshoz.

Mivel k^a és ℓ^a az N felület S_u szeléseire merőlegesek, az általuk meghatározott fény-szerű kongruenciák expanzióját a

θ^(k)|^Su = 1

2q^ef(£_kqef) = 1

2γ^ef(£_kγef) (7.3.4) és a

θ^(ℓ)|^Su = 1

2q^ef(£_ℓqef) = 1

2γ^ef(£_ℓγef) (7.3.5) egyenletekkel adhatjuk meg, ahol£_kés£_ℓ ak^aésℓ^a vektormezők menti Lie-deriváltat je-lölik, és (itt és a fejezet hátralévő részében mindenütt) az indexek mozgatása mindig agab

téridőmetrikával történik. Érdemes megjegyezni, hogy az utóbbi két egyenletben a máso-dik lépésben kapott egyenlőségek helyessége abból következik, hogyβ_a ésγ_ab merőlegesek ak^a és ℓ^a vektorokra, továbbá k^a ésℓ^a kommutálnak O felett.

A (7.3.2) metrika által meghatározott Einstein-tenzor felhasználásával azonnal adódik, hogy

Gabk^aℓ^b =Rabk^aℓ^b −1 2Ref£

2k^(eℓ^f)+γ^ef¤

=−1

2γ^efRef (7.3.6) teljesül az N felületen. Ezek után a [56]-as hivatkozás (82)-es egyenletét felhasználva, valamint aq^a_b,γ^a_b ésp^a_b merőleges vetítő operátoroknak³ azN felületen való egybeesését

3A p^a_b operátor definícióját a [56]-as hivatkozás(76)-os egyenlete adja.

7.3. A TOPOLÓGIA TÉTEL 121 kihasználva azt kapjuk, hogy az N felületen

Gabk^aℓ^b =−1 meghatározott kovariáns deriváló operátort és a görbületi skalárt jelölik. Ismét kihasz-nálva, hogy a k^a és ℓ^a vektormezők kommutálnak O felett, továbbá merőlegesek γab-re, direkt számolással ellenőrizhető, hogy

−γ^ab(£_ℓ£_kγab) =−£_ℓ¡

γ^ab£_kγab

¢−γ^abγ^cd(£_ℓγac) (£_kγbd) . (7.3.8)

A k^a és ℓ^a vektormezők kommutálásából az is azonnal adódik, hogyO felett

£_ℓθ^(k)=£_kθ^(ℓ), (7.3.9)

ahol aθ^(k)expanzió azS_u,rfelületeken indukáltqabmetrikaǫǫq térfogatelemére hivatkozva, valamint a (7.3.4) reláció első egyenlőségét felhasználva O felett mindenütt értelmezhető.

Terjesszük ki most az n^a vektormezőt S-ről O-ra úgy, hogy n^a legyen mindenütt merőleges az S_u,r felületekre, továbbá teljesítse az n^aℓ_a = 1 normálási feltételt. Az n^a vektormezőt a

alakban adhatjuk meg. Direkt számolással az is ellenőrizhető, hogy N-en, azaz az r= 0 helyen, és speciálisan az S felületen is

£_nθ^(ℓ) =£_kθ^(ℓ). (7.3.11)

Ezek után – felhasználva a (7.3.7) – (7.3.11) egyenleteket – azt kapjuk, hogy S-en a

£_nθ^(ℓ) =G_abn^aℓ^b−α θ^(ℓ)−θ^(ℓ)θ⁽ⁿ⁾+1

A bizonyítás következő lépésében megmutatom, hogy a (7.3.12) jobb oldalán álló má-sodik kifejezés értéke nulla. Pontosabban fogalmazva igaz a következő:

7.3.1. Lemma. A metrikában szereplő α függvény értéke zérus az N felületen.

122 7. FEJEZET. A FEKETELYUKAK TOPOLÓGIÁJA Bizonyítás: A metrikát meghatározó (7.3.2) összefüggés alapján

k^aka =−2r α , (7.3.13)

amiből speciálisan az is következik, hogyN-en, azaz amikorr = 0

ℓ^e∇^e(k^aka) =∂r(−2r α) =−2α . (7.3.14) Ezek után a lemma állítása azN felületen fennálló

ℓ^e∇e(k^aka) = 2kaℓ^e∇ek^a = 2kak^e∇eℓ^a=−2ℓak^e∇ek^a = 0 (7.3.15) összefüggés következménye, melynek levezetése során a[k, ℓ]^a = 0éskaℓ^a= 1egyenlőségek mellett azt használtuk ki, hogy jelen esetben az u-koordináta affin paraméter is, az N felület k^a érintővektorú generátorai mentén.

Felidézve ezek után azt, hogy S-en mind −n^a, mind pedig ℓ^a jövőirányú fényszerű vektormezők, továbbá, hogy a feltételünk szerint teljesül az általánosított domináns ener-giafeltétel, azt kapjuk, hogy a

Gabn^aℓ^b+f ≤0 (7.3.16)

egyenlőtlenség teljesül S-en. Mindezekhez hozzávéve azt, hogy S szigorú értelemben véve stabil felület, minden esetben találhatók olyan, az S felületre merőleges ℓ^a és n^a jövő-, illetve múltirányú fényszerű vektormezők, melyekre az

¡£_nθ^(ℓ)+θ^(ℓ)θ⁽ⁿ⁾¢

|^S ≥0 (7.3.17)

egyenlőtlenség teljesül, továbbáS-nek van olyan pontja, ahol £_nθ^(ℓ)+θ^(ℓ)θ⁽ⁿ⁾ >0.

Következésképpen, ha S szigorú értelemben véve stabil felület és az általánosított domináns energiafeltétel is teljesül, akkor (7.3.12) figyelembevételével az adódik, hogy S-en

Rq+D^aβa− 1

2β^aβa≥2f (7.3.18)

úgy, hogyS valamely pontjában az egyenlőtlenség szigorú értelemben teljesül.

Mivel aq_ab metrika pozitív definit, a Schwartz-egyenlőtlenség alkalmazásával megmu-tatható, hogy bármely azS felületen sima u függvényre

u²D^aβa =D^a(u²βa)−2u(D^au)βa≤D^a(u²βa) + 2(D^au)(Dau) + 1

2u²β^aβa. (7.3.19)

7.3. A TOPOLÓGIA TÉTEL 123 Legyen mostu >0tetszőleges sima függvényS-en. Ekkor (7.3.18)-atu²-el megszorozva, valamint a (7.3.19) összefüggést figyelembe véve, azt kapjuk, hogy

2(D^au)(Dau) +Rqu²+D^a(u²βa)≥2f u² (7.3.20) úgy, hogyS valamely pontjában az egyenlőtlenség szigorú értelemben teljesül.

Ezek után a tétel állításának első része az alábbiak szerint igazolható. Tegyük fel, hogy f ≥ 0 mindenütt az S felületen. Ekkor a 4^s_s−2⁻¹ > 2 egyenlőtlenséget – mely tetszőleges s≥3 értékre teljesül – és a (7.3.20) egyenlőtlenséget felhasználva azt kapjuk, hogy

R bármely u > 0 sima függvény esetén, azaz Y(S,[q]) > 0, melyből azonnal következik, hogy az S felület szükségképpen pozitív Yamabe-típussal rendelkezik.

Tételünk második állításának bizonyításához tegyük most fel, hogy az f függvény S-en felvettf_min^S minimuma negatív. Ekkor egyrészt igaz, hogy

2 A (7.3.22), (7.3.24) és a (7.3.20) összefüggések alapján az is belátható, hogy

R Végül a Y(S) < 0 feltételt felhasználva azt kapjuk, hogy a Yamabe-állandóra a Y(S,[q]) ≤ Y(S) < 0 egyenlőtlenség teljesül bármely [q] konformis osztály esetén.

124 7. FEJEZET. A FEKETELYUKAK TOPOLÓGIÁJA Mindez, (7.3.25) figyelembevételével, azt jelenti, hogy

|Y(S)| ≤ |Y(S,[q])|=−Y(S,[q])≤2|f_min^S |[A(S)]^2s , (7.3.26) ami igazolja (7.3.1) helyességét.

In document FEKETELYUKAK A GRAVITÁCIÓ GEOMETRIZÁLT ELMÉLETEIBEN (Pldal 119-124)