A karakterisztikus kezdőértékprobléma megfogalmazása

Először is idézzük fel, hogy a vákuum Newman-Penrose-egyenletek⁴, azaz az (NP.6.10a)-(NP.6.10h), (NP.6.11a)-(NP.6.11r) és (NP.6.12a)-(NP.6.12h) egyenletek, amikor Oe felett

4Azért, hogy elkerüljük Newman és Penrose alapvető [83] munkájára történő folyamatosan hivatkozást, a továbbiakban a Newman-Penrose-egyenletekre az(N P.6.szám és kis latin betű)kombinációban fogunk hivatkozni, ahol a(6.szám és kis latin betű)jelölés az eredeti [83] munkában alkalmazott számozásra utal.

Ezen egyenletek általános alakját az olvasó megtalálhatja a jelen dolgozat appendixében is.

68 5. FEJEZET. A FEKETELYUKAK, MINT HOLOGRAMOK az(u, r, x³, x⁴) Gauss-féle fényszerű koordinátákra építve úgy tekintünk rájuk, mint a

V^T = (ξ^A, ω, X^A, U;ρ, σ, τ, α, β, γ, λ, µ, ν; Ψ0,Ψ1,Ψ2,Ψ3,Ψ4) (5.3.1) vektorváltozóra felírt elsőrendű, parciális differenciálegyenletekre, akkor azok túlhatáro-zottak egyszerűen azért, mert több egyenletünk van, mint változónk. Azonban, ahogyan azt Friedrich megmutatta [33], amikor néhány Newman-Penrose-egyenletet elhagyunk, és ugyanakkor néhány másik egyenlet alkalmas lineárkombinációját vesszük, akkor a követ-kező „redukált” vákuum egyenletrendszerhez jutunk:⁵

Dξ^A=ρ ξ^A+σ ξ^A (5.3.2)

Dω =ρ ω+σ ω−τ (5.3.3)

DX^A=τ ξ^A+τ ξ^A (5.3.4)

DU =τ ω+τ ω−(γ+γ) (5.3.5)

Dρ=ρ²+σ σ (5.3.6)

Dσ = 2ρ σ+ Ψ0 (5.3.7)

Dτ =τ ρ+τ σ+ Ψ1 (5.3.8)

Dα=ρ α+β σ (5.3.9)

Dβ =α σ+ρ β+ Ψ1 (5.3.10)

Dγ =τ α+τ β+ Ψ₂ (5.3.11)

Dλ=ρ λ+σ µ (5.3.12)

Dµ=ρ µ+σ λ+ Ψ2 (5.3.13)

Dν =τ µ+τ λ+ Ψ3 (5.3.14)

∆ Ψ0−δΨ1 = (4γ−µ) Ψ0−2 (2τ +β) Ψ1+ 3σΨ2 (5.3.15)

∆ Ψ1+ D Ψ1−δΨ2−δΨ0 = (ν−4α) Ψ0−2 (µ−γ−2ρ) Ψ1−3τΨ2+ 2σΨ3 (5.3.16)

∆ Ψ₂+ D Ψ₂−δΨ₃−δΨ₁ =−λΨ₀−2 (α−ν) Ψ₁+ 3 (ρ−µ) Ψ₂−2 (τ −β) Ψ₃+σΨ₄ (5.3.17)

∆ Ψ3+ D Ψ3−δΨ4−δΨ2 =−2λΨ1+ 3νΨ2+ 2 (ρ−γ−2µ) Ψ3+ (4β−τ) Ψ4 (5.3.18)

D Ψ4−δΨ3 =−3λΨ2+ 2αΨ3+ρΨ4 (5.3.19)

Ezek az egyenletek – amellett, hogy aVvektor változóra egy jól meghatározott rendszert alkotnak – ugyanazzal a tartalommal bírnak, mint az eredeti Newman-Penrose-egyenletek.

Ennek megfelelően Friedrich idevágó eredményét (lásd [33] 1. Tételét) az alábbiak szerint

5A Friedrich által használt formalizmus sokkal bonyolultabb, de ahogy azt a [99] munkában megmu-tattam, átültethető a Newman-Penrose-formalizmus jelölésrendszerére, és a redukált egyenletek valóban az (5.3.2)-(5.3.19) egyenletek segítségével adhatók meg.

5.3. DEFORMÁLT VÁKUUM FEKETELYUKAK 69 fogalmazhatjuk meg.

5.3.1. Tétel. Jelölje V₀ a He1 és He2, egymást metsző, fényszerű hiperfelületeken az ott

„belsőnek számító” Newman-Penrose-egyenleteknek eleget tevő kezdőadatok egy rendsze-rét. Amikor V a He¹ és He² hiperfelületek D[He¹ ∪He²] Cauchy-függőségi tartományában megoldása a redukált egyenleteknek, akkor V a teljes Newman-Penrose-egyenleteknek is megoldása. Ezen felül aV által meghatározott metrika, a torziómentes affinösszefüggés és a görbületi tenzor pontosan azok, mint amelyek felépíthetők a redukált egyenletek megol-dásaként kapott spin-együtthatók és Weyl-spinor komponensek segítségével.

Érdemes megjegyezni, hogy a feltétel azon része, miszerint V₀ tegyen eleget az He1

és He2, egymást metsző, fényszerű hiperfelületeken az ott „belsőnek számító” Newman-Penrose-egyenleteknek, nem annyira erős, mint ahogy azt az első pillanatban gondolnánk.

Tekintsük ugyanis a simaHe¹ ésHe² fényszerű hiperfelületeket, melyek egymást egy kétdi-menziós fS felületben metszik. Ekkor a „belsőnek számító” Newman-Penrose-egyenletek olyanok, amelyek vagy He1-on, vagy He2-on, vagy pedig Sf-on értelmezettek. Ahogy azt Friedrich [33] 1. lemmájában megmutatta, a vákuum Einstein-egyenletek megoldása során mindig kiindulhatunk egy V^red

0 „redukált kezdőadatrendszerből” is, amely a He1 felületen a Ψ4 Weyl-spinor komponensből, He2-on a Ψ0 Weyl-spinor komponensből, míg Sf-en a ρ, σ, τ, µ, λ spin-együtthatókból, továbbá azon ξ^A vektormezőből áll, melyből az fS-on indukált negatív definit metrika a g^AB = −(ξ^Aξ^B +ξ^Aξ^B) alakban építhető fel. Fried-rich azt is megmutatta, hogy amikor adott egyV^red

0 redukált kezdőadatrendszer, az fS-en értelmezett „belsőnek számító” Newman-Penrose-egyenletek algebrai módszerrel mindig megoldhatók V komponenseire [33]. Mihelyt ismerjük V komponenseinek Sf-en felvett értékét, a kívánt V₀ kezdőadatrendszer mindig előállítható a He1 és a He2 hiperfelületek fényszerű geodetikus generátorai mentén felírt közönséges differenciálegyenlet-rendszerek – ezek a kérdéses „belsőnek számító” Newman-Penrose-egyenletek – megoldása révén.

Az így nyert V₀ automatikusan eleget tesz a fent megfogalmazott 5.3.1. tétel feltéte-lének. Azt az eljárást, ahogyan V₀-at a gyakorlatban meghatározhatjuk a kettéhasadó Killing-horizontot hordozó téridők esetében, az 5.3.2. alfejezetben hamarosan explicit mó-don bemutatjuk. A Friedrich által kidolgozott formalizmus deformált feketelyukak eseté-ben vett alkalmazhatósága szempontjából fontos eredményt fogalmaz meg Friedrich kö-vetkező lemmája is [33].

5.3.1. Lemma. Tegyük fel, hogy V a Newman-Penrose-egyenletek megoldása. Jelölje V₀ aV megoldásHe1∪He2 kezdőfelületre való megszorítottját. Tegyük fel, hogy V^red

0 a V₀-ből a fentebb leírt eljárással kiválasztott redukált kezdőadatrendszer. Ekkor a V^red

0 redukált kez-dőadatrendszerből a belső Newman-Penrose-egyenletek megoldása révén nyert kezdőadatok a He1∪He2 felületen éppen a V₀ kezdőadatrendszert adják vissza.

70 5. FEJEZET. A FEKETELYUKAK, MINT HOLOGRAMOK Amellett, hogy az (5.3.2)-(5.3.19) redukált vákuumegyenletek egy határozott rendszert alkotnak, az is megmutatható, hogy amikor azOefelett értelmezett(u, r, x³, x⁴)Gauss-féle fényszerű koordinátákban írjuk fel őket, akkor az

A^µ·∂_µV+B= 0 (5.3.20)

alakot öltik, ahol az A^µ mátrixok, valamint a B vektor a V vektorváltozónak, továbbá annak V komplex konjugáltjának sima függvényei. Ráadásul az is belátható, hogy az A^µ mátrixok Hermite-félék, azazA^µT =A^µ, továbbá azA^µ(nµ+lµ)kombináció pozitív definit He1 egy elegendően kicsiny környezetében.

Az utóbbi állításokat legkönyebben az (5.3.2)-(5.3.19) egyenletek szemrevételezése ál-tal ellenőrizhetjük [99]. Először is vegyük észre, hogy a D,∆, δ, δ deriváló operátorok együttható mátrixai az alábbi 18×18mátrixok alakjában írható fel

A^D = ahol 1 a 13×13-as egységmátrix, míg 0 mindig azonosan zérus elemekből álló alkalmas típusú mátrixokat jelöl. Figyelembe véve a

A^µ·∂µ=A^D·D +A^∆·∆ +A^δ·δ+A^δ·δ (5.3.23) felbontást, valamint a (5.2.8) összefüggést – mely a D,∆, δ, δ differenciáloperátorokat az(u, r, x³, x⁴)Gauss-féle koordinátákhoz tartozó parciális differenciáloperátorokkal

kap-5.3. DEFORMÁLT VÁKUUM FEKETELYUKAK 71 csolja össze – azt kapjuk, hogy

A^u =A^∆ (5.3.24)

A^r =A^D+U·A^∆+ω·A^δ+ω·A^δ (5.3.25) A^A=X^A·A^∆+ξ^A·A^δ+ξ^A·A^δ. (5.3.26) Ezek után – az A^D, A^∆, A^δ és az A^δ mátrixok (5.3.21) és (5.3.22) által adott explicit alakjának figyelembe vételével – egyszerű annak belátása, hogy a A^u, A^r és A^A mátrixok Hermite-félék, azaz

A^µT =A^µ. (5.3.27)

Hasonlóan az is megmutatható, hogy azA^µ(nµ+lµ)kombináció pozitív definit, legalábbis He1 elegendően szűk környezetében, hiszen

A^µ(nµ+lµ)|He1 = (A^u+A^r)|He1 =A^D+A^∆, (5.3.28) és így a det(A^µ(nµ+lµ)) determináns értéke éppen8 a He1 felületen.

A jelen alfejezetben bemutatott eredmények összegzéseként megállapíthatjuk, hogy az (5.3.2)-(5.3.19) redukált vákuumegyenletek egy kvázilineáris, szimmetrikus, hiperbolikus rendszert alkotnak, melyhez alkalmasan választott kezdőértékek esetén egyértelmű meg-oldások létezése garantált, következésképpen igazolja az alábbi állítás (lásd [33] 2. tételét) helytállóságát is.

5.3.2. Tétel. A karakterisztikus kezdőértékprobléma keretein belül a redukált vákuum-egyenletekhez egyértelműen létező megoldás egyben mindig a vákuum Einstein-egyenletek megoldását is adja.