A Killing-vektormező megkonstruálása

Ismert, hogy a K^a vektormező akkor Killing-vektormező az (M, gab) téridőn, ha eleget tesz a

£_Kgab =∇^aKb+∇^bKa= 0 (6.5.1)

7Érdemes megjegyezni, hogy a kezdőfelületen[Γ^δ]mindig meghatározható a metrikára vonatkozó[gαβ] kezdőadat, valamint a metrikára vonatkozó téregyenletek felhasználásával.

6.5. A MEGOLDÁSOK SZIMMETRIÁI 103 Killing-egyenletnek. Ekkor az M-en értelmezett Xab =∇aKb kétformamezőre vonatkozó (dX)_abc= 0 integrálási feltételt a

∇a∇bKc+∇c∇aKb+∇b∇cKa= 0 (6.5.2) alakban írhatjuk fel. A második kifejezésben a∇aKb kifejezést−∇bKa-re cserélve (∇aKb

antiszimmetrikus), valamint felhasználva a görbületi tenzor definícióját, azt kapjuk, hogy azXab-ra vonatkozó integrálási feltétel a

∇a∇bK_c +R_bca^dK_d = 0 (6.5.3) egyenlet alakjában írható fel.

A fenti megállapítások alapján bármely K^a Killing-vektormező egyértelműen meg-határozott K^a és X_ab = ∇aK_b valamely M-beli pontban adott értékei által, hiszen (6.5.1) és (6.5.3), bármely folytonosan deriválható görbe mentén, egy elsőrendű közön-séges differenciálegyenlet-rendszert határoznak meg a Kα és az Xαβ =∇αKβ komponen-sekre. Ez a rekonstrukciós eljárás azonban csak akkor működik, amikor eleve adott aK^a Killing-vektormező. Biztosan nem alkalmazható akkor, amikor egy Killing-vektormező létezését szeretnénk igazolni. Azonban, ahogy azt lentebb megmutatjuk, a (6.5.3) reláció kontrakciójából kapott

∇^a∇^aKc+RcdKd= 0 (6.5.4)

egyenletet felhasználva – ezK^a-ra egy homogén lineáris hullámegyenlet – mégis ki tudjuk olvasni a kezdőadatokból a beléjük kódolt Killing-vektormezők létezését. Nyilvánvaló, hogy a (6.5.4) egyenletnek minden, az (M, g_ab) téridőn értelmezett Killing-vektor eleget tesz, ugyanakkor (6.5.4) nem minden megoldása Killing-vektormező (M, gab)felett.

Az alábbi tétel a (6.5.4) egyenlet – a gab metrika és a T(i) mezők ismeretében megha-tározható – kezdőadataira vonatkozó szükséges és elégséges feltételeket adja, amelyek azt biztosítják, hogy (6.5.4) megfelelő megoldása olyan Killing-vektormező legyen, amelyre nézve az anyagmezők is invariánsak.

6.5.1. Tétel. Legyen(M, gab)a 6.5.1. alfejezetben meghatározott gravitáció és anyag csa-tolt rendszerét leíró téridő. JelöljeD[C]aC kezdőfelület – egy alkalmas kezdőértéprobléma keretein belül meghatározott – Cauchy-függőségi tartományát. Ekkor K^a pontosan akkor lesz a D[C] tartományban nem-triviális Killing-vektormező úgy, hogy a £_KT(i) = 0 relá-ciók is teljesülnek, ha az (6.5.4) egyenlethez található olyan [K^a] nem-triviális kezdőadat, amelyre nézve az [£_Kgab] és [£_KT(i)] kifejezések azonosan eltűnnek a C kezdőfelületen.⁸

8Amint azt azonnal megmutatjuk, a £_Kgab és £_KT(i) kifejezésekre vonatkozó fejlődési egyenletek (6.5.9) és (6.5.13), melyekre hivatkozva a [£_Kgab] és [£_KT(i)] kezdőadatok azonnal értelemmel telnek meg, bármely alkalmas kezdőértékprobléma keretein belül.

104 6. FEJEZET. A TENGELYSZIMMETRIA LÉTEZÉSÉRŐL Bizonyítás: A tételben megfogalmazott feltétel szükséges volta triviális, hiszen a £_Kgab

és£_KT(i) mezők, a deriváltjaikkal együtt, eltűnnek a C kezdőfelületen.

Annak megmutatása érdekében, hogy a feltételünk elegendő is, a következők szerint járhatunk el. Tegyük fel, hogy K^a eleget tesz a (6.5.4) egyenletnek, de különben egy tetszőleges vektormező. A (6.5.4) egyenlet kovariáns deriváltjának, illetve a kovariáns deriváltak kommutátorainak és a kontrahált Bianchi-azonosság [53, 115] felhasználásával megmutatható, hogy£_Kgab a

∇^e∇^e(£_Kgab) =−2£_KRab+ 2R^eabf(£_Kgef) + 2R^e_(a(£_Kg_b)e) (6.5.5) egyenletnek tesz eleget. Ezek után (6.5.2) Lie-deriváltját felhasználva azt kapjuk, hogy⁹

£_KRab =X Tekintsük most a£_K és∇a operátorok kommutátorait:

£_K³ jelölést használtuk. Ekkor (6.5.5), (6.5.6) és (6.5.7) alapján£_Kgab a

∇^e∇e(£_Kg_ab) = K_ab(£_Kg_cd) + L_ab(∇c(£_Kg_cd)) (6.5.9)

A következő lépésben azt mutatjuk meg, hogy ugyanilyen típusú egyenlet származtat-ható az £_KT(i) kifejezésekre is. Ennek belátása érdekében először is tekintsük a (6.5.1)

9HaTa1...akésSb1...bℓ külön-külön(0, k)és(0, ℓ)típusú tenzormezők, akkor a(∂Ta1...ak/∂Sb1...bℓ) kife-jezést egy(ℓ, k)típusú tenzormezőnek tekintjük. Ennek megfelelően a(∂Ta1...ak/∂Sb1...bℓ)és a£_KSb1...bℓ

tenzormezők(∂Ta1...ak/∂Sb1...bℓ)£_KSb1...bℓ kontrakciója egy(0, k)típusú tenzormezőt jelöl.

6.5. A MEGOLDÁSOK SZIMMETRIÁI 105 egyenlet K^a vektormező menti Lie-deriváltját, amit a

£_K³

alakban írhatunk fel. Ekkor a (6.5.7) kommutációs relációt kétszer alkalmazva azt kapjuk, hogy

Vegyük észre, hogy az (6.5.12) egyenlet jobb oldalának utolsó tagja még nem az el-várt alakú, hiszen £_Kgab-nek a másodrendű kovariáns deriváltját tartalmazza. Emiatt ez a tag megakadályozhatná annak igazolását is, hogy £_KT(i) a (6.5.9) egyenlethez ha-sonló kvázi-lineáris hullámegyenletnek tesz eleget. Éppen ezért figyelemreméltó, hogy

£_Kg_ab =∇aK_b+∇bK_a, valamint a kovariáns deriváltak kommutátorainak alkalmazásá-val és a Bianchi-azonosság felhasználásáalkalmazásá-val megmutatható, hogy (6.5.4) tetszőleges K^a megoldására a reláció teljesül. Így a (6.5.6) – (6.5.12) egyenletek felhasználásával megmutatható, hogy

£_KT(i) valóban egy homogén, lineáris függvényei, feltéve, hogyK^a a (6.5.4) egyenlet megoldása.

A bizonyításunk zárásaként tekintsünk egy nemtriviális [K^a] kezdőadatot a C kezdő-felületen, amelyre a (6.5.9) és (6.5.13) fejlődési egyenletekhez tartozó [£_Kg_ab] és [£_KT(i)] kezdőadatok azonosan eltűnnek a C kezdőfelületen. Mivel a (6.5.9) és (6.5.13) fejlődési egyenletek a £_Kgab és £_KT(i) változókra egy csatolt, homogén, lineáris egyenletrendszert alkotnak – ezekről tudjuk, hogy zérus kezdőadat esetén, a megoldásuk azonosan nulla

106 6. FEJEZET. A TENGELYSZIMMETRIA LÉTEZÉSÉRŐL –, azt kapjuk, hogy £_Kgab ≡ 0 és £_KT(i) ≡ 0 mindenütt, ahol a (6.5.4) egyenlet meg-oldása létezik. Az, hogy ez a tartomány éppen a D[C] Cauchy-függőségi tartománnyal esik egybe, a következőképpen látható be. Mivel (6.5.4) maga is egy homogén, lineáris egyenlet, megmutatható – például a [76]-os hivatkozás 266. oldalán ismertetett „ lokális megoldások összeillesztésének ” módszerét alkalmazva –, hogy (6.5.4) bármely megoldása aC kezdőfelület teljes D[C] Cauchy-függőségi tartományára kiterjeszthető.

Figyelemreméltó, hogy az (6.5.1), (6.5.2), (6.5.4), (6.5.9) és (6.5.13) evolúciós egyenle-tek – a fentebb ismertetett hiperbolikus redukciós eljárás felhasználásával – kvázi-lineáris hullámegyenletek csatolt rendszerévé írhatók át. Érdemes megemlíteni, hogy az imént bizonyított tétel feltételeinek teljesülése azonnal ellenőrizhető, mihelyt a (6.5.1) és (6.5.2) fejlődési egyenletekre vonatkozó, [gab] és [T(i)], kezdőadatok ismertek a C kezdőfelületen, hiszen ekkor a téregyenletek segítségévelg_ab ésT(i) komponenseinek tetszőleges rendű deri-váltjai is meghatározhatók aC felületen. Mindezen észrevételek és a 6.5.1. tétel figyelembe vételével kapjuk az alábbi állítás bizonyítását.

6.5.1. Következmény. Jelölje D[C] – valamely alkalmas kezdőértékprobléma keretein belül – a (6.5.1) és (6.5.2) fejlődési egyenletekre vonatkozóan aC kezdőfelületen meghatá-rozott[gab]és[T(i)]kezdőadatokhoz tartozó maximális Cauchy-függőségi tartományt. Ekkor D[C] felett pontosan akkor létezik olyan nemtriviális K^a Killing-vektormező, amelyre a

£_KT(i) = 0 feltételek is teljesülnek, ha a (6.5.4) egyenlethez található olyan [K^a] nem-triviális kezdőadatrendszer, hogy a (6.5.9) és (6.5.13) egyenletekre vonatkozó [£_Kgab] és [£_KT(i)] kezdőadatok azonosan eltűnnek a C kezdőfelületen.

Végül megmutatjuk, hogy a jelen fejezet vizsgálatainak középpontjában álló elektro-vákuum feketelyuk-téridők esetében hogyan alkalmazhatjuk a fenti általános eredménye-ket. Először is jegyezzük meg, hogy a (5.2.2) téregyenletek felírhatók a sokkal kompaktabb dF = 0 ésd^†F = 0 alakban is, aholdésd^†a Hodge-deRham-operátort és annakd^†=∗d∗ adjungáltját jelöli. Így a szabad elektromágneses teret ábrázolóFab Maxwell-tenzor eleget tesz a(d·d^†+d^†·d)F = 0 egyenletnek, melyet – az absztrakt index jelölésre visszatérve, valamint a metrikával kompatibilis differenciáloperátort felhasználva – a

∇^e∇eFab+ 2R[afFb]f −2R[ae

b]fFef = 0 (6.5.14) hullámegyenletként írhatunk fel, míg a Ricci-tenzort, (5.2.3) és Tab spúrmentessége alap-ján, a

Rab =

½

FaeFbe− 1 4gab

¡FefF^ef¢¾

(6.5.15) alakban írhatjuk fel.

6.6. A KILLING-VEKTORMEZŐ LÉTEZÉSE A SIMA ESETBEN 107