Els˝oáras aukció

Y₁^(N−1)<x

esemény valószín˝usége.

Így az egyes játékosok várható befizetése azrrezervációs ár ésxértékelés mellett

m(x,r) =

(G(x)E

Y₁^(N−1)∨r|Y₁^(N−1)<x

, hax≥r

0, hax<r.

Analitikus formában is megfogalmazhatjuk tehát a várható befizetés értékét azx érté-kelés és azrrezervációs ár ismeretében.

3.4. állítás. Független azonos eloszlású másodáras aukció esetén a játékosok várható befizetés függvénye

m(x,r) =

(rG(r) +^R_r^xtg(t)dt, ha x≥r,

0, egyébként.

3.2. Els ˝ oáras aukció

Har≥0 a rezervációs ár, akkor a játék definíciója:

Πi=

(xi−bi , habi>max_i6=jbj,r;

0 , egyébként. (Ir)

Az aukció ugyan nem standard, de azért az igaz, hogy b≥r feltétel mellett a játékos pontosan akkor nyeri az aukciót, ha övé a legnagyobb licit, azaz, ha az

36 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

esemény teljesül, amelynek valószín˝usége G β⁻¹(b) . Tehát

kifizetési függvény maximalizálásában érdekelt. Az egyensúlyi stratégia kiszámolása azr=0 esethez nagyon hasonló.

3.5. állítás. Szimmetrikus, magán értékelés˝u, els˝oáras aukció r rezervációs ár melletti Nash-egyensúlyi licitfüggvénye a

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy hogy a j>1 játékosok a (3.2) -ben megadottβ függ-vénnyel licitálnak. Írjuk fel az 1 játékos várható profitját.

Nézzük azt az esetet, mikor azx értékelésrex<r. Ha az 1 játékos b≥r licitet alkalmaz, akkor esetleg nyer ésx−b<0 hasznot realizál, ezért profitjáraΠ(b,x)≤0.

Ab<resetben perszeΠ(b,x) =0. Ha aβ(x) =0 licitet használja, akkor az aukció definíciója szerint nem nyerhet, profitja tehát ekkor is 0. Látjuk tehát, hogyx≤resetben

Π(β(x),x) =0≥Π(b,x).

Most nézzük azx≥resetet. Tegyük fel, hogy a játékos azxértékeléséhezblicitet rendeli.

Hab<r, akkor nem kerül ki az aukcióból nyertesen, tehátΠ(b,x) =0, ezért Π(β(x),x)≥0=Π(b,x).

3. fejezet: Els ˝o- és másodáras aukció rezervációs árral 37

Speciálisan, hab=β(x), azazz=x, akkorΠ(β(x),x) =^R_r^xG(y)dy. Így Π(β(x),x)−Π(b,x) =

Z_x

r G(y)dy+G(z) (z−x)− Z_z

r G(y)dy= G(z) (z−x)−

Z_z x

G(y)dy≥0 (3.3) az integrál triviális becslése szerint, hiszenGegy monoton növeked˝o függvény.

Összességében azt mutattuk meg, hogy amennyiben a j>1 játékosok mind aβ függvénnyel licitálnak, akkor az 1 játékosb6=β(x)licitje az ˝o várható profitjátb= β(x)-hez képest nem növeli.

3.6. állítás. Egyéni értékelés˝u, azonos eloszlású, els˝oáras aukció esetén a játékosok várható befizetés függvénye

m(x,r) =

(rG(r) +^R_r^xtg(t)dt, ha x≥r,

0, egyébként.

Bizonyítás. Láttuk, hogy az egyensúlyi licitfüggvény a (3.2)-ben megadottβ-függvény.

Ezek szerint azx≤rértékelés mellettβ(x) =0, így ekkor a várható befizetés is 0.

Hax≥r, akkor aβ(x)licittel való nyerés valószín˝uségeβ szigorúan monoton volta miattG(x). Ekkor a szükséges befizetés értékeβ(x). Ilyen módon továbbra isx≥r-t feltételezve

m(x,r) =G(x)β(x) =G(x) 1 G(x)

rG(r) +

Z_x r

G(y)dy

. Ezt kellett belátni.

4.

VIRTUÁLIS ÉRTÉKELÉS

4. fejezet: Virtuális értékelés 41

A 3.6.ÉS A3.4.ÁLLÍTÁSOKBANemlített ekvivalenciát az alábbi módon is meggon-dolhatjuk. Próbáljuk meg az 1 játékosm(x,r)várható befizetését értelmezni az optimá-lis licitfüggvények konkrét alakja nélkül is.

Hax≤r, akkorm(x,r) =0, hiszen a játékos inkább veszt, mint negatív profitot koc-káztat.

Hax>r, akkor két eset lehetséges. Vagy van a többi játékos közt is olyan, akinek érté-keléserfelett van vagy nincs.

Ez utóbbi eset valószín˝uségeG(r), persze 1 nyer és azrrezervációs árat fizeti, akár els˝o-, akár másodáras lejátszást követnek. EzrG(r)várható befizetést eredményez.

Ha van másrfeletti értékelés˝u játékos is, akkor innen az 1 játékos számára az aukció ugyanaz, mintha ˝o egy rezervációs ár nélküli aukció szerepl˝oje lenne, deX∨r eloszlá-sokkal, hiszen

max

i>1(X_i∨r) =max

i>1 Xi=Y₁^(N−1).

Azt már láttuk, hogy a rezervációs ár nélküli esetben az els˝o- és a másodáras aukciónak ugyanaz az ex post várható befizetése. No de, haX eloszlásaF, akkorX∨reloszlása F·χ_(r,ω). Ebb˝ol következik, hogy a várható befizetés ide es˝o része

Z_x

0 tg(t)dt= Z_x

r tg(t)dt.

Összességében tehát mindkét esetben a várható befizetés a 3.6. és a 3.4. állításokban felírt formula.

4.1. Valószín ˝ uségi változó kockázati rátája

4.1. definíció(kockázati ráta). Ha azXvalószín˝uségi változó eloszlásfüggvényeFés s˝ur˝uségfüggvényef, akkor annak kockázati ráta függvényét

λ(x) = f(x) 1−F(x)

definiálja. Itt feltesszük, hogyFfolytonosan differenciálható és mindenx∈(0,ω) ese-ténF(x)<1.

A kockázati ráta tehát egyλ :(0,ω)→Rfolytonos függvény. A feltételes valószí-n˝uség definíciója szerint

P(X<r+s|X≥s) =P(s≤X<r+s) P(X≥s) =

Rs+r s f(t)dt

1−F(s) .

Tudjuk, hogy van olyanξ∈(s,s+r), hogy f(ξ)r=^R_s^s+rf(t)dt, ezért, har meg-felel˝oen kicsi, akkor f(s)ris elég jó becslése az integrálnak. Tehát a kockázati ráta

42 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

függvényre áttérve azt mondhatjuk, hogy

P(X<r+s|X≥s)≈λ(s)r.

Példaként tekintsük az exponenciális eloszlás esetét. Tegyük fel tehát, hogy F(x) =

(1−e^−λx , hax≥0

0 , egyébként , így f(x) =

(

λe^−λx , hax≥0 0 , egyébként.

A jól ismert örökifjú tulajdonság szerint mindenr,s≥0 eseténP(X<r+s|X≥s) = P(X<r)mindig fennáll, a bal oldal teháts-t˝ol független. Használva a kisx-ekre haté-konye^−x≈1−xbecslést,

P(X<r+s|X≥s) =P(X<r) =1−e^−λr≈λr.

Ennek megfelel˝oen az exponenciális eloszlás kockázati rátájára λ(s) = f(s)

1−F(s)=λe^−λs e^−λs =λ

konstans függvény. Arról van tehát szó, hogy az exponenciális eloszlás esetében az s-hez közeli teljesülésnek azsid˝opontig nem teljesülés feltétele melletti valószín˝usége annak az intervallumnak a hosszával arányos, amellyel azs-hez közeli teljesülést mér-jük. A lényeg, hogy itt az arányossági tényez˝o azsid˝oponttól független, mert minden smellett éppen azonos az eloszlás paraméterével. Ez az exponenciális eloszlás örök-ifjú tulajdonsága. Más eloszlásokraP(X<s+r|X≥s)még kicsirmellett is függhet s-t˝ol, de az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságából annyi minden eloszlásra át-menthet˝o, hogy az(s,s+r)kis intervallumban való teljesülésnek azs-ig nem teljesülés feltétele melletti valószín˝usége közelít˝oleg

λ(s)r,

tehát ez is az intervallumocskarhosszával arányos, de esetlegs-t˝ol függ˝oλ(s) ará-nyossági tényez˝ovel.

4.2. állítás. Tegyük fel, hogy az X valószín˝uségi változó eloszlására minden x∈(0,ω) mellett0<F(x)<1, F szigorúan monoton növ˝o és folytonosan differenciálható. Le-gyenλ:(0,ω)→R+a kockázati ráta függvény. Ekkorλfolytonos és minden x∈(0,ω) mellett

F(x) =1−e^{−R0xλ(t)dt}. (†) Megfordítva, haλ:(0,ω)→R+tetsz˝oleges pozitív, folytonos függvény, amelyre

Z_ω

0 λ(t)dt=∞,de Zx

0 λ(t)dt<∞,∀x∈(0,ω)

teljesül, úgy a fenti(†)definiálta függvény egy folytonosan differenciálható, szigorúan monoton növ˝o eloszlás függvény a[0,ω]-n, ergo van olyan X valószín˝uségi változó,

4. fejezet: Virtuális értékelés 43

aminek éppen F az eloszlása. Ennek a valószín˝uségi változónak a kockázati rátája ép-pen az el˝ore megadottλ, továbbá

E(X) =E 1

λ(X)

.

4.2. A kikiáltó bevétele a rezervációs ár függvényében

Az egész szakaszban tegyük fel, hogy a játékosok értékelését leíróFeloszlás folytono-san differenciálható, és szigorúan monoton növ˝o. Ekkor persze 0<F(x)<1 tetsz˝ole-gesx∈[0,ω]mellett.

A 3.4. és a 3.6. állításokban láttuk, hogy a játékosok befizetési függvénye mind els˝o-, mind másodáras aukció esetében a rezervációs ár jelenléte mellett is azonos. Ennek segítségével most is könny˝u kiszámolni a várható befizetés értékét.

4.3. lemma. Rögzített r≥0rezervációs ár mellett az els˝o- vagy a másodáras aukció-ban résztvev˝o játékosok várható befizetésének értéke

E(m(X,r)) =r(1−F(r))G(r) +

Z_ω

r

y(1−F(y))g(y)dy.

E függvény r szerinti deriváltfüggvénye d

dxE(m(X,r)) =G(r) (1−F(r)) (1−rλ(r)),

aholλaz eloszlások kockázati ráta függvénye, azazλ(r) =_1−F(r)^f(r) .

Bizonyítás. A valószín˝uségi változó transzformáltjára vonatkozó formula szerint

E(m(X,r)) =

44 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

emiatt, folytatva azE(m(X,r))kiszámítását, a Fubini–tétel szokásos használatával E(m(X,r)) =

Most számoljuk ki a fenti függvényrszerinti deriváltját.

G(r) (1−F(r)) +rg(r) (1−F(r))−rG(r)f(r)−(1−F(r))rg(r) =

G(r) (1−F(r))−rG(r) (1−F(r))λ(r) =G(r) (1−F(r)) (1−rλ(r)).

4.4. állítás. Tegyük fel, hogy a kockázati ráta függvényt a 0 egy jobb oldali környe-zetében majorálja az¹_t függvény, azaz létezikδ>0, melyreλ(t)< ¹_t fennáll minden t∈(0,δ)mellett. Tekintsük a kikiáltó várható bevételét egy els˝o- vagy másodáras auk-cióban mint a rezervációs ár függvényét. Ekkor e függvény a0fenti környezetében szigorúan monoton növ˝o, ergo r=0nem lehet optimális rezervációs ár.

Most tekintsük a fenti problémát egy kicsit általánosabb esetben. Tegyük fel, hogy a kikiáltó is rendelkezik egyx0értékeléssel. A feladata, hogy állítson be olyan rezervá-ciós árat, amely a várható profitját maximalizálja. Teljesen világos, hogyr<x0 rezer-vációs ár használata esetleg negatív haszonnal jár, ezért a továbbiakban feltehet˝o, hogy x0≤rteljesül. Írjuk fel a kikiáltó várható profitját az általa beállítandó rezervációs ár függvényében:

Π(r) =NE(m(X,r)) +F(r)^Nx0.

A kikiáltó várható bevétele a játékosok várható befizetéseinek összege, ami az els˝o tag, és sikertelen aukció esetén a tárgy további birtoklásából ered˝o haszon várható értéke.

Mivel az aukcióF^N(r)valószín˝uséggel sikertelen, ezért az ebb˝ol ered˝o haszon várható értékex0értékelés mellettF^N(r)·x0.

E függvényrszerinti derivált függvényére:

(Π(r))⁰=NE(m(X,r))⁰+NF(r)^N−1f(r)x₀=

NG(r) (1−F(r)) (1−rλ(r)) +NG(r)λ(r) (1−F(r))x₀=

NG(r) (1−F(r)) (1−rλ(r) +λ(r)x₀) =NG(r) (1−F(r)) (1−λ(r) (r−x₀)). (4.1) Ha kizárjuk azF(x0) =1 és azF(x0) =0 eseteket, akkor azt kapjuk, hogy a fenti profit függvény azx₀pont egy jobb oldali környezetében szigorúan monoton növ˝o, ígyr=x₀

4. fejezet: Virtuális értékelés 45

biztosan nem optimális a kikiáltó várható profitja szempontjából. Az is nyilvánvaló, hogy az optimálisrrezervációs árra az

x₀=r− 1 λ(r) implicit egyenletnek kell teljesülnie.

Fontos, de nyilvánvaló következménye a fentieknek, hogy az optimális rezervációs ár független az aukcióban résztvev˝o játékosok számától.

Egyszer˝u példaként, írjuk fel az optimális rezervációs árat mint a kikiáltóx0 értéke-lésének függvényét abban a speciális esetben, mikor a játékosok értékelése egyenletes eloszlás szerint történik. Kis számolgatás után azt kapjuk, hogy

r=x₀ 2 +1

2 az optimális rezervációs ár.

Ugyanezt általában is megtehetjük:

4.5. definíció(virtuális értékelés). Legyen a játékosok értékelésének eloszlásaF és ennek tartója[0,ω]. Definiálja aψ:(0,ω)→Raz alábbi függvényt.

ψ(x) =x− 1

λ(x)=x−1−F(x) f(x) . Aψfüggvényt ajátékosok virtuális értékelésénekmondjuk.

4.6. definíció(reguláris játékos). Az aukcióban résztvev˝o játékostregulárisnak mond-juk, ha virtuális értékelése szigorúan monoton növ˝o.

4.7. állítás. Haψ a reguláris játékosok virtuális értékelése és a kikiáltó számára a tárgy birtoklása x₀értéket jelent, akkor

ψ⁻¹(x₀)

éppen a kikiáltó várható bevételét maximalizáló rezervációs árat adja meg.

Könnyed számolgatással kapjuk például, hogy ha a játékosok értékelése a[0,ω] in-tervallumon egyenletes eloszlású, akkor a kikiáltóx0értékeléséhez tartozó rezervációs árra a

ψ⁻¹(x₀) =1 2x0+1

2ω formula adódik.

46 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

4.3. A kikiáltó mint monopolista

Az optimális rezervációs ár egy másik értelmezése a következ˝o gondolatkísérlet. Te-gyük fel, hogy a kikiáltóprezervációs árat ajánl, és azi-edik vev˝o ezt ismeri. Azi-edik vev˝o tisztában van a magaxiértékelésével, és ha nem lenne aukció akkorxi>p eset-ben a tárgyatpáron biztosan megvenné. A kikiáltó persze nem ismeri azi-edik játékos konkrét értékelését, csak az értékelésénekF_ieloszlását. Azt tudja tehát a kikiáltó, hogy ha ˝opárat ajánl, akkor az üzlet valószín˝usége azXi>pesemény valószín˝usége, ergo 1−F_i(p). Innen a kikiáltó számára a helyzet ugyanaz, mintha az ˝o monopóliuma lenne a termék eladása, és a vev˝ok keresleti függvénye lenne a

q(p) =1−Fi(p).

Így a tárgy eladásából származó várható haszon a kikiáltó mint monopolista számára pq(p).

Ha mostx0jelöli a kikiáltó számára a tárgy birtoklásából ered˝o hasznot, akkor bevétele apár függvényében

R(p) =p(1−F_i(p)) +F_i(p)x₀ Persze a marginális bevétele

R⁰(p) =1−Fi(p)−p fi(p) +fi(p)x0=fi(p)

x0−

p−1−Fi(p) fi(p)

= fi(p) (x0−ψi(p)). Azt kaptuk tehát, hogy a monopolista kikiáltó optimális árára a

ψi(p) =x₀ egyenl˝oség teljesül.

Ezek szerint a reguláris játékosokkal szemben álló kikiáltónak olyanprezervációs árat érdemes megállapítania, amely – ugyanazokkal a játékosokkal szemben állva – mint monopolistának az optimális bevételét eredményezné apeladási árat alkalmazva.

Ha feltesszük, hogy a játékosok értékelése egyenletes eloszlású, vagy exponenciális eloszlású, akkor a kikiáltó zérus értékeléséhez tartozó rezervációs ár éppen az eloszlá-sok várható értéke. Igaz-e ez minden más eloszlásra is? Próbáljuk meg leírni eloszláeloszlá-sok egy osztályát, amikor mégis igaz a fenti sejtés. Hasonlóan, mely eloszlásokra lesz az optimális rezervációs ár a várhatóérték felett, és mely eloszlásokra marad alatta?¹

1Har^∗az optimális rezervációs ár, akkorψ(r^∗) =0=E X−_λ(X)¹

=E(ψ◦X) =ψ(E(X)), ha aψ virtuális értékelést7→at+balakú, és emiatt perszer^∗=E(X). Ez a helyzet, ha az értékelések eloszlása például exponenciális vagy egyenletes. A Jensen-egyenl˝otlenséget alkalmazva látszik, hogy haψszigorúan monoton n˝o és konvex, akkorr^∗≤E(X). Hasonlóan, a konkáv virtuális értékelés eseténE(X)≤r^∗.

4. fejezet: Virtuális értékelés 47

4.4. Belépési díj

Azt láttuk az el˝oz˝o fejezetben, hogy a rezervációs ár bevezetésével a kikiáltó növelni tudja várható bevételét. Végül is ezt avval éri el, hogy távol tartja az aukciótól azon játékosokat, akiknek licitje a rezervációs ár alatt van.

Szokásos távol tartó eljárás még a belépési díj bevezetése. Azt kell ezen érteni, hogy a kikiáltó meghatároz egy fix és mindenki más által ismert összeget, amit az aukció minden résztvev˝ojének be kell fizetni. Gondolhatunk egyszer˝uen például a ruhatár költ-ségére.

Gondoljunk vissza azrrezervációs ár melletti várható befizetés függvényére. Lát-tuk a 3.4. és a 3.6. állításokban, hogy mindkét eddig tárgyalt árverési formában ez a függvény

m(x,r) =

(rG(r) +^R_r^xtg(t)dt, hax≥r,

0, egyébként.

Ebb˝ol azonnal látszik, hogy azrrezervációs ár melletti aukcióból pontosan azokat a játékosokat zárjuk ki, akiknek értékeléseralatt, ergo a várható befizetése az

m(r,r) =rG(r)

érték alatt marad. Ahhoz tehát, hogy a belépési ár bevezetésével pontosan ugyanazon játékosok kényszerüljenek az aukcióban részt nem venni, az

e=rG(r)

belépési árat kell meghatároznunk. Világos ugyanis, hogy a belépési ár melletti aukci-óban egy, az árat megfizet˝o játékos befizetési függvénye legalábbe.

Most írjuk fele=rG(r)belépési ár mellett a várható befizetés függvényt. Nézzük az egyszer˝uség kedvéért a másodáras aukció esetét. Látható, hogyx≥resetben a játékos megfizeti azebelépési díjat és a további várható befizetése a nyerés valószín˝usége szorozva a második legnagyobb, de a belépési árat megfizet˝o értékelésnek a nyerés feltétele melletti várható értékével.

m(x,e) =e+G(x) 1 G(x)

Z_x r

tg(t)dt.

A fenti integrál valóban csakr-t˝ol indul, hiszen 1 játékos számára csak a második leg-nagyobb, derfeletti értékelés jelenthet esetleges fizetési kötelezettséget.

Megmutattuk tehát az alábbi állítást.

4.8. állítás. Egyéni értékelés˝u, azonos eloszlású valószín˝uségi változókkal játszott, r rezervációs áras els˝o- vagy másodáras aukció várható befizetési függvénye azonos az rG(r)belépési árat meghatározó els˝o- vagy másodáras aukción várható befizetésével.

Ilyen módon az r rezervációs ár mellett a kikiáltó várható haszna azonos az rG(r) belépési ár melletti várható haszonnal.

5.

BEVÉTELEKVIVALENCIA-ELV

5. fejezet: Bevételekvivalencia-elv 51

TEKINTSÜK A JÁTÉKOSprofitfüggvényét. A lényeg, hogy a várható profit értéke felír-ható az optimális licitfüggvény aktuális értékét˝ol függetlenül is. Világos, hogy a várfelír-ható bevétel a nyerés valószín˝uségének és az aktuális értékelésnek a szorzata. Ha a feltétele-zettβ szigorúan monoton, akkor a legnagyobb értékelés˝u játékos nyer, hiszen standard aukcióról van szó. Ha tehátba leadott licit, akkorG β⁻¹(b)

ablicittel való nyerés valószín˝usége. Tegyük fel most, hogy a várható befizetési függvény adott. Ekkor azx értékeléssel és ablicittel együtt járó várható bevétel a

Π(b,x) =G β⁻¹(b)

x−m(β⁻¹(b)), amint azt (Π^?) indoklásakor láttuk.

Ha mostβ optimális licitfüggvény, az azt jelenti, hogy játékosunk fent számított vár-ható profitjab=β(x)-ben maximumon van. Ez azt jelenti, hogy tetsz˝olegesen rögzített xértékelés mellett a fenti profitfüggvény els˝o változó szerint deriváltjab=β(x) pont-ban zérus, azaz∂1Π(β(x),x) =0. Persze

∂₁Π(b,x) =g

β⁻¹(b) 1

β⁰(β⁻¹(b))x−m⁰(β⁻¹(b)) 1 β⁰ β⁻¹(b). Ha tehátb=β(x), akkor

g(x) 1

β⁰(x)x−m⁰(x) 1 β⁰(x)=0.

Azt kapjuk tehát, hogy mindenx értékelés mellett m⁰(x) =xg(x), így a Newton–

Leibnitz-tétel szerint explicit formulát kapunk a befizetési függvényre:m(x) =m(0) + R_x

0tg(t)dt.Az alábbi tételt igazoltuk.

5.1. állítás(bevételekvivalencia-elv). Tegyük fel, hogy szimmetrikus modellben játszott, standard aukciót a felek szigorúan monoton növ˝o licitfüggvénnyel játsszák szimmetri-kus Nash-egyensúlyi helyzetben.

Ekkor a várható befizetési függvény független az aukció szerkesztését˝ol és felírható a használt licitfüggvényt˝ol függetlenül. Konkrét alakja:

m(x) =m(0) + Z_x

0

tg(t)dt.

5.1. Speciális aukciók

Az eddigiekben azmbefizetési függvényt a konkrétβ licitfüggvény alakjából szár-maztattuk. A bevételekvivalencia-elv fontos következménye, hogyma standard aukció

52 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

lejátszási módjától független. Ez lehet˝oséget ad az optimális licitfüggvény meghatáro-zására is. Tegyük fel például, hogy nem ismerjük az els˝oáras aukció optimális licitfügg-vényét. Világos, hogy els˝oáras esetben

m(x) =G(x)β(x),

hiszenG(x)azxértékelés˝u játékos nyerésének valószín˝usége és a nyertes aβ(x)licitjét köteles fizetni. Ebb˝ol azonnal adódik a már korábban kiszámított

β(x) = 1

Hasonló ötlettel nézzük a másodáras aukciók esetét. Feledjük el egy pillanatra, hogy az id függvény adja az optimális liciteket. Az aukció lejátszási módja szerint

m(x) =G(x)E ese-mény melletti feltételes eloszlás függvényét. Ekkor mindent<xmellett

F₁^(N−1) Így a feltételes eloszlásra azt kapjuk, hogy

f₁^(N−1) Ilyen módon bármi is aβlicitfüggvény, de

E teljesül mindenxmellett, amib˝ol egy deriválás utánβ=id valóban következik.

A fenti két példa semmi újat nem adott, hiszen korábban meghatároztuk már az els˝o-és másodáras aukció optimális licitfüggvényeit. Viszont azt látjuk, hogy kiindulva vala-mely konkrét aukció lejátszási módjából, ha azmbefizetési függvény és aβ licitfügg-vény között kapcsolatot tudunk létesíteni, akkor a bevételekvivalencia-elv lehet˝oséget ad az optimális licitfüggvény analitikus felírására.

5. fejezet: Bevételekvivalencia-elv 53

Mindenki fizet aukció

A lejátszás a következ˝o. A legnagyobb licitet ajánló játékos nyer, de mindenki fizeti az általa megtett licitet, függetlenül attól, hogy nyert vagy sem. Az i-edik játékos tehát a

Πi=

(x−b_i , hab_i>max_j6=ib_j;

−bi , egyébként (AP)

függvény maximalizálására törekszik. Most tegyük fel, hogy vanβ szigorúan monoton növ˝o optimális licitfüggvény. Ekkor a bevételekvivalencia-elv szerint azxértékeléssel együtt járó várható befizetés

Zx

0 tg(t)dt=m(x) =β(x).

Azt kaptuk tehát, hogy az optimális licitfüggvény csak a fenti alakú lehet. Itt könny˝u igazolni, hogy a fentiβ valóban az optimális licitfüggvény. Bevezetve az=β⁻¹(x) jelölést azt kapjuk, hogy aGmonoton növekedése szerint. Bebizonyítottuk tehát az alábbi állítást.

5.2. állítás. A mindenki fizet aukciónak létezik szigorúan monoton növ˝o optimális licit-függvénye. Ennek analitikus alakja

54 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Vesztesek fizetnek aukció

A lejátszás definíciója szerint a legnagyobb licitet bejelent˝o játékos az aukció nyertese.

Minden játékos befizeti az általa ajánlott licitet, kivéve a nyertes játékos, aki nem fizet semmit. Magyarul:

Πi= (

x , habi>max_j6=ibj;

−b_i , egyébként. (LP)

Kapcsolatot kell teremtenünk a licitfüggvény és a várható befizetés között. Látható, hogy ez a kapcsolat:

m(x) = (1−G(x))β(x),

hiszen a vesztés valószín˝usége szorozva a vesztéskor fizetend˝o értékkel. A bevételekvi-valencia-elv szerint

(1−G(x))β(x) = Zx

0 tg(t)dt.

Bebizonyítottuk tehát az alábbi állítást.

5.3. állítás. Az vesztesek fizetnek aukció szigorúan monoton, optimális licitfüggvénye egyedül a

CsakN=2 esetben tudjuk a feladatot megoldani. A legnagyobb licitet adó játékos nyer, mindketten fizetik a vesztes által leadott licitet. Ha a játékosokiésj, akkor

Πi=

(x−b_j , hab_i>b_j,

−bi , egyébként. (WA)

Tehát vesztés esetén a saját licit, nyerés esetén a második legnagyobb licit fizetend˝o. Ez azt jelenti, hogy a várható befizetés:

m(x) = (1−G(x))β(x) +G(x)E Felhasználva a (5.1) formulát, a bevételekvivalencia-elv szerint

Z _x

Felírva a deriváltakat azt kapjuk, hogy

xg(x) =−g(x)β(x) + (1−G(x))β⁰(x) +g(x)β(x) = (1−G(x))β⁰(x).

5. fejezet: Bevételekvivalencia-elv 55

Innen persze azt kapjuk, hogy az optimális licitfüggvénynek ki kell elégítenie a β⁰(x) = g(x)

(1−G(x))x

egyenletet. Persze ezN=2 miatt _1−x^x = _1−x¹ −1 függvényt jelenti. Bebizonyítottuk tehát a következ˝o állítást:

5.4. állítás. A kivéreztetés („war of attrition”) aukció optimális licitfüggvényére az N=2esetben csak a

Újra tetsz˝olegesNmellett vizsgáljuk a jelenséget, perszeN≥3. A harmadáras aukció majdnem mindenben azonos a másodárassal, de most a nyer˝o befizetés a harmadik legnagyobb ajánlott licit. Tehát azi-edik játékos szempontjából:

Πi=

(x−max2_j6=ibj , habi>max_j6=ibj,

0 , egyébként. (III)

Nyilvánvaló, hogy a befizetési függvény és a licitfüggvény közti kapcsolat:

m(x) =G(x)E

Y₂^(N−1)|Y₁^(N−1)<x .

Azért, hogy a fenti feltételes várható értéket könnyen kezeljük, számítsuk ki el˝oször a feltételes s˝ur˝uségfüggvényt. Jelölje a továbbiakbanF₁^(N−1)azY₁^(N−1)eloszlását, és F₂^(N−1)azY₂^(N−1)valószín˝uségi változó eloszlását. HasonlóanF₁^(N−1)(·|A)azY₁^(N−1) feltételes eloszlását azAfeltételi esemény mellett, ésF₂^(N−1)(·|A)azY₂^(N−1)feltételes eloszlásfüggvénye. Analóg módonf₁^(N−1),f₂^(N−1)azY₁^(N−1)ésY₂^(N−1) s˝ur˝uségfüggvé-nye. A feltételes s˝ur˝uségfüggvények: f₂^(N−1)(·|A)azY₂^(N−1)valószín˝uségi változó és f₁^(N−1)(·|A)azY₁^(N−1)valószín˝uségi változó feltételes s˝ur˝uségfüggvénye azAfeltétel mellett. Korábban azt láttuk, hogyf₁^(N−1)

t|Y₁^(N−1)<x

=_G(x)^g(t).

5.5. lemma. Az Y₂^(N−1)valószín˝uségi változónak az Y₁^(N−1)<x feltétel melletti felté-teles s˝ur˝uségfüggvényére minden y<x mellett.

56 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Bizonyítás. Világos, hogyy<xmellett egymást kizáró értelemben. Ez utóbbi esemény csak úgy teljesülhet, hogy az

X₁, . . . ,X_N−1valószín˝uségi változók egyike esik az[y,x)intervallumba, míg az összes

többi a[0,y]intervallumban marad. No de az el˝obbiN−1 féleképpen lehetséges, így ennek valószín˝usége(N−1) (F(x)−F(y)), persze az utóbbi esemény valószín˝usége F₁^(N−2)(y). Így

A feltételes valószín˝uség definíciója miatt F₂^(N−1)(y|Y₁^(N−1)<x) = 1

F₁^(N−1)(x)

F₁^(N−1)(y) + (N−1) (F(x)−F(y))F₁^(N−2)(y) .

Eztyszerint deriválva kapjuk a szóban forgó feltételes s˝ur˝uségfüggvényt:

f₂^(N−1)(y|Y₁^(N−1)<x) =

Most vegyük észre, hogy a középen szerepl˝o (N−1) (−f)F₁^(N−2)= (N−1) (−f)F^N−2=− A bevételekvivalencia-elv szerint e függvény deriváltja éppenxg(x). Tehát

m⁰(x) =

5. fejezet: Bevételekvivalencia-elv 57

Emlékezzünk arra, hogy g= F^N−10

= (N−1)F^N−2f = (N−1)F₁^(N−2)f. Így a bevételekvivalencia-elv miatt mindenxértékelés mellett

xg(x) =x(N−1)F₁^(N−2)(x)f(x) = (N−1)f(x) Z_x

0 f₁^(N−2)(t)β(t)dt=m⁰(x), amib˝ol a középs˝o egyenl˝oség egyszer˝usítése után kapjuk az

xF₁^(N−2)(x) = Zx

0 f₁^(N−2)(t)β(t)dt

azonosságot. Világos, hogy innenβ egy újbóli deriválás után már kifejezhet˝o:

F₁^(N−2)(x) +x f₁^(N−2)(x) =f₁^(N−2)(x)β(x), amib˝ol márβexplicit alakban adódik.

β(x) =x+F₁^(N−2)(x) f₁^(N−2)(x)

=x+ F^N−2(x)

(N−2)F^N−3(x)f(x)=x+ F(x) (N−2)f(x). Itt meg is fogalmazhatnánk, hogy csak a fenti alakú függvény lehet a harmadáras aukció optimális licitfüggvénye.

A probléma viszont a következ˝o. A bevételekvivalencia-elv alkalmazhatóságának egyik feltétele volt a szigorúan monoton növ˝o licitfüggvény létének feltételezése. Ah-hoz tehát, hogy olyan állítást gyártsunk, amelynek feltételrendszere legalábbis nem biz-tosan üres, ahhoz szükséges valamilyen feltétel, ami garantálja a fentiβ monoton nö-vekedését. A legjobb lenne persze szükséges és elégséges feltétel. Viszont szép feltétel

A probléma viszont a következ˝o. A bevételekvivalencia-elv alkalmazhatóságának egyik feltétele volt a szigorúan monoton növ˝o licitfüggvény létének feltételezése. Ah-hoz tehát, hogy olyan állítást gyártsunk, amelynek feltételrendszere legalábbis nem biz-tosan üres, ahhoz szükséges valamilyen feltétel, ami garantálja a fentiβ monoton nö-vekedését. A legjobb lenne persze szükséges és elégséges feltétel. Viszont szép feltétel

In document Aukcióelmélet előadások (Pldal 36-0)