A kikiáltó bevétele

Mivel a kikiáltó bevétele egészen nyilvánvaló módon csak az aukció résztvev˝oit˝ol szár-mazik, azaz csak azmivárható befizetési függvényekt˝ol függ, továbbá azmibefizetések konstanstól eltekintve csak aQallokációtól függenek egy ösztönz˝o mechanizmus mel-lett, ezért a kikiáltó várható árbevételét is meghatározza aQallokációs szabály, ahogyan azt korábban a bevételekvivalencia-elvet kielégít˝o konkrét aukcióknál is láttuk. Az állí-tásnak fontos érdekessége, hogy újra megjelenik a virtuális értékelés koncepciója. Ké-s˝obb ennek a gondolatnak az alapján kapjuk a virtuális értékelés érdekes interpretációit.

Az állítás igazolása után ennek egy el˝orehozott példáját adjuk, arra a már vizsgált esetre vonatkozólag, amikor a licitálók azonos értékeloszlással rendelkeznek.

10.6. állítás. Legyen(Q,M)egy ösztönz˝o direkt-mechanizmus. Ekkor a kikiáltónak az i-edik játékostól származó várható haszna

E(m(Xi)) =mi(0) + Z

Ξ

Qi(x)f(x)ψi(xi)dx, aholψiaz i játékos virtuális értékelése. Így a kikiáltó várható bevételére

E(R) =

Bizonyítás. Láttuk, hogy ösztönz˝o mechanizmusra teljesül a bevételekvivalencia-elv, tehát mindenijátékosra és annak mindenx_i∈[0,ωi]értékelésére

mi(x_i) =mi(0) +q_i(x_i)xi− Z_xi

0 qi(z)dz.

A transzformált valószín˝uségi változó formulája miatt, ezért E(m_i(X_i)) = A kett˝os integrál a Fubini-tétel miatt

Z_ωi

10. fejezet: Ösztönz ˝o mechanizmus 97

A virtuális értékelésψi=id−^1−F_f ⁱ

i bevezetésével folytatva, majd újra a Fubini-tételt használva kapjuk kívánt formulát.

Ezek összegére felírt formula már nyilvánvaló.

Miel˝ott folytatnánk az aszimmetrikus eset vizsgálatát, magunknak egy pillanat ki-tér˝ot megengedve, alkalmazzuk a fenti eredményt szimmetrikus helyzetben, reguláris játékosokkal. Például egy másodáras aukcióra is teljesülnek az alábbi feltételek.

10.7. megjegyzés. Legyen most a(Q,M)ösztönz˝o direkt-mechanizmus hatékony. Te-gyük fel, hogy a játékosok eloszlása azonos, és a közös virtuális értékelésük szigorúan monoton növ˝o függvény. Ekkor

N i=1

∑

Q_i(x)ψ(x_i) =max{ψ(x₁),ψ(x₂), . . . ,ψ(x_N)}, ezért ha még azt is feltesszük, hogymi(0) =0 minden játékos mellett, akkor

E(R) =E(max{ψ(X1),ψ(X2), . . . ,ψ(XN)}).

Bizonyítás. A mechanizmus hatékonysága azt jelenti, hogy az aukció nyertese a legna-gyobb értékelés˝u játékos, tehát

Qi(x) =

1 ,haxi>xjmindeni6= j;

0 ,egyébként.

Így∑^Ni=1Qi(x)ψi(xi) =ψ(x_k)arra akindexre, amelyrex_k>ximindeni6=kmellett.

Persze a regularitás feltevése szerintxk>xiekvivalensψ(x_k)>ψ(x_i)feltétellel, így

N

∑

i=1

Qi(x)ψ(x_i) =ψ(x_k) =max{ψ(x₁), . . . ,ψ(x_N)}. Ezt kellett belátni.

A nyilvánvaló értelmezés tehát, hogy a fenti esetben a kikiáltó várható bevétele úgy is tekinthet˝o, mintha a virtuális értékelésekkel mint licitfüggvényekkel játszanának a játékosok egy els˝oáras aukciót.

11.

OPTIMÁLIS MEGVALÓSÍTHATÓ

MECHANIZMUS

11. fejezet: Optimális megvalósítható mechanizmus 101

AFEJEZETBEN AZTkeressük, hogy bizonyos újabb észszer˝u racionalitási feltevés mel-lett, mi a kikiáltó várható hasznának maximuma. Ez a feltevés azt jelenti, hogy a lici-tálóktól nem elvárható, hogy megjelenjenek olyan aukción, amely számukra negatív hasznossággal jár.

11.1. Megvalósítható direkt-mechanizmus

Visszatérve az általános esetre, egy nyilvánvaló becslés adható a 10.6. állításbeli függ-vényre.

11.1. állítás. Tekintsük a(Q,M)direkt-mechanizmust és legyenψiaz i játékos virtuális értékelése. Ekkor

N

∑

i=1

Q_i(x)ψi(x_i)≤max{ψ₁(x₁),ψ₂(x₂), . . . ,ψ_N(x_N),0}.

Bizonyítás. Világos, hogyψi(xi)≤ψi(xi)∨0≤max{ψ_k(x_k)∨0 :k=1, . . . ,N}. Így aQi(x)≥0 szerint

N

∑

i=1

Qi(x)ψi(x_i) ≤

N

∑

i=1

Qi(x)max{ψ_k(x_k)∨0 :k=1, . . . ,N}

= max{ψk(x_k)∨0 :k=1, . . . ,N}

N

∑

i=1

Qi(x)

≤ max{ψ_k(x_k)∨0 :k=1, . . . ,N}.

Ezt kellett belátni.

11.2. definíció (egyénileg racionális). Azt mondjuk, hogy a (Q,M) direkt-mechanizmusegyénileg racionális, ha mindenimellettUi≥0.

Egy ösztönz˝o mechanizmus mellettUi(xi) =Ui(0) +^R₀^xiqi(z)dz.Mivel ittqegy valószín˝uség, ergo nem negatív, ezért mindenU_iegy-egy monoton növ˝o függvény. Így figyelembe véve azUi(xi) =qi(xi)xi−mi(xi)definíciót,Ui(0) =−mi(0). Emiatt az

Ui≥0; Ui(0)≥0; mi(0)≤0 ekvivalens feltételek egy ösztönz˝o mechanizmus mellett.

11.3. állítás. Egy(Q,M)direkt-mechanizmus pontosan akkor egyszerre ösztönz˝o és egyénileg racionális, ha minden i=1,· · ·,N mellett a

1. q_imonoton növ˝o,

2. m_i(x_i) =m_i(0) +x_iq_i(x_i)−^R₀^xiq_i(t)dt,

102 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

3. mi(0)≤0

feltételek egyszerre teljesülnek.

11.4. definíció(megvalósítható). Egy direkt-mechanizmustmegvalósíthatónak neve-zünk, ha az ösztönz˝o és egyénileg racionális.

Látjuk tehát, hogy egy megvalósítható mechanizmus annyival több, mint egy ösztön-z˝o mechanizmus, hogy kizárja azmi(0)>0 eset lehet˝oségét. Ez úgy interpretálható, hogy a 0 értékelés mellett nem lehet pozitív a várható költség, ami annyit tesz, hogy minden játékos számára megengedett dolog az aukciótól való távolmaradás.

Az eddigi eredményeink összefoglalása a következ˝o állítás.

11.5. állítás. Legyen(Q,M)egy megvalósítható direkt-mechanizmus. Ekkor ennek vár-ható bevételére

E(R)≤E(max{ψ1(X1),ψ2(X2), . . . ,ψN(XN),0}).

Bizonyítás. Mivel ösztönz˝o a mechanizmus, ezért 10.6. állítás és a tetsz˝oleges mecha-nizmusra is fennálló 11.1. állítás szerint

E(R)≤

N

∑

i=1

mi(0) + Z

Ξ

max{ψ(x₁),ψ(x₂), . . . ,ψ(x_N),0}f(x)dx=

N

∑

i=1

mi(0) +E(max{ψ(X1), . . . ,ψ(XN),0}). Ha a mechanizmus még egyénileg racionális is, akkormi(0)≤0, így a fenti összeg els˝o tagja nem pozitív.

11.2. Példa a kikiáltó számára maximális bevételt adó megvalósítható mechanizmusra

Most arra törekszünk, hogy olyan megvalósítható direkt-mechanizmust konstruáljunk, amelyre a fenti egyenl˝otlenség egyenl˝oséggel teljesül.

Els˝o lépésként arra emlékezzünk, hogy tetsz˝oleges allokációhoz definiálható olyan befizetési szabály, amivel a mechanizmus teljesíti a bevételekvivalencia-elvet. Ha az allokációs szabály még olyan is, hogy azi-edik értékelés növelésével azi-edik játékos nyerési valószín˝usége nem csökken, akkor az így kapott mechanizmus ösztönz˝o.

A következ˝o definíció egyben állítás is, ezért igazolásra szorul.

11. fejezet: Optimális megvalósítható mechanizmus 103

11.6. definíció(optimális megvalósítható mechanizmus). Reguláris modell mellett

Qi(x) =

Ekkor(Q,M)egy olyan megvalósítható mechanizmus, amelyremi(0) =0 fennáll mindenijátékos mellett.

Bizonyítás. AQ_i(x) =¹_k azt jelenti, hogy a(ψ₁(x₁),ψ₂(x₂), . . . ,ψ_N(x_N))vektor ko-ordinátái közülψi(x_i)az egyik legnagyobb és azi-ediket is beleértve éppenkdarab legnagyobb van, amelyek nem lehetnek negatívak. Így csak az

N

esetek fordulhatnak el˝o, ezértQvalóban egy allokációs függvény. Így(Q,M)egy me-chanizmus, amelyre

mi(0) =0 és mi(x_i) =mi(0) +x_iqi(x_i)− Z_xi

0 qi(z)dz a 10.5. állítás szerint.

Most megmutatjuk, hogy minden rögzítettxi∈Ξ_−ivektorra a z7→Q_i(z,x_−i)

függvény monoton növ˝o. Legyen tehátz<w. HaQi(z,x_−i) =0, akkorQi(z,x_−i) = 0≤Qi(w,x−i)nyilvánvalóan fennáll. Ha viszontQi(z,x−i) =¹_k, akkorψi(z)<ψi(w) miattQ_i(w,x_−i) =1. Ez azt jelenti, hogyQ_i(z,x_−i)≤1=Q_i(w,x_−i)megint csak nyil-vánvalóan teljesül. Innen már nyilnyil-vánvalóan következik aqifüggvények monotonitása.

A 11.3. állítás szerint tehát a mechanizmus megvalósítható, s˝ot azmi(0) =0 feltéte-lek is teljesülnek.

Mivel a 10.6. állítás szerint a kikiáltó várható bevételére a E(R) =

formula áll fenn minden ösztönz˝o mechanizmus mellett, ezért az teljesen nyilvánvaló, hogy a megvalósítható mechanizmusok körére szorítkozva, olyan mechanizmus bizto-sítja a kikiáltó maximális várható bevételét, amelyrem_i(0) =0 áll fenn minden licitáló

104 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

mellett. Ebben az értelemben nyilvánvaló, hogy a 11.6. definícióban megadott példa egyben optimális mechanizmus is.

A következ˝o állítás egyrészt ezt szögezi le, másrészt a virtuális értékelések segítsé-gével megteremti annak lehet˝oségét, hogy jobban megértsük a 11.6. definíciót.

11.7. állítás. Reguláris modellben a 11.6. definícióban megadott megvalósítható me-chanizmus adja a kikiáltó legnagyobb bevételét. A

max{E(R):(Q,M)megvalósítható mechanizmus}

feladat a 11.6. definícióbeli mechanizmus mellett maximális és az értéke:

E(R) =E(max{ψ1(X1),ψ2(X2), . . . ,ψN(XN),0}).

Bizonyítás. A 11.5. állítás szerint minden(Q,M)megvalósítható mechanizmusra E(R)≤E(max{ψ₁(X₁),ψ2(X₂), . . . ,ψ_N(X_N),0}).

Legyen most (Q,M) a 11.6. definíció szerint megadva. El˝oször is vegyük ész-re, hogy valamely i mellett Qi(x) > 0 pontosan akkor teljesül, ha ψi(x_i) = várható bevételére a 10.6. állítás szerint

E(R) =

11. fejezet: Optimális megvalósítható mechanizmus 105

11.3. Az optimális megvalósítható mechanizmus interpretációi

Próbáljunk most a 11.6. definíció optimális megvalósítható mechanizmusához in-tuitív értelmezést találni. Az allokációs szabály jelentése nyilvánvaló. Adott x=

(x1, . . . ,xN) ∈ Ξ értékelés vektor mellett írjuk fel a virtuális értékelés vektort:

(ψ₁(x₁), . . . ,ψ_N(x_N))∈R^N. Ha minden virtuális értékelés negatív, akkor nem nyer senki. Ha van legalább zérus virtuális értékelés, akkor a legnagyobb virtuális értékelés˝u játékos nyer. Pontosabban ˝o 1 valószín˝uséggel nyer, ha egyedül birtokolja a legnagyobb virtuális értékelés˝u címet, de ha több ilyen is van, mondjukkdarab, akkor 1/k valószí-n˝uséggel nyernek a maximális virtuális értékelés˝u játékosok.

A befizetési szabályról annyit láttunk, hogy úgy van definiálva, hogy teljesítse a bevételekvivalencia-elvet. Nézzük most a befizetési szabály értelmezését. Definíció szerint ez Azyi(x_−i)tehát azijátékos legkisebb nyer˝o értékelése.

AQidefiníciója szerint, a többi játékos rögzítettx−i∈Ξ−iértékelései mellett

Q_i(z,x_−i) =

Ennek már nyilvánvaló interpretációja adható. Azijátékos befizetési szabálya a játékos nyerési valószín˝uségének és annak az értékelésének a szorzata, amellyel még éppen nyerte volna az aukciót.

106 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Egy újabb pillanatra térjünk vissza a szimmetrikus esetre. Ekkoryi(x−i) definíciójá-banψi(z_i)≥ψj x_j

pontosan akkor áll fenn, haψ(z_i)≥ψ x_j

, amiz_i≥x_j fennállá-sával ekvivalens. Har=ψ⁻¹(0), akkor a regularitási feltevés miattψ(z_i)≥0 pontosan akkor igaz, haz≥r. Emiatt

yi(x−i) =min

zi∈[0,ω]:z≥xj∀j6=i,zi≥r =max

xj:j6=i ∨r.

Látható tehát, hogy ez egy másodáras aukció azr=ψ⁻¹(0)optimális rezervációs árral.

A 11.7. állításnak persze szép és egyszer˝u interpretációját adhatjuk a nem szimmet-rikus eset mellett is. Az

E(R) =E(max{ψ1(X1),ψ2(X2), . . . ,ψN(XN),0}) (11.1) formula azt jelenti, hogy az optimális megvalósítható mechanizmus a kikiáltó számára ugyanaz, mintha minden játékos aψivirtuális értékelésével licitálna, és ilyen módon játszanának els˝oáras aukciót, de egyénenként meghatározottψ_i⁻¹(0)rezervációs árral.

Ebben a kikiáltó által elképzelt els˝oáras aukcióban azijátékos akkor nyer, ha az ˝o virtuális értékelése a legnagyobb, de legalább zérus. Ez a 4. fejezet fényében azt jelenti, hogy a kikiáltó minden játékosnak külön-külön azt a rezervációs árat ajánlja, amely rezervációs ár a kikiáltó maximális bevételét biztosítaná abban az esetben, ha a többi játékosnak is az adott játékossal azonos értékeloszlása lenne. Így minden játékos más és más rezervációs árral szembesülve licitál a virtuális értékelésével. Ebben az elképzelt aukcióban persze a kikiáltó várható bevételét a fenti (11.1) formula adja.

12.

VCG-MECHANIZMUS

12. fejezet: VCG-mechanizmus 109

AZ EL ˝OZ ˝O FEJEZETBENtárgyalt optimális megvalósítható mechanizmus hibája, hogy nem hatékony abban az értelemben, hogy nem feltétlenül igaz, hogy a tárgyat elnyer˝o licitáló értékelése lenne a legnagyobb a licitálók közt. Gondoljunk csak arra, hogy ez egy egyénileg meghatározott rezervációs árral játszott els˝oáras aukciónak feleltethet˝o meg.

A 7. fejezetben azt láttuk, hogy még rezervációs ár nélküli esetben is el˝oállhat a haté-konyság sérülése. Kiszámoltuk ugyanis, – emlékezzünk a 7.2. ábrára –, hogy amennyi-ben két licitálóval játszott els˝oáras aukciót modellezünk, akkor már egyenletes elosz-lások esetén is megjelenik ez a sérülés, feltéve, hogy a két játékos értékeloszlásának tartója nem azonos.

Az el˝oz˝o fejezetben talált optimális mechanizmust ezért nagyon durvának érezzük, ha a racionalitási szempontok közé be akarjuk emelni azon elvárásunkat, hogy az auk-ciót az a játékos nyerje, akinek legtöbbet ér az aukció tárgyának birtoklása. Ebben a fejezetben tovább sz˝ukítjük azon mechanizmusok körét, amelyek közt keressük azt, amelyik a lehet˝o legnagyobb várható bevételt hozza a kikiáltó számára. Ezt a sz˝ukítést a racionalitási elvárásaink újabb b˝ovítésével tesszük meg.

Végül ki fog derülni, hogy nincs semmi új a nap alatt, a hatékonyságot is elvárva egy másodáras aukciót kell játszanunk a kikiáltó várható bevételének optimalizálásához.

12.1. Hatékony allokáció

AVCG-mechanizmus definíciójának megértéséhez fontos a következ˝o feladat. Jelölje hλ,xiazx,λ∈R^N vektorok bels˝o szorzatát ésΛa valószín˝uség eloszlások halmazát, azazΛ=n

(λ₁,· · ·,λN)∈[0,1]^N:∑^N_j=1λj≤1o

.Rögzítettx= (x₁,· · ·,xN)∈R^N ér-tékelésvektor mellett keressük azh·,xifüggvényΛfeletti maximumát. Formálisabban:

maxhλ,xi

Látnunk kell, hogy mi ah·,xi:Λ→Rcélfüggvény optimális értéke aΛhalmaz felett, és hogy pontosan melyλ∈Λvektorokra vétetik fel az optimum.

Nézzük el˝oször a célfüggvény optimális értékét. Legyen tehátx= (x₁,· · ·,x_N) rög-zítve.

a) Ha mindeni=1,· · ·,Nmellettxi≤0, akkor mindenλ ∈Λ,λ = (λ₁,· · ·,λ_N) esetén∑^N_j=1λjxj≤0, de ha példáulλ= (0,· · ·,0)-t választjuk, akkorhλ,xi=0 lesz. A célfüggvény optimális értéke tehát 0.

110 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Tegyük fel, hogy éppenrdarab maximális koordinátája vanx-nek. Ekkor max{x1,· · ·,xN}=xi₁=xi₂=· · ·=xir.

A fenti a) és b) esetet összegezve azt kapjuk, hogy a(‡)feladatnak tetsz˝olegesx∈ R^Nmellett van megoldása, és ha adottx-reW(x)jelöli a(‡)feladat célfüggvényének optimális értékét, azaz

W(x) =max

λ∈Λhλ,xi, akkor¹

W(x) =max{x₁,· · ·,x_N,0}=max{x,0}.

Most térjünk rá annak vizsgálatára, hogy adottxértékelésvektor mellett pontosan milyen eloszlások szolgáltatják a célfüggvény optimumát. Így a kérdés az, hogy ha λ∈Λ,λ∈arg max_µ∈Λhµ,xi, ergo ha

hλ,xi=W(x) =max{x,0}, akkorλ milyen alakú lehet.

El˝oször is azt vegyük észre, optimálisλ= (λ1,· · ·,λN)esetén, haxi<0, akkor erre az iindexreλi=0-nak kell teljesülnie. Ugyanis, haλi>0 lenne, akkor

λixi<0xi

és aλ= (λ1,· · ·,λi,· · ·,λN)eloszlást azi-edik koordinátájában nullázva is eloszlást

kapunk. Márpedig ezen megváltoztatott(λ₁,· · ·,0,· · ·,λ_N)eloszlással a célfüggvény értéke szigorúan nagyobb, mint az eredetiλeloszlással.

Három esetet különböztetünk meg:

1Az egyszer˝ubb jelölés kedvéért a továbbiakbanx= (x₁,· · ·,xN)mellett max{x,0}=max{x1,· · ·,xN,0}.

12. fejezet: VCG-mechanizmus 111 azoniindexekre, amelyekrex_i<0λi=0, a többi indexre pedig csak annak kell teljesülnie, hogy az összeg 1-nél több ne legyen.

c) Az az eset maradt, mikor van olyaniindex, hogyx_i>0. Tegyük fel, hogyλ∈

A fenti sorban emiatt mindenütt egyenl˝oség van. Az utolsóra ez persze csak úgy lehetséges, hogy∑^N_j=1λj=1. Na most: eloszlássá a célfüggvény értéke n˝o, ergohλ,xicsak úgy lehet optimális, ha λj=0.

Az i) és ii) esetek szerint optimálisλ-ra tetsz˝oleges xj<max{x}eseténλj=0.

Ha tehát pontosanrdarab koordinátában van maximumax-nek, azaz 0<max{x}=xi₁=xi₂=· · ·=xir,

Az alábbi állítást gondoltuk meg.

12.1. állítás. Adott x∈R^Nmellett tekintsük a (‡) feladatot.

maxhλ,xi λ∈Λ.

) (‡)

Adott x mellett jelölje W(x)azh·,xi:Λ→Rcélfüggvény optimális értékét.

112 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

A továbbiakban annyiban módosítjuk a 9.1. szakaszban definiált modellt, hogy a li-citálók eloszlásainak tartója kicsit általánosabb. Innen azt tesszük fel, hogy azi-edik licitáló értékelését kifejez˝o eloszlás tartója az[α_i,ω_i]intervallum. Ittαi<0 is lehetsé-ges.

12.2. definíció(jóléti függvény, hatékony allokáció). AQ^?:Ξ→Λallokációhatékony, ha mindenx∈Ξértékelésvektor esetén

Q^?(x)∈arg max

A világos intuíció szerintW(x)fejezi ki azxértékelés˝u licitálók maximális összhasz-nosságát. A definíció és a (‡) feladatra adott válasz szerint

W(x) =max{x,0}=

N

∑

j=1

Q^?_j(x)x_j.

12. fejezet: VCG-mechanizmus 113

12.3. definíció. Jelölje valamelyilicitáló eseténW−i(x)a nemilicitálók hasznosság maximumát:

W−i(x) =

N

∑

j=1 j6=i

Q^?_j(x)xj=W(x)−Q^?_i(x)xi.

12.2. A

VCG

-mechanizmus optimalitása

Most aVCG-befizetési szabály definíciója következik.

12.4. definíció(VCG-befizetési szabály). AdottQ^?:Ξ→Λhatékony allokáció esetén definiálja mindeni=1,· · ·,Nmellett

M^V_i (x) =W(αi,x−i)−W−i(x) aVCG-befizetésiszabályt.

Persze els˝o célunk, hogy belássuk egy Q^?,M^V

VCG-direkt-mechanizmus ösztönz˝o voltát. Ehhez van szükségünk azi7→Q^?_i(zi,x_−i)xi−M^V_i (zi,x_−i)függvény vizsgálatára.

E függvény három legfontosabb tulajdonságát foglaljuk össze a következ˝o lemmában.

12.5. lemma. Rögzített x∈Ξértékelésvektor és rögzített i=1,· · ·,N mellett 1. Fennáll az

Q^?_i(zi,x_−i)xi−M_i^V(zi,x_−i) =hQ^?(zi,x_−i),xi −W(αi,x_−i) azonosság;

2. Az alábbi[αi,ωi]→R

z_i7→Q^?_i(z_i,x_−i)x_i−M^V_i (z_i,x_−i) függvény zi=xipontban maximális;

3. Teljesül a lenti azonosság és nemnegativitás

Q^?_i(x)x_i−M^V_i (x) =W(x)−W(α_i,x_−i)≥0.

Bizonyítás. Egyszer˝u átalakításokkal

Q^?_i(zi,x−i)xi−M^V_i (zi,x−i) =Q^?_i(zi,x−i)xi+W−i(zi,x−i)−W(αi,x−i). A jobb oldali els˝o két tagot tovább írva:

Q^?_i(z_i,x_−i)xi+W−i(z_i,x_−i) =

N

∑

j=1 i6=j

Q^?_j(z_i,x_−i)xj+Q^?_i(z_i,x_−i)x_i=hQ^?(z_i,x_−i),xi,

tehát az els˝o pont indoklásával készen is vagyunk.

114 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Most tekintsünk ahQ^?(zi,x−i),xiszámra. Ez a kifejezés a (‡) feladath·,xi célfügg-vényének valamelyΛpontbeli értéke. No deQ^?(x) definíciója pont az, hogy olyan Λ-beli eloszlásvektor, ahol e célfüggvény maximális, ergo

hQ^?(zi,x_−i),xi ≤ hQ^?(x),xi=hQ^?(xi,x_−i),xi.

Ezt úgy is mondhatjuk, hogy ahQ^?(·,x−i),xifüggvény az értelmezési tartományaxi

pontjában maximumát veszi fel. A már igazolt állítás szerint a szóban forgó z_i7→Q^?_i(z_i,x_−i)x_i−M_i^V(z_i,x_−i)

függvény ahQ^?(·,x−i),xifüggvényt˝ol csak egy aziváltozótól független konstansban különbözik, ergo ez a függvény is felveszixi-ben a legnagyobb értékét.

Az utolsó állítás egyenl˝osége nyilvánvaló következménye az els˝onek, hazi=xi he-lyettesítésre gondolunk:

Q^?_i(x)xi−M_i^V(x) =Q^?_i(xi,x−i)xi−M^V_i (xi,x−i) =

hQ^?(xi,x−i),xi −W(αi,x−i) =hQ^?(x),xi −W(αi,x−i) =

W(x)−W(αi,x−i). Persze tudjuk azt is, hogyW(x) =max{x,0}. Ez utóbbi függvény nyilván monoton növ˝o függvénye azxiváltozónak, ergoαi≤xiszerintW(x_i,x_−i)≥W(α_i,x_−i).

12.6. állítás. Legyen Q^?:Ξ→Λhatékony allokáció, és M^V :Ξ→R^N egy VCG -befizetési függvény. Ekkor a Q^?,M^V

VCG-mechanizmus egy

1. ösztönz˝o és egyénileg racionális, azaz megvalósítható direkt-mechanizmus;

2. olyan mechanizmus, amely által generált valamennyi várható egyensúlyi hasz-nosság elt˝unik az egyes játékosok minimális értékelése mellett.

Formálisabban: Minden i=1,· · ·,N licitálóra

Ui(αi) =qi(αi)αi−mi(αi) =0.

Bizonyítás. Az ösztönz˝o mechanizmus definíciója szerint azt kell látnunk, hogy a zi7→qi(z_i)xi−mi(z_i) =E(Q^?_i(z_i,X_−i))xi−E

M^V_i (z_i,X_−i)

függvény minden rögzítettx∈Ξértékelés és mindeni=1,· · ·,N licitáló mellett a zi=xipontban maximális. Az el˝oz˝o lemma második pontjában lév˝o függvénybe kom-ponálva azN−1 koordinátából állóX−i= (X₁,· · ·,Xi−1,Xi+1,· · ·,X_N)valószín˝uségi vektorváltozót azt kapjuk, hogy a minden egyeszi∈[αi,ωi]mellett

Q^?_i(z_i,X_−i)x_i−M^V(z_i,X_−i)≤Q^?_i(x_i,X_−i)x_i−M^V(x_i,X_−i)

12. fejezet: VCG-mechanizmus 115

azX−iminden kiértékelése mellett. Így a várható érték monotonitása miatt qi(z_i)x_i−mi(z_i) =

E(Q^?_i(zi,X−i))xi−E

M^V_i (zi,X−i)

=E

Q^?_i(zi,X−i)xi−M^V_i (zi,X−i)

≤ E

Q^?_i(xi,X−i)xi−M^V_i (xi,X−i)

=E(Q^?_i(xi,X−i))xi−E

M^V_i (xi,X−i)

= qi(xi)xi−mi(xi), ami éppen azt jelenti, hogy a szóban forgóVCG-mechanizmus ösztönz˝o.

Az egyéni racionalitáshoz az kell, hogy azU_i^V(x_i) =qi(x_i)x_i−mi(x_i)egyéni hasz-nosságok nem negatívak legyenek. Ehhez az el˝oz˝ohöz hasonlóan, de most a lemma harmadik pontjára koncentrálva azt kapjuk, hogy

U_i^V(xi) =E

Q^?_i(xi,X−i)xi−M_i^V(xi,X−i)

=E(W(xi,X−i)−W(αi,X−i)). Persze minden egyesiés akármilyenxi∈[αi,ωi]mellett a

W(xi,X−i)−W(αi,X−i)

egy nem negatív valószín˝uségi vektorváltozó, ezért ennek a várható értéke is nem ne-gatív.

Mivel a konstans zérus függvény várható értéke is nulla, ezért azt is látjuk, hogy a licitálók egyéni várható hasznosságai valóban nullává válnak a tartóαibaloldali vég-pontjában.

12.7. állítás. Legyen Q^?:Ξ→Λ hatékony allokáció, és M^V :Ξ→R^N egy VCG -befizetési függvény. Láttuk, hogy Q^?,M^V

megvalósítható. Most legyen M:Ξ→R^N egy másik befizetési függvény, amellyel a(Q^?,M)megvalósítható direkt-mechanizmus.

Jelölje U_i^V és m^V_i aVCG-mechanizmus várható hasznosságát és várható befizetését, hasonlóan Uiés mia másik mechanizmus várható hasznosságát és várható befizetését.

Ekkor

• Minden i=1,· · ·,N licitálóra és minden xi∈[αi,ωi]értékelésre Ui(xi)−U_i^V(xi) =Ui(αi)≥0,

• Minden i=1,· · ·,N licitálóra és minden x_i∈[α_i,ωi]értékelésre m^V_i (x_i)−m_i(x_i) =U_i(α_i)≥0.

116 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Bizonyítás. Mivel mindkét mechanizmus ösztönz˝o, ezért az ösztönz˝o mechanizmusok 10.4. állításban megfogalmazott karakterizációja szerint

Ui(x_i) = Ui(α_i) + Z_xi

αi

qi(t)dt;

U_i^V(xi) = U_i^V(αi) + Zxi

αi

qi(t)dt,

aholq_i(t) =E(Q^?(t,X_−i)).Az imént láttuk, hogy aVCG-mechanizmus generálta hasz-nosságok a bal végpontban elt˝unnek, azazU_i^V(α_i) =0 minden licitáló mellett, így Ui(xi) =Ui(αi) +U_i^V(xi).Ebb˝ol már látszik is, hogy mindenxi∈[αi,ωi]mellett

Ui(xi)−U_i^V(xi) =Ui(αi)≥0, hiszen(Q^?,M)is egyénileg racionális.

Az egyensúlyi hasznosságokra definíció szerint

U_i(x_i) = x_iq_i(x_i)−m_i(x_i); U_i^V(x_i) = x_iq_i(x_i)−m^V_i (x_i).

A fels˝o egyenletb˝ol az alsót kivonva kapjuk, hogy

m^V_i (xi)−mi(xi) =Ui(xi)−U_i^V(xi) =Ui(αi)≥0.

Ezt kellett belátni.

Meggondoltuk tehát, hogy adottQ^?hatékony allokációval tetsz˝oleges olyanM befi-zetési szabályra, amelyre(Q^?,M)megvalósítható a kapott várható egyensúlyi hasznos-ság függvények csak konstansban különböznek egymástól. Ezen várható egyensúlyi hasznosságok közt aVCG- mechanizmusé a legkisebb.

Hasonlóan, a várható befizetési függvények is egymás eltoltjai, méghozzá ugyanav-val a konstanssal. Ezen várható befizetések közt aVCG-hez tartozó a lehet˝o legnagyobb.

Az is adódik még, hogy

m^V_i (αi) =αiqi(αi). A fejezet legfontosabb eredményéhez érkeztünk:

12.8. állítás. Adott hatékony allokáció mellett a VCG-mechanizmus garantálja a ki-kiáltó legnagyobb várható bevételét az adott hatékony allokációhoz található összes ösztönz˝o és egyénileg racionális, azaz az összes megvalósítható mechanizmusok közül.

Bizonyítás. AdottQ^?hatékony allokációhoz legyen Q^?,M^V

aVCG-mechanizmus, és (Q^?,M)valamely megvalósítható mechanizmus. Jelölje, mint korábbanm^V_i aVCG-hez

12. fejezet: VCG-mechanizmus 117

tartozó, ésmia másikhoz tartozó várható befizetéseket. A kikiáltó bevétele a licitáló befizetéseib˝ol és csak abból keletkezik. E várható árbevétel tehát a

N

valószín˝uségi változók összegének várható értékei. JelöljeE R^V

a kikiáltónak aVCG -hez tartozó várható bevételét, ésE(R)a másik mechanizmus esetén adódó várható bevételt. Ekkor

12.3. A

VCG

-befizetési szabály értelmezése

Miután megértettük, hogy aVCG-mechanizmus az optimális, ha a kikiáltó várható be-vételét maximalizáljuk a megvalósítható és hatékony mechanizmusok közt, felmerül a kérdés, hogy nem túl trükkösen definiáltuk-e azM^V kifizetéseket. Jó lenne látni, hogy honnan jön a gondolat, hogy éppen

M^V_i (x) =W(αi,x−i)−W−i(x)

módon kell definiálni a mechanizmus befizetését. A fejezet hátralév˝o részében erre sze-retnénk választ keresni.

Egy kicsit egyszer˝ubb esetet vizsgálunk avval, hogy a további feltevésünk szerint minden licitáló értékelésének bal végpontja zérus, azazαi=0, mindeni=1,· · ·,N mellett.

Tekintsünk egyx∈Ξértékelést.

1. A legegyszer˝ubb eset, mikorx-ben csak egyetlen legnagyobb koordináta van.

Ha ez azi-edik, akkor a fejezet els˝o szakaszában megértett hatékony allokáció szabályai szerint

Q^?_i(x) =1, és minden másj6=i-re Q^?_j(x) =0.

118 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Most nézzük a vesztesek befizetését, azazj6=i. Ekkor W 0,x_−j

= max{x_k:k6=j}=max{x}, W_−j(x) = Q^?_i(x)x_i=max{x}.

A vesztes befizetése tehátM^V_j (x) =0.

Ott tartunk tehát, hogy abban az esetben, amikor a licitálók között nincs holtver-seny,

M_i^V(x) =Q^?_i(x)·max2{x}, mindeni=1,· · ·,Nlicitáló esetén.

2. Most tegyük fel, hogy pontosanr licitáló közt van az élen nem zérus érték˝u holtverseny, azaz

max{x}=xi₁=xi₂=· · ·=xir>0.

Tudjuk a Q^? allokáció hatékonysága miatt, hogy ekkor∑^rt=1Q^?_it(x) =1, és a vesztes licitálók allokációjának valószín˝usége zérus.

Legyen jegy vesztes index, azazxj<max{x}. Ekkor W 0,x_−j

= max{x},

W_−j(x) = W(x)−Q^?_j(x)xj=max{x}.

A vesztes befizetése tehát most isM^V_j (x) =0.

Végül nézzük a gy˝oztesek befizetését, azaz a vizsgált licitáló indexe valamely 1≤t≤rmellettit. Figyeljünk arra, hogy ekkorxit=max{x}=max2{x}, így adja meg a nyertes licitálók befizetési kötelezettségét.

Azt igazoltuk tehát, hogy a holtversenyes és a nem holtversenyes esetben is M^V_i (x) =Q^?_i(x)·max2{x}

adja a befizetési szabályt.

12. fejezet: VCG-mechanizmus 119

12.4. Összegzés

AVCG-mechanizmusra mint másodáras aukcióra kell gondolnunk úgy, hogy szembe nézünk az azonos értékelések lehet˝oségével is. A döntés el˝ott, de az értékelések megis-merése után adott egy hatékony{λ₁,· · ·,λN}allokáció. A vesztesek nem fizetnek

AVCG-mechanizmusra mint másodáras aukcióra kell gondolnunk úgy, hogy szembe nézünk az azonos értékelések lehet˝oségével is. A döntés el˝ott, de az értékelések megis-merése után adott egy hatékony{λ₁,· · ·,λN}allokáció. A vesztesek nem fizetnek

In document Aukcióelmélet előadások (Pldal 97-0)