Az optimális megvalósítható mechanizmus interpretációi

Próbáljunk most a 11.6. definíció optimális megvalósítható mechanizmusához in-tuitív értelmezést találni. Az allokációs szabály jelentése nyilvánvaló. Adott x=

(x1, . . . ,xN) ∈ Ξ értékelés vektor mellett írjuk fel a virtuális értékelés vektort:

(ψ₁(x₁), . . . ,ψ_N(x_N))∈R^N. Ha minden virtuális értékelés negatív, akkor nem nyer senki. Ha van legalább zérus virtuális értékelés, akkor a legnagyobb virtuális értékelés˝u játékos nyer. Pontosabban ˝o 1 valószín˝uséggel nyer, ha egyedül birtokolja a legnagyobb virtuális értékelés˝u címet, de ha több ilyen is van, mondjukkdarab, akkor 1/k valószí-n˝uséggel nyernek a maximális virtuális értékelés˝u játékosok.

A befizetési szabályról annyit láttunk, hogy úgy van definiálva, hogy teljesítse a bevételekvivalencia-elvet. Nézzük most a befizetési szabály értelmezését. Definíció szerint ez Azyi(x_−i)tehát azijátékos legkisebb nyer˝o értékelése.

AQidefiníciója szerint, a többi játékos rögzítettx−i∈Ξ−iértékelései mellett

Q_i(z,x_−i) =

Ennek már nyilvánvaló interpretációja adható. Azijátékos befizetési szabálya a játékos nyerési valószín˝uségének és annak az értékelésének a szorzata, amellyel még éppen nyerte volna az aukciót.

106 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Egy újabb pillanatra térjünk vissza a szimmetrikus esetre. Ekkoryi(x−i) definíciójá-banψi(z_i)≥ψj x_j

pontosan akkor áll fenn, haψ(z_i)≥ψ x_j

, amiz_i≥x_j fennállá-sával ekvivalens. Har=ψ⁻¹(0), akkor a regularitási feltevés miattψ(z_i)≥0 pontosan akkor igaz, haz≥r. Emiatt

yi(x−i) =min

zi∈[0,ω]:z≥xj∀j6=i,zi≥r =max

xj:j6=i ∨r.

Látható tehát, hogy ez egy másodáras aukció azr=ψ⁻¹(0)optimális rezervációs árral.

A 11.7. állításnak persze szép és egyszer˝u interpretációját adhatjuk a nem szimmet-rikus eset mellett is. Az

E(R) =E(max{ψ1(X1),ψ2(X2), . . . ,ψN(XN),0}) (11.1) formula azt jelenti, hogy az optimális megvalósítható mechanizmus a kikiáltó számára ugyanaz, mintha minden játékos aψivirtuális értékelésével licitálna, és ilyen módon játszanának els˝oáras aukciót, de egyénenként meghatározottψ_i⁻¹(0)rezervációs árral.

Ebben a kikiáltó által elképzelt els˝oáras aukcióban azijátékos akkor nyer, ha az ˝o virtuális értékelése a legnagyobb, de legalább zérus. Ez a 4. fejezet fényében azt jelenti, hogy a kikiáltó minden játékosnak külön-külön azt a rezervációs árat ajánlja, amely rezervációs ár a kikiáltó maximális bevételét biztosítaná abban az esetben, ha a többi játékosnak is az adott játékossal azonos értékeloszlása lenne. Így minden játékos más és más rezervációs árral szembesülve licitál a virtuális értékelésével. Ebben az elképzelt aukcióban persze a kikiáltó várható bevételét a fenti (11.1) formula adja.

12.

VCG-MECHANIZMUS

12. fejezet: VCG-mechanizmus 109

AZ EL ˝OZ ˝O FEJEZETBENtárgyalt optimális megvalósítható mechanizmus hibája, hogy nem hatékony abban az értelemben, hogy nem feltétlenül igaz, hogy a tárgyat elnyer˝o licitáló értékelése lenne a legnagyobb a licitálók közt. Gondoljunk csak arra, hogy ez egy egyénileg meghatározott rezervációs árral játszott els˝oáras aukciónak feleltethet˝o meg.

A 7. fejezetben azt láttuk, hogy még rezervációs ár nélküli esetben is el˝oállhat a haté-konyság sérülése. Kiszámoltuk ugyanis, – emlékezzünk a 7.2. ábrára –, hogy amennyi-ben két licitálóval játszott els˝oáras aukciót modellezünk, akkor már egyenletes elosz-lások esetén is megjelenik ez a sérülés, feltéve, hogy a két játékos értékeloszlásának tartója nem azonos.

Az el˝oz˝o fejezetben talált optimális mechanizmust ezért nagyon durvának érezzük, ha a racionalitási szempontok közé be akarjuk emelni azon elvárásunkat, hogy az auk-ciót az a játékos nyerje, akinek legtöbbet ér az aukció tárgyának birtoklása. Ebben a fejezetben tovább sz˝ukítjük azon mechanizmusok körét, amelyek közt keressük azt, amelyik a lehet˝o legnagyobb várható bevételt hozza a kikiáltó számára. Ezt a sz˝ukítést a racionalitási elvárásaink újabb b˝ovítésével tesszük meg.

Végül ki fog derülni, hogy nincs semmi új a nap alatt, a hatékonyságot is elvárva egy másodáras aukciót kell játszanunk a kikiáltó várható bevételének optimalizálásához.

12.1. Hatékony allokáció

AVCG-mechanizmus definíciójának megértéséhez fontos a következ˝o feladat. Jelölje hλ,xiazx,λ∈R^N vektorok bels˝o szorzatát ésΛa valószín˝uség eloszlások halmazát, azazΛ=n

(λ₁,· · ·,λN)∈[0,1]^N:∑^N_j=1λj≤1o

.Rögzítettx= (x₁,· · ·,xN)∈R^N ér-tékelésvektor mellett keressük azh·,xifüggvényΛfeletti maximumát. Formálisabban:

maxhλ,xi

Látnunk kell, hogy mi ah·,xi:Λ→Rcélfüggvény optimális értéke aΛhalmaz felett, és hogy pontosan melyλ∈Λvektorokra vétetik fel az optimum.

Nézzük el˝oször a célfüggvény optimális értékét. Legyen tehátx= (x₁,· · ·,x_N) rög-zítve.

a) Ha mindeni=1,· · ·,Nmellettxi≤0, akkor mindenλ ∈Λ,λ = (λ₁,· · ·,λ_N) esetén∑^N_j=1λjxj≤0, de ha példáulλ= (0,· · ·,0)-t választjuk, akkorhλ,xi=0 lesz. A célfüggvény optimális értéke tehát 0.

110 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Tegyük fel, hogy éppenrdarab maximális koordinátája vanx-nek. Ekkor max{x1,· · ·,xN}=xi₁=xi₂=· · ·=xir.

A fenti a) és b) esetet összegezve azt kapjuk, hogy a(‡)feladatnak tetsz˝olegesx∈ R^Nmellett van megoldása, és ha adottx-reW(x)jelöli a(‡)feladat célfüggvényének optimális értékét, azaz

W(x) =max

λ∈Λhλ,xi, akkor¹

W(x) =max{x₁,· · ·,x_N,0}=max{x,0}.

Most térjünk rá annak vizsgálatára, hogy adottxértékelésvektor mellett pontosan milyen eloszlások szolgáltatják a célfüggvény optimumát. Így a kérdés az, hogy ha λ∈Λ,λ∈arg max_µ∈Λhµ,xi, ergo ha

hλ,xi=W(x) =max{x,0}, akkorλ milyen alakú lehet.

El˝oször is azt vegyük észre, optimálisλ= (λ1,· · ·,λN)esetén, haxi<0, akkor erre az iindexreλi=0-nak kell teljesülnie. Ugyanis, haλi>0 lenne, akkor

λixi<0xi

és aλ= (λ1,· · ·,λi,· · ·,λN)eloszlást azi-edik koordinátájában nullázva is eloszlást

kapunk. Márpedig ezen megváltoztatott(λ₁,· · ·,0,· · ·,λ_N)eloszlással a célfüggvény értéke szigorúan nagyobb, mint az eredetiλeloszlással.

Három esetet különböztetünk meg:

1Az egyszer˝ubb jelölés kedvéért a továbbiakbanx= (x₁,· · ·,xN)mellett max{x,0}=max{x1,· · ·,xN,0}.

12. fejezet: VCG-mechanizmus 111 azoniindexekre, amelyekrex_i<0λi=0, a többi indexre pedig csak annak kell teljesülnie, hogy az összeg 1-nél több ne legyen.

c) Az az eset maradt, mikor van olyaniindex, hogyx_i>0. Tegyük fel, hogyλ∈

A fenti sorban emiatt mindenütt egyenl˝oség van. Az utolsóra ez persze csak úgy lehetséges, hogy∑^N_j=1λj=1. Na most: eloszlássá a célfüggvény értéke n˝o, ergohλ,xicsak úgy lehet optimális, ha λj=0.

Az i) és ii) esetek szerint optimálisλ-ra tetsz˝oleges xj<max{x}eseténλj=0.

Ha tehát pontosanrdarab koordinátában van maximumax-nek, azaz 0<max{x}=xi₁=xi₂=· · ·=xir,

Az alábbi állítást gondoltuk meg.

12.1. állítás. Adott x∈R^Nmellett tekintsük a (‡) feladatot.

maxhλ,xi λ∈Λ.

) (‡)

Adott x mellett jelölje W(x)azh·,xi:Λ→Rcélfüggvény optimális értékét.

112 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

A továbbiakban annyiban módosítjuk a 9.1. szakaszban definiált modellt, hogy a li-citálók eloszlásainak tartója kicsit általánosabb. Innen azt tesszük fel, hogy azi-edik licitáló értékelését kifejez˝o eloszlás tartója az[α_i,ω_i]intervallum. Ittαi<0 is lehetsé-ges.

12.2. definíció(jóléti függvény, hatékony allokáció). AQ^?:Ξ→Λallokációhatékony, ha mindenx∈Ξértékelésvektor esetén

Q^?(x)∈arg max

A világos intuíció szerintW(x)fejezi ki azxértékelés˝u licitálók maximális összhasz-nosságát. A definíció és a (‡) feladatra adott válasz szerint

W(x) =max{x,0}=

N

∑

j=1

Q^?_j(x)x_j.

12. fejezet: VCG-mechanizmus 113

12.3. definíció. Jelölje valamelyilicitáló eseténW−i(x)a nemilicitálók hasznosság maximumát:

W−i(x) =

N

∑

j=1 j6=i

Q^?_j(x)xj=W(x)−Q^?_i(x)xi.

12.2. A

VCG

-mechanizmus optimalitása

Most aVCG-befizetési szabály definíciója következik.

12.4. definíció(VCG-befizetési szabály). AdottQ^?:Ξ→Λhatékony allokáció esetén definiálja mindeni=1,· · ·,Nmellett

M^V_i (x) =W(αi,x−i)−W−i(x) aVCG-befizetésiszabályt.

Persze els˝o célunk, hogy belássuk egy Q^?,M^V

VCG-direkt-mechanizmus ösztönz˝o voltát. Ehhez van szükségünk azi7→Q^?_i(zi,x_−i)xi−M^V_i (zi,x_−i)függvény vizsgálatára.

E függvény három legfontosabb tulajdonságát foglaljuk össze a következ˝o lemmában.

12.5. lemma. Rögzített x∈Ξértékelésvektor és rögzített i=1,· · ·,N mellett 1. Fennáll az

Q^?_i(zi,x_−i)xi−M_i^V(zi,x_−i) =hQ^?(zi,x_−i),xi −W(αi,x_−i) azonosság;

2. Az alábbi[αi,ωi]→R

z_i7→Q^?_i(z_i,x_−i)x_i−M^V_i (z_i,x_−i) függvény zi=xipontban maximális;

3. Teljesül a lenti azonosság és nemnegativitás

Q^?_i(x)x_i−M^V_i (x) =W(x)−W(α_i,x_−i)≥0.

Bizonyítás. Egyszer˝u átalakításokkal

Q^?_i(zi,x−i)xi−M^V_i (zi,x−i) =Q^?_i(zi,x−i)xi+W−i(zi,x−i)−W(αi,x−i). A jobb oldali els˝o két tagot tovább írva:

Q^?_i(z_i,x_−i)xi+W−i(z_i,x_−i) =

N

∑

j=1 i6=j

Q^?_j(z_i,x_−i)xj+Q^?_i(z_i,x_−i)x_i=hQ^?(z_i,x_−i),xi,

tehát az els˝o pont indoklásával készen is vagyunk.

114 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Most tekintsünk ahQ^?(zi,x−i),xiszámra. Ez a kifejezés a (‡) feladath·,xi célfügg-vényének valamelyΛpontbeli értéke. No deQ^?(x) definíciója pont az, hogy olyan Λ-beli eloszlásvektor, ahol e célfüggvény maximális, ergo

hQ^?(zi,x_−i),xi ≤ hQ^?(x),xi=hQ^?(xi,x_−i),xi.

Ezt úgy is mondhatjuk, hogy ahQ^?(·,x−i),xifüggvény az értelmezési tartományaxi

pontjában maximumát veszi fel. A már igazolt állítás szerint a szóban forgó z_i7→Q^?_i(z_i,x_−i)x_i−M_i^V(z_i,x_−i)

függvény ahQ^?(·,x−i),xifüggvényt˝ol csak egy aziváltozótól független konstansban különbözik, ergo ez a függvény is felveszixi-ben a legnagyobb értékét.

Az utolsó állítás egyenl˝osége nyilvánvaló következménye az els˝onek, hazi=xi he-lyettesítésre gondolunk:

Q^?_i(x)xi−M_i^V(x) =Q^?_i(xi,x−i)xi−M^V_i (xi,x−i) =

hQ^?(xi,x−i),xi −W(αi,x−i) =hQ^?(x),xi −W(αi,x−i) =

W(x)−W(αi,x−i). Persze tudjuk azt is, hogyW(x) =max{x,0}. Ez utóbbi függvény nyilván monoton növ˝o függvénye azxiváltozónak, ergoαi≤xiszerintW(x_i,x_−i)≥W(α_i,x_−i).

12.6. állítás. Legyen Q^?:Ξ→Λhatékony allokáció, és M^V :Ξ→R^N egy VCG -befizetési függvény. Ekkor a Q^?,M^V

VCG-mechanizmus egy

1. ösztönz˝o és egyénileg racionális, azaz megvalósítható direkt-mechanizmus;

2. olyan mechanizmus, amely által generált valamennyi várható egyensúlyi hasz-nosság elt˝unik az egyes játékosok minimális értékelése mellett.

Formálisabban: Minden i=1,· · ·,N licitálóra

Ui(αi) =qi(αi)αi−mi(αi) =0.

Bizonyítás. Az ösztönz˝o mechanizmus definíciója szerint azt kell látnunk, hogy a zi7→qi(z_i)xi−mi(z_i) =E(Q^?_i(z_i,X_−i))xi−E

M^V_i (z_i,X_−i)

függvény minden rögzítettx∈Ξértékelés és mindeni=1,· · ·,N licitáló mellett a zi=xipontban maximális. Az el˝oz˝o lemma második pontjában lév˝o függvénybe kom-ponálva azN−1 koordinátából állóX−i= (X₁,· · ·,Xi−1,Xi+1,· · ·,X_N)valószín˝uségi vektorváltozót azt kapjuk, hogy a minden egyeszi∈[αi,ωi]mellett

Q^?_i(z_i,X_−i)x_i−M^V(z_i,X_−i)≤Q^?_i(x_i,X_−i)x_i−M^V(x_i,X_−i)

12. fejezet: VCG-mechanizmus 115

azX−iminden kiértékelése mellett. Így a várható érték monotonitása miatt qi(z_i)x_i−mi(z_i) =

E(Q^?_i(zi,X−i))xi−E

M^V_i (zi,X−i)

=E

Q^?_i(zi,X−i)xi−M^V_i (zi,X−i)

≤ E

Q^?_i(xi,X−i)xi−M^V_i (xi,X−i)

=E(Q^?_i(xi,X−i))xi−E

M^V_i (xi,X−i)

= qi(xi)xi−mi(xi), ami éppen azt jelenti, hogy a szóban forgóVCG-mechanizmus ösztönz˝o.

Az egyéni racionalitáshoz az kell, hogy azU_i^V(x_i) =qi(x_i)x_i−mi(x_i)egyéni hasz-nosságok nem negatívak legyenek. Ehhez az el˝oz˝ohöz hasonlóan, de most a lemma harmadik pontjára koncentrálva azt kapjuk, hogy

U_i^V(xi) =E

Q^?_i(xi,X−i)xi−M_i^V(xi,X−i)

=E(W(xi,X−i)−W(αi,X−i)). Persze minden egyesiés akármilyenxi∈[αi,ωi]mellett a

W(xi,X−i)−W(αi,X−i)

egy nem negatív valószín˝uségi vektorváltozó, ezért ennek a várható értéke is nem ne-gatív.

Mivel a konstans zérus függvény várható értéke is nulla, ezért azt is látjuk, hogy a licitálók egyéni várható hasznosságai valóban nullává válnak a tartóαibaloldali vég-pontjában.

12.7. állítás. Legyen Q^?:Ξ→Λ hatékony allokáció, és M^V :Ξ→R^N egy VCG -befizetési függvény. Láttuk, hogy Q^?,M^V

megvalósítható. Most legyen M:Ξ→R^N egy másik befizetési függvény, amellyel a(Q^?,M)megvalósítható direkt-mechanizmus.

Jelölje U_i^V és m^V_i aVCG-mechanizmus várható hasznosságát és várható befizetését, hasonlóan Uiés mia másik mechanizmus várható hasznosságát és várható befizetését.

Ekkor

• Minden i=1,· · ·,N licitálóra és minden xi∈[αi,ωi]értékelésre Ui(xi)−U_i^V(xi) =Ui(αi)≥0,

• Minden i=1,· · ·,N licitálóra és minden x_i∈[α_i,ωi]értékelésre m^V_i (x_i)−m_i(x_i) =U_i(α_i)≥0.

116 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Bizonyítás. Mivel mindkét mechanizmus ösztönz˝o, ezért az ösztönz˝o mechanizmusok 10.4. állításban megfogalmazott karakterizációja szerint

Ui(x_i) = Ui(α_i) + Z_xi

αi

qi(t)dt;

U_i^V(xi) = U_i^V(αi) + Zxi

αi

qi(t)dt,

aholq_i(t) =E(Q^?(t,X_−i)).Az imént láttuk, hogy aVCG-mechanizmus generálta hasz-nosságok a bal végpontban elt˝unnek, azazU_i^V(α_i) =0 minden licitáló mellett, így Ui(xi) =Ui(αi) +U_i^V(xi).Ebb˝ol már látszik is, hogy mindenxi∈[αi,ωi]mellett

Ui(xi)−U_i^V(xi) =Ui(αi)≥0, hiszen(Q^?,M)is egyénileg racionális.

Az egyensúlyi hasznosságokra definíció szerint

U_i(x_i) = x_iq_i(x_i)−m_i(x_i); U_i^V(x_i) = x_iq_i(x_i)−m^V_i (x_i).

A fels˝o egyenletb˝ol az alsót kivonva kapjuk, hogy

m^V_i (xi)−mi(xi) =Ui(xi)−U_i^V(xi) =Ui(αi)≥0.

Ezt kellett belátni.

Meggondoltuk tehát, hogy adottQ^?hatékony allokációval tetsz˝oleges olyanM befi-zetési szabályra, amelyre(Q^?,M)megvalósítható a kapott várható egyensúlyi hasznos-ság függvények csak konstansban különböznek egymástól. Ezen várható egyensúlyi hasznosságok közt aVCG- mechanizmusé a legkisebb.

Hasonlóan, a várható befizetési függvények is egymás eltoltjai, méghozzá ugyanav-val a konstanssal. Ezen várható befizetések közt aVCG-hez tartozó a lehet˝o legnagyobb.

Az is adódik még, hogy

m^V_i (αi) =αiqi(αi). A fejezet legfontosabb eredményéhez érkeztünk:

12.8. állítás. Adott hatékony allokáció mellett a VCG-mechanizmus garantálja a ki-kiáltó legnagyobb várható bevételét az adott hatékony allokációhoz található összes ösztönz˝o és egyénileg racionális, azaz az összes megvalósítható mechanizmusok közül.

Bizonyítás. AdottQ^?hatékony allokációhoz legyen Q^?,M^V

aVCG-mechanizmus, és (Q^?,M)valamely megvalósítható mechanizmus. Jelölje, mint korábbanm^V_i aVCG-hez

12. fejezet: VCG-mechanizmus 117

tartozó, ésmia másikhoz tartozó várható befizetéseket. A kikiáltó bevétele a licitáló befizetéseib˝ol és csak abból keletkezik. E várható árbevétel tehát a

N

valószín˝uségi változók összegének várható értékei. JelöljeE R^V

a kikiáltónak aVCG -hez tartozó várható bevételét, ésE(R)a másik mechanizmus esetén adódó várható bevételt. Ekkor

12.3. A

VCG

-befizetési szabály értelmezése

Miután megértettük, hogy aVCG-mechanizmus az optimális, ha a kikiáltó várható be-vételét maximalizáljuk a megvalósítható és hatékony mechanizmusok közt, felmerül a kérdés, hogy nem túl trükkösen definiáltuk-e azM^V kifizetéseket. Jó lenne látni, hogy honnan jön a gondolat, hogy éppen

M^V_i (x) =W(αi,x−i)−W−i(x)

módon kell definiálni a mechanizmus befizetését. A fejezet hátralév˝o részében erre sze-retnénk választ keresni.

Egy kicsit egyszer˝ubb esetet vizsgálunk avval, hogy a további feltevésünk szerint minden licitáló értékelésének bal végpontja zérus, azazαi=0, mindeni=1,· · ·,N mellett.

Tekintsünk egyx∈Ξértékelést.

1. A legegyszer˝ubb eset, mikorx-ben csak egyetlen legnagyobb koordináta van.

Ha ez azi-edik, akkor a fejezet els˝o szakaszában megértett hatékony allokáció szabályai szerint

Q^?_i(x) =1, és minden másj6=i-re Q^?_j(x) =0.

118 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Most nézzük a vesztesek befizetését, azazj6=i. Ekkor W 0,x_−j

= max{x_k:k6=j}=max{x}, W_−j(x) = Q^?_i(x)x_i=max{x}.

A vesztes befizetése tehátM^V_j (x) =0.

Ott tartunk tehát, hogy abban az esetben, amikor a licitálók között nincs holtver-seny,

M_i^V(x) =Q^?_i(x)·max2{x}, mindeni=1,· · ·,Nlicitáló esetén.

2. Most tegyük fel, hogy pontosanr licitáló közt van az élen nem zérus érték˝u holtverseny, azaz

max{x}=xi₁=xi₂=· · ·=xir>0.

Tudjuk a Q^? allokáció hatékonysága miatt, hogy ekkor∑^rt=1Q^?_it(x) =1, és a vesztes licitálók allokációjának valószín˝usége zérus.

Legyen jegy vesztes index, azazxj<max{x}. Ekkor W 0,x_−j

= max{x},

W_−j(x) = W(x)−Q^?_j(x)xj=max{x}.

A vesztes befizetése tehát most isM^V_j (x) =0.

Végül nézzük a gy˝oztesek befizetését, azaz a vizsgált licitáló indexe valamely 1≤t≤rmellettit. Figyeljünk arra, hogy ekkorxit=max{x}=max2{x}, így adja meg a nyertes licitálók befizetési kötelezettségét.

Azt igazoltuk tehát, hogy a holtversenyes és a nem holtversenyes esetben is M^V_i (x) =Q^?_i(x)·max2{x}

adja a befizetési szabályt.

12. fejezet: VCG-mechanizmus 119

12.4. Összegzés

AVCG-mechanizmusra mint másodáras aukcióra kell gondolnunk úgy, hogy szembe nézünk az azonos értékelések lehet˝oségével is. A döntés el˝ott, de az értékelések megis-merése után adott egy hatékony{λ₁,· · ·,λN}allokáció. A vesztesek nem fizetnek sem-mit és nem kapnak semsem-mit. A gy˝oztesek mindegyike befizeti az értékelésének, ergo a második legnagyobb értékelésnek az ˝oλit nyerési valószín˝uségekkel súlyozott értékét.

Persze a maximális értékelést adók közül csak az egyik kapja meg az aukció tárgyát, de ennek valószín˝usége az ˝o befizetésével egyenesen arányos.

Az algoritmus tehát a kikiáltó szempontjából végtelen egyszer˝u: ˝O mindenképpen a második legnagyobb értékelést kapja.

Fontos még látni, hogy több hatékony allokáció is létezik, de az azokkal képzett

VCG-mechanizmusok egymással egyenérték˝uek abban az értelemben, hogy a kikiáltó számára ugyanakkora várható árbevétellel járnak. Ha így van, akkor persze magától értet˝odik a legtermészetesebb el˝otérbe helyezése: Hakdarabk≥1 maximális értékelés van, akkor a maximális értékelés˝uek közt mindenki azonos ¹_k valószín˝uséggel nyeri az aukció tárgyát, míg a többiek 0 valószín˝uséggel nyerik azt. A veszteseknek nincs befizetési kötelezettsége, és a nyertesek, attól függetlenül, hogy végül hozzájutnak a tárgyhoz vagy sem, befizetik a rájuk es˝o

1

k·max2{x}

összeget, majd aknyertes közt valamilyen azonos nyerési valószín˝uség˝u szétlövést rendeznek.

Függelék

A.

VALÓS KONVEX FÜGGVÉNYEK

A. függelék: Valós konvex függvények 125

A.1. Konvexitás és integrálfüggvény

A.1. definíció(konvex függvény). LegyenIegy intervallum. Az f:I→Rfüggvényt konvexnek nevezzük, ha mindenx,y∈I,x<y, és mindenλ∈[0,1]mellett

f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y).

Azffüggvényt szigorúan konvexnek mondjuk, ha mindenλ∈(0,1)esetén f(λx+ (1−λ)y)<λf(x) + (1−λ)f(y)

is fennáll. Azffüggvény (szigorúan) konkáv, ha−f(szigorúan) konvex.

A.2. megjegyzés. Könny˝u számolással ellen˝orizhetjük, hogyx≤c≤y,x6=ymellett c=y−c

y−xx+c−x y−xy.

Ezek szerint azffüggvény konvexitását a következ˝oképpen is fogalmazhatjuk:

Azfpontosan akkor konvex, ha mindenx≤c≤y,x6=yesetén f(c)≤y−c

y−xf(x) +c−x y−xf(y).

A.3. állítás. Legyen g:I→Regy intervallumon értelmezett (szigorúan) monoton növ˝o függvény, c∈I rögzített pont. Definiálja

F(x) = Z x

c

g(t)dt

a g integrálfüggvényét. Ekkor F:I→Rfüggvény (szigorúan) konvex.

Bizonyítás. Legyenλ∈[0,1]ésx<y, ésu=λx+ (1−λ)y. Ekkor

λF(x) + (1−λ)F(y)−F(u) = λ(F(x)−F(u)) + (1−λ)(F(y)−F(u))

= −λ

Zu x

g+ (1−λ) Zy

u

g(t)dt.

Deg(szigorúan) monoton növekedése miatt^R_u^yg(t)dt≥(y−u)g(u)(^R_u^yg(t)dt>(y−

u)g(u)) valamint^R_x^ug≤(u−x)g(u)(^R_x^ug<(u−x)g(u)). Így folytatva az el˝oz˝o becslést azt kapjuk, hogy

λF(x) + (1−λ)F(y)−F(u) ≥ (1−λ)(y−u)g(u)−λ(u−x)g(u)

= g(u)(y−u−λy+λu−λu+λx).

Kiszámolvag(u)fenti együtthatóját azt kapjuk, hogy

y−u−λy+λx=y−λx−(1−λ)y−λy+λx=y−λx−y+λy−λy+λx=0.

Azt bizonyítottuk tehát, hogy

λF(x) + (1−λ)F(y)−F(λx+ (1−λy))≥0.

Ezt kellett belátni.

126 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

A.4. megjegyzés. Jelölje tetsz˝oleges f:I→Rfüggvény és rögzítettc∈Imellett Fc(u) = f(u)−f(c)

u−c

azffüggvénycponthoz tartozó különbségi hányados függvényét.

A.5. állítás(konvexitás és a különbségi hányados monotonitása). Legyen f:I→R egy intervallumon értelmezett függvény. Az f pontosan akkor (szigorúan) konvex, ha minden c∈I esetén az Fckülönbségi hányados függvény (szigorúan) monoton n˝o.

Bizonyítás. Legyenu<c<v. Tekintsük az alább ekvivalens átalakításokat:

f(c) ≤ v−c

v−uf(u) +c−u v−uf(v) ((v−c) + (c−u))f(c) ≤ (v−c)f(u) + (c−u)f(v)

(v−c)(f(c)−f(u)) ≤ (c−u)(f(v)−f(c)) Fc(u) ≤ Fc(v)

Amennyibenu<v<c, akkor az alábbi ekvivalens átalakítások szükségesek:

f(v) ≤ c−v

c−uf(u) +v−u c−uf(c)

(c−u)f(v) ≤ (c−v)f(u) + ((c−u)−(c−v))f(c) (c−u)(f(v)−f(c)) ≤ (c−v)(f(u)−f(c))

−Fc(v) ≤ −Fc(u) Fc(v) ≥ Fc(u) Ac<u<vesetén pedig

f(u) ≤ v−u

v−cf(c) +u−c v−cf(v)

(v−c)f(u) ≤ ((v−c)−(u−c))f(c) + (u−c)f(v) (v−c)(f(u)−f(c)) ≤ (u−c)(f(v)−f(c))

Fc(u) ≤ Fc(v)

Világos, hogy mindhárom esetben az els˝o egyenl˝otlenség a konvexitás definíciója, ame-lyekkelFc(u)≤Fc(v)ekvivalens. Ezt kellett belátni.

A.6. állítás(konvex függvény korlátossága). Legyen f:[a,b]→Regy korlátos és zárt intervallumon értelmezett konvex függvény. Ekkor f korlátos is.

Bizonyítás. Legyena<c<btetsz˝olegesen rögzítve. Tudjuk, hogyFc(a)≤Fc(u)≤ Fc(b) fennáll minden u ∈ [a,b],u 6= c esetén. Ha például Fc(u) ≥ 0, akkor

A. függelék: Valós konvex függvények 127

Fc(u)≤ Fc(b) =|Fc(b)|, és ha Fc(u) < 0, akkor |Fc(u)| ≤ |Fc(a)|. Ebb˝ol L = max{|Fc(a)|,|Fc(b)|}bevezetésével|Fc(u)| ≤Ladódik. No de így

|f(u)| ≤ |f(u)−f(c)|+|f(c)| ≤L|u−c|+|f(c)| ≤L|b−a|+|f(c)|

becslés teljesül már mindenu∈Iesetén. Ezt kellett belátni.

A.7. állítás(konvex függvény folytonossága). Legyen f :I→Regy intervallumon értelmezett konvex függvény. Ekkor az f az I intervallum minden bels˝o pontjában foly-tonos.

Bizonyítás. Legyena<x<b, ahola,b∈I. Megmutatjuk, hogyffolytonos azx pont-ban: Világos, hogy bevezetve aK=max{|Fx(a)|,|Fx(b)|}jelölést, tetsz˝olegesu∈(a,b) mellett|Fx(u)| ≤K, hiszen azFxkülönbségi hányados függvény monoton növ˝o. Ekkor viszont mindenu∈(a,b)szám esetén|f(u)−f(x)| ≤K|u−x|, ezértfvalóban folyto-nos azxpontban.

A.8. definíció(konvex függvény bal- és jobb oldali deriváltja). Legyenxaz fkonvex függvényIértelmezési tartományának egy bels˝o pontja. Definiálja f₋⁰ és f₊⁰ a bal és jobb oldali derivált-függvényeket:

f₋⁰(x) = sup{f(y)−f(x)

y−x :y∈I,y<x};

f₊⁰(x) = inf{f(y)−f(x)

y−x :y∈I,y>x}.

Világos, hogy azFxkülönbségi hányados függvény monotonitása, és mivelxbels˝o pontjaf értelmezési tartományának, a szóban forgó szuprémum és infimum létezik és megegyezik a különbségi hányados függvény alábbi bal és jobb oldali határértékével.

f₋⁰(x) = lim

y→x−Fx(y)valamint f₊⁰(x) = lim

y→x+Fx(y) A.9. állítás. Legyen f :(a,b)→Rkonvex függvény. Ekkor

1. minden x∈(a,b)mellett f₋⁰(x)≤f₊⁰(x);

2. minden c,d∈(a,b)esetén, ha c<d, akkor f₊⁰(c)≤ ^f(d)−_d−c^f(c)≤f₋⁰(d);

3. Az f₋⁰ és az f₊⁰ bal illetve jobb oldali derivált függvények monoton n˝onek;

4. Az f₋⁰ bal oldali derivált függvény balról folytonos és az f₊⁰ jobb oldali derivált függvény jobbról folytonos.

Ha feltesszük továbbá, hogy f még szigorúan konvex is, akkor a fenti ii.) pontban f₊⁰(c)< ^f(d)−_d−c^f(c)<f₋⁰(d), és a iii.) pontbeli deriváltak szigorúan monoton n˝onek.

128 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Bizonyítás. Az els˝o két pont nyilvánvaló következménye a definícióknak és a különb-ségi hányados függvény monotonitásának. Hac<dakkor az els˝o két pont szerint

f₋⁰(c)≤ f₊⁰(c)≤ f(d)−f(c)

d−c ≤ f₋⁰(d)≤ f₊⁰(d).

Ez azt mutatja, hogy mind azf₋⁰ és mind azf₊⁰ függvény monoton növ˝o.

Az utolsó állításhoz azt kell megmutatnunk, hogy x<w, x→wesetén f₋⁰(x)→ f₋⁰(w). El˝oször is limx→w−f₋⁰(x)nyilvánvalóan létezik, hiszen mindenx<wesetén f₋⁰(x)≤ f₋⁰(w)azf₋⁰ bal oldali deriváltfüggvény monotonitása miatt. Ebb˝ol azt is lát-juk, hogy

x→w−lim f₋⁰(x)≤f₋⁰(w).

No de tetsz˝olegesen rögzítetty<wmellett:

f(y)−f(w) y−w = lim

x→w−

f(y)−f(x) y−x ≤ lim

x→w−f₋⁰(x) Eszerint

f₋⁰(w) =sup{f(y)−f(w)

y−w :y<w} ≤ lim

x→w−f₋⁰(x)

A jobb oldali derivált jobbról folytonosságához azt kell megmutatnunk, hogyw<x, x→weseténf₊⁰(x)→ f₊⁰(w). El˝oször is lim_x→w+f₊⁰(x)nyilvánvalóan létezik, hiszen mindenw<xeseténf₊⁰(w)≤f₊⁰(x)az f₊⁰ jobb oldali deriváltfüggvény monotonitása miatt. Ebb˝ol azt is látjuk, hogy

x→w+lim f₊⁰(x)≥f₊⁰(w).

No de tetsz˝olegesen rögzítettw<ymellett:

f(y)−f(w) y−w = lim

x→w+

f(y)−f(x) y−x ≥ lim

x→w+f₊⁰(x).

Eszerint

f₊⁰(w) =inf{f(y)−f(w)

y−w :w<y} ≥ lim

x→w+f₊⁰(x) Ezt kellett belátni.

A.10. állítás(konvex függvény differenciálhatósága). Legyen f :(a,b)→Rkonvex függvény, és jelölje

E={x∈(a,b):f nem differenciálható x–ben}

Ekkor az E halmaz legfeljebb megszámlálható, és az f⁰függvény folytonos is a(a,b)r E halmazon.

A. függelék: Valós konvex függvények 129 intervallumok. Világos, hogy nem üres diszjunkt nyílt intervallum csak annyi lehet a számegyenesen, ahány racionális szám van. Így azE halmaz számossága legfeljebb megszámlálható.

Tekintsük az f⁰= f₋⁰ =f₊⁰ függvényt, amelynek értelmezési tartománya(a,b)rE.

Világos, hogy ez mind balról mind jobbról is folytonos, ezért folytonos.

A.11. állítás. Legyen f:(a,b)→Rkonvex függvény. Ekkor minden[c,x]⊆(a,b) a h monoton növ˝o emiatt Riemann-integrálható, és fennáll az

f(x) =f(c) + intervallum felett, ezért^R_c^xf₋⁰ és^R_c^xf₊⁰ Riemann–integrálok léteznek.

LegyenI∈D[c,x],I={c=x0<x1< . . . <xn−1<xn=x}egy felosztás. Ekkor az fkonvexitása szerint mindenkindex mellett

f₊⁰(x_k−1)≤ f(x_k)−f(x_k−1)

Vegyük észre, hogy azf₊⁰ ésf₋⁰ függvények monoton növeked˝o volta miatt a bal oldali összeg egy alsó közelít˝o összeg és a jobb oldali szumma egy fels˝o közelít˝o összeg.

Pontosabban

s(f₊⁰,I)≤ f(x)−f(c)≤S(f₋⁰,I).

130 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Ez mindenIfelosztásra igaz, ezért Z_x

c f₊⁰ ≤f(x)−f(c)≤ Z_x

c f₋⁰ ≤ Z _x

c f₊⁰

A fenti sor egyenl˝otlenségeit, tehát egyenl˝oségre is cserélhetjük. Ezt kellett belátni.

A.12. állítás. Legyen f:(a,b)→Regy differenciálható függvény. Az f pontosan akkor konvex, ha f⁰függvény monoton növ˝o.

Bizonyítás. Amennyiben fkonvex, akkor láttuk, hogyf⁰=f₋⁰ függvény monoton nö-v˝o.

Megfordítva, ha f⁰függvény monoton növ˝o, akkor minden[c,x]⊆(a,b)korlátos és zárt intervallumon Riemann–integrálható, és f egy olyan a(c,x)intervallum minden pontjában differenciálható függvény, melynek deriváltfüggvényef⁰ésfmég folytonos iscésbpontokban. Alkalmazhatjuk tehátf⁰–ra a Newton-Leibniz–tételt. Így

f(x) =f(c) + Z_x

c f⁰,

ami azt jelenti, hogy f egy monoton növ˝o függvény integrálfüggvénye egy additív

ami azt jelenti, hogy f egy monoton növ˝o függvény integrálfüggvénye egy additív

In document Aukcióelmélet előadások (Pldal 106-0)