Belépési díj

Azt láttuk az el˝oz˝o fejezetben, hogy a rezervációs ár bevezetésével a kikiáltó növelni tudja várható bevételét. Végül is ezt avval éri el, hogy távol tartja az aukciótól azon játékosokat, akiknek licitje a rezervációs ár alatt van.

Szokásos távol tartó eljárás még a belépési díj bevezetése. Azt kell ezen érteni, hogy a kikiáltó meghatároz egy fix és mindenki más által ismert összeget, amit az aukció minden résztvev˝ojének be kell fizetni. Gondolhatunk egyszer˝uen például a ruhatár költ-ségére.

Gondoljunk vissza azrrezervációs ár melletti várható befizetés függvényére. Lát-tuk a 3.4. és a 3.6. állításokban, hogy mindkét eddig tárgyalt árverési formában ez a függvény

m(x,r) =

(rG(r) +^R_r^xtg(t)dt, hax≥r,

0, egyébként.

Ebb˝ol azonnal látszik, hogy azrrezervációs ár melletti aukcióból pontosan azokat a játékosokat zárjuk ki, akiknek értékeléseralatt, ergo a várható befizetése az

m(r,r) =rG(r)

érték alatt marad. Ahhoz tehát, hogy a belépési ár bevezetésével pontosan ugyanazon játékosok kényszerüljenek az aukcióban részt nem venni, az

e=rG(r)

belépési árat kell meghatároznunk. Világos ugyanis, hogy a belépési ár melletti aukci-óban egy, az árat megfizet˝o játékos befizetési függvénye legalábbe.

Most írjuk fele=rG(r)belépési ár mellett a várható befizetés függvényt. Nézzük az egyszer˝uség kedvéért a másodáras aukció esetét. Látható, hogyx≥resetben a játékos megfizeti azebelépési díjat és a további várható befizetése a nyerés valószín˝usége szorozva a második legnagyobb, de a belépési árat megfizet˝o értékelésnek a nyerés feltétele melletti várható értékével.

m(x,e) =e+G(x) 1 G(x)

Z_x r

tg(t)dt.

A fenti integrál valóban csakr-t˝ol indul, hiszen 1 játékos számára csak a második leg-nagyobb, derfeletti értékelés jelenthet esetleges fizetési kötelezettséget.

Megmutattuk tehát az alábbi állítást.

4.8. állítás. Egyéni értékelés˝u, azonos eloszlású valószín˝uségi változókkal játszott, r rezervációs áras els˝o- vagy másodáras aukció várható befizetési függvénye azonos az rG(r)belépési árat meghatározó els˝o- vagy másodáras aukción várható befizetésével.

Ilyen módon az r rezervációs ár mellett a kikiáltó várható haszna azonos az rG(r) belépési ár melletti várható haszonnal.

5.

BEVÉTELEKVIVALENCIA-ELV

5. fejezet: Bevételekvivalencia-elv 51

TEKINTSÜK A JÁTÉKOSprofitfüggvényét. A lényeg, hogy a várható profit értéke felír-ható az optimális licitfüggvény aktuális értékét˝ol függetlenül is. Világos, hogy a várfelír-ható bevétel a nyerés valószín˝uségének és az aktuális értékelésnek a szorzata. Ha a feltétele-zettβ szigorúan monoton, akkor a legnagyobb értékelés˝u játékos nyer, hiszen standard aukcióról van szó. Ha tehátba leadott licit, akkorG β⁻¹(b)

ablicittel való nyerés valószín˝usége. Tegyük fel most, hogy a várható befizetési függvény adott. Ekkor azx értékeléssel és ablicittel együtt járó várható bevétel a

Π(b,x) =G β⁻¹(b)

x−m(β⁻¹(b)), amint azt (Π^?) indoklásakor láttuk.

Ha mostβ optimális licitfüggvény, az azt jelenti, hogy játékosunk fent számított vár-ható profitjab=β(x)-ben maximumon van. Ez azt jelenti, hogy tetsz˝olegesen rögzített xértékelés mellett a fenti profitfüggvény els˝o változó szerint deriváltjab=β(x) pont-ban zérus, azaz∂1Π(β(x),x) =0. Persze

∂₁Π(b,x) =g

β⁻¹(b) 1

β⁰(β⁻¹(b))x−m⁰(β⁻¹(b)) 1 β⁰ β⁻¹(b). Ha tehátb=β(x), akkor

g(x) 1

β⁰(x)x−m⁰(x) 1 β⁰(x)=0.

Azt kapjuk tehát, hogy mindenx értékelés mellett m⁰(x) =xg(x), így a Newton–

Leibnitz-tétel szerint explicit formulát kapunk a befizetési függvényre:m(x) =m(0) + R_x

0tg(t)dt.Az alábbi tételt igazoltuk.

5.1. állítás(bevételekvivalencia-elv). Tegyük fel, hogy szimmetrikus modellben játszott, standard aukciót a felek szigorúan monoton növ˝o licitfüggvénnyel játsszák szimmetri-kus Nash-egyensúlyi helyzetben.

Ekkor a várható befizetési függvény független az aukció szerkesztését˝ol és felírható a használt licitfüggvényt˝ol függetlenül. Konkrét alakja:

m(x) =m(0) + Z_x

0

tg(t)dt.

5.1. Speciális aukciók

Az eddigiekben azmbefizetési függvényt a konkrétβ licitfüggvény alakjából szár-maztattuk. A bevételekvivalencia-elv fontos következménye, hogyma standard aukció

52 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

lejátszási módjától független. Ez lehet˝oséget ad az optimális licitfüggvény meghatáro-zására is. Tegyük fel például, hogy nem ismerjük az els˝oáras aukció optimális licitfügg-vényét. Világos, hogy els˝oáras esetben

m(x) =G(x)β(x),

hiszenG(x)azxértékelés˝u játékos nyerésének valószín˝usége és a nyertes aβ(x)licitjét köteles fizetni. Ebb˝ol azonnal adódik a már korábban kiszámított

β(x) = 1

Hasonló ötlettel nézzük a másodáras aukciók esetét. Feledjük el egy pillanatra, hogy az id függvény adja az optimális liciteket. Az aukció lejátszási módja szerint

m(x) =G(x)E ese-mény melletti feltételes eloszlás függvényét. Ekkor mindent<xmellett

F₁^(N−1) Így a feltételes eloszlásra azt kapjuk, hogy

f₁^(N−1) Ilyen módon bármi is aβlicitfüggvény, de

E teljesül mindenxmellett, amib˝ol egy deriválás utánβ=id valóban következik.

A fenti két példa semmi újat nem adott, hiszen korábban meghatároztuk már az els˝o-és másodáras aukció optimális licitfüggvényeit. Viszont azt látjuk, hogy kiindulva vala-mely konkrét aukció lejátszási módjából, ha azmbefizetési függvény és aβ licitfügg-vény között kapcsolatot tudunk létesíteni, akkor a bevételekvivalencia-elv lehet˝oséget ad az optimális licitfüggvény analitikus felírására.

5. fejezet: Bevételekvivalencia-elv 53

Mindenki fizet aukció

A lejátszás a következ˝o. A legnagyobb licitet ajánló játékos nyer, de mindenki fizeti az általa megtett licitet, függetlenül attól, hogy nyert vagy sem. Az i-edik játékos tehát a

Πi=

(x−b_i , hab_i>max_j6=ib_j;

−bi , egyébként (AP)

függvény maximalizálására törekszik. Most tegyük fel, hogy vanβ szigorúan monoton növ˝o optimális licitfüggvény. Ekkor a bevételekvivalencia-elv szerint azxértékeléssel együtt járó várható befizetés

Zx

0 tg(t)dt=m(x) =β(x).

Azt kaptuk tehát, hogy az optimális licitfüggvény csak a fenti alakú lehet. Itt könny˝u igazolni, hogy a fentiβ valóban az optimális licitfüggvény. Bevezetve az=β⁻¹(x) jelölést azt kapjuk, hogy aGmonoton növekedése szerint. Bebizonyítottuk tehát az alábbi állítást.

5.2. állítás. A mindenki fizet aukciónak létezik szigorúan monoton növ˝o optimális licit-függvénye. Ennek analitikus alakja

54 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Vesztesek fizetnek aukció

A lejátszás definíciója szerint a legnagyobb licitet bejelent˝o játékos az aukció nyertese.

Minden játékos befizeti az általa ajánlott licitet, kivéve a nyertes játékos, aki nem fizet semmit. Magyarul:

Πi= (

x , habi>max_j6=ibj;

−b_i , egyébként. (LP)

Kapcsolatot kell teremtenünk a licitfüggvény és a várható befizetés között. Látható, hogy ez a kapcsolat:

m(x) = (1−G(x))β(x),

hiszen a vesztés valószín˝usége szorozva a vesztéskor fizetend˝o értékkel. A bevételekvi-valencia-elv szerint

(1−G(x))β(x) = Zx

0 tg(t)dt.

Bebizonyítottuk tehát az alábbi állítást.

5.3. állítás. Az vesztesek fizetnek aukció szigorúan monoton, optimális licitfüggvénye egyedül a

CsakN=2 esetben tudjuk a feladatot megoldani. A legnagyobb licitet adó játékos nyer, mindketten fizetik a vesztes által leadott licitet. Ha a játékosokiésj, akkor

Πi=

(x−b_j , hab_i>b_j,

−bi , egyébként. (WA)

Tehát vesztés esetén a saját licit, nyerés esetén a második legnagyobb licit fizetend˝o. Ez azt jelenti, hogy a várható befizetés:

m(x) = (1−G(x))β(x) +G(x)E Felhasználva a (5.1) formulát, a bevételekvivalencia-elv szerint

Z _x

Felírva a deriváltakat azt kapjuk, hogy

xg(x) =−g(x)β(x) + (1−G(x))β⁰(x) +g(x)β(x) = (1−G(x))β⁰(x).

5. fejezet: Bevételekvivalencia-elv 55

Innen persze azt kapjuk, hogy az optimális licitfüggvénynek ki kell elégítenie a β⁰(x) = g(x)

(1−G(x))x

egyenletet. Persze ezN=2 miatt _1−x^x = _1−x¹ −1 függvényt jelenti. Bebizonyítottuk tehát a következ˝o állítást:

5.4. állítás. A kivéreztetés („war of attrition”) aukció optimális licitfüggvényére az N=2esetben csak a

Újra tetsz˝olegesNmellett vizsgáljuk a jelenséget, perszeN≥3. A harmadáras aukció majdnem mindenben azonos a másodárassal, de most a nyer˝o befizetés a harmadik legnagyobb ajánlott licit. Tehát azi-edik játékos szempontjából:

Πi=

(x−max2_j6=ibj , habi>max_j6=ibj,

0 , egyébként. (III)

Nyilvánvaló, hogy a befizetési függvény és a licitfüggvény közti kapcsolat:

m(x) =G(x)E

Y₂^(N−1)|Y₁^(N−1)<x .

Azért, hogy a fenti feltételes várható értéket könnyen kezeljük, számítsuk ki el˝oször a feltételes s˝ur˝uségfüggvényt. Jelölje a továbbiakbanF₁^(N−1)azY₁^(N−1)eloszlását, és F₂^(N−1)azY₂^(N−1)valószín˝uségi változó eloszlását. HasonlóanF₁^(N−1)(·|A)azY₁^(N−1) feltételes eloszlását azAfeltételi esemény mellett, ésF₂^(N−1)(·|A)azY₂^(N−1)feltételes eloszlásfüggvénye. Analóg módonf₁^(N−1),f₂^(N−1)azY₁^(N−1)ésY₂^(N−1) s˝ur˝uségfüggvé-nye. A feltételes s˝ur˝uségfüggvények: f₂^(N−1)(·|A)azY₂^(N−1)valószín˝uségi változó és f₁^(N−1)(·|A)azY₁^(N−1)valószín˝uségi változó feltételes s˝ur˝uségfüggvénye azAfeltétel mellett. Korábban azt láttuk, hogyf₁^(N−1)

t|Y₁^(N−1)<x

=_G(x)^g(t).

5.5. lemma. Az Y₂^(N−1)valószín˝uségi változónak az Y₁^(N−1)<x feltétel melletti felté-teles s˝ur˝uségfüggvényére minden y<x mellett.

56 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Bizonyítás. Világos, hogyy<xmellett egymást kizáró értelemben. Ez utóbbi esemény csak úgy teljesülhet, hogy az

X₁, . . . ,X_N−1valószín˝uségi változók egyike esik az[y,x)intervallumba, míg az összes

többi a[0,y]intervallumban marad. No de az el˝obbiN−1 féleképpen lehetséges, így ennek valószín˝usége(N−1) (F(x)−F(y)), persze az utóbbi esemény valószín˝usége F₁^(N−2)(y). Így

A feltételes valószín˝uség definíciója miatt F₂^(N−1)(y|Y₁^(N−1)<x) = 1

F₁^(N−1)(x)

F₁^(N−1)(y) + (N−1) (F(x)−F(y))F₁^(N−2)(y) .

Eztyszerint deriválva kapjuk a szóban forgó feltételes s˝ur˝uségfüggvényt:

f₂^(N−1)(y|Y₁^(N−1)<x) =

Most vegyük észre, hogy a középen szerepl˝o (N−1) (−f)F₁^(N−2)= (N−1) (−f)F^N−2=− A bevételekvivalencia-elv szerint e függvény deriváltja éppenxg(x). Tehát

m⁰(x) =

5. fejezet: Bevételekvivalencia-elv 57

Emlékezzünk arra, hogy g= F^N−10

= (N−1)F^N−2f = (N−1)F₁^(N−2)f. Így a bevételekvivalencia-elv miatt mindenxértékelés mellett

xg(x) =x(N−1)F₁^(N−2)(x)f(x) = (N−1)f(x) Z_x

0 f₁^(N−2)(t)β(t)dt=m⁰(x), amib˝ol a középs˝o egyenl˝oség egyszer˝usítése után kapjuk az

xF₁^(N−2)(x) = Zx

0 f₁^(N−2)(t)β(t)dt

azonosságot. Világos, hogy innenβ egy újbóli deriválás után már kifejezhet˝o:

F₁^(N−2)(x) +x f₁^(N−2)(x) =f₁^(N−2)(x)β(x), amib˝ol márβexplicit alakban adódik.

β(x) =x+F₁^(N−2)(x) f₁^(N−2)(x)

=x+ F^N−2(x)

(N−2)F^N−3(x)f(x)=x+ F(x) (N−2)f(x). Itt meg is fogalmazhatnánk, hogy csak a fenti alakú függvény lehet a harmadáras aukció optimális licitfüggvénye.

A probléma viszont a következ˝o. A bevételekvivalencia-elv alkalmazhatóságának egyik feltétele volt a szigorúan monoton növ˝o licitfüggvény létének feltételezése. Ah-hoz tehát, hogy olyan állítást gyártsunk, amelynek feltételrendszere legalábbis nem biz-tosan üres, ahhoz szükséges valamilyen feltétel, ami garantálja a fentiβ monoton nö-vekedését. A legjobb lenne persze szükséges és elégséges feltétel. Viszont szép feltétel adható a ^F_f függvény monotonitására, ezért ez a feltétel megfelel˝o, de csak elégséges feltételt ad a fenti alakúβfüggvény monotonitására.

Tegyük fel, hogy azFeloszlás logaritmikusan konkáv. Ekkor

0>(lnF)⁰⁰=

mutatja, hogy^F_f egy szigorúan monoton növ˝o függvény. Bebizonyítottuk tehát az aláb-bi állítást.

5.6. állítás. Tegyük fel, hogy egy magán értékelés˝u, független, azonos eloszlású harma-dáras aukciónak van szigorúan monoton növ˝o szimmetrikus optimális licitfüggvénye, és a játékosok közös eloszlása logaritmikusan konkáv. Ekkor az optimális licitfüggvény csak

β^III(x) =x+ F(x) (N−2)f(x) alakú lehet.

58 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

5.7. megjegyzés. Az eddigi feltételek mellett az alábbi nagyságrendi viszonyokat ta-pasztaljuk a különböz˝o aukciók optimális licitfüggvényei közt. Mindenxértékelés mel-lett

β^AP(x) =G(x)β^I(x)<β^I(x)<x=β^II(x)<β^III(x).

6.

KOCKÁZATSEMLEGESSÉG

SÉRÜLÉSE

6. fejezet: Kockázatsemlegesség sérülése 61

MOST AZT VIZSGÁLJUK, hogy érvényben marad-e a bevételekvivalencia-elv, bizonyos feltételeinek elhagyásával.

Gondoljunk vissza az els˝o- és másodáras aukciók definíciójára a 19. és a 25. oldalon.

A játék (II) és (I) definíciója a játékos kockázatok iránti semlegességét fejezi ki, hiszen a hasznosság a profit lineáris függvénye. Hauvalamilyen monoton növ˝o függvény, amelyreu(0) =0, és a játékosok racionalitása az ottaniΠprofit függvény helyett az

u◦Π

függvény értékeinek maximalizálását jelenti, akkor a kockázat fogalma is a modellbe kerül.

6.1. definíció. Azu:[0,∞)→RfüggvénytNeumann–Morgenstern-féle hasznossági függvénynek mondjuk, ha az folytonos,u(0) =0, az értelmezési tartomány bels˝o pont-jaiban kétszer differenciálható,u⁰(x)>0, ésu⁰⁰(x)<0 mindenx>0 mellett.

Amennyibenuegy Neumann–Morgenstern-hasznosság, és azi-edik játékos azu◦Πi

függvényt optimalizálja, akkorkockázatkerül˝ojátékosról beszélünk. A kockázatokat kerül˝o játékosokkal lejátszott másodáras aukció szabálya tehát

Πi= (

u xi−max_j6=ibj

, habi>max_i6=jbj;

0 , egyébként, (IIRA)

míg az els˝oáras játék definíciója Πi=

(u(x_i−b_i) , hab_i>max_i6=jb_j;

0 , egyébként. (IRA)

Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy a játékosok racionalitása most nem a várt profitjuk maximalizálását jelenti, hanem a profitjuk függvényében alakuló elvárt hasznosságuk maximalizálását. Például els˝oáras esetben azxértékeléssel bíró játékos az optimális licitfüggvénye megtalálásához a

b7→G

γ⁻¹(b) u(x−b)

függvény maximumát keresi. Hau=id, akkor kapjuk a kockázatsemleges optimális licitfüggvényt.

6.2. lemma. Legyen u egy Neumann–Morgenstern-féle hasznossági függvény. Ekkor minden x>0mellett

u(x) u⁰(x)>x.

Bizonyítás. Legyenx>0. A Lagrange-középértéktétel szerint létezikξ∈(0,x), amely-reu(x)−u(0) =u⁰(ξ)x.No deu⁰szigorúan monoton fogyó, ígyu⁰(ξ)>u⁰(x), ezért u(x)>u⁰(x)x.Ezt kellett belátni.

62 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

6.3. lemma. Legyenϕ:[0,∞)→Rfolytonos, az értelmezési tartománya bels˝o pont-jaiban differenciálható függvény, amelyre ϕ(0) =0. Tegyük fel, hogy amennyiben ϕ(x)≥0, úgyϕ⁰(x)<0. Ekkor minden x>0mellettϕ(x)<0.

Bizonyítás. Tegyük fel –indirekt–, hogy vanx>0, amelyreϕ(x)≥0. Ekkorϕ⁰(x)<0 szerint létezikδ>0, hogyϕ(x−δ)−ϕ(x)>0. A Weierstrass-tétel szerint létezik z∈[0,x], amelyreϕ(z) =max{ϕ(t):t∈[0,x]}.Világos, hogyϕ(x−δ)>ϕ(x)≥0, ezértϕ(0) =0 miatt semz=0, semz=xnem lehetséges. Azt kapjuk tehát, hogy z∈(0,x). Ez azt jelenti, hogyzaϕlokális maximuma is, ergoϕ⁰(z) =0. Ez ellentmond aϕ(z)>ϕ(x)≥0 feltételnek, hiszen ekkorϕ⁰(z)<0 lenne a lemma feltétele szerint.

Ezt kellett belátni.

6.4. állítás. Legyenγegy kockázatkerül˝o játékosokkal lejátszott, szimmetrikus, magán értékelés˝u, els˝oáras aukció szigorúan monoton növ˝o, optimális licitfüggvénye. Ekkor γ:[0,ω]→Rkielégíti az alábbi differenciálegyenletet.

γ⁰(x) = g(x) G(x)

u(x−γ(x))

u⁰(x−γ(x)). (6.1) Bizonyítás. Az optimalitás szerint rögzítettxértékeléshez adottγ(x)az ablicit, amely-re a

b7→G

γ⁻¹(b) u(x−b)

a függvény maximumán van. Ez azt jelenti, hogy a fenti függvénybszerinti deriváltja éppenγ(x)-ben zérus. Abszerinti derivált függvény:

g

γ⁻¹(b) 1

γ⁰(γ⁻¹(b))u(x−b)−G

γ⁻¹(b)

u⁰(x−b).

Hab=γ(x)-et helyettesítünk, akkor a fenti kifejezés értéke zérus. Innen g(x) 1

γ⁰(x)u(x−γ(x))−G(x)u⁰(x−γ(x)) =0.

Ezt kellett belátni.

6.5. állítás. Legyenγegy Neumann–Morgenstern-féle kockázatkerül˝o játékosokkal le-játszott szimmetrikus, magán értékelés˝u, els˝oáras aukció optimális licitfüggvénye, ésβ ugyanennek az aukciónak a kockázatsemleges játékossokkal kialakuló optimális licit-függvénye. Ekkor minden x pozitív értékelés mellett

γ(x)>β(x),

így a kockázatkerül˝o játékosok a kikiáltó számára nagyobb várható bevételt jelentenek, mint a kockázatsemleges játékosok.

6. fejezet: Kockázatsemlegesség sérülése 63

Bizonyítás. Láttuk, hogyγésβrendre megoldásai a γ⁰(x) = g(x)

G(x)

u(x−γ(x))

u⁰(x−γ(x)) β⁰(x) = g(x)

G(x)(x−β(x))

differenciálegyenleteknek. Tegyük fel, hogy valamelyx>0 mellettγ(x)≤β(x). Ekkor a korábban igazoltβ(x)<xszerintγ(x)<xis fennáll, tehát a Neumann–Morgenstern-hasznosságu(t)/u⁰(t)>ttulajdonsága alkalmazhatót=x−γ(x)>0 mellett.

γ⁰(x) = g(x)

A β −γ függvény tehát rendelkezik avval a tulajdonsággal, hogy valahányszor (β−γ) (x)≥0 teljesül, úgy(β−γ)⁰(x)<0 is fennáll. A 6.3. lemma szerintβ(x)− γ(x)<0 mindenx>0 mellett. Ezt kellett belátni.

Kicsit konkrétabb példaként nézzük azu(z) =z^αfüggvény esetét, amikor 0<α<1.

Mivel_u^u(z)0(z)= _αz^zα−1^α = ¹

αza (6.1) differenciálegyenlet most γ⁰(x) = g(x)

G(x) x−γ(x)

α

teljesülését jelenti. Az ekvivalens avval, mintha kockázatsemleges játékosok játszaná-nakFhelyettF^α1 eloszlásokkal. Ugyanis

Igazoltuk tehát az alábbi észrevételt.

6.6. állítás. Legyen u(z) =z^α, ahol0<α<1. Tekintsük az u Neumann–Morgenstern-hasznossági függvénnyel rendelkez˝o kockázatkerül˝o játékosok alkotta els˝oáras, magán értékelés˝u, szimmetrikus aukciót a közös F eloszlás függvényekkel. Ennek optimális licitfüggvénye, azonos ugyan ennek az aukciónak a kockázatsemleges játékosokkal ját-szott optimális licitfüggvényével, de F^α1 eloszlásokkal.

A kockázatkerül˝o optimális licitfüggvény tehát γ(x) = N−1

αF^N−1α (x) Zx

0

t f(t)F^{N−1α −1}(t)dt.

7.

A SZIMMETRIKUS ÉRTÉKELÉS

SÉRÜLÉSE

7. fejezet: A szimmetrikus értékelés sérülése 67

EBBEN A FEJEZETBENazt vizsgáljuk, hogy hogyan változik a bevételekvivalencia-elv, amikor a játékosok értékeloszlása nem azonos. Csak a két játékos, tehátN=2, esetet vizsgáljuk.

A modell a következ˝o. Els˝oáras aukció két játékossal. LegyenX1,X2nem feltétlenül azonos eloszlású, de független valószín˝uségi változók. Az abszolút folytonos eloszlá-sokF₁ésF₂. A játékosok ismerik egymás eloszlásait, és ennek a ténynek az ismerete is ismert számukra. AzXitartója[0,ωi],i=1,2, ésω2≤ω1. A játékosok kockázatsem-legesek, azaz azi-edik játékos profitfüggvénye

Πi(b,x) =P({inyer})(x−b),

aholxaz értékelés ésberre az értékelésre adott licit. Aβi:[0,ωi]→Rfüggvények az els˝oáras optimális licitfüggvények. Feltesszük, hogyβi(x)<xminden 0<x<ωi

mellett, és aβifüggvények szigorúan monoton növ˝ok.

A licitfüggvények optimalitásának azonnali következménye az alábbi.

7.1. állítás. Haβ1,β₂a fenti modellben az els˝oáras aukció optimális licitfüggvénye, akkor

β1(0) =β2(0) =0, és β1(ω1) =β2(ω2) =b.¯

Bizonyítás. Világos, hogyβi(x)≤xmindenx∈[0,ω_i]mellett, hiszen az értékelés felet-ti licit negatív profitot eredményezhetne, ami a nulla profitnál rosszabb. Az egyensúlyi licitfüggvényre ezért csakβi(0) =0 lehetséges.

Mivel a játékosok ismerik egymás eloszlásait, ezért ismerik egymás optimális licit-függvényeit is, ezért kölcsönösen ismerik a licitfüggvények értékeit azω1,ω₂ végpon-tokban. Ha példáulβ2(ω₂)>β1(ω₁), akkor 2 játékos a maximális értékelése mellett licitjét csökkentve növeli a profitját, ami az egyensúly definíciója szerint nem lehetsé-ges.

Láthatjuk tehát, hogy βi:[0,ω_i]→ 0,b¯

. Érdemes itt egy pillanatra megállni és észrevenni, hogy ebb˝ol azonnal következik, hogy nem egy hatékony aukcióval állunk szemben, azaz el˝ofordulhat, hogy az alacsonyabb értékeléssel nyeri az aukciót az 1-es játékos, mint a nála magasabb értékeléssel bíró 2-es játékos. Lásd a 7.2. ábrát. Ez egy nagyon fontos hiányossága az els˝oáras aukciónak, amire még kés˝obb is vissza fogunk térni.

A továbbiakban kényelmesebb a licitfüggvények inverzeivel számolni, hiszen azok-nak az értelmezési tartománya azonos. Legyenekϕ1,ϕ2aβ1,β2függvények inverzei.

Ígyϕi: 0,b¯

→[0,ω_i].

68 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Jelölje

H_i=F_i◦ϕ_i.

E függvényt azijátékosliciteloszlásánaknevezzük, hiszen hab∈ 0,b¯

, akkorHi(b) = P(Xi<ϕi(b)) =P(βi(Xi)<b)azaz,Hi(b)annak valószín˝usége, hogy azijátékos li-citjebalatt marad. Ha tehátbiazijátékos licitje, akkorHj(b_i)éppen annak valószín˝u-sége, hogyjveszít, ergoinyer. Ezek szerint azijátékos profitfüggvénye

Πi(b,x) =H_j(b) (x−b). (7.1) E függvénybszerinti deriváltjahj(b) (x−b)−Hj(b). Aβiegyensúlyi licitfüggvény tehát mindenxértékeléshez azt aβi(x) =blicitet rendeli, amely kielégíti az iménti egyenletet. Mivelϕiaβiinverze, ezért ez kifejezhet˝o aϕisegítségével is:

Hj(b) =hj(b) (ϕi(b)−b), j6=i. (7.2) Innen már egyszer˝uen kapjuk az alábbi állítást.

7.2. állítás. Tegyük fel, hogyϕ1,ϕ₂az optimális licitfüggvény inverzei egy kétszemélyes els˝oáras aukció esetén. Ekkor minden0<b<b mellett¯

1. teljesül az alábbi függvényegyenlet-rendszer ϕ1(b) = H2(b)

h2(b)+b

(7.3) ϕ₂(b) = H1(b)

h₁(b)+b;

2. és teljesül az alábbi differenciálegyenlet-rendszer ϕ₁⁰(b) = F1(ϕ1(b))

Bizonyítás. A (7.2) egyenletb˝olϕi-t kifejezhetjük, hiszen az inverz függvény deriválási szabálya szerinthj(b) =H⁰_j(b) =fj(ϕj(b))ϕ⁰_j(b)6=0, hab6=0. Ígyϕi(b) =^H_h^j(b)

j(b)+b,

ami a függvényegyenletet igazolja.

A (7.2) egyenletbe a definíciókat visszaírva azt kapjuk, hogy Fj ϕj(b)

= ami éppen a kívánt differenciálegyenlet.

7. fejezet: A szimmetrikus értékelés sérülése 69

7.1. Egyenletes eloszlások esete

Az el˝oz˝o állítás illusztrációjaként nagyon érdekes részletesen is kiszámolni azt az ese-tet, amikor az 1 játékos értékelése a[0,ω1]intervallumon egyenletes eloszlású, és a 2 játékos értékelése a[0,ω₂]intervallum mint tartó felett egyenletes eloszlású. Most is tegyük fel, hogyω2<ω1. Ekkor persze

Világos, hogyF1(x)<F2(x)mindenx∈(0,ω2)mellett, tehát 1 eloszlása sztochasztiku-san dominálja 2 eloszlását. Célunk, hogy a (7.5) differenciálegyenlet-rendszer alapján meghatározzuk az optimális licitfüggvények inverzét, majd az optimális licitfüggvé-nyeket.

Írjuk fel el˝oször a (7.5) speciális esetét. Minden 0<b<b¯mellett

ϕ⁰_j(b) =Fj(ϕj(b))

Azt kaptuk tehát, hogy amennyiben a modell feltételeinek megfelel˝o licitfüggvények léteznek, úgy az inverzük kielégíti a

ϕ₁⁰(b) = ϕ1(b)

Most megmutatjuk, hogy ez a differenciálegyenlet-rendszer visszavezethet˝o egy szét-választható változójú differenciálegyenletre. A trükk, hogy(ϕ1(b)−b) (ϕ2(b)−b) de-riváltját keressük. Adjunk−1 -et (7.5) mindkét egyenletéhez, majd szorozzunk fel a jobboldali nevez˝ovel. Így

70 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Figyelembe véve, hogyϕi(0) =0,

(ϕ₁(b)−b)(ϕ₂(b)−b) =b².

Ebb˝ol két dolog látszik azonnal. Egyrészt megkapjuk ¯bértékét, hiszen a fenti egyenlet-be ¯bhelyettesítve,(ω₁−b)(ω¯ ₂−b) =¯ b¯²,azaz

b¯= ω1ω2

ω1+ω2

.

Másrészt a (7.5) rendszer egyetlen egyenletre egyszer˝usödik, hiszen ϕj(b)−b=

b²

ϕi(b)−b.A (7.5) rendszer mindkét egyenlete tehát a ϕ⁰(b) =ϕ(b)(ϕ(b)−b)

b² (7.6)

szétválasztható változójú differenciálegyenletre egyszer˝usödik, ahol mindenb>0 mel-lettϕ(b)>b.

7.3. lemma. A (7.6) differenciálegyenlet általános megoldása a következ˝o:

ϕ(b) = 2b 1+cb².

Bizonyítás. Keressük a megoldást ϕ(b)−b=ξ(b)balakban. Ekkor ϕ(b) =b(1+ ξ(b))ésϕ⁰(b) =1+ξ(b) +bξ⁰(b).Tehát a (7.6) egyenlet így az

1+ξ(b) +bξ⁰(b) = 1

b²b(1+ξ(b))ξ(b)b 1+ξ(b) +bξ⁰(b) = ξ(b) +ξ²(b)

ξ⁰(b) = ξ²(b)−1

b , ξ(b)>0 (7.7)

egyenletbe megy át, aholϕ(b)>bmiatt mindenb>0 mellettξ(b) =^ϕ(b)_b −1>0.

A (7.7) differenciálegyenletet kell tehát megoldanunk. Világos, hogy a konstans ξ(b) =1 egy megoldás. Egyébként az egyenlet

1

x²−1·x⁰=1 b alakú. Parciális törtekre bontással_x2¹−1=¹_{2 x−1}¹ −_x+1¹

.Az antideriváltra tehát

Z 1

x²−1=





 ln

qx−1

x+1, hax>1 ln

q1−x

x+1, ha 0<x<1.

7. fejezet: A szimmetrikus értékelés sérülése 71

7.1. ábra. A (7.7) szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldásai

Hax(b)>1, akkor azxfüggvényre valamelyc>0 konstans mellett.

Analóg módon 0<x(b)<1 mellett Z 1 valamilyenc>0 mellett.

72 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

Visszatérve (7.7) megoldására azt kaptuk, hogy a megoldás mindenképpen ξ⁰(b) =1−cb²

Azt mutattuk meg az eddigiekben, hogy a (7.5) rendszer megoldása ϕ1(b) = 2b

1+k1b²

(7.8) ϕ2(b) = 2b

1+k₂b².

Most meghatározzuk a fentik1 ésk2 konstansokat. A (7.9) speciális esetekéntω1=

2¯b

A fentivel analóg számolgatás mutatja, hogy k2= 1

k₂,ami azt jelenti, hogyϕ1(b)nevez˝oje valóban pozitív. Ebb˝ol már nyilvánvalóan következik, hogy minden 0<b<b¯ ϕ1(b)>ϕ2(b), azaz minden 0<x<ω2mellettβ1(x)<β2(x).

7. fejezet: A szimmetrikus értékelés sérülése 73

b

x

β2 β1

¯b

ω₂ 1 ω₁

7.2. ábra. A licitfüggvények grafikonja, amikorω1=⁴₃ésω2=⁴₅.

7.2. Els ˝ o- és másodáras bevételek összehasonlítása

Alkalmazzuk az el˝oz˝o pont eredményeit, mikor valamelyα∈[0,1)mellett ω2= 1

1+α,ω1= 1 1−α.

El˝oször írjuk fel az els˝oáras aukció bevételének eloszlását. Világos, hogy F1(x) = (1−α)x,F2(x) = (1+α)x, és ¯b= ω1ω2

ω₁+ω₂ =

1 1−α² 1−α+1+α

1−α²

=1 2. A megoldásokhoz ¹

ω₁²− ¹

ω²₂ = (1−α)²−(1+α)²=−4α.

Így tehátϕ1,ϕ2:[0,1/2]→R ϕ1(b) = 2b

1−4αb² és ϕ2(b) = 2b 1+4αb².

A fenti függvényekβ1,β₂inverzeinek mérethelyes grafikonját tartalmazza a 7.2. ábra, abban a speciális esetben, amikor azα= ¹₄paramétert állítjuk be.

A kikiáltó bevételének eloszlására tetsz˝oleges 0<p<¹₂esetén L¹_α(p) =P(max{β1(X1),β2(X2)}<p) =

P(β1(X1)<p)P(β2(X2)<p) =F1(ϕ1(p))F2(ϕ2(p)) = (1−α) 2p

1−4αp²(1+α) 2p

1+4αp² = α²−1 c α²c²−1, aholc= (2p)². E törtαszerinti deriváltjának számlálója 2αc c²−1

<0. Ez azt jelen-ti, hogy minden rögzített 0<p<¹₂mellettL¹₀(p)>L¹_α(p),azazL¹_αsztochasztikusan

74 Magyarkuti Gyula: Aukcióelmélet el ˝oadások

domináljaL¹₀-et mindenα∈(0,1)mellett, ergo E

L¹_α

>E

L¹₀

.

Most írjuk fel a másodáras szigorúan monoton n˝ov˝o egyensúlyi bevétel-eloszlást. Ez sokkal egyszer˝ubb, hiszen aszimmetrikus esetben is az identitás függvény lehet csak az optimális, a szigorúan monoton növeked˝o feltétel miatt. Így mindenp∈(0,ω₂)mellett

L²_α(p) =P(min{X1,X2} ≤p) =

P((X₁≤p)∪(X₂≤p)) =F1(p) +F2(p)−F1(p)F₂(p) = (1−α)p+ (1+α)p−(1−α) (1+α)p²=2p+

α²−1 p². Világos, hogy[0,1)felett e függvény mintα függvénye szigorúan monoton n˝o, tehát tetsz˝olegesen rögzítettα∈(0,1)esetén

L²₀(p)<L²_α(p)

mindenp∈(0,ω2)mellett, azazL²₀sztochasztikusan domináljaL²_α-t, ergo E

L²_α

<E L²₀

.

Persze az α = 0 esetben a két licitáló eloszlása a [0,1]-en egyenletes, ami a bevételekvivalencia-elv esete, tehát a kikiáltó várható bevétele ugyanaz mind az els˝o-áras, mind a másodáras esetben.

Ígyα>0 esetében E

L²_α

<E L²₀

=E L¹₀

<E L¹_α

.

Láttuk tehát, hogyaz aszimmetrikus licitálók esetében a bevételekvivalencia-elv követ-kezménye nem marad igaz: a kikiáltó várható árbevétele más és más els˝o- és másodáras esetben.

8.

ER ˝ OSZAKOS LICITÁLÓ

8. fejezet: Er ˝oszakos licitáló 77

AZ EL ˝OZ ˝O FEJEZETpéldájában, haω2<ω1, akkor azX1 játékos sztochasztikusan dominálja azX₂játékost:

F1(x) = 1 ω1

x< 1 ω2

x=F2(x).

Láttuk, hogyX2 minden értékeléshez nagyobb licitet ad, mintX1 ugyanezen értéke-léshez. Most ezt az állítást próbáljuk általánosítani sztochasztikus dominanciában álló

Láttuk, hogyX2 minden értékeléshez nagyobb licitet ad, mintX1 ugyanezen értéke-léshez. Most ezt az állítást próbáljuk általánosítani sztochasztikus dominanciában álló

In document Aukcióelmélet előadások (Pldal 48-0)