A köpeny modelljei

A köpeny belépő hőmérsékletének szabályozása a termosztát beépített PID szabályozójával történik, ezért a köpenymodell identifikálásakor a termosztátot is a köpeny részeként kezelem. Ebben az esetben a köpenyt egy olyan objektumként írhatjuk le, amelynek a bemenete a termosztát beavatkozó jele (u) és kimenete a köpeny belépő hőmérséklet (T2).

Elsőrendű (állandó paraméterű) modell

Az alábbi elsőrendű differenciálegyenletnek illetve átviteli függvénynek paraméterei a következők: az időállandó (τ), az erősítés (k) és a holtidő (th).

(

t t_h ku dt T

dT² + ₂ = −

τ

)

( )

^{e ths}

1 s s k

G ⁻

= + τ

Identifikálás során ezt a három paramétert kell meghatározni. Ez a modell egyszerűen leképezhető egy Simulink programba (5.2. ábra), ez egy Matlab szélsőérték kereső programból hívható, amely az adott paraméterekhez tartozó célfüggvény értéket számolja (5.1. ábra). A későbbiekben bemutatásra kerülő identifikációkat is hasonló programmal végeztem, ezért azokat már részletesen nem fogom ismertetni. Ezt a módszert összehasonlítottam a Matlabban elérhető egyéb identifikációs módszerekkel és megállapítottam, hogy közel azonos eredményt adnak.

A modellek identifikálását több mérési adatsorral is elvégeztem, de a kapott paraméterekben nem volt jelentős eltérés, ezért a 5.3. ábrán található adatsorral kapott eredményeket fogom bemutatni. Ezt az adatsort egy slave köri mérésből kaptam, ahol a reaktor töltet 1 dm³ víz, a keverő fordulatszáma 300 min^-1 volt.

5.1. ábra Célfüggvényt számoló Simulink program.

5.2. ábra Az objektum modell megadása a Simulink programban.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

idő (min)

hőmérséklet (°C)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

termosztát beavatkozás (%)

T1 WT2 T2 U

5.3. ábra Köpenymodellek identifikációjához felhasznált mérés

Az identifikálást elvégeztem rögzített (M1) és nem rögzített (M2) stacioner be- és kimenet mellett is. Az identifikáció során kapott eredmények a 5.1. táblázatban találhatók. A kapott paraméterekkel végzett szimuláció (5.4. ábra) alapján

megállapíthatjuk, hogy az elsőrendű holtidős modell nagyon pontatlanul írja le a rendszert.

5.1. táblázat Elsőrendű objektum paraméterei

identifikálás erősítés időállandó holtidő stac.

u stac.

y

rögzített stacioner értékekkel (M1) 10 163,4 0 50 20

nem rögzített stacioner értékekkel (M2) 2,63 41,9 0 42 17,82

0

termosztát beavatkozás (%)

T2 T2_M1 T2_M2 U

5.4. ábra A köpeny identifikálása elsőrendű modellel Elsőrendű (kettős paraméter készletű) modell

A 5.4. ábra alapján megfigyelhető, hogy az elsőrendű modell a hűtési szakaszt megfelelő pontossággal leírta, míg a fűtési szakaszban jelentős az eltérés. Ez abból adódik, hogy a termosztát fűtési dinamikája gyorsabb a hűtés dinamikájához képest.

Ebből a megfigyelésből adódik egy olyan modell, ahol külön paraméterkészletet használunk a fűtési és a hűtési szakaszban az alábbiak szerint:

(

_h

Az identifikáció során kapott paraméterek (5.2. táblázat) és a szimuláció alapján (5.5. ábra) megállapíthatjuk, hogy az elsőrendű (kettős paraméter készletű) modell már jól közelíti a rendszert.

5.2. táblázat Elsőrendű (kettős paraméter készletű) modell paraméterei tartomány erősítés időállandó holtidő stac. u stac. y hűtési szakasz 0,97 29,4 0

termosztát beavatkozás (%)

T2 T2_M U

5.5. ábra A köpeny identifikálása elsőrendű (kettős paraméter készletű) modellel Részletes (vegyészmérnöki) modell

A termosztát hőmérsékletén (T2) túl, az állapotváltozót kibővítve a termosztátban lévő fűtőszál hőmérsékletével (Tf) kapjuk az alábbi részletes modelleket:

(

_{1 2}

)

_v

(

_{k 2}

)

_f

(

_{f 2}

)

^'_{4 h}

(

_h,h

mcp

A termosztátban lévő folyadékra felírt mérlegben szerepel az elegynek és a környezetnek átadott, a fűtőszál által átadott, valamint a hűtéssel elvont hő. A fűtőszálra felírt mérlegben a termosztát elegynek átadott és a villamos fűtés által bevitt hő szerepel.

Az identifikáció során kapott paraméterekkel (5.3. táblázat) végzett szimuláció (5.6. ábra) alapján megállapíthatjuk, hogy a részletes (vegyészmérnöki) modell már nagyon jól közelíti a rendszert.

5.3. táblázat Részletes (vegyészmérnöki) modell paraméterei paraméter p1 p2 p3 p4 p5 p6 th,h th,f

termosztát beavatkozás (%)

T2 T2_M U

5.6. ábra A köpeny identifikálása részletes (vegyészmérnöki) modellel.

A háromféle modell identifikálásával kapott paraméterekkel végzett szimuláció eredményét a célfüggvények értékének összehasonlításával érzékeltethetjük. Az 5.4. táblázatban szereplő értékek az átlagos hibanégyzeteket jelentik. Az 5.7. ábrán a szimulációnak egy jellemző részlete található úgy, hogy egy ábrán látható a mért és az összes számolt görbe. A táblázat és az ábra alapján is megállapítható, hogy a legjobb megoldást adó részletes modellnél rosszabb a kettős paraméter készletű modell, az elsőrendű modellek pedig nagyon rossz eredményt adnak.

5.4. táblázat Különböző köpenymodellek célfüggvényei.

modell elsőrendű(M1) elsőrendű(M2) kettős paraméterű részletes

célfüggvény 46,82 7,57 0,78 0,13

30 35 40 45 50 55 60 65 70

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

idő (min)

hőmérséklet (°C)

T2 T2_állandó_stac T2_változó_stac T2_kettős_paraméterű T2_részletes

5.7. ábra A különböző köpenymodellek összehasonlítása 5.1.2. A reaktormodellek

A modellek identifikálásához a 5.8. ábrán található adatsort használtam. Ezt az adatsort egy kaszkád köri mérésből kaptam, ahol a reaktortöltet 0,5 dm³ víz, a keverő fordulatszáma 300 min^-1 volt. Az alapjelet 20 °C és 80 °C között változtattam 20 °C-os lépésekben lefelé és fölfelé is, továbbá 1 °Cmin^-1 sebességű lineáris vezetést alkalmaztam, szintén 20 °C és 80 °C között.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

idő (min)

hőmérséklet (°C)

WT1 T1 T2

5.8. ábra A reaktormodellek identifikációjához felhasznált mérés

Elsőrendű modell

Az alábbi elsőrendű differenciálegyenletnek illetve átviteli függvénynek három paraméterét: időállandóját (τ), erősítését (k) és holtidejét (th) határoztam meg szélsőérték kereséssel (5.5. táblázat).

(

^{t t}_h

kT dt T

dT¹ + ₁ = ₂ −

τ

)

,

( )

^{e ths}

1 s s k

G ⁻

= + τ

A meghatározott paraméterekkel végzett szimuláció (5.9. ábra) alapján megállapítható, hogy már egy elsőrendű holtidős modell is jól közelíti a mért értékeket. Jelentősebb eltérés a magasabb hőmérsékleteknél jelentkezik. Megismételt nyitott csonkú mérésekkel sikerült igazolni, hogy ezt a víz párolgása okozza. A paraméterek alapján azt is megállapíthatjuk, a reaktor időállandója kisebb, mint a köpeny időállandója, ezért nem teljesül a kaszkádszabályozási struktúránál elvárt dinamikai különbség.

5.5. táblázat Elsőrendű reaktormodell paraméterei

paraméter erősítés időállandó holtidő stac. u stac. y

érték 0,94 5,23 0,28 18,92 19,53

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

idő (min)

hőmérséklet (°C)

T1 T1_M T2

5.9. ábra Reaktormodell identifikálása elsőrendű modellel Részletes modell

A reaktor részletes modelljénél a reaktorban lévő elegyre és a falra írhatunk fel mérleget. A hőátadásnál a köpenyátlag hőmérséklettel számolhatunk, a környezet (Tk) felé történő hőátadás átadási tényezőjét a reaktorhőmérséklet függvényeként írjuk le, és ezen keresztül a párolgás jelenségét mint veszteséget vehetjük figyelembe. A köpeny be- és kilépő hőmérsékletnél holtidővel (th) is számolunk:

( ) ( )

A 5.6. táblázatban található paraméterekkel végzett szimuláció (5.10. ábra) alapján megállapítható, hogy a részletes modell nagyon jól közelíti a mért értékeket.

Jelentősebb eltérés a magasabb hőmérsékleteknél sincs, ez azt jelenti, hogy a víz párolgásának hatását a hőveszteség másodfokú hőmérséklet függvényeként való leírásával (5.11. ábra) pontosítható a modell.

5.6. táblázat A részletes reaktormodell paraméterei

paraméter αF th mcpF αFF p1 p2 p3

érték 413,67 0,14 151,3 23,0 -4,8676 0,1245 0,0028

0

T1 T1_M T2 TF_M

5.10. ábra Reaktormodell identifikálása részletes modellel Tendencia modell

A reaktor részletes modelljéhez képest egy egyszerűsített, de az objektum struktúráját még visszatükröző ún. tendencia modellhez jutunk (Szeifert, 1992a), ha a falra felírt mérleget elhagyjuk, de a párolgás jelenségét, mint veszteséget az elegyre felírt mérlegben továbbra is figyelembe vesszük:

( )

-5 0 5 10 15 20 25

20 30 40 50 60 70 80

hőmérséklet (°C)

hőátadás*felület (kJ/(min K)

5.11. ábra Hőveszteség leírása polinommal

A 5.7. táblázatban található paraméterekkel végzett szimuláció (5.12. ábra) azt mutatja, hogy a tendencia modellel a részletes modellhez hasonló eredményt kapunk.

5.7. táblázat A reaktor tendencia modelljének paraméterei paraméter αF th p1 p2 p3

érték 383,4 0,032 -4,7 0,1066 0,0028

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

idő (min)

hőmérséklet (°C)

T1 T1_M T2

5.12. ábra Reaktormodell identifikálása tendencia modellel

A három modell identifikálásával kapott paraméterekkel végzett szimuláció célfüggvényeinek értékei a 5.8. táblázatban találhatók. A 5.13. ábrán egy jellemző részlete látható a szimulációnak úgy, hogy egy ábrán látható a mért és az összes

számolt görbe. A táblázat és az ábra alapján is megállapítható, hogy a legjobb megoldást adó részletes modellnél alig rosszabb a tendencia modell. Az elsőrendű modell a tendencia modellnél alig egyszerűbb, azonban sokkal rosszabb eredményt ad.

Az is megfigyelhető, hogy a köpenymodellekhez képest a reaktor esetén nincs akkora különbség a modellek teljesítőképessége között.

5.8. táblázat A különböző reaktormodellek célfüggvényei modell elsőrendű részletes tendencia

célfüggvény ^0,200443 0,049976 0,055175

50 55 60 65 70 75 80 85

50 70 90 110 130 150 170 190 210 230 250

idő (min)

hőmérséklet (°C)

T1 T1_részletes T1_tendencia T1_elsőrendű

5.13. ábra A különböző reaktormodellek összehasonlítása 5.2. Szakaszos reaktor modelljének identifikálása

Az 3. fejezetben ismertetett részletes vegyészmérnöki modellnek számos olyan paramétere van, amely a priori információk alapján megadható. Van azonban néhány olyan paramétere is, amit célszerű mérési adatok alapján meghatározni. A modellben szereplő paraméterek közül ilyennek tekintettem a reaktor holtidejét, az elegy és a környezet közötti hőátadást (αFK), a köpeny és a fal közötti hőátadást (αFF), az elegy és a fal közötti hőátadásnál pedig egy szorzótényezőt vezettem be a pontosság növelésére, továbbá identifikálandó paraméternek tekintettem a szelepkarakterisztiká-kat is.

A paraméterek nagy száma miatt nem lehet egy lépésben meghatározni azok értékeit, ezért az identifikációs feladatot dekomponáltam. Első lépésben a holtidőt és a hőátszármaztatással kapcsolatos paramétereket határoztam meg oly módon, hogy egy mérési adatsorból (5.14. ábra) vett köpeny belépő hőmérséklet értékeket (T2) felhasználva számoltam a szimulátorral a reaktorhőmérsékletet (T1,m) és a köpeny kilépő hőmérsékletet (T3,m). Ezt a számolást végeztem el a szélsőérték keresés minden

lépésében úgy, hogy közben a T1, T3 hőmérsékletekre számolt súlyozott négyzetes hibafüggvényt minimalizáltam.

( ) ( )

5.14. ábra Az identifikációhoz felhasznált mérés 5.9. táblázat A paraméter illesztés során kapott paraméterek

paraméter αFF αFK κszorzó th

5.15. ábra A hőátszármaztatási paraméterek illesztése

A második lépésben a szelepkarakterisztikákat határoztam meg, mind a gőzös (V1), mind a vizes (V2) szelepnél egy másodfokú polinommal megadható karakterisztikát feltételeztem. Az így adódó 6 paramétert oly módon határoztam meg, hogy egy mérési adatsorból (5.14. ábra) vett szelepállás értékeket (V1, V2) felhasználva számoltam a szimulátorral a köpeny belépő hőmérsékletet (T_2,m), miközben a reaktorhőmérsékletét a mért értékkel azonosnak vettem. Ezt a számolást végeztem el a szélsőértek keresés minden lépésében úgy, hogy közben a T2 hőmérsékletekre számolt négyzetes hibafüggvényt minimalizáltam.

( )

Az illesztés során kapott paraméterek a 5.10. táblázatban találhatók, gőzszelep karakterisztikára közel lineáris (5.17. ábra), míg a vízszelep karakterisztikára (5.18. ábra) egy nem lineáris összefüggés adódott.

A kapott karakterisztikákkal végzett szimuláció eredménye az alábbi ábrán (5.16.

ábra) látható. A vízszelep karakterisztikáját a 5.19. ábrán látható mérés alapján is meghatároztam. A lépcsőzetesen változtatott szelepállásokhoz tartozó stacioner térfogatáramokból egy másodfokú polinom illesztéssel kapott szelep karakterisztika szintén a 5.18. ábrán látható.

5.10. táblázat Az illesztés során kapott szelep karakterisztika paraméterek

Gőzszelep Vízszelep paraméter pV1,1 pV1,2 pV1,3 pV2,1 pV2,2 pV2,3

érték -5,55e-4 1,477e-3 -2,26e-6 7,063e-2 9,166e-3 -2,53e-5

0

5.16. ábra Szelep karakterisztikák illesztése

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Szelepállás (%)

térfogatáram (m3/h)

5.17. ábra Gőzszelep karakterisztika

y = -0.00004515x² + 0.01222067x - 0.02044400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10

Szelepállás (%)

térfogatáram (m3/h)

0

5.18. ábra Vízszelep karakterisztikák

0

5.19. ábra Víz térfogatáramának változása

Az identifikációk során kapott eredmények alapján megállapítható, hogy a reaktorrendszer leírására használt modell ismeretlennek tekintett paraméterei kisszámú - megfelelően tervezett - mérés során gyűjtött adatok alapján identifikálhatók. A modellek paramétereinek identifikálása során az is kitűnt, hogy a köpeny és a köpenyhez tartozó szerelvények (pl. szelepek) paramétereinek meghatározása sokkal nehezebb feladat, mint a reaktort leíró modell paramétereinek meghatározása. A rendszer működésének pontos leírásához azonban elengedhetetlen a köpeny működését jól visszatükröző modell.

Abban az esetben, ha a szimulátort szabályozók tervezésére használjuk és eltekintünk a megfelelő részletességű köpenyleírástól, akkor egy a valóságtól elvonatkoztatott „elvi” feladat megoldását kapjuk.

A bemutatott modellrendszert és az identifikáció során alkalmazott lépéseket több ipari feladat megoldása során használtuk. Az elkészített szimulátort a laboratóriumi 50 dm³-es reaktoron kívül, 160 dm³-es , 1,25, 4, 6,3, 10 és 40 m³-es gyógyszergyári illetve polimerizációs reaktorok vizsgálatára és szabályozóinak tervezésére is eredményesen használtuk.

A reaktorban lévő elegyben lejátszódó folyamatok elkülönített leírásának köszönhetően a szimulátort nagyon gyorsan át lehet alakítani különböző rendszerek leírására. Ezt a lehetőséget kihasználva alakítottunk ki egy szakaszos polimerizációs reaktorrendszer szimulátort is.

A kereskedelemben kapható szimulátorok (pl. Aspen Dynamics, ChemCad, stb.) nagyon gyorsan fejlődnek, de az ipari rendszerek megfelelő dinamikus leírására még csak nagyon körülményesen használhatók (pl. elosztott paraméterű köpenymodell, reaktortest hőkapacitás, tiszta holtidő, stb.).

In document Szakaszos reaktorok szimulációja és irányítása (Pldal 61-75)