i j i j i i i i i i i ij i ij Y y p p y 2 µˆ αˆ 2 µˆ µ 2 αˆ α 2

(1)

ANOVA 3131

(

yij−Yi

)

=

(

yij −Y^ˆi

) ( )

+ Y^ˆi−Yi =

(

yij−µ^ˆ−α^ˆi

)

+

⁽

µ^ˆ−µ

^{) (}

+ ai−α^ˆi

⁾

( ) ( ) ( ) ( )

∑∑

⁻ ⁼

∑∑

⁻ ⁻ ⁺ ⁻

∑

⁺

∑

⁻ ⁼

i j i j i i

i i i i

i ij

i

ij Y y p p

y ² µˆ αˆ ² µˆ µ ² αˆ α ²

( ) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

=

∑ ∑

^yij − ^yi_⋅ + ^y_⋅⋅−

∑

^pi +

∑

^{p y}i i_⋅− ^y_⋅⋅− i i

i j

i

2 2 2

µ α

χ σ² _e²

( ) ⁽ ⁾

p_i p_i r

i i

=

∑

− + + −

∑

¹ ¹ ¹

Fisher-Cochran-tétel mind

( )

² ² e²

i

i i

i y y

p − −α =χ σ

∑

⋅ ⋅⋅

0 :

H₀ αi =

( )

² ² e²

i i i

A p y y

S =

∑

⋅− ⋅⋅ =χ σ

( )

R e

i i

i j

i ij

R p r

y y

s χν²σ²

2

2 =

−

=

∑

∑∑

⋅

( )

² ² ^e²

i j

i ij

R y y

S =

∑∑

− ⋅ =χ σ

( )

A e r

i

i i

A r

y y p

s 1 χν²σ²

2 2

1 =

−

=

∑

= ⋅ ⋅⋅

2 2 0

R A

s F = s

(2)

ANOVA 3333

Két faktor szerinti ANOVA Két faktor szerinti ANOVA

Az A faktor minden szintjét kombináljuk a B faktor minden szintjével, minden „cellában” azonos számú ismétlés (kiegyensúlyozott terv).

A terv szerkezete miatt a faktorok hatását egymásétól függetlenül vizsgálhatjuk.

treatment

A B C D

I 0.310 0.820 0.430 0.450 0.450 1.100 0.450 0.710 0.460 0.880 0.630 0.660 0.430 0.720 0.760 0.620 poison II 0.360 0.920 0.440 0.560 0.290 0.610 0.350 1.020 0.400 0.490 0.310 0.710 0.230 1.240 0.400 0.380 III 0.220 0.300 0.230 0.300 0.210 0.370 0.250 0.360 0.180 0.380 0.240 0.310

2. példa

(Box-Hunter-Hunter: Statistics for Experimenters, J. Wiley, 1978, p. 165) poison.sta

(3)

ANOVA 3535 1

2 3

1 2 3 4

TREATMEN 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

ijk ij

yijk =µ +ε

méreg (i) kezelés (j)

ismétlés (k)

Modell i=1,…,r; j=1,…,q, k=1,…,p

48 4 4 3⋅ ⋅ =

=

=rqp N

ijk ij

yijk =µ +ε átlag-modell

34 12

11 0:

H µ =µ =⋅ ⋅⋅=µ (mind azonos)

(4)

ANOVA 3737 ijk

ij j i

yijk =µ+α +β +αβ +ε

az i-edik méreg a j-edik kezelés kölcsönhatás

hatása hatása

ijk ij j i

yijk =µ+α +β +αβ +ε hatás-modell r

i H₀^A:α_i =0, =1,...,

q j

H₀^B: β_j =0, =1,...,

q j

r i

H₀^AB: αβ_ij =0, =1,..., ; =1,...,

ANOVA-táblázat

3⋅4⋅(4-1)=36

Az eltérés forrása

eltérés- -négyzetösszeg

szabadsági fok

szórásnégyzet F A hatása

(sorok közötti) ^S^A ^qp

(

^yⁱ ^y

)

i

=

∑

_⋅⋅− _⋅⋅⋅ ² ^r-1 _s ^S

A r

A 2

= −1 s_A² s_R² B hatása

(oszlopok

közötti) ^S^B ^rp

(

^y^j ^y

)

j

=

∑

_{⋅ ⋅}− _⋅⋅⋅ ² ^q-1 s S

B q

B 2

= −1 s_B² s_R² AB kölcsönhatás

( )

S

p y y y y

AB

ij i j

j i

=

∑ ∑

_⋅− _⋅⋅− _{⋅ ⋅}+ _⋅⋅⋅ ² (r-1)·(q-1)

( )

s S

r q

AB

AB 2

1 1

= − − s_AB² s_R²

Maradék (csoportokon

belüli) ^S^R

(

^y^ijk ^y^ij

)

k j i

=

∑ ∑ ∑

− _⋅ ² rq(p-1)

( )

s S

R rq p

R 2

= 1

−

Teljes ^S

(

^y^ijk ^y

)

k j i 0

=

∑ ∑ ∑

− _⋅⋅⋅ 2 ^rqp-1

(5)

ANOVA 3939 Univariate Tests of Significance for SURVIVAL (Poison)

Sigma-restricted parameterization Effective hypothesis decomposition Effect

SS Degr. of Freedom

MS F p

Intercept POISON TREATMEN POISON*TREATMEN Error

11.03042 1 11.03042 495.9194 0.000000 1.03301 2 0.51651 23.2217 0.000000 0.92121 3 0.30707 13.8056 0.000004 0.25014 6 0.04169 1.8743 0.112251 0.80073 36 0.02224

Advanced Linear/Nonlinear Models>

>General Linear

Models>Factorial ANOVA>

Means fülön: Observed, weighted, Plot

Summary fülön: All effects

Vertical bars denote 0.95 confidence intervals

POISON 1 POISON 2 POISON 3

1 2 3 4

TREATMEN 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

SURVIVAL

Tests of Homogeneity of Variances (Poison) Effect: POISON*TREATMEN

Hartley F-max

Cochran C

Bartlett Chi-Sqr.

df p

SURVIVAL 678.6000 0.423741 45.13689 11 0.000005

Levene's Test for Homogeneity of Variances (Poison) Effect: POISON*TREATMEN

Degrees of freedom for all F's: 11, 36 MS

Effect MS Error

F p

SURVIVAL 0.024601 0.005069 4.853537 0.000144

Homoszkedaszticitás σ_e² =konst ? More results>Assumptions fülön: Homogeneity of variances

(6)

ANOVA 4141 Dependent variable: SURVIVAL

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Predicted Values -0.4

-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Raw Residuals

A reziduumok vizsgálata

Residuals1 fülön: Pred. & resid.

σy ~ ^yα





=

= ≠

=

∫

⁻ ⁻

1 ha ln

1

1 ha α

α

α α

y dy y

y y^tr

dy ky dy^tr = ⁻^α

( )

^y ^dy_dy ²^σ² ^dy_dy ²^y²^α

Var

tr y

tr

tr 







=







=

( )

^y^tr ⁼^konst

Var ha y^α =konst

dy dy^tr

Box-Cox transzformáció

(7)

ANOVA 4343

α λ^=1-α transzformáció

2 -1 1 / y

1.5 -0.5 1 / y

1 0 ln y

0.5 0.5 y

0 1 (nincs transzformáció)





=

= ≠

=

∫

⁻ ⁻

1 ha ln

1

1 ha α

α

α α

y dy y

y y^tr

lnsd = -0.9528+1.977*x

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

lnmean -4.5

-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5

lnsd

σy ~ ^yα lnσ_y =k+αlny egyenest kell illeszteni

≈2 α

~ y2

σy

(8)

ANOVA 4545

Lambda versus SSE(lambda) Dependent variable: SURVIVAL

Indep.:

The intersection of the 95% C.I line with the SSE line marks the 95% confidence limits For the best lambda

Lambda

SSE(lambda)

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0 1 2 3 4 5 6

95% C.I.

Box-Cox transzformáció

^y^tr ⁼ ^y^λ

File>Open: (Program Files>StatSoft>Statistica8>Examples>Macros>

>Analysis Examples>BoxCox)

−1 λ ≈

Normal Probability Plots of Residuals Dependent Variable: SURVIVAL

Indep.:

Lambda=1 (No Transformation)

Residual

z-Value

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -3

-2 -1 0 1 2 3

Lambda=-1

Residual

z-Value

-2.5 -2.0

-1.5 -1.0

-0.5 0.0

0.5 1.0

1.5 2.0 -3

-2 -1 0 1 2 3

(9)

ANOVA 4747 Box Plot of multiple variables grouped by TREATMEN

Spreadsheet1 5v*16c

Median; Box: 25%-75%; Whisker: Non-Outlier Range

1.000 2.000 3.000

1 2 3 4

TREATMEN 0

1 2 3 4 5 6

POISON*TREATMEN; Weighted Means Current effect: F(6, 36)=1.0904, p=.38673

Effective hypothesis decomposition Vertical bars denote 0.95 confidence intervals

POISON 1 POISON 2 POISON 3

1 2 3 4

TREATMEN -1

0 1 2 3 4 5 6 7

recsurv: =1/survival

(10)

ANOVA 4949 Univariate Tests of Significance for Recsurv (Poison)

Sigma-restricted parameterization Effective hypothesis decomposition Effect

SS Degr. of Freedom

MS F p

Intercept POISON TREATMEN POISON*TREATMEN Error

330.0892 1 330.0892 1374.881 0.000000 34.8771 2 17.4386 72.635 0.000000 20.4143 3 6.8048 28.343 0.000000 1.5708 6 0.2618 1.090 0.386733

8.6431 36 0.2401

A hatások még kifejezettebbek (F értékei nagyobbak), a kölcsönhatáshoz tartozó p 0.112 helyett 0.387 lesz.

Dependent variable: Recsurv

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5

Predicted Values -1.0

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Raw Residuals

Dependent variable: Recsurv

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Expected Normal Value

.01 .05 .15 .35 .55 .75 .95 .99