Val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ as p´ otz´ arthelyi megold´ asok
2009. ´ aprilis 29.
1. Egy szab´alyos dob´okock´aval addig dobok, am´ıg ¨ot¨ost nem kapok. Jel¨olje X a dob´assorozat k¨ozben dobott egyesek sz´am´at! MennyiX v´arhat´o ´ert´eke? P(X= 0) =?
Megold´as. Jel¨oljeY a dob´assz´amot. Ekkor P(X =k|Y =n) =
n−1 k
4n−1−k
5n−1 , k= 0,1, . . . , n−1,
azaz X felt´eteles eloszl´asa az Y = n felt´etel mellett binomi´alis, konkr´etan B(n−1,15). Ezt felhaszn´alva a keresett v´arhat´o ´ert´ek a k¨ovetkez˝o:
EX=
∞
X
k=0
kP(X =k) =
∞
X
k=0
k
∞
X
n=k+1
P(X =k|Y =n)P(Y =n)
=
∞
X
n=1 n−1
X
k=0
kP(X =k|Y =n)P(Y =n)
=
∞
X
n=1
P(Y =n)
n−1
X
k=0
kP(X=k|Y =n)
| {z }
(n−1)15
=
∞
X
n=1
n−1 5
5 6
n−1
1 6 = 1
36
∞
X
n=1
(n−1) 5
6 n−2
= 1 36
1
(1−56)2 = 1
AP(X = 0) val´osz´ın˝us´eg szint´en a teljes val´osz´ın˝us´eg t´etel´enek felhaszn´al´as´aval kaphat´o:
P(X= 0) =
∞
X
n=1
P(X = 0|Y =n)P(Y =n) =
∞
X
n=1
4 5
n−15 6
n−1
1 6
=1 6
∞
X
k=0
4 6
k
=1 6
1 1−46 =1
2
2. Legyenek az A ´es B f¨uggetlen esem´enyek, C pedig mindkett˝oj¨uket kiz´ar´o esem´eny. P(A) = P(B) =P(C) = 13. P( ¯A·B+C) =?
Megold´as.
P( ¯A·B+C) =P( ¯A·B) +P(C) =P( ¯A)P(·B) +P(C) = 2 3 1 3 +1
3 =5 9
3. Egy dobozban 1 piros 2 feh´er ´es 3 z¨old sz´ın˝u goly´o van. Visszatev´es n´elk¨ul addig h´uzunk, am´ıg mindh´arom sz´ınb˝ol nincs m´ar legal´abb egy goly´onk. Jel¨olje X a sz¨uks´eges h´uz´asok sz´am´at! Adja meg X eloszl´as´at, v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´as´at!
1
Megold´as. A keresett val´osz´ın˝us´egek a k¨ovetkez˝ok´epp kaphat´ok meg:
P(X= 3) =P(pf z) = 61 6 2 5 3 4 = 3
10 =18 60 P(X= 4) =P(f f pz∨f f zp∨f zzp∨pzzf)
= 32 6 1 5 1 4 3 3+ 32
6 1 5 3 4 1 3+ 33
6 2 5 2 4 1 3+ 31
6 3 5 2 4 2 3 = 3
10 =18 60 P(X= 5) =P(f f zzp∨zzzf p∨zzzpf)
= 62 6 1 5 3 4 2 3 1 2+ 42
6 3 5 2 4 1 3 1 2+ 43
6 2 5 1 4 1 3 2 2 = 14
60 P(X= 6) =P(f f zzzp) = 102
6 1 5 3 4 2 3 1 2 1 1 = 10
60
A v´arhat´o ´ert´ek, a m´asodik momentum ´es a sz´or´as az al´abbi m´odon sz´amolhat´ok:
EX= 1
60(3·18 + 4·18 + 5·14 + 6·10) =64 15 EX2= 1
60(9·18 + 16·18 + 25·14 + 36·10) = 1169 60 σ2X=EX2−(EX)2= 1151
900 σX≈1.13
4. AzX ´es Y egy¨uttes s˝ur˝us´egf¨uggv´enye fX,Y(x, y) =
a(x2+ 3xy+y2) ,ha 0< x, y <1
0 ,egy´ebk´ent
Mennyi aza´ert´eke? F¨uggetlenek-eX ´esY?
Megold´as. Az egys´egre norm´alts´agi felt´etelb˝ol sz´am´ıthat´o a´ert´eke:
1 =a Z 1
0
Z 1
0
x2+ 3xy+y2dxdy=a Z 1
0
x3 3 +3
2x2y+xy2 1
0
dy
=a Z 1
0
1 3 +3
2y+y2dy=a 1
3y+3
4y2+y3 3
1
0
=a17 12 A fentiek alapj´an teh´ata= 1217. A s˝ur˝us´egf¨uggv´enyek az al´abbiak lesznek:
fX(x) =fY(x) =12 17
Z 1
0
x2+ 3xy+y2dy=12 17
x2+3
2x+1 3
MivelfX(x)fY(y)6=fX,Y(x, y),X ´esY nem f¨uggetlenek.
5. X´esY f¨uggetlen val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ok. Sz´amolja ki azfX(x) =12,x∈[0,2]´es azfY(y) = 2y5, y∈[2,3]s˝ur˝us´egf¨uggv´enyek konvol´uci´os s˝ur˝us´egf¨uggv´eny´et, fX+Y(t)-t!
Megold´as. A keresett s˝ur˝us´egf¨uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anyaRX+Y = [2,5], a f¨uggv´eny maga pedig a k¨ovetkez˝o k´eplettel kaphat´o:
fX+Y(t) = Z ∞
−∞
fX(u)fY(t−u)du= Z b(t)
a(t)
t−u 5 du,
ahol az integr´al´asi hat´arok v´altoz´asa miatt a k¨ovetkez˝o k´et esetet k¨ul¨onb¨oztetj¨uk meg:
t∈[2,3] : fX+Y(t) = Z t−2
0
t−u 5 du= 1
5
tu−u2 2
t−2
0
= t2−4 10 t∈[3,5] : fX+Y(t) =
Z 3
t−3
t−u 5 du=1
5
tu−u2 2
3
t−3
=(6−t)t 10 2
