• Nem Talált Eredményt

Val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ as p´ otz´ arthelyi megold´ asok

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Ossza meg "Val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ as p´ otz´ arthelyi megold´ asok"

Copied!
2
0
0

Teljes szövegt

(1)

Val´ osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ as p´ otz´ arthelyi megold´ asok

2009. ´ aprilis 29.

1. Egy szab´alyos dob´okock´aval addig dobok, am´ıg ¨ot¨ost nem kapok. Jel¨olje X a dob´assorozat k¨ozben dobott egyesek sz´am´at! MennyiX v´arhat´o ´ert´eke? P(X= 0) =?

Megold´as. Jel¨oljeY a dob´assz´amot. Ekkor P(X =k|Y =n) =

n−1 k

4n−1−k

5n−1 , k= 0,1, . . . , n−1,

azaz X felt´eteles eloszl´asa az Y = n felt´etel mellett binomi´alis, konkr´etan B(n−1,15). Ezt felhaszn´alva a keresett v´arhat´o ´ert´ek a k¨ovetkez˝o:

EX=

X

k=0

kP(X =k) =

X

k=0

k

X

n=k+1

P(X =k|Y =n)P(Y =n)

=

X

n=1 n−1

X

k=0

kP(X =k|Y =n)P(Y =n)

=

X

n=1

P(Y =n)

n−1

X

k=0

kP(X=k|Y =n)

| {z }

(n−1)15

=

X

n=1

n−1 5

5 6

n−1

1 6 = 1

36

X

n=1

(n−1) 5

6 n−2

= 1 36

1

(1−56)2 = 1

AP(X = 0) val´osz´ın˝us´eg szint´en a teljes val´osz´ın˝us´eg t´etel´enek felhaszn´al´as´aval kaphat´o:

P(X= 0) =

X

n=1

P(X = 0|Y =n)P(Y =n) =

X

n=1

4 5

n−15 6

n−1

1 6

=1 6

X

k=0

4 6

k

=1 6

1 1−46 =1

2

2. Legyenek az A ´es B f¨uggetlen esem´enyek, C pedig mindkett˝oj¨uket kiz´ar´o esem´eny. P(A) = P(B) =P(C) = 13. P( ¯A·B+C) =?

Megold´as.

P( ¯A·B+C) =P( ¯A·B) +P(C) =P( ¯A)P(·B) +P(C) = 2 3 1 3 +1

3 =5 9

3. Egy dobozban 1 piros 2 feh´er ´es 3 z¨old sz´ın˝u goly´o van. Visszatev´es n´elk¨ul addig h´uzunk, am´ıg mindh´arom sz´ınb˝ol nincs m´ar legal´abb egy goly´onk. Jel¨olje X a sz¨uks´eges h´uz´asok sz´am´at! Adja meg X eloszl´as´at, v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´as´at!

1

(2)

Megold´as. A keresett val´osz´ın˝us´egek a k¨ovetkez˝ok´epp kaphat´ok meg:

P(X= 3) =P(pf z) = 61 6 2 5 3 4 = 3

10 =18 60 P(X= 4) =P(f f pz∨f f zp∨f zzp∨pzzf)

= 32 6 1 5 1 4 3 3+ 32

6 1 5 3 4 1 3+ 33

6 2 5 2 4 1 3+ 31

6 3 5 2 4 2 3 = 3

10 =18 60 P(X= 5) =P(f f zzp∨zzzf p∨zzzpf)

= 62 6 1 5 3 4 2 3 1 2+ 42

6 3 5 2 4 1 3 1 2+ 43

6 2 5 1 4 1 3 2 2 = 14

60 P(X= 6) =P(f f zzzp) = 102

6 1 5 3 4 2 3 1 2 1 1 = 10

60

A v´arhat´o ´ert´ek, a m´asodik momentum ´es a sz´or´as az al´abbi m´odon sz´amolhat´ok:

EX= 1

60(3·18 + 4·18 + 5·14 + 6·10) =64 15 EX2= 1

60(9·18 + 16·18 + 25·14 + 36·10) = 1169 60 σ2X=EX2−(EX)2= 1151

900 σX≈1.13

4. AzX ´es Y egy¨uttes s˝ur˝us´egf¨uggv´enye fX,Y(x, y) =

a(x2+ 3xy+y2) ,ha 0< x, y <1

0 ,egy´ebk´ent

Mennyi aza´ert´eke? F¨uggetlenek-eX ´esY?

Megold´as. Az egys´egre norm´alts´agi felt´etelb˝ol sz´am´ıthat´o a´ert´eke:

1 =a Z 1

0

Z 1

0

x2+ 3xy+y2dxdy=a Z 1

0

x3 3 +3

2x2y+xy2 1

0

dy

=a Z 1

0

1 3 +3

2y+y2dy=a 1

3y+3

4y2+y3 3

1

0

=a17 12 A fentiek alapj´an teh´ata= 1217. A s˝ur˝us´egf¨uggv´enyek az al´abbiak lesznek:

fX(x) =fY(x) =12 17

Z 1

0

x2+ 3xy+y2dy=12 17

x2+3

2x+1 3

MivelfX(x)fY(y)6=fX,Y(x, y),X ´esY nem f¨uggetlenek.

5. X´esY f¨uggetlen val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ok. Sz´amolja ki azfX(x) =12,x∈[0,2]´es azfY(y) = 2y5, y∈[2,3]s˝ur˝us´egf¨uggv´enyek konvol´uci´os s˝ur˝us´egf¨uggv´eny´et, fX+Y(t)-t!

Megold´as. A keresett s˝ur˝us´egf¨uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anyaRX+Y = [2,5], a f¨uggv´eny maga pedig a k¨ovetkez˝o k´eplettel kaphat´o:

fX+Y(t) = Z

−∞

fX(u)fY(t−u)du= Z b(t)

a(t)

t−u 5 du,

ahol az integr´al´asi hat´arok v´altoz´asa miatt a k¨ovetkez˝o k´et esetet k¨ul¨onb¨oztetj¨uk meg:

t∈[2,3] : fX+Y(t) = Z t−2

0

t−u 5 du= 1

5

tu−u2 2

t−2

0

= t2−4 10 t∈[3,5] : fX+Y(t) =

Z 3

t−3

t−u 5 du=1

5

tu−u2 2

3

t−3

=(6−t)t 10 2

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

A h´ aromsz¨ oget ´ es az egys´ egn´ egyzetet felrajzolva kisz´ amolhat´ o, hogy annak a val´ osz´ın˝ us´ ege, hogy egy adott pont beleesik a megadott h´ aromsz¨ ogbe, pontosan

Term´ eszetesen az ismertetettekt˝ ol elt´ er˝ o, ´ am helyes megold´ asok´ ert teljes pontsz´ amok, r´ esz- megold´ asok´ ert pedig az ´ utmutat´ obeli pontoz´ as

Term´ eszetesen az ismertetettekt˝ ol elt´ er˝ o, ´ am helyes megold´ asok´ ert teljes pontsz´ amok, r´ esz- megold´ asok´ ert pedig az ´ utmutat´ obeli pontoz´ as

predikci´ okor az ´ıgy kisz´ amolt felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ egek seg´ıts´ eg´ evel megkeresem a legval´ osz´ın˝ ubb

Term´ eszetesen az ismertetettekt˝ ol elt´ er˝ o, ´ am helyes megold´ asok´ ert teljes pontsz´ amok, r´ esz- megold´ asok´ ert pedig az ´ utmutat´ obeli pontoz´ as

Term´ eszetesen az ismertetettekt˝ ol elt´ er˝ o, ´ am helyes megold´ asok´ ert teljes pontsz´ amok, r´ esz- megold´ asok´ ert pedig az ´ utmutat´ obeli pontoz´ as

A standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´ennyel, Φ-vel adja meg annak a val´ osz´ın˝ us´eg´et, hogy egy a kft-t˝ ol v´ as´ arolt palackban 0.6 litern´el kevesebb bor van2. Adja

Egy adott bemeneten a sz´ am´ıt´ asok le´ırhat´ ok egy sz´ am´ıt´ asi f´ aval, amiben az el´ agaz´ asok a lehets´ eges k¨ ovetkez˝ o ´ allapotoknak felelnek meg.. Azonban,