2012.m´ajus3. NagyGergelyG´abor Statisztika

Statisztika

Statisztika

Nagy Gergely G´abor

BME SZIT

2012. m´ajus 3.

V´ azlat

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Becsl´eselm´elet

Hipot´eziselm´elet

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Val´osz´ın˝us´egi mez˝o

Val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o defin´ıci´ oja

(Ω,F, P) h´armas val´osz´ın˝us´egi mez˝o, ha Ω: alaphalmaz (elemi esem´enyek)

Val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o defin´ıci´ oja

(Ω,F, P) h´armas val´osz´ın˝us´egi mez˝o, ha Ω: alaphalmaz (elemi esem´enyek)

F ⊆2^Ω σ-algebra (esem´enyek, m´erhet˝o halmazok) F 6=∅

A∈ F =⇒Ω\A∈ F

A₁, A₂, . . .∈ F=⇒A₁∪A₂∪. . .∈ F

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Val´osz´ın˝us´egi mez˝o

Val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o defin´ıci´ oja

(Ω,F, P) h´armas val´osz´ın˝us´egi mez˝o, ha Ω: alaphalmaz (elemi esem´enyek)

F ⊆2^Ω σ-algebra (esem´enyek, m´erhet˝o halmazok) F 6=∅

A∈ F =⇒Ω\A∈ F

A₁, A₂, . . .∈ F=⇒A₁∪A₂∪. . .∈ F P :F →[0,1]σ-addit´ıv (val´osz´ın˝us´egfv)

A₁, A₂, . . .∈ F diszjunktak

=⇒P(A₁∪A₂∪. . .) =P(A₁) +P(A₂) +. . . P(Ω) = 1

Diszkr´ et p´ elda

Ω ={fej, ´ır´as}

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Val´osz´ın˝us´egi mez˝o

Diszkr´ et p´ elda

Ω ={fej, ´ır´as}

F= 2^Ω={∅,{fej},{´ır´as},{fej, ´ır´as}}

Diszkr´ et p´ elda

Ω ={fej, ´ır´as}

F= 2^Ω={∅,{fej},{´ır´as},{fej, ´ır´as}}

P(∅) = 0 P({fej}) = ¹₂ P({´ır´as}) = ¹₂ P({fej, ´ır´as}) = 1

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o defin´ıci´ oja (val´ os eset)

X: Ω→R val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, ha m´erhet˝o, azaz∀x∈R-re

X⁻¹((−∞, x]) ={ω ∈Ω|X(ω)≤x} ∈ F

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o defin´ıci´ oja (val´ os eset)

X: Ω→R val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, ha m´erhet˝o, azaz∀x∈R-re

X⁻¹((−∞, x]) ={ω ∈Ω|X(ω)≤x} ∈ F Xeloszl´asaQ=P◦X⁻¹

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o defin´ıci´ oja (val´ os eset)

X: Ω→R val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, ha m´erhet˝o, azaz∀x∈R-re

X⁻¹((−∞, x]) ={ω ∈Ω|X(ω)≤x} ∈ F Xeloszl´asaQ=P◦X⁻¹

Xeloszl´asf¨uggv´enye F :R→[0,1], ha

∀x∈R-re F(x) =Q((−∞, x]) =P(X ≤x)

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o defin´ıci´ oja (val´ os eset)

X: Ω→R val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, ha m´erhet˝o, azaz∀x∈R-re

X⁻¹((−∞, x]) ={ω ∈Ω|X(ω)≤x} ∈ F Xeloszl´asaQ=P◦X⁻¹

Xeloszl´asf¨uggv´enye F :R→[0,1], ha

∀x∈R-re F(x) =Q((−∞, x]) =P(X ≤x) Xs˝ur˝us´egf¨uggv´enye f :R→[0,∞), ha

∀x∈R-re F(x) =Rx

−∞f(u)du (Ha F deriv´alhat´o, akkorf =F^′)

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o

V´ arhat´ o ´ ert´ ek, sz´ or´ asn´ egyzet

Xv´arhat´o ´ert´ekeE(X) =R_∞

−∞xf(x)dx

V´ arhat´ o ´ ert´ ek, sz´ or´ asn´ egyzet

Xv´arhat´o ´ert´ekeE(X) =R_∞

−∞xf(x)dx h(X) v´arhat´o ´ert´ekeE(h(X)) =R_∞

−∞h(x)f(x)dx

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o

V´ arhat´ o ´ ert´ ek, sz´ or´ asn´ egyzet

Xv´arhat´o ´ert´ekeE(X) =R_∞

−∞xf(x)dx h(X) v´arhat´o ´ert´ekeE(h(X)) =R_∞

−∞h(x)f(x)dx

Xsz´or´asn´egyzete D²(X) =E((X−E(X))²) =E(X²)−E²(X)

Norm´ alis eloszl´ as

N(µ, σ²) norm´alis eloszl´as

s˝ur˝us´egf¨uggv´enye f(x) = √¹

2πσ²e^{−(x−µ)22σ2} eloszl´asf¨uggv´enye F(x) = ¹₂

1 + erf

x−µ

√2πσ²

v´arhat´o ´ert´ekeµ

sz´or´asn´egyzete σ²

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Norm´alis eloszl´as

Norm´ alis eloszl´ as

N(µ, σ²) norm´alis eloszl´as

s˝ur˝us´egf¨uggv´enye f(x) = √¹

2πσ²e^{−(x−µ)22σ2} eloszl´asf¨uggv´enye F(x) = ¹₂

1 + erf

x−µ

√2πσ²

v´arhat´o ´ert´ekeµ

sz´or´asn´egyzete σ²

N(0,1)standard norm´alis eloszl´as s˝ur˝us´egf¨uggv´enye f(x) = √¹

2πe^−x

2 2

eloszl´asf¨uggv´enye F(x) = Φ(x) = ¹₂

1 + erf

√x 2π

v´arhat´o ´ert´eke0

sz´or´asn´egyzete 1

Norm´ alis eloszl´ as

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Norm´alis eloszl´as

Centr´ alis hat´ areloszl´ as-t´ etel

Mi´ert j´o a norm´alis eloszl´as ?

Centr´ alis hat´ areloszl´ as-t´ etel

Mi´ert j´o a norm´alis eloszl´as ?

LegyenekX₁, X₂, . . . azonos eloszl´as´u f¨uggetlen val´osz´ın˝us´egi v´altoz´okµv´arhat´o ´ert´ekkel ´esσ² v´eges sz´or´asn´egyzettel.

LegyenS_n= ^X1+X2_n^+···+Xn az els˝o nv´altoz´o ´atlaga.

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Norm´alis eloszl´as

Centr´ alis hat´ areloszl´ as-t´ etel

Mi´ert j´o a norm´alis eloszl´as ?

LegyenekX₁, X₂, . . . azonos eloszl´as´u f¨uggetlen val´osz´ın˝us´egi v´altoz´okµv´arhat´o ´ert´ekkel ´esσ² v´eges sz´or´asn´egyzettel.

LegyenS_n= ^X1+X2_n^+···+Xn az els˝o nv´altoz´o ´atlaga.

Centr´alis hat´areloszl´as-t´etel :√

n(Sn−µ)−→^d N(0, σ²) Atrendezgetve :´ S_n≈N(µ,^σ_n²)

Statisztikai mez˝ o defin´ıci´ oja

(Ω,F,P) h´armas statisztikai mez˝o, ha

∀P ∈ P-re (Ω,F, P) val´osz´ın˝us´egi mez˝o

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Statisztikai mez˝o

Statisztikai mez˝ o defin´ıci´ oja

(Ω,F,P) h´armas statisztikai mez˝o, ha

∀P ∈ P-re (Ω,F, P) val´osz´ın˝us´egi mez˝o

Param´eteres alak :P ={P_ϑ|ϑ∈Θ}, gyakran Θ⊆R^p

Statisztikai mez˝ o defin´ıci´ oja

(Ω,F,P) h´armas statisztikai mez˝o, ha

∀P ∈ P-re (Ω,F, P) val´osz´ın˝us´egi mez˝o

Param´eteres alak :P ={P_ϑ|ϑ∈Θ}, gyakran Θ⊆R^p

Mi most feltessz¨uk, hogy mindenP_ϑ-nak van f_ϑs˝ur˝us´egf¨uggv´enye.

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Statisztikai mez˝o

Minta

Minta:X: Ω→ X m´erhet˝o lek´epez´es (X a mintat´er)

Minta

Minta:X: Ω→ X m´erhet˝o lek´epez´es (X a mintat´er) Spec. eset (nelem˝u f¨uggetlen minta) :

X = (X₁, . . . , X_n), ahol X₁, . . . , X_n azonos eloszl´as´u, f¨uggetlen v´altoz´ok.

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Statisztikai mez˝o

Statisztika

Statisztika:T :X →. . . m´erhet˝o f¨uggv´eny

Statisztika

Statisztika:T :X →. . . m´erhet˝o f¨uggv´eny P´eld´aul :

Atlag´ :T(X) =X= _n¹ Pn i=1X_i

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Statisztikai mez˝o

Statisztika

Statisztika:T :X →. . . m´erhet˝o f¨uggv´eny P´eld´aul :

Atlag´ :T(X) =X= _n¹ Pn i=1X_i

Tapasztalati sz´or´asn´egyzet:T(X) =s²_n= _n¹Pn

i=1(Xi−X)²

Statisztika

Statisztika:T :X →. . . m´erhet˝o f¨uggv´eny P´eld´aul :

Atlag´ :T(X) =X= _n¹ Pn i=1X_i

Tapasztalati sz´or´asn´egyzet:T(X) =s²_n= _n¹Pn

i=1(Xi−X)² Korrig´alt tapasztalati sz´or´asn´egyzet:

T(X) =s^∗_n² = _n¹

−1

Pn

i=1(Xi−X)²

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Statisztikai mez˝o

Statisztika

Statisztika:T :X →. . . m´erhet˝o f¨uggv´eny P´eld´aul :

Atlag´ :T(X) =X= _n¹ Pn i=1X_i

Tapasztalati sz´or´asn´egyzet:T(X) =s²_n= _n¹Pn

i=1(Xi−X)² Korrig´alt tapasztalati sz´or´asn´egyzet:

T(X) =s^∗_n² = _n¹

−1

Pn

i=1(Xi−X)² Tapasztalati eloszl´as:T(X) =Q^∗_n, ahol Q^∗_n(B) = _n¹Pn

i=1I(Xi ∈B)

Statisztika

Statisztika:T :X →. . . m´erhet˝o f¨uggv´eny P´eld´aul :

Atlag´ :T(X) =X= _n¹ Pn i=1X_i

Tapasztalati sz´or´asn´egyzet:T(X) =s²_n= _n¹Pn

i=1(Xi−X)² Korrig´alt tapasztalati sz´or´asn´egyzet:

T(X) =s^∗_n² = _n¹

−1

Pn

i=1(Xi−X)² Tapasztalati eloszl´as:T(X) =Q^∗_n, ahol Q^∗_n(B) = _n¹Pn

i=1I(Xi ∈B)

Tapasztalati eloszl´asf¨uggv´eny:T(X) =F_n^∗, ahol F_n^∗(x) = _n¹Pn

i=1I(Xi≤x)

Statisztika

Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi alapok Statisztikai mez˝o

Glivenko-Cantelli t´ etel (a statisztika alapt´ etele)

Glivenko-Cantelli t´etel :P(sup_x∈R|F_n^∗(x)−F(x)| →0) = 1, azaz a tapasztalati eloszl´asf¨uggv´eny1 val´osz´ın˝us´eggel egyenletesen konverg´al a val´odihoz.

Becsl´ es

ϕ(P)-t szeretn´enk becs¨ulni, ahol ϕ:P →R^k f¨uggv´eny.

HaP ={P_ϑ|ϑ∈Θ}, akkorg(ϑ) =ϕ(Pϑ)-t kell becs¨uln¨unk.

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´es

Becsl´ es

ϕ(P)-t szeretn´enk becs¨ulni, ahol ϕ:P →R^k f¨uggv´eny.

HaP ={P_ϑ|ϑ∈Θ}, akkorg(ϑ) =ϕ(Pϑ)-t kell becs¨uln¨unk.

g(ϑ) becsl´ese:T :X →R^k

Becsl´ es

ϕ(P)-t szeretn´enk becs¨ulni, ahol ϕ:P →R^k f¨uggv´eny.

HaP ={P_ϑ|ϑ∈Θ}, akkorg(ϑ) =ϕ(Pϑ)-t kell becs¨uln¨unk.

g(ϑ) becsl´ese:T :X →R^k T torz´ıtatlan becsl´es, ha

∀ϑ∈Θ-raE_ϑ(T(X)) =g(ϑ)

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´es

Becsl´ es

ϕ(P)-t szeretn´enk becs¨ulni, ahol ϕ:P →R^k f¨uggv´eny.

HaP ={P_ϑ|ϑ∈Θ}, akkorg(ϑ) =ϕ(Pϑ)-t kell becs¨uln¨unk.

g(ϑ) becsl´ese:T :X →R^k T torz´ıtatlan becsl´es, ha

∀ϑ∈Θ-raE_ϑ(T(X)) =g(ϑ) T torz´ıt´asab_T(ϑ) =E_ϑ(T(X))−g(ϑ)

Vesztes´ eg, rizik´ o

w:R^k×Θ→Rvesztes´egf¨uggv´eny, ahol

(jelent´ese : ha ϑaz igazi param´eter ´es g(ϑ)-tT-vel becs¨ulj¨uk, akkor a vesztes´eg¨unkw(T, ϑ))

w(g(ϑ), ϑ) = 0 w(T, ϑ)≥0

w els˝o v´altoz´oj´aban konvex

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´es

Vesztes´ eg, rizik´ o

w:R^k×Θ→Rvesztes´egf¨uggv´eny, ahol

(jelent´ese : ha ϑaz igazi param´eter ´es g(ϑ)-tT-vel becs¨ulj¨uk, akkor a vesztes´eg¨unkw(T, ϑ))

w(g(ϑ), ϑ) = 0 w(T, ϑ)≥0

w els˝o v´altoz´oj´aban konvex

T rizik´of¨uggv´enyeR_T(ϑ) =E_ϑ(w(T(X), ϑ))(az ´atlagos vesztes´eg)

Vesztes´ eg, rizik´ o

w:R^k×Θ→Rvesztes´egf¨uggv´eny, ahol

(jelent´ese : ha ϑaz igazi param´eter ´es g(ϑ)-tT-vel becs¨ulj¨uk, akkor a vesztes´eg¨unkw(T, ϑ))

w(g(ϑ), ϑ) = 0 w(T, ϑ)≥0

w els˝o v´altoz´oj´aban konvex

T rizik´of¨uggv´enyeR_T(ϑ) =E_ϑ(w(T(X), ϑ))(az ´atlagos vesztes´eg)

P´elda (n´egyzetes vesztes´egf¨uggv´eny) : w(T, ϑ) =kT−g(ϑ)k²

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´es

Vesztes´ eg, rizik´ o

w:R^k×Θ→Rvesztes´egf¨uggv´eny, ahol

(jelent´ese : ha ϑaz igazi param´eter ´es g(ϑ)-tT-vel becs¨ulj¨uk, akkor a vesztes´eg¨unkw(T, ϑ))

w(g(ϑ), ϑ) = 0 w(T, ϑ)≥0

w els˝o v´altoz´oj´aban konvex

T rizik´of¨uggv´enyeR_T(ϑ) =E_ϑ(w(T(X), ϑ))(az ´atlagos vesztes´eg)

P´elda (n´egyzetes vesztes´egf¨uggv´eny) : w(T, ϑ) =kT−g(ϑ)k²

R_T(ϑ) =E_ϑ(kT−g(ϑ)k²)

Vesztes´ eg, rizik´ o

w:R^k×Θ→Rvesztes´egf¨uggv´eny, ahol

(jelent´ese : ha ϑaz igazi param´eter ´es g(ϑ)-tT-vel becs¨ulj¨uk, akkor a vesztes´eg¨unkw(T, ϑ))

w(g(ϑ), ϑ) = 0 w(T, ϑ)≥0

w els˝o v´altoz´oj´aban konvex

T rizik´of¨uggv´enyeR_T(ϑ) =E_ϑ(w(T(X), ϑ))(az ´atlagos vesztes´eg)

P´elda (n´egyzetes vesztes´egf¨uggv´eny) : w(T, ϑ) =kT−g(ϑ)k²

R_T(ϑ) =E_ϑ(kT−g(ϑ)k²)

k= 1 esetben R_T(ϑ) =E_ϑ((T −g(ϑ))²) =D_ϑ²(T−g(ϑ)) + +E_ϑ²(T −g(ϑ)) =D²_ϑ(T) +b²_T(ϑ)

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´es

Becsl´ esek ¨ osszehasonl´ıt´ asa

T₁, T₂ becsl´esek ugyanarra ag(ϑ)-ra. Melyik a jobb ?

Becsl´ esek ¨ osszehasonl´ıt´ asa

T₁, T₂ becsl´esek ugyanarra ag(ϑ)-ra. Melyik a jobb ? T₁ jobb (

”nem rosszabb”), mint T₂, ha ϑR_T1(ϑ)≤R_T2(ϑ) fenn´all mindenϑ-ra.

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´es

Becsl´ esek ¨ osszehasonl´ıt´ asa

T₁, T₂ becsl´esek ugyanarra ag(ϑ)-ra. Melyik a jobb ? T₁ jobb (

”nem rosszabb”), mint T₂, ha ϑR_T1(ϑ)≤R_T2(ϑ) fenn´all mindenϑ-ra.

LegyenD becsl´esek egy oszt´alya.T ∈ D optim´alis, ha minden D-beli becsl´esn´el jobb.

Becsl´ esek ¨ osszehasonl´ıt´ asa

T₁, T₂ becsl´esek ugyanarra ag(ϑ)-ra. Melyik a jobb ? T₁ jobb (

”nem rosszabb”), mint T₂, ha ϑR_T1(ϑ)≤R_T2(ϑ) fenn´all mindenϑ-ra.

LegyenD becsl´esek egy oszt´alya.T ∈ D optim´alis, ha minden D-beli becsl´esn´el jobb.

HaD a torz´ıtatlan becsl´esek oszt´alya, ´esw n´egyzetes

vesztes´egf¨uggv´eny, akkor az optim´alisthat´asosnak h´ıvjuk. Gyakran MVUE(minimum-variance unbiased estimator).

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´esi m´odszerek

Tapasztalati becsl´ es

Haϕ az eloszl´asokon van ´ertelmezve,ϕ(Q)-t szeretn´enk becs¨ulni, Qa val´odi eloszl´asf¨uggv´eny.

Tapasztalati becsl´es:ϕ(Q)-t ϕ(Q^∗_n)-gal becs¨ulj¨uk.

Tapasztalati becsl´ es

Haϕ az eloszl´asokon van ´ertelmezve,ϕ(Q)-t szeretn´enk becs¨ulni, Qa val´odi eloszl´asf¨uggv´eny.

Tapasztalati becsl´es:ϕ(Q)-t ϕ(Q^∗_n)-gal becs¨ulj¨uk.

P´eld´aul :

Az ´atlag (X) a v´arhat´o ´ert´ek (E) tapasztalati becsl´ese.

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´esi m´odszerek

Tapasztalati becsl´ es

Haϕ az eloszl´asokon van ´ertelmezve,ϕ(Q)-t szeretn´enk becs¨ulni, Qa val´odi eloszl´asf¨uggv´eny.

Tapasztalati becsl´es:ϕ(Q)-t ϕ(Q^∗_n)-gal becs¨ulj¨uk.

P´eld´aul :

Az ´atlag (X) a v´arhat´o ´ert´ek (E) tapasztalati becsl´ese.

A tapasztalati sz´or´asn´egyzet (s²_n) a sz´or´asn´egyzet (D²) tapasztalati becsl´ese.

Tapasztalati becsl´ es

Haϕ az eloszl´asokon van ´ertelmezve,ϕ(Q)-t szeretn´enk becs¨ulni, Qa val´odi eloszl´asf¨uggv´eny.

Tapasztalati becsl´es:ϕ(Q)-t ϕ(Q^∗_n)-gal becs¨ulj¨uk.

P´eld´aul :

Az ´atlag (X) a v´arhat´o ´ert´ek (E) tapasztalati becsl´ese.

A tapasztalati sz´or´asn´egyzet (s²_n) a sz´or´asn´egyzet (D²) tapasztalati becsl´ese.

A tapasztalati eloszl´asf¨uggv´eny (F_n^∗) az eloszl´asf¨uggv´eny (F) tapasztalati becsl´ese.

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´esi m´odszerek

Momentum-m´ odszer

Legyen mostg(ϑ) =ϑ, azaz mag´at a param´etert szeretn´enk becs¨ulni (ϑ∈Θ⊆R^p)

Momentum-m´ odszer

Legyen mostg(ϑ) =ϑ, azaz mag´at a param´etert szeretn´enk becs¨ulni (ϑ∈Θ⊆R^p)

V´alasszunk egy olyanf :X →R^p f¨uggv´enyt, amire h(ϑ) =E_ϑ(f(X1))invert´alhat´oR^p →R^p lek´epez´es.

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´esi m´odszerek

Momentum-m´ odszer

Legyen mostg(ϑ) =ϑ, azaz mag´at a param´etert szeretn´enk becs¨ulni (ϑ∈Θ⊆R^p)

V´alasszunk egy olyanf :X →R^p f¨uggv´enyt, amire h(ϑ) =E_ϑ(f(X1))invert´alhat´oR^p →R^p lek´epez´es.

h(ϑ)-t nelem˝u mint´ab´ol ´ıgy becs¨ulhetj¨uk : _n¹Pn

i=1f(X_i)

Momentum-m´ odszer

Legyen mostg(ϑ) =ϑ, azaz mag´at a param´etert szeretn´enk becs¨ulni (ϑ∈Θ⊆R^p)

V´alasszunk egy olyanf :X →R^p f¨uggv´enyt, amire h(ϑ) =E_ϑ(f(X1))invert´alhat´oR^p →R^p lek´epez´es.

h(ϑ)-t nelem˝u mint´ab´ol ´ıgy becs¨ulhetj¨uk : _n¹Pn

i=1f(X_i) Ezalapj´anϑbecsl´ese :T_n(X) =h^{−1 1}_nP_n

i=1f(X_i)

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´esi m´odszerek

Momentum-m´ odszer

Legyen mostg(ϑ) =ϑ, azaz mag´at a param´etert szeretn´enk becs¨ulni (ϑ∈Θ⊆R^p)

V´alasszunk egy olyanf :X →R^p f¨uggv´enyt, amire h(ϑ) =E_ϑ(f(X1))invert´alhat´oR^p →R^p lek´epez´es.

h(ϑ)-t nelem˝u mint´ab´ol ´ıgy becs¨ulhetj¨uk : _n¹Pn

i=1f(X_i) Ezalapj´anϑbecsl´ese :T_n(X) =h^{−1 1}_nP_n

i=1f(X_i) Ezt a fajta becsl´est h´ıvj´akmomentum-m´odszernek. Mi´ert ?

Momentum-m´ odszer

Legyen mostg(ϑ) =ϑ, azaz mag´at a param´etert szeretn´enk becs¨ulni (ϑ∈Θ⊆R^p)

V´alasszunk egy olyanf :X →R^p f¨uggv´enyt, amire h(ϑ) =E_ϑ(f(X1))invert´alhat´oR^p →R^p lek´epez´es.

h(ϑ)-t nelem˝u mint´ab´ol ´ıgy becs¨ulhetj¨uk : _n¹Pn

i=1f(X_i) Ezalapj´anϑbecsl´ese :T_n(X) =h^{−1 1}_nP_n

i=1f(X_i) Ezt a fajta becsl´est h´ıvj´akmomentum-m´odszernek. Mi´ert ? Gyakranf olyan, hogy a koordin´at´ai momentumok. P´eld´aul f(x) = (x^k1, x^k2, . . . , x^kp).

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´esi m´odszerek

Maximum-likelihood becsl´ es

Likelihood-f¨uggv´eny:L(ϑ|x) =f_ϑ(x) (nelem˝u f¨uggetlen mint´an´alf_ϑ(x) =Qn

i=1f_ϑ(xi))

Maximum-likelihood becsl´ es

Likelihood-f¨uggv´eny:L(ϑ|x) =f_ϑ(x) (nelem˝u f¨uggetlen mint´an´alf_ϑ(x) =Qn

i=1f_ϑ(xi))

ϑML-becsl´eseaz a ϑˆ∈Θ´ert´ek, amire a likelihood-f¨uggv´eny maxim´alis :f_ϑˆ(x) = maxϑ∈Θf_ϑ(x).

Statisztika Becsl´eselm´elet

Becsl´esi m´odszerek

Maximum-likelihood becsl´ es

Likelihood-f¨uggv´eny:L(ϑ|x) =f_ϑ(x) (nelem˝u f¨uggetlen mint´an´alf_ϑ(x) =Qn

i=1f_ϑ(xi))

ϑML-becsl´eseaz a ϑˆ∈Θ´ert´ek, amire a likelihood-f¨uggv´eny maxim´alis :f_ϑˆ(x) = maxϑ∈Θf_ϑ(x).

Nem biztos, hogy l´etezik, sem az hogy egy´ertelm˝u.

Maximum-likelihood becsl´ es

Likelihood-f¨uggv´eny:L(ϑ|x) =f_ϑ(x) (nelem˝u f¨uggetlen mint´an´alf_ϑ(x) =Qn

i=1f_ϑ(xi))

ϑML-becsl´eseaz a ϑˆ∈Θ´ert´ek, amire a likelihood-f¨uggv´eny maxim´alis :f_ϑˆ(x) = maxϑ∈Θf_ϑ(x).

Nem biztos, hogy l´etezik, sem az hogy egy´ertelm˝u.

g(ϑ) ML-becsl´eseg( ˆϑ).

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Hipot´ezis

Hipot´ ezisvizsg´ alat

A param´eterteret k´et r´eszre bontjuk :Θ = Θ₀∪˙Θ₁. A(null)hipot´ezis¨unk (H₀) az, hogyϑ∈Θ₀. Azellenhipot´ezis¨unk(H₁) pedig, hogy ϑ∈Θ₁.

Hipot´ ezisvizsg´ alat

A param´eterteret k´et r´eszre bontjuk :Θ = Θ₀∪˙Θ₁. A(null)hipot´ezis¨unk (H₀) az, hogyϑ∈Θ₀. Azellenhipot´ezis¨unk(H₁) pedig, hogy ϑ∈Θ₁. K´erd´es : lehet-e t´enyleg, hogy teljes¨ul H₀?

Ez nem szimmetrikus, az a prekoncepci´onk, hogy H₀ igaz, ezt elfogadhatjuk vagy elvethetj¨uk.

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Hipot´ezis

Hipot´ ezisvizsg´ alat

A param´eterteret k´et r´eszre bontjuk :Θ = Θ₀∪˙Θ₁. A(null)hipot´ezis¨unk (H₀) az, hogyϑ∈Θ₀. Azellenhipot´ezis¨unk(H₁) pedig, hogy ϑ∈Θ₁. K´erd´es : lehet-e t´enyleg, hogy teljes¨ul H₀?

Ez nem szimmetrikus, az a prekoncepci´onk, hogy H₀ igaz, ezt elfogadhatjuk vagy elvethetj¨uk.

K´et f´ele hiba lehet :

Els˝ofaj´u hib´at k¨ovet¨unk el, ha elvetj¨uk H₀-t, pedig igaz. Ezt nem akarjuk !

Hipot´ ezisvizsg´ alat

A param´eterteret k´et r´eszre bontjuk :Θ = Θ₀∪˙Θ₁. A(null)hipot´ezis¨unk (H₀) az, hogyϑ∈Θ₀. Azellenhipot´ezis¨unk(H₁) pedig, hogy ϑ∈Θ₁. K´erd´es : lehet-e t´enyleg, hogy teljes¨ul H₀?

Ez nem szimmetrikus, az a prekoncepci´onk, hogy H₀ igaz, ezt elfogadhatjuk vagy elvethetj¨uk.

K´et f´ele hiba lehet :

Els˝ofaj´u hib´at k¨ovet¨unk el, ha elvetj¨uk H₀-t, pedig igaz. Ezt nem akarjuk !

M´asodfaj´u hib´at k¨ovet¨unk el, ha elfogadjukH₀-t, pedig hamis. Ez nem annyira nagy gond.

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Statisztikai pr´oba

Statisztikai pr´ oba

A mintateret k´et r´eszre bontjuk :X =X0∪X˙ 1. X0 azelfogad´asi´es X1 azelvet´esi tartom´any.

Statisztikai pr´ oba

A mintateret k´et r´eszre bontjuk :X =X0∪X˙ 1. X0 azelfogad´asi´es X1 azelvet´esi tartom´any.

HaX ∈ X0, akkor elfogadjukH₀-t, ha pedigX ∈ X1, akkor elvetj¨uk.

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Statisztikai pr´oba

Statisztikai pr´ oba

A mintateret k´et r´eszre bontjuk :X =X0∪X˙ 1. X0 azelfogad´asi´es X1 azelvet´esi tartom´any.

HaX ∈ X0, akkor elfogadjukH₀-t, ha pedigX ∈ X1, akkor elvetj¨uk.

Gyakran van egyT :X →Rpr´obastatisztika,c∈R kritikus ´ert´ek,

´es ezekkel defini´aljukX1-et :X1 ={x∈ X |T(x)> c}

Pr´ oba jellemz˝ oi

Legyenψ(ϑ) =P_ϑ(X1), azaz az elvet´es val´osz´ın˝us´ege.

Ha ϑ∈Θ₀, akkorψ(ϑ) az els˝ofaj´u hiba val´osz´ın˝us´ege.

Ha ϑ∈Θ₁, akkorψ(ϑ) annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy helyesen vetj¨uk el H₀-t. Ezt a pr´obaerej´enek h´ıvjukϑ-ban.

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Statisztikai pr´oba

Pr´ oba jellemz˝ oi

Legyenψ(ϑ) =P_ϑ(X1), azaz az elvet´es val´osz´ın˝us´ege.

Ha ϑ∈Θ₀, akkorψ(ϑ) az els˝ofaj´u hiba val´osz´ın˝us´ege.

Ha ϑ∈Θ₁, akkorψ(ϑ) annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy helyesen vetj¨uk el H₀-t. Ezt a pr´obaerej´enek h´ıvjukϑ-ban.

A pr´obaterjedelme sup_ϑ∈Θ0ψ(ϑ), ez azt jelenti, hogy legfeljebb ekkora val´osz´ın˝us´eggel hib´azhatunk, azzal hogyH₀-t elvetj¨uk.

Sokszor megadj´ak, hogy mekkora terjedelm˝u pr´ob´at kell alkalmaznunk (α= 0.05 p´eld´aul).

χ

-eloszl´ as

LegyenekX₁, . . . , X_q f¨uggetlen, standard norm´alis eloszl´as´u val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ok.

EkkorY =X₁²+· · ·+X_q² eloszl´as´atq szabads´agfok´u χ²-eloszl´asnak h´ıvjuk (χ²_q)

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

χ

-eloszl´ as

Norm´ alis eloszl´ as mint´ ai

LegyenX₁, . . . X_n nelem˝u minta azN(µ, σ²)eloszl´asb´ol. Ilyenkor az ´atlag X∼N(µ,^σ_n²) eloszl´as´u,

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

Norm´ alis eloszl´ as mint´ ai

LegyenX₁, . . . X_n nelem˝u minta azN(µ, σ²)eloszl´asb´ol. Ilyenkor az ´atlag X∼N(µ,^σ_n²) eloszl´as´u,

a korrig´alt tapasztalati sz´or´asn´egyzet pedigs^∗_n² ∼ _n^σ₋²₁χ²_n−1 eloszl´as´u,

Norm´ alis eloszl´ as mint´ ai

LegyenX₁, . . . X_n nelem˝u minta azN(µ, σ²)eloszl´asb´ol. Ilyenkor az ´atlag X∼N(µ,^σ_n²) eloszl´as´u,

a korrig´alt tapasztalati sz´or´asn´egyzet pedigs^∗_n² ∼ _n^σ₋²₁χ²_n−1 eloszl´as´u,

´es ezek f¨uggetlenek (Fisher-Bartlett t´etel)

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

Egymint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol σ²-et ismerj¨uk, µpedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

Egymint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol σ²-et ismerj¨uk, µpedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x) =√

nX−µ₀ σ

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

Egymint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol σ²-et ismerj¨uk, µpedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x) =√

nX−µ₀ σ Ezµ=µ₀ esetben standard norm´alis eloszl´as´u.

Egymint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol σ²-et ismerj¨uk, µpedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x) =√

nX−µ₀ σ Ezµ=µ₀ esetben standard norm´alis eloszl´as´u.

Egyoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={x|T(x)>Φ⁻¹(1−α)}

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

Egymint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol σ²-et ismerj¨uk, µpedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x) =√

nX−µ₀ σ Ezµ=µ₀ esetben standard norm´alis eloszl´as´u.

Egyoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={x|T(x)>Φ⁻¹(1−α)} K´etoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={x| |T(x)|>Φ⁻¹(1−^α₂)}

K´ etmint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX n₁ elem˝u minta az N(µ₁, σ₁²) eloszl´asb´ol,Y n₂ elem˝u minta azN(µ₂, σ₂²) eloszl´asb´ol, aholσ₁², σ²₂-t ismerj¨uk,µ₁, µ₂ pedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ₁ ≤µ₂,H₁:µ₁> µ₂ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ₁ =µ₂,H₁:µ₁6=µ₂ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

K´ etmint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX n₁ elem˝u minta az N(µ₁, σ₁²) eloszl´asb´ol,Y n₂ elem˝u minta azN(µ₂, σ₂²) eloszl´asb´ol, aholσ₁², σ²₂-t ismerj¨uk,µ₁, µ₂ pedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ₁ ≤µ₂,H₁:µ₁> µ₂ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ₁ =µ₂,H₁:µ₁6=µ₂ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x, y) = X−Y qσ²₁

n₁ +^σ_n²²

2

K´ etmint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX n₁ elem˝u minta az N(µ₁, σ₁²) eloszl´asb´ol,Y n₂ elem˝u minta azN(µ₂, σ₂²) eloszl´asb´ol, aholσ₁², σ²₂-t ismerj¨uk,µ₁, µ₂ pedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ₁ ≤µ₂,H₁:µ₁> µ₂ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ₁ =µ₂,H₁:µ₁6=µ₂ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x, y) = X−Y qσ²₁

n₁ +^σ_n²²

2

Ezµ₁=µ₂ esetben standard norm´alis eloszl´as´u.

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

K´ etmint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX n₁ elem˝u minta az N(µ₁, σ₁²) eloszl´asb´ol,Y n₂ elem˝u minta azN(µ₂, σ₂²) eloszl´asb´ol, aholσ₁², σ²₂-t ismerj¨uk,µ₁, µ₂ pedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ₁ ≤µ₂,H₁:µ₁> µ₂ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ₁ =µ₂,H₁:µ₁6=µ₂ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x, y) = X−Y qσ²₁

n₁ +^σ_n²²

2

Ezµ₁=µ₂ esetben standard norm´alis eloszl´as´u.

Egyoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={(x, y)|T(x, y)>Φ⁻¹(1−α)}

K´ etmint´ as u-pr´ oba (z-test)

LegyenX n₁ elem˝u minta az N(µ₁, σ₁²) eloszl´asb´ol,Y n₂ elem˝u minta azN(µ₂, σ₂²) eloszl´asb´ol, aholσ₁², σ²₂-t ismerj¨uk,µ₁, µ₂ pedig tetsz˝oleges val´os param´eter. Hipot´eziseink :

H₀:µ₁ ≤µ₂,H₁:µ₁> µ₂ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ₁ =µ₂,H₁:µ₁6=µ₂ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x, y) = X−Y qσ²₁

n₁ +^σ_n²²

2

Ezµ₁=µ₂ esetben standard norm´alis eloszl´as´u.

Egyoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={(x, y)|T(x, y)>Φ⁻¹(1−α)} K´etoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={(x, y)| |T(x, y)|>Φ⁻¹(1−^α₂)}

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

t-eloszl´ as

LegyenX∼N(0,1),Y ∼χ²_q f¨uggetlenek.

EkkorZ = ^qX

Y n

eloszl´as´atq szabads´agfok´u t-eloszl´asnak h´ıvjuk (tq)

t-eloszl´ as

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

Egymint´ as t-pr´ oba

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol most seµ-t, se σ²-et nem ismerj¨uk. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

Egymint´ as t-pr´ oba

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol most seµ-t, se σ²-et nem ismerj¨uk. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x) =√

nX−µ₀ s^∗_n

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

Egymint´ as t-pr´ oba

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol most seµ-t, se σ²-et nem ismerj¨uk. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x) =√

nX−µ₀ s^∗_n

Err˝ol a Fisher-Bartlett t´etel alapj´an bel´athat´o, hogy µ=µ₀ esetbent_n−1 eloszl´as´u.

Egymint´ as t-pr´ oba

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol most seµ-t, se σ²-et nem ismerj¨uk. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x) =√

nX−µ₀ s^∗_n

Err˝ol a Fisher-Bartlett t´etel alapj´an bel´athat´o, hogy µ=µ₀ esetbent_n−1 eloszl´as´u.

Egyoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={x|T(x)> F_t⁻_n−1¹ (1−α)}

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

Egymint´ as t-pr´ oba

LegyenX₁, . . . X_n n elem˝u minta az N(µ, σ²) eloszl´asb´ol, ahol most seµ-t, se σ²-et nem ismerj¨uk. Hipot´eziseink :

H₀:µ≤µ₀,H₁:µ > µ₀ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ=µ₀,H₁:µ6=µ₀ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x) =√

nX−µ₀ s^∗_n

Err˝ol a Fisher-Bartlett t´etel alapj´an bel´athat´o, hogy µ=µ₀ esetbent_n−1 eloszl´as´u.

Egyoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={x|T(x)> F_t⁻_n−1¹ (1−α)} K´etoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={x| |T(x)|> F_t⁻_n−1¹ (1−^α₂)}

K´ etmint´ as t-pr´ oba

LegyenX n₁ elem˝u minta az N(µ₁, σ²) eloszl´asb´ol,Y n₂ elem˝u minta azN(µ₂, σ²) eloszl´asb´ol. Hipot´eziseink :

H₀:µ₁ ≤µ₂,H₁:µ₁> µ₂ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ₁ =µ₂,H₁:µ₁6=µ₂ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

K´ etmint´ as t-pr´ oba

LegyenX n₁ elem˝u minta az N(µ₁, σ²) eloszl´asb´ol,Y n₂ elem˝u minta azN(µ₂, σ²) eloszl´asb´ol. Hipot´eziseink :

H₀:µ₁ ≤µ₂,H₁:µ₁> µ₂ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ₁ =µ₂,H₁:µ₁6=µ₂ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x, y) =

r n₁n₂ n₁+n₂

X−Y q(n1−1)s^∗2_X+(n2−1)s^∗2_Y

n1+n2−2

K´ etmint´ as t-pr´ oba

LegyenX n₁ elem˝u minta az N(µ₁, σ²) eloszl´asb´ol,Y n₂ elem˝u minta azN(µ₂, σ²) eloszl´asb´ol. Hipot´eziseink :

H₀:µ₁ ≤µ₂,H₁:µ₁> µ₂ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ₁ =µ₂,H₁:µ₁6=µ₂ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x, y) =

r n₁n₂ n₁+n₂

X−Y q(n1−1)s^∗2_X+(n2−1)s^∗2_Y

n1+n2−2

Err˝ol hosszadalmasan, de bel´athat´o, hogy µ₁ =µ₂ esetben t_n1+n2−2 eloszl´as´u.

Statisztika Hipot´ezisvizsg´alat

Norm´alis eloszl´as param´etereire vonatkoz´o pr´ob´ak

K´ etmint´ as t-pr´ oba

LegyenX n₁ elem˝u minta az N(µ₁, σ²) eloszl´asb´ol,Y n₂ elem˝u minta azN(µ₂, σ²) eloszl´asb´ol. Hipot´eziseink :

H₀:µ₁ ≤µ₂,H₁:µ₁> µ₂ (egyoldali ellenhipot´ezis).

H₀:µ₁ =µ₂,H₁:µ₁6=µ₂ (k´etoldali ellenhipot´ezis).

T(x, y) =

r n₁n₂ n₁+n₂

X−Y q(n1−1)s^∗2_X+(n2−1)s^∗2_Y

n1+n2−2

Err˝ol hosszadalmasan, de bel´athat´o, hogy µ₁ =µ₂ esetben t_n1+n2−2 eloszl´as´u.

Egyoldali ellenhipot´ezis eset´en legyen X1 ={(x, y)|T(x, y)> F_t⁻¹

n1+n2−2(1−α)}