Val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´as ´es matematikai statisztika (val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´as r´esz)

Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika (val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as r ´esz)

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula

Debreceni Egyetem, Szegedi Tudom ´anyegyetem

2014

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 1 / 133

Aj ´anlott irodalom:

DENKINGERG ´EZA

Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as

Nemzeti Tank ¨onyvkiad ´o, 1997.

DENKINGERG ´EZA

Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´asi Gyakorlatok Nemzeti Tank ¨onyvkiad ´o, 1999.

FAZEKASISTVAN´ Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as

Debrecen, Kossuth Egyetemi Kiad ´o, 2000.

PAPGYULA

Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as el ˝oad ´ask ¨ovet ˝o anyagok http://www.math.u-szeged.hu/˜papgy/

Aj ´anlott irodalom:

SOLTGYORGY¨

Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as M ˝uszaki K ¨onyvkiad ´o, 1969.

BOGNAR´ J ´ANOSNE´, MOGYORODI´ J ´OZSEF, PREKOPA´ ANDRAS´ , R ´ENYIALFRED´ , SZASZ´ DOMOKOS

Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as feladatgy ˝ujtem ´eny Nemzeti Tank ¨onyvkiad ´o, 2001.

N. SHIRYAEV

Probability, 2nd edition Springer-Verlag, 1995.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 3 / 133

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

V ´eletlen esem ´enyek

Val ´osz´ın ˝us ´egev ´eletlen esem ´enyeknekvan,

melyekr ˝ol nem tudjuk el ˝ore megmondani, hogy bek ¨ovetkeznek-e, vagy sem;

´es amelyek

vagyv ´eletlen jelens ´egekmegfigyel ´es ´evel kapcsolatosak (amikor a k ¨or ¨ulm ´enyeket nem tudjuk befoly ´asolni),

vagy pedigv ´eletlen kimenetel ˝u k´ıs ´erletekkelkapcsolatosak (amikor befoly ´asolni tudjuk a k ¨or ¨ulm ´enyeket).

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

P ´eld ´ak:

Min ˝os ´egellen ˝orz ´es: n term ´ekb ˝ol kiv ´alasztunk m darabot (m6n), ´es megsz ´amoljuk, hogy h ´any selejtes van;

lehets ´eges kimenetelek: azΩ :={0,1,2, . . . ,m}halmaz elemei;

Hagyom ´anyos lott ´o: megjel ¨ol ¨unk 5 sz ´amot 90-b ˝ol, ´es megsz ´amoljuk, hogy h ´any tal ´alatunk van;

lehets ´eges kimenetelek: azΩ :={0,1,2,3,4,5}halmaz elemei;

Rag ´alyos fert ˝oz ´es terjed ´ese, csapad ´ekmennyis ´eg alakul ´asa, szeizmogr ´af mozg ´asa, sorhossz ´us ´ag alakul ´asa p ´enzt ´arakn ´al, szerencsej ´at ´ekok, t ˝ozsdei ´aringadoz ´asok.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 5 / 133

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

Elemi esem ´enyek: a k´ıs ´erlet/megfigyel ´es lehets ´eges kimenetelei.

Esem ´enyt ´er: az elemi esem ´enyek halmaza; jel ¨ol ´es: Ω.

Esem ´eny: az esem ´enyt ´er bizonyos A⊂Ω r ´eszhalmaza, amit

´ugy ´ert ¨unk, hogy ha azω∈Ωelemi esem ´eny k ¨ovetkezik be, akkor ω∈A eset ´en bek ¨ovetkezik az Aesem ´eny is,

ω6∈A eset ´en az A esem ´eny nem k ¨ovetkezik be.

Biztos esem ´eny: amely mindig bek ¨ovetkezik;

be lehet azonos´ıtani az Ω⊂Ω r ´eszhalmazzal.

Lehetetlen esem ´eny:amely sohasem k ¨ovetkezik be;

be lehet azonos´ıtani az ∅ ⊂Ω ¨ures r ´eszhalmazzal.

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

Logikai m ˝uveletek esem ´enyekkel

Minden A esem ´ennyel kapcsolatban tekinthetj ¨uk azAellentett (komplementer) esem ´eny ´et:ez pontosan akkor k ¨ovetkezik be, amikor az A esem ´eny nem k ¨ovetkezik be; jel ¨ol ´ese: A.

Az A ´es B esem ´enyekosszege (uni ´¨ oja)az az esem ´eny, amely pontosan akkor k ¨ovetkezik be, amikor az A ´es B esem ´enyek k ¨oz ¨ul legal ´abb az egyik bek ¨ovetkezik; jel ¨ol ´ese: A+B vagy A∪B.

Az A ´es B esem ´enyekszorzata (metszete)az az esem ´eny, amely pontosan akkor k ¨ovetkezik be, amikor az A ´es B

esem ´enyek mindegyike bek ¨ovetkezik; jel ¨ol ´ese: A·B vagy A∩B.

Az A ´es B esem ´enyekk ¨ul ¨onbs ´egeaz az esem ´eny, mely pontosan akkor k ¨ovetkezik be, amikor az A esem ´eny

bek ¨ovetkezik, aBesem ´eny pedig nem; jel ¨ol ´ese: A−BvagyA\B.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 7 / 133

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

A logikai m ˝uveletek tulajdons ´agai

kommutativit ´as: A+B=B+A, A·B=B·A.

asszociativit ´as: A+ (B+C) = (A+B) +C, A·(B·C) = (A·B)·C.

idempotencia: A+A=A,

A·A=A.

disztributivit ´as: A·(B+C) = (A·B) + (A·C), A+ (B·C) = (A+B)·(A+C).

de Morgan-f ´ele azonoss ´agok: A+B=A·B, A·B=A+B.

k ¨ul ¨onbs ´eg: A−B=A·B.

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

Diszjunkt esem ´enyek

Azt mondjuk, hogy az A ´es B esem ´enyekdiszjunktak (kiz ´arj ´ak egym ´ast), ha egyszerre nem k ¨ovetkezhetnek be.

Az A ´es B esem ´enyek akkor ´es csak akkor diszjunktak, ha A·B=∅.

⇒

Azt mondjuk, hogy az A esem ´enymaga ut ´an vonjaa B esem ´enyt, ha az A esem ´eny bek ¨ovetkez ´ese eset ´en mindig bek ¨ovetkezik a B esem ´eny is; jel ¨ol ´ese: A⇒B.

A k ¨ovetkez ˝o ´all´ıt ´asok ekvivalensek:

A⇒B;

A⊂B;

B⊂A;

B⇒A.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 9 / 133

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

Esem ´enyalgebra

Egy Ω esem ´enyt ´er bizonyos esem ´enyeib ˝ol ´all ´oA rendszert

esem ´enyalgebr ´anaknevez ¨unk, ha tartalmazza a biztos esem ´enyt, ´es z ´art a komplementerk ´epz ´esre ´es a v ´eges uni ´ok ´epz ´esre.

P ´eld ´aul Ω ¨osszes r ´eszhalmazainak A:=2^Ω rendszere.

Ha A ⊂2^Ω esem ´enyalgebra, akkor A tartalmazza a lehetetlen esem ´enyt is, ´es z ´art a k ¨ul ¨onbs ´egk ´epz ´esre ´es a v ´eges

metszetk ´epz ´esre is.

Term ´eszetes az a feltev ´es, hogy egy k´ıs ´erlettel kapcsolatos esem ´enyek rendszere esem ´enyalgebr ´at alkot.

σ-algebra

Egy esem ´enyalgebr ´at σ-algebr ´anaknevez ¨unk, ha z ´art a megsz ´aml ´alhat ´o uni ´ok ´epz ´esre.

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

P ´eld ´ak:

1 Egy p ´enzdarab feldob ´asa eset ´en

Ω ={fej,´ır ´as}.

De lehet a fejhez a 0, az ´ır ´ashoz pedig az 1 sz ´amot hozz ´arendelni, ´es ´ıgy

Ω ={0,1}.

Nyilv ´an

A=2^Ω =

∅,{0},{1},Ω .

Ekkor az elemi esem ´enyek sz ´ama: |Ω|=2, az ¨osszes esem ´enyek sz ´ama pedig |2^Ω|=4.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 11 / 133

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

2 n-szeregym ´as ut ´an dobvaegy p ´enzdarabbal:

Ω =

ω= (a₁,a₂, . . . ,a_n) :a₁,a₂, . . . ,a_n∈ {0,1} . Ekkor |Ω|=2ⁿ, |2^Ω|=2²ⁿ.

Ha n darab egyforma p ´enzdarabotegyid ˝oben dobunk fel, akkor is lehet ugyanezt az esem ´enyteret tekinteni, hiszen a k´ıs ´erlet kimenetel ´et nem v ´altoztatja meg, ha megsz ´amozzuk a p ´enzdarabokat. De lehet csak a megk ¨ul ¨onb ¨oztethet ˝o kimenetelekre szor´ıtkozni: ezek sz ´ama n+1. Az els ˝o esem ´enyt ´er ´altal ´aban alkalmasabb, mert p ´eld ´aul szab ´alyos p ´enzdarab eset ´en az elemi esem ´enyek egyforma es ´ely ˝uek!

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

3 Egy zs ´akban n k ¨ul ¨onb ¨oz ˝o sz´ın ˝u goly ´o van. Kih ´uzunk ezek k ¨oz ¨ul k darabot; n ´egy lehet ˝os ´eg van aszerint, hogyvisszatev ´essel vagyvisszatev ´es n ´elk ¨ulh ´uzunk (az ut ´obbi esetben k 6n sz ¨uks ´eges), ´es aszerint, hogy asorrend sz ´am´ıtvagy asorrend nem sz ´am´ıt.

Ez a k´ıs ´erlet ekvivalens azzal a k´ıs ´erlettel, amikor n rekeszbe helyez ¨unk el k t ´argyat; az el ˝obbi n ´egy lehet ˝os ´eg annak felel meg, hogy egy rekeszbe t ¨obb t ´argy is ker ¨ulhet vagy csak egy, illetve a t ´argyak meg vannak k ¨ul ¨onb ¨oztetve, vagy nem.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 13 / 133

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

sorrend sz ´am´ıt (vari ´aci ´o)

sorrend nem sz ´am´ıt (kombin ´aci ´o) visszatev ´es n ´elk ¨ul

(ism ´etl ´es n ´elk ¨ul)

n!

(n−k)!

n k

egy rekeszbe

legfeljebb egy t ´argy ker ¨ulhet visszatev ´essel

(ism ´etl ´eses) n^k

n+k −1 k

egy rekeszbe

t ¨obb t ´argy is ker ¨ulhet a t ´argyak

k ¨ul ¨onb ¨oz ˝oek

a t ´argyak nem k ¨ul ¨onb ¨oznek

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

Ha n k ¨ul ¨onb ¨oz ˝o elem k ¨oz ¨ul h ´uzunk visszatev ´es n ´elk ¨ul ´ugy, hogy a sorrend sz ´am´ıt, ´es kih ´uzzuk az ¨osszesnelemet (ami azzal ekvivalens, hogy n elemet sorba ´all´ıtunk; ezeket

permut ´aci ´oknaknevezz ¨uk), akkor a lehet ˝os ´egek sz ´ama

|Ω|=n! :=1·2· · · · ·n,

hiszen az els ˝o h ´uz ´asn ´al m ´eg n lehet ˝os ´eg van, a m ´asodikn ´al n−1, stb., ´es ezek szorzata adja az eredm ´enyt.

Ha n k ¨ul ¨onb ¨oz ˝o elem k ¨oz ¨ul k elemet h ´uzunk visszatev ´es n ´elk ¨ul (ahol k 6n) ´ugy, hogy a sorrend sz ´am´ıt (ezeketism ´etl ´es n ´elk ¨uli vari ´aci ´oknaknevezz ¨uk), akkor a lehet ˝os ´egek sz ´ama

|Ω|=n(n−1)· · ·(n−k +1) = n!

(n−k)!, amit az el ˝oz ˝oh ¨oz hasonl ´o gondolatmenettel bizony´ıthatunk.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 15 / 133

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

Ha n k ¨ul ¨onb ¨oz ˝o elem k ¨oz ¨ul k elemet h ´uzunk visszatev ´essel

´ugy, hogy a sorrend sz ´am´ıt (ezeketism ´etl ´eses vari ´aci ´oknak nevezz ¨uk), akkor a lehet ˝os ´egek sz ´ama

|Ω|=n^k, hiszen minden h ´uz ´asn ´al n lehet ˝os ´eg van.

Ha n k ¨ul ¨onb ¨oz ˝o elem k ¨oz ¨ul k elemet h ´uzunk visszatev ´es n ´elk ¨ul (ahol k 6n) ´ugy, hogy a sorrend nem sz ´am´ıt (ezeketism ´etl ´es n ´elk ¨uli kombin ´aci ´oknaknevezz ¨uk), akkor a lehet ˝os ´egek sz ´ama

|Ω|= n

k

:= n!

k! (n−k)! = n(n−1)· · ·(n−k+1)

k! ,

hiszen a megfelel ˝o ism ´etl ´es n ´elk ¨uli vari ´aci ´okat ´ugy lehet megkapni, hogy a kih ´uzott k elemet az ¨osszes lehets ´eges m ´odon sorbarakjuk; ezek sz ´ama pedig mindig k!.

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

Ha n k ¨ul ¨onb ¨oz ˝o elem k ¨oz ¨ulk elemet h ´uzunk visszatev ´essel ´ugy, hogy a sorrend nem sz ´am´ıt (ezeketism ´etl ´eses kombin ´aci ´oknak nevezz ¨uk), akkor a lehet ˜os ´egek sz ´ama

|Ω|=

n+k−1 k

.

Ezt ´ugy lehet bel ´atni, hogy a k´ıs ´erlet kimeneteleihez

egy ´ertelm ˝uen hozz ´a lehet rendelni egy olyan sorozatot, mely n−1 darab egyesb ˝ol ´es k darab null ´ab ´ol ´all, m ´egpedig ´ugy, hogy az els ˝o egyes el ´e ´ırt null ´ak sz ´ama (ami 0 is lehet) jelenti az els ˝o fajta elemb ˝ol h ´uzottak sz ´am ´at, az els ˝o ´es m ´asodik egyes k ¨oz ´e ´ırt null ´ak sz ´ama jelenti a m ´asodik fajta elemb ˝ol h ´uzottak sz ´am ´at, stb., az (n−1)-edik egyes ut ´an ´ırt null ´ak sz ´ama jelenti az n-edik fajta elemb ˝ol h ´uzottak sz ´am ´at; az ilyen nulla–egy sorozatok sz ´ama pedig nyilv ´an ^n+k_k⁻¹

, hiszen azt kell megmondani, hogy az n+k−1 hely k ¨oz ¨ul melyik k helyre ker ¨ulj ¨on nulla.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 17 / 133

1. V ´eletlen k´ıs ´erletek, esem ´enyalgebr ´ak

4 Adva van n k ´artya; ezeket osztjuk sz ´et k j ´at ´ekos k ¨oz ¨ott ´ugy, hogy sorban n₁,n₂, . . . ,n_k k ´arty ´at kapjanak, ahol

n₁+n₂+· · ·+n_k =n, ´es az egy j ´at ´ekoshoz ker ¨ul ˝o lapok sorrendje nem sz ´am´ıt (ezeketism ´etl ´eses permut ´aci ´oknak nevezz ¨uk). Ekkor az esem ´enyt ´er elemeinek sz ´ama

|Ω|= n!

n₁!n₂!· · ·n_k!,

hiszen a k ´arty ´ak n! sz ´am ´u permut ´aci ´oit ´ugy lehet ezekb ˝ol a leoszt ´asokb ´ol megkapni, hogy az egy j ´at ´ekoshoz ker ¨ult n₁,n₂, . . . ,n_k k ´arty ´at tetsz ˝oleges sorrendbe helyezz ¨uk.

5 Addig dob ´alunk egy ´erm ´evel, m´ıg az els ˝o fejet siker ¨ul el ´erni.

Ekkor

Ω ={f,if,iif,iiif, . . . ,i∞},

ahol i∞ azt a lehets ´eges kimenetelt jel ¨oli, amikor csak ´ır ´ast dobunk a v ´egtelens ´egig.

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

Gyakoris ´ag, relat´ıv gyakoris ´ag

Ha egy A esem ´ennyel kapcsolatban n darab v ´eletlen, f ¨uggetlen k´ıs ´erletetet hajtunk v ´egre, akkor A gyakoris ´agaaz a sz ´am, ah ´anyszor Abek ¨ovetkezik; ez egyv ´eletlen mennyis ´eg, melynek lehets ´eges ´ert ´ekei: 0,1, . . . ,n; jel ¨ol ´ese: k_n(A).

Az A esem ´enyrelat´ıv gyakoris ´aga: r_n(A) := k_n(A)

n ; ez isv ´eletlen mennyis ´eg, melynek lehets ´eges ´ert ´ekei: 0,1

n,2 n, . . . ,n

n =1;

Tapasztalat:

ha n-et n ¨ovelj ¨uk, azaz egyre t ¨obb k´ıs ´erletet hajtunk v ´egre, akkor az A esem ´eny relat´ıv gyakoris ´aga egyre kisebb kileng ´esekkel ingadozik egy P(A) sz ´am k ¨or ¨ul; amit majd A val ´osz´ın ˝us ´eg ´enek h´ıvunk.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 19 / 133

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

Relat´ıv gyakoris ´ag tulajdons ´agai

06r_n(A)61 tetsz ˝oleges A esem ´eny eset ´en.

r_n(∅) =0, r_n(Ω) =1.

ha A ´es B egym ´ast kiz ´ar ´o esem ´enyek, akkor r_n(A∪B) =r_n(A) +r_n(B).

haA₁,A₂,. . . p ´aronk ´ent egym ´ast kiz ´ar ´o esem ´enyek, akkor r_n

∞

[

j=1

A_j

!

=

∞

X

j=1

r_n(A_j).

r_n(A) =1−r_n(A) tetsz ˝oleges A esem ´eny eset ´en.

ha A⊂B esem ´enyek, akkor rn(A)6rn(B).

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

Val ´osz´ın ˝us ´egi mez ˝o (Kolmogorov) (Ω,A,P) h ´armas, ahol

Ω egy nem ¨ures halmaz (az esem ´enyt ´er);

A ⊂2^Ω az Ω bizonyos r ´eszhalmazaib ´ol ´all ´o σ-algebra (az esem ´enyek rendszere);

P:A →R olyan lek ´epez ´es (halmazf ¨uggv ´eny), melyre

1 P(A)∈[0,1] tetsz ˝oleges A∈ A eset ´en,

2 P(Ω) =1,

3 ha A1,A2, . . .∈ A p ´aronk ´ent diszjunktak, akkor P

∞

[

j=1

Aj

!

=

∞

X

j=1

P(Aj).

(Ezt a tulajdons ´agotσ-additivit ´asnaknevezz ¨uk).

Egy A esem ´eny eset ´en a P(A) sz ´amot az A val ´osz´ın ˝us ´eg ´enek, a P:A →R lek ´epez ´est pedigval ´osz´ın ˝us ´egeloszl ´asnak

(val ´osz´ın ˝us ´egi m ´ert ´eknek) nevezz ¨uk.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 21 / 133

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

A val ´osz´ın ˝us ´egeloszl ´asok tulajdons ´agai

P(∅) =0. (Hiszen ha P(∅)>0 volna, akkor a σ-additivit ´asban A₁=A₂=. . .=∅ v ´alaszt ´assal ellentmond ´asra jutn ´ank.) Ha A₁,A₂, . . . ,A_n∈ A p ´aronk ´ent diszjunktak, akkor

P

n

[

j=1

A_j

!

=

n

X

j=1

P(A_j).

(Haszn ´aljuk a σ-additivit ´ast A_n+1=A_n+2=. . .=∅ eset ´ere,

´es alkalmazzuk azt, hogy P(∅) =0.)

Ezt a tulajdons ´agotv ´eges additivit ´asnaknevezz ¨uk.

P(A) =1−P(A).

(Hiszen Ω =A∪A diszjunkt felbont ´as, ´ıgy a v ´eges additivit ´assal 1=P(Ω) =P(A∪A) =P(A) +P(A). )

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

A val ´osz´ın ˝us ´egeloszl ´asok tulajdons ´agai Ha A⇒B, azaz A⊂B, akkor

P(A)6P(B), P(B\A) =P(B)−P(A).

(Hiszen A⊂B eset ´en B=A∪(B\A) diszjunkt felbont ´as, ez ´ert P(B) =P(A) +P(B\A)>P(A). )

Az els ˝o tulajdons ´agotmonotonit ´asnaknevezz ¨uk.

Tetsz ˝oleges A,B∈ A eset ´en

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B), hiszen

A∪B=

A\(A∩B)

∪

B\(A∩B)

∪(A∩B) diszjunkt felbont ´as, ez ´ert A∩B⊂A ´es A∩B⊂B miatt

P(A∪B) =

P(A)−P(A∩B) +

P(B)−P(A∩B)

+P(A∩B).

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 23 / 133

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

A val ´osz´ın ˝us ´egeloszl ´asok tulajdons ´agai Tetsz ˝oleges A,B,C∈ A eset ´en

P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C)

−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C) +P(A∩B∩C),

hiszen

P (A∪B)∪C

=P(A∪B) +P(C)−P (A∪B)∩C

´es

P (A∪B)∩C

=P (A∩C)∪(B∩C)

=P(A∩C) +P(B∩C)−P (A∩C)∩(B∩C) , ahol (A∩C)∩(B∩C) =A∩B∩C.

Ez a tulajdons ´ag aszita-formulaspeci ´alis esete 3 esem ´enyre.

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

A val ´osz´ın ˝us ´egeloszl ´asok tulajdons ´agai

Szita-formula (Poincar ´e-formula): Tetsz ˝oleges A₁, . . . ,An∈ A eset ´en

P

n

[

k=1

A_k

!

=

n

X

k=1

(−1)^k−1S_k⁽ⁿ⁾, ahol

S_k⁽ⁿ⁾= X

16i1<i2<···<i_k6n

P(A_i1 ∩ · · · ∩A_ik), n∈N.

Azaz, esem ´enyek n tag ´u uni ´oj ´anak a val ´osz´ın ˝us ´ege az

esem ´enyek legfeljebb n tag ´u metszeteinek a val ´osz´ın ˝us ´egeivel kifejezhet ˝o.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 25 / 133

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

A val ´osz´ın ˝us ´egeloszl ´asok tulajdons ´agai Tov ´abb ´a,

2`

X

k=1

(−1)^k−1S_k⁽ⁿ⁾ 6P

n

[

k=1

A_k

! 6

2`−1

X

k=1

(−1)^k−1S⁽ⁿ⁾_k , `∈N,

ahol S_k⁽ⁿ⁾:=0, hak >n. Ez az egyenl ˝otlens ´eg azt jelenti, hogy a P(A₁∪ · · · ∪An) val ´osz´ın ˝us ´eget a szita-formul ´aban kifejez ˝o

S₁⁽ⁿ⁾−S₂⁽ⁿ⁾+S₃⁽ⁿ⁾−S⁽ⁿ⁾₄ +· · ·

el ˝ojeles ¨osszeg p ´aratlan sz ´am ´u tagot tartalmaz ´o r ´eszlet ¨osszegei fel ¨ulr ˝ol, m´ıg a p ´aros sz ´am ´u tagot tartalmaz ´o r ´eszlet ¨osszegei alulr ´ol k ¨ozel´ıtik.

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

Legyen Ω nem ¨ures halmaz. Legyen minden n∈N eset ´en A_n⊂Ω.

Ha A₁⊂A₂⊂. . . ´es A:=

∞

[

n=1

A_n, akkor azt ´ırjuk, hogy A_n↑A.

Ha A₁⊃A₂⊃. . . ´es A:=

∞

\

n=1

A_n, akkor azt ´ırjuk, hogy A_n↓A.

A val ´osz´ın ˝us ´egeloszl ´asok tulajdons ´agai Tetsz ˝oleges A₁,A₂,· · · ∈ A, An↑A eset ´en

n→∞lim P(A_n) =P(A).

Ezt a tulajdons ´agotalulr ´ol folytonoss ´agnaknevezz ¨uk.

Tetsz ˝oleges A₁,A₂,· · · ∈ A, A_n↓A eset ´en

n→∞lim P(A_n) =P(A).

Ezt a tulajdons ´agotfel ¨ulr ˝ol folytonoss ´agnaknevezz ¨uk.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 27 / 133

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

Diszkr ´et val ´osz´ın ˝us ´egi mez ˝o

Ω v ´eges vagy megsz ´aml ´alhat ´oan v ´egtelen, azaz Ω ={ω₁, ω2, . . . , ωN} vagy

Ω ={ω₁, ω₂, . . .}

alak ´u, ´es A=2^Ω.

Val ´osz´ın ˝us ´egek kisz ´amol ´asa diszkr ´et val ´osz´ın ˝us ´egi mez ˝oben Tetsz ˝oleges A∈ A esem ´eny el ˝o ´all az

A= [

i:ωi∈A

{ω_i} diszjunkt felbont ´as alakj ´aban, ´ıgy

P(A) = X

i:ω_i∈A

P({ω_i}).

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

Ez ´ert diszkr ´et val ´osz´ın ˝us ´egi mez ˝oben el ´eg megadni az elemi esem ´enyek val ´osz´ın ˝us ´egeit, a

p_i :=P({ω_i}), i =1,2, . . .

sz ´amokat ahhoz, hogy tetsz ˝oleges esem ´eny val ´osz´ın ˝us ´eg ´et ki tudjuk sz ´amolni.

Nyilv ´an sz ¨uks ´eges az, hogy ezek a {p₁,p₂, . . .} sz ´amok nemnegat´ıvak legyenek ´es ¨osszeg ¨uk 1 legyen, hiszen

X

i

p_i =X

i

P({ω_i}) =P

[

i

{ω_i}

=P(Ω) =1.

Az is igaz, hogy ha {p₁,p₂, . . .} nemnegat´ıv, 1 ¨osszeg ˝u sz ´amok, akkor a fentieknek megfelel ˝oen bevezetett P:A →R f ¨uggv ´eny val ´osz´ın ˝us ´eg.

Ha a {p₁,p₂, . . .} sz ´amok nemnegat´ıvak ´es 1 ¨osszeg ˝uek, akkor azt mondjuk, hogyeloszl ´astalkotnak.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 29 / 133

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

Egyenletes eloszl ´as v ´eges halmazon Ω ={ω₁, ω₂, . . . , ω_N},

´es az elemi esem ´enyek egyenl ˝o es ´ely ˝uek, azaz

P({ω₁}) =P({ω₂}) =. . .=P({ω_N}) = 1 N.

Val ´osz´ın ˝us ´egek v ´eges halmazon egyenletes eloszl ´as eset ´en

P(A) = X

i:ωi∈A

P({ω_i}) = 1 N

X

i:ωi∈A

1= |A|

N , vagyis

P(A) = kedvez ˝o kimenetelek sz ´ama

¨osszes kimenetelek sz ´ama . Ez aval ´osz´ın ˝us ´eg kisz ´am´ıt ´as ´anak klasszikus k ´eplete.

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

Klasszikus val ´osz´ın ˝us ´egi mez ˝o

Olyan (Ω,A,P) val ´osz´ın ˝us ´egi mez ˝o, ahol

Ω v ´eges, azaz Ω ={ω₁, ω2, . . . , ωN} alak ´u, ahol N∈N, A=2^Ω,

P({ω₁}) =P({ω₂}) =. . .=P({ω_N}) = 1 N.

Azaz, v ´eges sok elemi esem ´eny van, az elemi esem ´enyek tetsz ˝oleges halmaza esem ´eny, ´es az elemi esem ´enyek egyenl ˝o val ´osz´ın ˝us ´eg ˝uek.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 31 / 133

2 Val ´osz´ın ˝us ´eg

P ´eld ´ak:

1 K ´et ´erm ´et feldobva mennyi annak a val ´osz´ın ˝us ´ege, hogy egy fej

´es egy ´ır ´as legyen az eredm ´eny?

Ekkor a k ´et ´erm ´et megk ¨ul ¨onb ¨oztetve az Ω ={ff,fi,if,ii}

esem ´enyteret kapjuk, amelyben a kimenetelek egyforma val ´osz´ın ˝us ´eg ˝uek, ´ıgy az

A={fi,if}

esem ´eny val ´osz´ın ˝us ´ege

P(A) = 2 4 = 1

2.

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

P ´eld ´ak:

2 Mennyi a val ´osz´ın ˝us ´ege, hogy egy n tag ´u t ´arsas ´agban van legal ´abb k ´et olyan szem ´ely, akiknek ugyanakkor van a sz ¨ulet ´esnapja? (Feltessz ¨uk, hogy a sz ¨ok ˝onap nem lehet.) Nyilv ´an n>365 eset ´en (a ,,skatulya-elv” miatt) ez a biztos esem ´eny, ´ıgy ekkor a val ´osz´ın ˝us ´eg 1.

Ha pedig n6365, akkor az ellentett esem ´ennyel sz ´amolva P(A) =1−365·364· · ·(365−n+1)

365ⁿ

=1− 365!

(365−n)!·365ⁿ ≈























0.284 han=16, 0.476 han=22, 0.507 han=23, 0.891 han=40, 0.970 han=50, 0.990 han=57.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 33 / 133

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

Egyenletes eloszl ´as R^k v ´eges m ´ert ´ek ˝u r ´eszhalmazain Ω: R^k egy v ´eges (Lebesgue-)m ´ert ´ek ˝u r ´eszhalmaza,

A: Ω Borel-halmazaib ´ol ´all ´o σ-algebra,

P: ,,minden pont egyenl ˝o es ´ely ˝u”, pontosabban egy A∈ A r ´eszhalmaz val ´osz´ın ˝us ´ege A m ´ert ´ek ´evel ar ´anyos, azaz

P(A) = µ(A) µ(Ω),

ahol µ az illet ˝o halmaz k-dimenzi ´os (Lebesgue-)m ´ert ´ek ´et jel ¨oli:

k =1 eset ´en hossz, k =2 eset ´en ter ¨ulet, k =3 eset ´en t ´erfogat.

Ez aval ´osz´ın ˝us ´eg geometriai kisz ´am´ıt ´asi m ´odja.

2. Val ´osz´ın ˝us ´eg

P ´elda: Egy egys ´egnyi hossz ´us ´ag ´u szakaszt k ´et, tal ´alomra kiv ´alasztott ponttal h ´arom szakaszra bontunk fel. Mennyi annak a val ´osz´ın ˝us ´ege, hogy a h ´arom szakaszb ´ol h ´aromsz ¨oget lehet szerkeszteni?

Az eredm ´eny a [0,1]×[0,1] n ´egyzet azon r ´eszhalmaz ´anak ter ¨ulete, melynek pontjaira fenn ´allnak a k ¨ovetkez ˝o egyenl ˝otlens ´egek:















0<x <y <1,

1−y <x + (y −x) =y, x <(y −x) + (1−y) =1−x, y −x <x+ (1−y),

vagy















0<y <x <1,

1−x <y+ (x−y) =x, y <(x−y) + (1−x) =1−y, x−y <y + (1−x),

azaz

(0<x < ¹₂ <y <1,

y−x < ¹₂, vagy

(0<y < ¹₂ <x <1, x−y < ¹₂.

Ez ´ert a keresett val ´osz´ın ˝us ´eg 1/4.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 35 / 133

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

Felt ´eteles relat´ıv gyakoris ´ag

Ha n f ¨uggetlen k´ıs ´erletet v ´egz ¨unk, akkor az A esem ´enyfelt ´eteles relat´ıv gyakoris ´aga azon felt ´etel mellett, hogy a B esem ´eny bek ¨ovetkezett

r_n(A|B) := kn(A∩B)

k_n(B) = rn(A∩B) r_n(B) . Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg

Az A esem ´enyfelt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´egea B felt ´etel mellett (azaz ha tudjuk, hogy a B esem ´eny bek ¨ovetkezett)

P(A|B) := P(A∩B) P(B) , felt ´eve, hogy P(B)>0.

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

P ´eld ´ak:

1 Mennyi a val ´osz´ın ˝us ´ege, hogy egy k ´etgyermekes csal ´adban mindk ´et gyerek fi ´u, ha felt ´etelezz ¨uk, hogy egy gyerek egyenl ˝o val ´osz´ın ˝us ´eggel lehet fi ´u vagy l ´any, ´es tudjuk, hogy

az id ˝osebb gyerek fi ´u;

legal ´abb az egyik gyerek fi ´u ? Ekkor az esem ´enyt ´er

Ω ={FF,FL,LF,LL},

melynek elemei egyform ´an 1/4 val ´osz´ın ˝us ´eg ˝uek, ahol pl. FL annak felel meg, hogy az 1. (id ˝osebb) gyerek fi ´u ´es a 2. (fiatalabb) gyerek l ´any. Legyen

A:={mindk ´et gyerek fi ´u}={FF}, B₁:={az id ˝osebb gyerek fi ´u}={FF,FL},

B₂:={legal ´abb az egyik gyerek fi ´u}={FF,FL,LF}.

Nyilv ´an A∩B₁=A∩B₂={FF}, ´ıgy

P(A|B₁) =1/2, P(A|B₂) =1/3.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 37 / 133

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

2 Az52lapos francia k ´arty ´at kiosztjuk 4 embernek, mindenki 13 lapot kap. Tudjuk, hogy az egyik ember 2 ´aszt kapott. Mennyi a val ´osz´ın ˝us ´ege, hogy a m ´asik 2 ´asz a partner ´en ´el van (csak egy partnere van)?

Az ¨osszes leoszt ´asok sz ´ama 52!

(13!)⁴, ezek egyforma val ´osz´ın ˝us ´eg ˝uek. Ezekb ˝ol

4 2

· 48

11

· 39!

(13!)³ olyan leoszt ´as van, melyn ´el az els ˝o j ´at ´ekos 2 ´aszt kap, ´es ezek k ¨oz ¨ott pedig

4 2

· 48

11

· 37

11

· 26!

(13!)²

olyan leoszt ´as van, melyn ´el a m ´asik 2 ´asz a partner ´en ´el van.

Teh ´at a keresett felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg

4 2

· ⁴⁸₁₁

· ³⁷₁₁

· ^26!

(13!)² 4

2

· ⁴⁸₁₁

· ^39!

(13!)³

= 2 19.

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

L ´ancszab ´aly

P(A₁∩A₂∩ · · · ∩A_n)

=P(A₁) P(A₂|A₁) P(A₃|A₁∩A₂)· · ·P(A_n|A₁∩A₂∩ · · · ∩A_n−1), felt ´eve, hogy P(A₁∩A₂∩ · · · ∩An−1)>0.

A jobb oldal

P(A₁)P(A₁∩A₂) P(A₁)

P(A₁∩A₂∩A₃)

P(A₁∩A₂) · · ·P(A₁∩A₂∩ · · · ∩An−1∩An) P(A₁∩A₂· · · ∩An−1)

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 39 / 133

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

P ´elda: H ´uzzunk ki a 32 lapos magyar k ´arty ´ab ´ol h ´armat visszatev ´es n ´elk ¨ul. Mennyi a val ´osz´ın ˝us ´ege, hogy az els ˝o ´es a harmadik kih ´uzott lap piros, a m ´asodik pedig nem az?

Jel ¨olje i=1,2,3 eset ´en A_i azt az esem ´enyt, hogy az i-edik h ´uz ´as eredm ´enye piros. Ekkor

P(A1) = 8 32 = 1

4, P(A2|A1) = 24

31, P(A3|A1∩A2) = 7 30,

´ıgy

P(A₁∩A₂∩A₃) = 1 4·24

31 · 7 30 = 7

155.

Persze lehetne haszn ´alni azt az esem ´enyteret is, amely az els ˝o h ´arom kih ´uzott lapb ´ol ´all a sorrendet is figyelembe v ´eve; ekkor|Ω|=32·31·30,

´es a kimenetelek egyenl ˝o val ´osz´ın ˝us ´eg ˝uek. Mivel a kedvez ˝o esetek sz ´ama 8·24·7, ´ıgy a keresett val ´osz´ın ˝us ´eg _32·31·30^8·24·7 = ₁₅₅⁷ .

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

Teljes esem ´enyrendszer

Az esem ´enyt ´er megsz ´aml ´alhat ´o p ´aronk ´ent diszjunkt felbont ´asa esem ´enyekre, azaz esem ´enyek A₁,A₂, . . . v ´eges vagy

megsz ´aml ´alhat ´oan v ´egtelen sorozata, melyek egym ´ast p ´aronk ´ent kiz ´arj ´ak, ´es uni ´ojuk az eg ´esz esem ´enyt ´er, vagyis

A_i∩A_j =∅ ha i6=j, ´es [

i

A_i = Ω.

Egy teljes esem ´enyrendszer esem ´enyei k ¨oz ¨ul mindig pontosan egy k ¨ovetkezik be, ´es

X

i

P(A_i) =1.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 41 / 133

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

Teljes val ´osz´ın ˝us ´eg t ´etele

Ha az A₁,A₂, . . . pozit´ıv val ´osz´ın ˝us ´eg ˝u esem ´enyek teljes esem ´enyrendszert alkotnak, akkor tetsz ˝oleges B esem ´enyre

P(B) =X

i

P(B |A_i)·P(A_i).

Bizony´ıt ´as. Nyilv ´an B=∪

i(B∩A_i) diszjunkt felbont ´as, hiszen B =B∩Ω =B∩(∪

i A_i) =∪

i(B∩A_i),

´es i6=j eset ´en

(B∩A_i)∩(B∩A_j) =B∩A_i∩A_j =∅, ugyanis A_i ∩A_j =∅. Ez ´ert

P(B) =X

i

P(B∩A_i) =X

i

P(B|A_i)·P(A_i).

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

P ´elda: H ´arom g ´ep csavarokat gy ´art. A selejt ar ´anya az els ˝o g ´epn ´el 1%, a m ´asodikn ´al 2%, a harmadikn ´al 3%. Az ¨osszterm ´ek 50%- ´at az els ˝o g ´ep, 30%- ´at a m ´asodik, 20%- ´at pedig a harmadik ´all´ıtja el ˝o.

Mi a val ´osz´ın ˝us ´ege annak, hogy az ¨osszterm ´ekb ˝ol v ´eletlenszer ˝uen v ´alasztott csavar selejtes?

Jel ¨olje B azt az esem ´enyt, hogy selejtet h ´uzunk, i =1,2,3 eset ´en pedig A_i azt, hogy a kih ´uzott csavar az i-edik g ´epen k ´esz ¨ult. Ekkor

P(B|A₁) =0.01, P(B|A₂) =0.02, P(B|A₃) =0.03, P(A1) =0.5, P(A2) =0.3, P(A3) =0.2,

´ıgy

P(B) =0.01·0.5+0.02·0.3+0.03·0.2=0.017.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 43 / 133

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

Bayes-formula

Ha A ´es B pozit´ıv val ´osz´ın ˝us ´eg ˝u esem ´enyek, akkor P(A|B) = P(A)·P(B|A)

P(B) .

Bizony´ıt ´as: P(A|B) = ^P(A_P(B)^∩B) ´es P(A∩B) =P(A)·P(B|A).

Bayes-t ´etel

Ha az A₁,A₂, . . . pozit´ıv val ´osz´ın ˝us ´eg ˝u esem ´enyek teljes esem ´enyrendszert alkotnak ´es P(B)>0, akkor

P(A_i |B) = P(A_i)·P(B |A_i) P

j

P(B|A_j)·P(A_j).

Bizony´ıt ´as: A Bayes-formul ´aval P(A_i |B) = ^P(Ai_P(B)^)·P(B|Ai). A teljes val ´osz´ın ˝us ´eg t ´etel ´evel P(B) =P

j

P(B|A_j)·P(A_j).

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

P ´elda: Mennyi a felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´ege az el ˝oz ˝o p ´eld ´aban annak, hogy az els ˝o, m ´asodik, illetve harmadik g ´epen gy ´artott ´ak a kiv ´alasztott csavart azon felt ´etel mellett, hogy az selejtesnek bizonyult?

P(A₁|B) = 0.5·0.01

0.017 = 5

17, P(A₂|B) = 6

17, P(A₃|B) = 6 17.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 45 / 133

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

F ¨uggetlen esem ´enyek

Azt mondjuk, hogy az A ´es B esem ´enyekf ¨uggetlenek, ha P(A∩B) =P(A)·P(B).

Ha A, B ´es B pozit´ıvval ´osz´ın ˝us ´eg ˝u esem ´enyek, akkor a k ¨ovetkez ˝o

´all´ıt ´asok ekvivalensek:

A ´es B f ¨uggetlenek;

P(A|B) =P(A);

P(B|A) =P(B);

A ´es B f ¨uggetlenek;

P(A|B) =P(A|B).

Ha P(A) =0 vagy P(A) =1, akkor A tetsz ˝oleges B esem ´enyt ˝ol f ¨uggetlen.

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

P ´aronk ´ent f ¨uggetlen esem ´enyek

Azt mondjuk, hogy az A₁,A₂, . . . esem ´enyekp ´aronk ´ent f ¨uggetlenek, ha k ¨oz ¨ul ¨uk b ´armely k ´et esem ´eny f ¨uggetlen.

(Teljesen) f ¨uggetlen esem ´enyek

Azt mondjuk, hogy az A₁,A₂, . . . esem ´enyek(teljesen) f ¨uggetlenek, ha tetsz ˝oleges i₁,i₂, . . . ,i_k p ´aronk ´ent k ¨ul ¨onb ¨oz ˝oindexekre

P(A_i1∩A_i2∩ · · · ∩A_ik) =P(A_i1)P(A_i2)· · ·P(A_ik).

Lehets ´eges, hogy p ´eld ´aul h ´arom esem ´eny p ´aronk ´ent f ¨uggetlen, de nem (teljesen) f ¨uggetlen.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 47 / 133

3. Felt ´eteles val ´osz´ın ˝us ´eg, f ¨uggetlen esem ´enyek

P ´aronk ´ent f ¨uggetlens ´eg ; f ¨uggetlens ´eg

Dobjunk fel egy szab ´alyos p ´enzdarabot k ´etszer egym ´as ut ´an. Legyen A:={az els ˝o dob ´as fej}, B:={a m ´asodik dob ´as fej}, C :={a k ´et dob ´as eredm ´enye k ¨ul ¨onb ¨oz ˝o}.

Mivel

P(A) = 1

2, P(B) = 1

2, P(C) = 2 4 = 1

2, P(A∩B) = 1 4, P(A∩C) =P(az els ˝o dob ´as fej, a m ´asodik dob ´as ´ır ´as) = 1

4, P(B∩C) =P(az els ˝o dob ´as ´ır ´as, a m ´asodik dob ´as fej) = 1

4, kapjuk, hogy A,B ´es C p ´aronk ´ent f ¨uggetlenek. Azonban,

P(A∩B∩C) =P(∅) =06= 1 2·1

2 ·1

2 =P(A)P(B)P(C),

´ıgyA,B ´es C nem f ¨uggetlenek.

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´o / v ´eletlen mennyis ´eg, eloszl ´asf ¨uggv ´eny Ha (Ω,A,P) val ´osz´ın ˝us ´egi mez ˝o, akkor a ξ : Ω→R lek ´epez ´es val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´o/ v ´eletlen v ´altoz ´o/ v ´eletlen mennyis ´eg, ha tetsz ˝oleges x ∈R eset ´en {ω ∈Ω :ξ(ω)<x} ∈ A. Ekkor az F_ξ :R→[0,1],

F_ξ(x) :=P{ξ <x}, x ∈R,

f ¨uggv ´enyt ξ (kumulat´ıv) eloszl ´asf ¨uggv ´eny ´eneknevezz ¨uk.

Eloszl ´asf ¨uggv ´eny jellemz ´ese

Egy F :R→[0,1] f ¨uggv ´eny akkor ´es csak akkor lehet

eloszl ´asf ¨uggv ´enye valamely ξ : Ω→R v ´eletlen v ´altoz ´onak, ha

1 F monoton n ¨ovekv ˝o,

2 F balr ´ol folytonos,

3 lim

x→−∞F(x) =0, lim

x→+∞F(x) =1.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 49 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Eloszl ´asf ¨uggv ´eny

Legyen ξ val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´o F_ξ eloszl ´asf ¨uggv ´ennyel.

Tetsz ˝oleges a,b∈R, a<b eset ´en

P{a6ξ <b}=F_ξ(b)−F_ξ(a).

Tetsz ˝oleges c∈R eset ´en P{ξ <c}=F_ξ(c) =lim

x↑cF_ξ(x), P{ξ 6c}=lim

x↓cF_ξ(x) =F_ξ(c+0),

´ıgy P{ξ =c} az F_ξ ugr ´asa a c pontban, azaz P{ξ =c}=lim

x↓cF_ξ(x)−lim

x↑cF_ξ(x) =F_ξ(c+0)−F_ξ(c).

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Diszkr ´et v ´eletlen v ´altoz ´o

A ξ : Ω→R v ´eletlen v ´altoz ´odiszkr ´et, ha lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza, a {ξ(ω) :ω∈Ω} ´ert ´ekk ´eszlet megsz ´aml ´alhat ´o.

A ξ diszkr ´et v ´eletlen v ´altoz ´oeloszl ´asaaz a P_ξ m ´ert ´ek a ξ lehets ´eges ´ert ´ekeinek X :={x₁,x₂, . . .} halmaz ´an, melyre P_ξ({x_i}) =P({ω∈Ω :ξ(ω) =x_i}), x_i ∈X.

Diszkr ´et v ´eletlen v ´altoz ´o eloszl ´asf ¨uggv ´enye

Egy ξ diszkr ´et v ´eletlen v ´altoz ´o eloszl ´asf ¨uggv ´enye olyan l ´epcs ˝os f ¨uggv ´eny, mely a lehets ´eges ´ert ´ekekn ´el ugrik, ´es az ugr ´as nagys ´aga az illet ˝o ´ert ´ek val ´osz´ın ˝us ´ege. Ha a ξ lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza X :={x₁,x₂, . . .}, akkor

F_ξ(x) = X

{i:xi<x}

P_ξ({x_i}), x ∈R.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 51 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

P ´eld ´ak:

1 K ´et kock ´at dobva a dobott sz ´amok ¨osszeg ´et jel ¨olje ξ. Hat ´arozzuk meg ξ eloszl ´as ´at!

Ekkor ξ diszkr ´et v ´eletlen v ´altoz ´o; lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza:

X ={2,3, . . . ,12}, eloszl ´asa:

P{ξ=k}=









 k−1

36 ha 26k 67, 13−k

36 ha 76k 612.

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

2 Binomi ´alis eloszl ´as.

n f ¨uggetlen k´ıs ´erlet,n∈N A esem ´eny, p:=P(A)∈[0,1]

A gyakoris ´aga: ξ:=k_n(A) diszkr ´et v ´eletlen v ´altoz ´o;

ξ lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza:

X ={0,1,2, . . . ,n}, eloszl ´asa

P{ξ =k}= n

k

p^k(1−p)^n−k, k ∈X,

melyet (n,p) param ´eter ˝u binomi ´alis eloszl ´asnaknevez ¨unk.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 53 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

3 Els ˝orend ˝u negat´ıv binomi ´alis eloszl ´as.

k´ıs ´erlet, A esem ´eny, p:=P(A)∈(0,1]

Addig ism ´etelj ¨uk egym ´as ut ´an f ¨uggetlen ¨ul a k´ıs ´erletet, m´ıg A el ˝osz ¨or bek ¨ovetkezik.

ξ := az ehhez sz ¨uks ´eges ism ´etl ´esek sz ´ama;

lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza:

X ={1,2, . . . ,∞}, eloszl ´asa: k =1,2, . . . eset ´en

P{ξ =k}=p·(1−p)^k−1,

´ıgy

P{ξ =∞}=1−P{ξ <∞}=1−

∞

X

k=1

P{ξ =k}=1−p

∞

X

k=1

(1−p)^k−1=0.

Ekkor ξ eloszl ´as ´atels ˝orend ˝u p param ´eter ˝u negat´ıv

binomi ´alis eloszl ´asnak(vagy geometriai eloszl ´asnak) nevezz ¨uk.

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

4 Hipergeometrikus eloszl ´as.

Egy dobozban M piros ´es N−M fekete goly ´o van (M<N).

Visszatev ´es n ´elk ¨ul h ´uzunk ki n goly ´ot (n6N).

ξ := a kih ´uzott piros goly ´ok sz ´ama;

lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza: olyan k ´ert ´ekek, melyekre teljes ¨ul 06k 6n, k 6M, ´es n−k 6N−M,

eloszl ´asa:

P{ξ=k}= M

k

N−M n−k

N

n

. Ekkor ξ eloszl ´as ´at (n,M,N−M) param ´eter ˝u hipergeometrikus eloszl ´asnaknevezz ¨uk.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 55 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

5 Poisson eloszl ´as.

Mazsol ´as kal ´acsot s ¨ut ¨unk; 1000 gramm t ´eszt ´aba n=50 darab mazsol ´at tesz ¨unk. Egy szelet s ´ulya 25 gramm, teh ´at N=40 szelet k ´esz ¨ul. Minden mazsola egyforma val ´osz´ın ˝us ´eggel ker ¨ulhet bele b ´armely szeletbe, ´es a mazsol ´ak egym ´ast ´ol f ¨uggetlen ¨ul ,,mozognak”. Jel ¨olje ξ egy kiv ´alasztott szeletbe ker ¨ul ˝o mazsol ´ak sz ´am ´at. Lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza X ={0,1, . . . ,50}, eloszl ´asa

P{ξ =k}= 50

k 1 40

k 1− 1

40 50−k

, k ∈X,

ugyanis annak a val ´osz´ın ˝us ´ege, hogy egy konkr ´et mazsola a kiv ´alasztott szeletbe ker ¨ul 1/40. Teh ´at ξ eloszl ´asa n-edrend ˝u 1/N param ´eter ˝u binomi ´alis eloszl ´as.

Mi t ¨ort ´enik, ha n ¨ovelj ¨uk a t ´eszta mennyis ´eg ´et, ill. ezzel ar ´anyosan a mazsol ´ak sz ´am ´at?

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Ha n mazsol ´at haszn ´alunk fel 20·n gramm t ´eszt ´ahoz, akkor N =20·n/25 szelet k ´esz ¨ul, ´ıgy a sz ´obanforg ´o binomi ´alis eloszl ´as n-edrend ˝u ´es pn:=1/N =λ/n param ´eter ˝u, ahol λ:=5/4(= _Nⁿ) az egy szeletre ´atlagosan jut ´o mazsol ´ak sz ´ama. Ekkor

n→∞lim n

k

p_n^k(1−pn)^n−k

= lim

n→∞

n(n−1)· · ·(n−k+1) k!

λ n

k 1−λ

n n−k

= lim

n→∞

n(n−1)· · ·(n−k+1) k!n^k λ^k

1−λ

n n

1−λ n

−k

= 1

k!·λ^k ·e^−λ·1= λ^k

k! e^−λ, k =0,1,2, . . .

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 57 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Ha egy η v ´eletlen v ´altoz ´o lehets ´eges ´ert ´ekei a nemnegat´ıv eg ´esz sz ´amok ´es k =0,1, . . . eset ´en

P(η=k) = λ^k k!e^−λ,

ahol λ >0, akkor azt mondjuk, hogy η eloszl ´asa λ param ´eter ˝u Poisson-eloszl ´as.

Val ´oban diszkr ´et val ´osz´ın ˝us ´egeloszl ´ast adtunk meg, mert a megadott sz ´amok pozit´ıvak (´ıgy nemnegat´ıvak) ´es

∞

X

k=0

λ^k

k!e^−λ =e^λe^−λ=e⁰=1.

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

V ´eletlen v ´altoz ´o s ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´enye

Ha (Ω,A,P) val ´osz´ın ˝us ´egi mez ˝o, ξ : Ω→R v ´eletlen v ´altoz ´o ´es l ´etezik olyan f_ξ:R→[0,∞) (Borel-m ´erhet ˝o) f ¨uggv ´eny, melyre

F_ξ(x) = Z x

−∞

f_ξ(t)dt, x ∈R,

akkor az f_ξ f ¨uggv ´enyt a ξ s ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´eny ´eneknevezz ¨uk, ´es azt mondjuk, hogy a ξ v ´eletlen v ´altoz ´o, illetve ξ eloszl ´asaabszol ´ut folytonos.

(Abszol ´ut folytonos v ´eletlen v ´altoz ´o eset ´en annak s ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´enye nem egy ´ertelm ˝uen meghat ´arozott!)

S ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´eny jellemz ´ese

Egy f :R→[0,∞) (Borel-m ´erhet ˝o) f ¨uggv ´eny akkor ´es csak akkor lehet s ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´enye valamely ξ : Ω→R v ´eletlen v ´altoz ´onak, ha

Z ∞

−∞

f(t)dt =1.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 59 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Abszol ´ut folytonos v ´eletlen v ´altoz ´o

Legyen ξ abszol ´ut folytonos v ´eletlen v ´altoz ´o f_ξ s ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´ennyel.

Ekkor F_ξ folytonos, ´es tetsz ˝oleges a,b∈R, a<b eset ´en P{a6ξ <b}=F_ξ(b)−F_ξ(a) =

Z b a

f_ξ(t)dt.

Altal ´anosabban: tetsz ˝oleges´ B⊂R (Borel-halmaz) eset ´en P{ξ∈B}=

Z

B

f_ξ(t)dt.

Tetsz ˝oleges c∈R eset ´en

P{ξ =c}=0.

Ha az f_ξ s ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´eny folytonos az x ∈R pontban, akkor F_ξ⁰(x) =f_ξ(x).

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Egyenletes eloszl ´as az (a,b) intervallumon

Ha az (a,b) intervallumon v ´alasztunk v ´eletlenszer ˝uen egy ξ pontot

´ugy, hogy egy A⊂(a,b) r ´eszhalmazba es ´es val ´osz´ın ˝us ´ege az illet ˝o r ´eszhalmaz m ´ert ´ek ´evel ar ´anyos, akkor ξ eloszl ´asf ¨uggv ´enye nyilv ´an

F_ξ(x) = x−a

b−a1[a,b)(x) +1[b,∞)(x) =











0 ha x <a, x −a

b−a ha a6x <b, 1 ha x >b.

Ekkor a ξ v ´eletlen v ´altoz ´otegyenletes eloszl ´as ´unaknevezz ¨uk a (a,b) intervallumon. Tov ´abb ´a az

f_ξ(x) = 1

b−a1(a,b)(x) =





 1

b−a haa<x <b, 0 egy ´ebk ´ent f ¨uggv ´eny s ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´enye ξ-nek. Jel ¨ol ´es: ξ∼U(a,b).

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 61 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Norm ´alis eloszl ´as

Ha a ξ v ´eletlen v ´altoz ´o s ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´enye f(x) = 1

√2πσe⁻

(x−m)2

2σ2 , x ∈R

alak ´u, ahol m∈R, σ >0, akkor azt mondjuk, hogy ξ norm ´alis eloszl ´as ´u (m, σ²) param ´eterekkel. Jel ¨ol ´es: ξ ∼ N(m, σ²).

Standard norm ´alis: m=0 ´es σ=1, jel ¨ol ´es: ξ ∼ N(0,1).

Az, hogy R∞

−∞f(x)dx =1, abb ´ol k ¨ovetkezik, hogy Z ∞

−∞

e^−x2/2dx 2

= Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

e^−(x2+y2)/2dxdy

= Z 2π

0

Z ∞ 0

re^−r2/2dr

dϕ=2πh

−e^−r2/2ir=∞

r=0 =2π,

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Norm ´alis eloszl ´as

ahol a m ´asodik l ´ep ´esben egy integr ´altranszform ´aci ´ot hajtottunk v ´egre:

x =rcosϕ, y =rsinϕ, r ∈[0,∞), ϕ∈[0,2π).

Ezen transzform ´aci ´o Jacobi m ´atrixa:

cosϕ −rsinϕ sinϕ rcosϕ

,

melynek determin ´ansa:

rcos²ϕ+rsin²ϕ=r.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 63 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Exponenci ´alis eloszl ´as

Jel ¨olje a ξ v ´eletlen v ´altoz ´o egy radioakt´ıv atom ´elettartam ´at. Ez rendelkezik az ´ugynevezettor ¨¨ okifj ´u tulajdons ´aggal: ha t,h>0, akkor

P{ξ >t+h|ξ >t}=P{ξ >h},

vagyis annak ellen ´ere, hogy tudjuk, hogy az atom m ´ar meg ´elt t id ˝ot, a m ´eg h ´atralev ˝o ´elettartam eloszl ´asa ´eppen olyan, mint a teljes

´elettartam eredeti eloszl ´asa. Mivel

P{ξ >t+h|ξ >t}= P({ξ >t+h} ∩ {ξ >t}) P{ξ >t} ,

´es P({ξ >t+h} ∩ {ξ >t}) =P{ξ >t+h}, ez ´ert a G(t) :=P{ξ >t}

t ´ul ´el ´esi f ¨uggv ´enyreteljes ¨ul G(t+h)

G(t) =G(h), azaz G(t+h) =G(t)G(h), t >0,h>0.

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Exponenci ´alis eloszl ´as

Be lehet l ´atni, hogy ha G folytonos, akkor l ´etezik olyan λ >0, hogy G(t) =e^−λt, ha t>0.

Mivel P{ξ >t}=1, ha t 60, kapjuk, hogy ξ eloszl ´asf ¨uggv ´enye F_ξ(x) =P{ξ <x}=1−P{ξ >x}=1−lim

y↑xG(y)

=1−G(x) =

(0 hax <0, 1−e^−λx hax >0

alak ´u, ahol λ >0. Ezt az eloszl ´ast λ param ´eter ˝u exponenci ´alis eloszl ´asnaknevezz ¨uk. Van s ˝ur ˝us ´egf ¨uggv ´enye:

f_ξ(x) =

(0 hax <0, λe^−λx hax >0.

Jel ¨ol ´es: ξ∼Exp(λ).

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 65 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Exponenci ´alis eloszl ´as Boml ´asi ´alland ´o:

limh↓0

1

hP{t 6ξ <t+h|ξ >t}=lim

h↓0

1 h

P({t6ξ <t+h} ∩ {ξ >t}) P{ξ >t}

=lim

h↓0

1 h

P{t 6ξ <t+h}

P{ξ >t}

=lim

h↓0

1 h

(1−e^−λ(t+h))−(1−e^−λt) e^−λt

=lim

h↓0

1

h(1−e^−λh) =λ.

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

V ´eletlen vektor

ξ : Ω→R^k, azaz ξ = (ξ₁, . . . , ξ_k), ahol ξ_i : Ω→R, i =1, . . . ,k v ´eletlen v ´altoz ´ok;

eloszl ´asf ¨uggv ´enye: F_ξ:R^k →R,

F_ξ(x₁, . . . ,x_k) :=P{ξ₁<x₁, . . . , ξ_k <x_k}, (x₁, . . . ,x_k)∈R^k. Peremeloszl ´as f ¨uggv ´enyek

Ha ξ ´es η egy ¨uttes eloszl ´asf ¨uggv ´enye F_ξ,η, akkor ξ eloszl ´asf ¨uggv ´enye F_ξ(x) =lim_y→∞F_ξ,η(x,y),x ∈R,

´es η eloszl ´asf ¨uggv ´enye F_η(y) =lim_x→∞F_ξ,η(x,y),y ∈R. Diszkr ´et v ´eletlen vektor

A ξ : Ω→R^k v ´eletlen vektordiszkr ´et, ha lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza, a {ξ(ω) :ω∈Ω} ´ert ´ekk ´eszlet megsz ´aml ´alhat ´o.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 67 / 133

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Ha (ξ, η) : Ω→R² diszkr ´et, akkor ξ ´es η is diszkr ´et. Ha ξ ´es η lehets ´eges ´ert ´ekei x1,x2, . . ., illetve y1,y2, . . ., akkor (ξ, η)

lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza {(x_i,y_j) :i,j=1,2, . . .}.

Ha ismerj ¨uk (ξ, η) eloszl ´as ´at, azaz a

P{ξ=x_i, η =y_j} i,j=1,2, . . .

val ´osz´ın ˝us ´egeket, akkor ki tudjuk sz ´amolni ξ ´es η eloszl ´as ´at is:

P{ξ =x_i}=X

j

P{ξ=x_i, η =y_j}, P{η =y_j}=X

i

P{ξ=x_i, η =y_j}.

Ezek (ξ, η) peremeloszl ´asai / margin ´alis eloszl ´asai.

A ξ ´es η egy ¨uttes eloszl ´as ´at, azaz (ξ, η) eloszl ´as ´at, szok ´as kontingencia t ´abl ´azattal is megadni.

4. Val ´osz´ın ˝us ´egi v ´altoz ´ok

Polinomi ´alis eloszl ´as

n f ¨uggetlen k´ıs ´erletet hajtunk v ´egre egy A₁,A₂, . . . ,A_r teljes esem ´enyrendszerre, p_i :=P(A_i) (ekkor p₁+p₂+· · ·+pr =1).

Ekkor A_i gyakoris ´aga: ξ_i :=k_n(A_i), ´es ξ= (ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_r) diszkr ´et v ´eletlen vektor; lehets ´eges ´ert ´ekeinek halmaza:

(k₁,k₂, . . . ,kr)∈Z^r :k_i >0,k₁+k₂+· · ·+kr =n , eloszl ´asa

P{ξ₁=k₁, ξ2=k₂, . . . , ξr =k_r}= n!

k₁!k₂!. . .kr!p₁^k1p₂^k2. . .p^k_r^r, melyet (n,p₁,p₂, . . . ,p_r) param ´eter ˝u polinomi ´alis eloszl ´asnak nevez ¨unk. Peremeloszl ´asai binomi ´alis eloszl ´asok:

P{ξ_i =k_i}= n!

k_i!(n−k_i)!p^k_iⁱ(1−p_i)^n−ki, k_i =0, . . . ,n.

Barczy M ´aty ´as, Pap Gyula (DE, SZTE) Val ´osz´ın ˝us ´egsz ´am´ıt ´as ´es matematikai statisztika 2014 69 / 133