Így az események valószín½uségei: P(A

1. (els½o csoport megoldása)

A fenti ábrán látható azAa B és azABeseményeknek megfelel½o terület (3+3+4 pont).

Így az események valószín½uségei:

P(A) = ¹₂;P(B) = ⁴₉;P(AB) =₁₈¹:(2+2+2 pont) A keresett valószín½uség:

P(A+B) =P(A) +P(B) P(AB) = ⁸₉:(2+2 pont) (második csoport megoldása)

A fenti ábrán látható azAaBés azABeseményeknek megfelel½o terület.

(3+3+4 pont).

Így az események valószín½uségei:

P(A) = ¹₃;P(B) = ¹₉;P(AB) =₂₇¹:(2+2+2 pont) A keresett valószín½uség:

P(A+B) =P(A) +P(B) P(AB) = ¹¹₂₇: (2+2 pont) 2. (az els½o csoport megoldása)

JelöljeAi azt az eseményt, hogy a két kockával dobott összegi:

B jelentése: a lapok között nem lesz ász.

P(A2) =P(A12) =₃₆¹;P(A3) =P(A11) = ₃₆²; P(A₄) =P(A₁₀) =₃₆³;P(A₅) =P(A₉) = ₃₆⁴; P(A₆) =P(A₈) =₃₆⁵;P(A₇) =₃₆⁶:(12 pont)

P(BjA_i) =²⁸₃₂²⁷₃₁ ^{28 (i}_{32 (i} ¹⁾₁₎; i= 2;3; :::;12:(4 pont)

A teljes valószín½uség tételét felhasználva kaphatjuk meg a keresett valószín½uséget:

1

P(B) = P12 i=2

P(BjA_i)P(A_i):(4 pont) (a második csoport megoldása)

JelöljeA_i azt az eseményt, hogy a két kockával dobott összegi:

B jelentése: a lapok között lesz piros.

P(A₂) =P(A₁₂) =₃₆¹;P(A₃) =P(A₁₁) = ₃₆²; P(A₄) =P(A₁₀) =₃₆³;P(A₅) =P(A₉) = ₃₆⁴; P(A6) =P(A8) =₃₆⁵;P(A7) =₃₆⁶:(12 pont)

P BjAi =²⁴₃₂²³₃₁ ^{24 (i}_{32 (i} ¹⁾₁₎; i= 2;3; :::;12:(4 pont)

A teljes valószín½uség tételét felhasználva kaphatjuk meg a keresett valószín½uséget:

P(B) = 1 P12 i=2

P BjA_i P(A_i):(4 pont) 3. (az els½o csoport megoldása)

X 2B 3;¹₄ ;P(X =i) = ³_i ¹₄ ^{i 3}₄ ^{3 i}; i= 0;1;2;3:(8 pont) R_Y =f0;1;8;27g;P Y =i³ =P(X=i):(6 pont)

EY = 3 ¹_{4 16}⁹ + 8 3 ₁₆^{1 3}₄+ 27 ₆₄¹ =¹²⁶₆₄:(6 pont) (a második csoport megoldása)

X 2B 3;₃₆¹ ;P(X =i) = ³_{i 36}^{1 i 35}₃₆ ^{3 i}; i= 0;1;2;3:(8 pont) RY =f0;1;8;27g;P Y =i³ =P(X=i):(6 pont)

EY = 3 ³⁵₃₆²3 + 8 3 ₃₆³⁵3 + 27 ₃₆¹3 = ⁴⁵⁴²₃₆3 0;097:(6 pont) 4. (az els½o csoport megoldása)

X 2N 0;p¹

2 (10 pont)=)A= p ¹ 2 p¹

2

= p¹ (6 pont);EX = 0; X =

p1

2: (2+2 pont)

(a második csoport megoldása)

X 2E(2)(10 pont)=)A= 2(6 pont);EX= ¹₂; X=¹₂:(2+2 pont) 5. (az els½o csoport megoldása)

n X

Y n 0 1 2 3 Y perem

0 ₂₁₆⁶³ ₂₁₆³⁶ ₂₁₆⁹ ₂₁₆^{0 108}₂₁₆ 1 ₂₁₆⁶² ₂₁₆³⁹ ₂₁₆⁶ ₂₁₆^{1 108}₂₁₆ X perem ¹²⁵_{216 216}⁷⁵ ₂₁₆¹⁵ ₂₁₆¹ 1

(10 pont)

FX;Y e;^p₂² =P(X <3; Y <1) = ¹₂ (5 pont) P(Y > X) =₂₁₆⁶² (5 pont)

(a második csoport megoldása)

2

n X

Y n 0 1 2 3 Y perem

0 ₂₁₆⁶² ₂₁₆³⁹ ₂₁₆⁶ ₂₁₆^{1 108}₂₁₆ 1 ₂₁₆⁶³ ₂₁₆³⁶ ₂₁₆⁹ ₂₁₆^{0 108}₂₁₆ X perem ¹²⁵_{216 216}⁷⁵ ₂₁₆¹⁵ ₂₁₆¹ 1

(10 pont)

F_X;Y e;^p₂² =P(X <3; Y <1) = ¹⁰⁷₂₁₆ (5 pont) P(Y > X) =₂₁₆⁶³ (5 pont)

3