A mintán alapuló becslések néhány terminológiai és módszertani kérdése

(1)

A MI'NTÁN ALAPULÓ BECSLÉSEK NÉHÁNY TERMINOLÓGlAl ÉS MÓDSZERTANI KERDÉSE

DR. MARTON ÁDÁM

A statisztikai elemzésekhez szükséges információk jelentős része valamilyen mintán alapuló. a vizsgált alapsokaság egy részére korlátozódó megfigyelésekből származik. A megfigyelt elemek kiválasztása általában véletlenszerűen történik. Van- nak azonban olyan felvételek is. amelyeknél a minta részben vagy egészben nem valószínűségi minta, és ebből adódóan a becslési formulák is eltérnek (bizonyos modell szerinti viselkedést tételeznek fel) a véletlen kiválasztásnál használt formu- láktól. A különböző mintavételi tervek és becslési eljárások idővel egyre bonyolul—

tabbakká váltak.

A magyar Központi Statisztikai Hivatal főként a lakosságot érintő adatgyűjté- _ sek esetében széles körben és több évtizede alkalmazza a reprezentatív véletlen mintákon alapuló felvételeket az átlagok. hányadosok. megoszlások stb. becslésére.

Az információk. következtetések részletezettsége iránt az igények rohamosan nőttek. A minta nagyságát ugyanakkor több okból csak nagyon korlátozottan lehet növelni. Megjelentek olyan módszerek, amelyek bizonyos feltételek. modellek alkal—

mazása segítségével igyekeznek a véletlen mintákból nyerhető következtetések megbízhatóságát növelni.

A nemzetközi szakirodalom az utóbbi évek során elég sokat foglalkozott a modelleken alapuló becslési eljárásokkal. bizonyos értelemben szembeállítva azo—

kat a valószínűségi mintákkal. A magyar szakirodalom viszont ezt a problémakört szinte egyáltalán nem ismeri, nem tárgyalta. jóllehet már vannak olyan kísérletek.

amelyek felhasználják a modellek alkalmazásából adódó előnyöket.

E rövid összeállítás keretében — a teljesség és matematikailag ..korrekt" tár—

gyalás igénye nélkül — ismertetjük a véletlen mintákon és a modellmegközelitésen alapuló becslési eljárások lényeges logikai megfontolásait. hasonlóságait és elté—

réseit.

Elsősorban a mintavételi. becslési hibával foglalkozunk.1 Azzal a problémával, hogy ilyenkor valamilyen módon a részből következtetünk az egészre. mert nincs mód teljes körű felmérést készíteni. Nem foglalkozunk a mérési, a számbavételi. a válaszadási hibával. Úgy tekintjük. hogy a minta minden egyes mérési (megfigye- lési) adata pontos. (Számos lakossági felvételnél nem ez a helyzet. igen számottevő a válaszadási torzítás. Ez azonban más probléma és egészen más vizsgálati mód-_

szereket igényel.)

' A tárgyalás során alapvetően Carl-Erik Sömdal: How survey methodologists communicate a. tanu!—

mányónak gondolatmenetét követjük (Journal of Olíicíal Statislícs. was. évi 1. sz. 49—63. old.).

(2)

DR. MARTON: MiNTÁN ALAPULÓ BECSLESEK 311

Mint Sörndal cikkének bevezetőjében megjegyzi. igen gyakran használják a

felvételtechnikával foglalkozók a valószínűségi mintán (design—based) és modellen

alapuló (model-based) jelzőket. Különösképpen a ..következtetés" (inference) az, amivel kapcsolatban ezek a jelzők előfordulnak, de sok más főnévvel kapcsolatban is, mint például megközelités. elemzés stb. A becslési formulával kapcsolatban

(estimator) is egyre gyakrabban olvasható. hogy az ilyen vagy olyan megközelí-

tésből adódik, ami nem egészen egyértelmű elhatárolás. Lényegében szinoníma—

ként használható az is, hogy valamilyen becslésieljárás—modelltől vagy mintavételi tervtől függő (design— vagy model-dependent) vagy éppen melyiktől független (des-

ign— vagy model—free).

Sörndal szerint e két fogalom alapvetően három esetben használatos: a kö—

vetkeztetés (inference). a megközelítés (approach) és a becslési formula (estimator) esetében. A második és a harmadik esetben ezek a fogalmak nem egyértelműek.

félreértésekhez vezethetnek. Nézzük meg a továbbiakban. milyen elvi megfontolá—

sok és gyakorlati megoldások húzódnak meg a fogalmak mögött.

Közismert. hogy egy ismeretlen sokaságról annak teljes körű felmérése nél—

kül nem lehet következtetéseket teljes biztonsággal megállapítani. Valamilyen terv szerint végzett részleges megfigyelések eredményei csak bizonyos valószínűséggel és hibahatárok között tekinthetők igaznak az alapsokaság egészére. Az általában használatos 95 százalékos valószínűségi szint meghatározza. hogy milyen bizton- sággal — milyen határok között —— állíthatunk valamit. E határokat a szórás becs- lésének ismeretében az 1.9ó-os szorzóval számíthatjuk ki, feltételezve, hogy a becs- lés torzítatlan. Nagy minták esetén valószínű, hogy a becslés és a tényleges érték között az eltérés nem nagy.

Az ismeretlen paraméterek meghatározását célzó mintavételi tervnek valószí—

nűségi mintának kell lennie, előre meghatározva az egyes elemek kiválasztásának p valószínűségét. A mintavételi terv ismeretében írható fel a rétegzésen alapuló becslés is.

A statisztikus számára a konfidencia—intervallum jelentése nagyon egyszerű, de sok felhasználó nem mindig értelmezi helyesen. Ezt jól illusztrálja a felhasználó és a statisztikus közötti elképzelt párbeszéd. Sörndal tanulmánya alapján rövidítve is-

mertetjük.

Felhasználó: Engem kielégítenek a megbízhatósági határok, különösképpen azért, mert a rendelkezésre álló lehetőségek nem engedik meg, hogy a minta nagyságát növeljük. Ha jól emlékszem statisztikai tanulmányaímra. akkor a 95 százalékos szint azt jelenti, hogy igen nagy a valószínűsége, hogy az aula—psoloa—ság ismeretlen átlaga ebbe az intervallumba essék.

Statisztikus: Önnek igaza van. de hogy pontosabbak legyünk, azt kell mondani. hogy ha mi nem egy, hanem mondjuk 10 000 azonos terjedelmű mintát vennénk ugyanabból a sokaságból, természetesen az egyszer már kiválasztott elemeket mindig visszahelyezve. akkor ezek közül 9500-ben tartozó konfidencia—intervallum biztonsággal! tantatl—m'aznó az ismeretlen y értéket.

Fehasználó: Én természetesen megértem. hogy Önök, statisztikusok mindig olyan meg- állapításokat tesznek, amelyek nélkülözik a "biztonságot", ezzel nincs is problémám, mivel a minta a teljes sokaságnak csak egy része, ezért teljesen természetesnek tűnik, hogy ebből teljes biztonsággal következtetést levonni nem lehet.

A valószínűségi mintákon, illetve modelleken alapuló következtetések (design-

based versus model-based inference) elméleti hátterének jelentősége világosnak,

egyértelműnek tűnik. Az irodalomban azonban ezeket a fogalmakat nagyon is bi-

zonytalanul és nem egyértelműen használják. Sörndal szerint a valószínűségi meg-

közelítésnek a lényege a mintavételi terv szerinti véletlenszerűség biztosítása. Ezzel szemben a modelleken alapuló megközelítés azt jelenti, hogy feltételezünk egy el-

(3)

312 " ' 'DR; MARTON ADAM méleti sokaságot (super population), amelynek egy megnyilvánulásod vizsgálni

kívánt N számú, N dimenziós alapsokaság, amelynek viselkedéséről, .,moclelljétről'f van bizonyos információnk. ltt lényegében két különböző valószínűségi eloszlás—ról van szó, érdemes az egyszerűség kedvéért az elsőt p-eloszlósnak, a másodikat §

eloszlásnak nevezni.

A reprezentatív felvételek tekintetében a két megközelítés lényegében azt je—

lenti, hogy az első esetben a következtetéseket a véletlen (p .) eloszlásból szár- maztatjuk, amit a mintavételi terv szerinti randomizáció határoz meg. a második esetben viszont egy olyan eloszlásból. amelyben a következtetéssel együtt járó hiba a sztochasztikus modell illeszkedésének .,jóságából" adódik.

A fogalmak tisztázása érdekében érdemes a Statisztikai Tudományos Encik—

lopediára is hivatkozni, amely a valószínűségi. illetve modellmegközelítés különbsé-

géről röviden azt írja, hogy az első esetben lényegében arról van szó. hogyng

véges sokaságból ismételten mintákat véve milyen kontidencia—intervallumokat ka—

punk, mig modellek alapján számolva lényegében az elméleti sokaságról tett fel-

tevések határozzák meg a tényleges véges sokaság viselkedését. A fogalmi bizony-

talanságra utal az is, hogy sokan szinonímákként használják az első esetre a vélet—

lenen alapuló következtetéseket, míg a második esetben szuperpopulációból levon—

ható következtetésekről beszélnek. Sok esetben találkozunk nagyon bonyolult prob—

lémókkal (például a népesség egészségi állapota általában), amelyeket igen ne;

héz lenne egyszerű véletlen mintákkal vizsgálni. Szükségszerű tehát bizonyos to—

vábbi feltételeket tenni, azaz valamilyen modelljellegű megközelítést adni az alap- sokaságnak.

A modelleken alapuló becslések esetében a konfidencia—intervallum lényegé—

ben az y—y, tehát a becsült és a tényleges érték különbségének a szórásából ve—

zethető le. A tényleges és a becsült érték különbsége várható értékének zérónak

kell lennie, mert ha nem az (azaz a becslés torzitott), akkor a kapott intervallum

nem tartalmazza szükségképpen a becsültyértéket.

Térjünk most vissza a statisztikus és a felhasználó képzelt beszélgetéséhez.

Felhasználó: Most úgy tűnik, hogy Ön a valószínűség két különböző értelmezéséről be'—

szél. A konfidencia-intervallumhoz tartozó valószínűség világos volt számomra és az is, hogy mint jelent ez ismételt minták esetében. Valójában azonban nekem egy számra. egy pont—

becslésre van szükségem, az y— ra. és ebből a szempontból az intervallumnak másodlagos jelentősége van. Természetes. hogy azt szeretném, hogy az y a lehető legpontosabb legyen.

de hogy Önök, módszertannal foglalkozók, hogyan biztosítják ezt, az számomra közömbös, Ha az y—ra vonatkozó mindkét intervallum egyformán érvényes. akkor természetesen a kiseb:—

bet. a pontosabbat fogom használni. Amit Ön a két megközelítésről mondott. nem eléggé világos, és nem igen érek rá arra. hogy a különböző fogalmak mögött meghúzódó elméleti

megfogalmazásokon gondolkozzam.

Statisztikus: Ön egy nagyon lényeges dolgot mondott, nevezetesen azt. hogyakkor.

ha ..mind a két módszer érvényes". A modellmegközelítés csak akkor érvényes, ha a modell- hez kapcsolódó feltételek igazak. Ha Ön számára ezelk a feltételezések elfogadhatók; akkor használható a modellmegközelitésből adódó intervallum. ha nem. akkor csak a valószínűségi megközelítésből adódó intervallumot lehet használni, mivel ez feltételektől függetlenül érvé- nyes. ltt hangsúlyozni kell, hogy végül is a két különböző megközelítés különböző következ- tetésekhez vezet, és ha Ön a konkrétan vizsgált, véges alapsokasóg általános viselkedéséről _ akar következtetéseket levonni, azaz lényegében a szuperpopulóciót vizsgálja, akkor a modelleken alapuló következtetésekből kell kiindulnia.

Az Enciklopédia még azt is hangsúlyozza, hogy a véletlen mintákon alapuló következtetések sokkal gyengébb feltételeken alapulnak, mint a modellek alap—- ján számítottak. E fontos kijelentéshez egy megjegyzést kell fűzni. Mivel a statisztikusok a lehető leggyengébb feltételek alapján szeretnek dolgozni. láttuk, hogy az

(4)

MlNTÁN ALAPULÓ BECSLESEK 313

két módszer a szórás koncepciójában különbözik, amennyibeniaz egyik a p-elosz- lás, a másik a É—eloszlás szórásán alapul.

A két eloszlás természete nagyon különböző. A p-eloszlás lényegében a ran-

domizáció szabályának felel meg, amit a mintavételnél használnak. Ezzel szemben

a E eloszlás nem határoz meg speciálisan cselekvési szabályokat. csak annyit téte—

lez fel, hogy a vizsgált véges alapsokaság milyen eloszlásnak megfelelően jött lét-- re. Azaz egy-egy hipotézis a véges sokaság modellje.

Amikor egy következtetés bizonyos feltételektől függ. akkor a statisztikusokat' az érdekli, hogy mennyire robusztusak azok. azaz a kapott eredmények mennyire függenek a tett feltételek változásaitól. Nyilvánvaló, hogy egy modellen alapuló

következtetés függ a tett feltételektől (tehát nem tekinthető robusztusnak), míg a valószínűségi mintákba a robusztusság be van építve, ami egy előnyös tulajdon-

ság.

A valószínűségi minták. azonos keretek között ismételve azokat, nyilvánvalóan modelltől függetlenek. A modelleken alapuló következtetéseknél lényegében csak a modell specifikációjának meghatározására van szükség. és nem kell vizsgálni azt, hogy mi történik ismételt kiválasztások esetén. igy a modelleken alapuló kö—

vetkeztetéseket valószínűségtől, mintavételi tervtől független következtetéseknek ne- vezhetjük (design-free). Amíg a modellektől való függetlenség jelentős érv a való—

színűségi minták alkalmazása mellett, addig ez fordítva nem igaz, ugyanis a mo—

delleknek a mintavételi tervtől való függetlensége a lényeges feltételeket nem érin—

ti. Ennek csupán akkor van jelentősége, ha olyan mintákkal van dolgunk, amelyek nem valószínűségi minták. llyen például az ún. guota sampling.

Figyelembe véve a valószínűségi minták vonzó tulajdonságait, felmerülhet az a kérdés, miért van egyáltalán szükség arra, hogy modelleken alapuló becslések—

ről beszéljünk, amelyekkel számos kockázat, esetleg félrevezető eredmény jár együtt. Anélkül. hogy részletekbe mennénk. meg kell említeni, hogy egyrészt ezek matematikailag általában jól kezelhetők, egyszerűek, és sok esetben a valószínű- ségi következtetések csak aszimptotikusan torzítatlanok, azaz kis elemszámú min—

ták esetében nagyon pontatlanok.2 —

A valószínűségi mintáknál gyakran problémát okoz a nem válaszolás. Ezek megoszlása általában nem ismert, viszont kezelésükre csak úgy van lehetőség. ha valamilyen feltételeket teszünk előfordulásuk jellegére. A valószínűségi mintáknál a nem válaszolás kezelése tehát egy vegyes megoldást eredményez bizonyos mo- delljellegű hipotézisek alkalmazása miatt. Ez más szavakkal azt is jelenti, hogy a randomizációs elvhez nem lehet egyértelműen ragaszkodni. f

A valószínűségi és a modellmegközelítés fogalmát gyakran használják pontat- lanul. A további tárgyalás során induljunk ki abból, hogy (: valószínűségi követ—

keztetés valószínűségi mintán alapul. (A modellek esetében a helyzet értelemsze—

rűen hasonló.) A becslési folyamat legfontosabb lépései: a mintavételi terv meg- határozása, a becslési formula megválasztása és végül következtetések levonása a vizsgált sokaság egy vagy több paraméterére.

A valószínűségi minták esetében ez azt jelenti, hogy meg kell határozni a ki—

választási valószínűségeket, azokkal konzisztens becslési formulát kell választani, és ebben az esetben a szórás becslése az ismételt minták eredményeinek szórására fog utalni. Amennyiben nem kell számolni hiányzó adatokkal, akkor az egész el- járás valóban konzisztens és modelltől független lesz. Valójában azonban a ma—

delltőlvfüggetlen eljárás. tehát a legszigorúbb értelemben vett valószínűségi minta

2 A_társadalmi—gazdasági statisztika területén alkalmazott reprezentatív felvételek alapvetően való—

színűsé'gí mintán kell, hogy alapuljanak, de esetenként szükség lehet modellekkel történő korrekcióra.

(5)

314 DR. MARTON ADAM

alkalmazása meglehetősen egyszerű, naív eljárás. A vizsgált sokaságra vonatkozó feltevések (például rétegzés) a valószínűségi minták struktúrájának kialakítását elő- nyösen befolyásolhatják. A különböző mintavételi tervek valójában a rétegek és a kiválasztási valószínűségek meghatározásán keresztül valamiféle feltételen alapul—

nak. amelyek tükrözik az alapsokaság viselkedését. Akárhogyan is dolgozunk. ha tudunk valamit az alapsokaság sajátosságairól. akkor azt kihasználjuk.

A modelleken alapuló megközelítés azt igényli, hogy a mintavételi terv és a szórás becslése a modellel legyen összhangban. A mintát illetően itt sokkal keve- Sebb feltételnek kell teljesülnie. Ezeknek a mintáknak nem kell véletlen mintáknak lenniük, de sok esetben előnyös lehet annak alkalmazása. Elvben az is elképze- hető, hogy egy modellmegközelités sehol se használjon ..véletlen" meggondoláso—

kat. Lehet, hogy hibák kiküszöbölése céljából bizonyos segédváltozókat alkalmaz- nak. ez az eljárás a kiegyenlített minta vétele esetén (balanced sampling). Ez lé—

'nyegében az alapsokaság bizonyos ismert tulajdonságainak (például nem. kor- csoport) megfelelő tigyelembevételét. egyeztetését jelenti.

A különböző módon végrehajtott becslések elhatárolása lényegében attól függ.

hogy milyen úton jutottunk el hozzájuk. Ennek megfelelően beszélhetünk valószí—

nűségi. illetve modelleken alapuló becslésekről. A valószínűségi minták esetében lényegében az a kérdés, hogy azok elég nagyok-e ahhoz. hogy a véletlen kiválasz—

tásnak megfelelő becslési formulák elég jó eredményt adjanak. A többcélú min- ták esetében külön probléma adódik, nevezetesen az egyik esetben a modell jól működhet. a másik esetben nem.

Az az elhatárolás tehát, ami a becslési formulákat a megközelítés módszere szerint választja szét, nem teljesen problémamentes. Az egyszerű hányadosbecslés például mintavételi terven alapuló becslés. ha egyszerű vagy rétegzett véletlen min- tákról van szó, viszont modellszemléletű, ha minden rétegre egy regressziós becs—

lést készítünk. lgy ez a formula mindkét megközelítés esetén használható.

A statisztikai gyakorlat számára az elmondottaknak szemléletformáló hatása lehet. tudatosabbá téve néhány olyan alkalmazást, amikor egy becslést különböző feltételek és külső információk segítségével igyekszünk javítani.

A tárgyalás során szó volt arról. hogy a modellmegközelités esetén nincs szük—

ség reprezentativ mintára. Ennek illusztrálására meg lehet említeni azt. hogy ha bizonyos összefüggések vizsgálatáról (például a fogyasztási szokások. szerkezet, az életmód stb. hogyan függenek a jövedelemtől. iskolai végzettségtől. lakóhely- től stb.) van azok jellegét .,jól" leíró modellünk, akkor elég a kapcsolatot néhány jellemző ponton mérni. Ezzel már tudjuk becsülni a modell együtthatóit, és nem szükséges, hogy adataink minden vizsgált tényező szempontjából jól reprezentálók

legyenek.

A modellek használatának. az ezeken alapuló becslések alkalmazásának meg—

van a létjogosultsága az idősorokon alapuló makroökonometriai modellek esetén is, ahol a modellbe bevont változók makrostatisztikai ídősorait tekintjük egy felté- telezett szuperpopuláció egy adott realizációjának, valamint olyan orvosi, biológiai.

pszichológiai stb. kísérleteknél. ahol az általában szokásos kis mintaelemszámok miatt eleve csak bizonyos modellek feltételezésével lehet használható következte-

téseket levonni a megfigyelési eredményekből.

Az utóbbi években az ELAR—felvételekkel kapcsolatban sok szó esett az adatok megyei szintű hasznosításáról. Növekvő igény mutatkozik az iránt. hogy kimutas—

suk, miként alakulnak bizonyos mutatók. folyamatok az ország különböző részén.

Az ELAR-minta terjedelméből adódóan a kapott megyénkénti becslések már csak nagyon korlátozott mértékben használhatók következtetések levonására. Kü-

(6)

MINTÁN ALAPULÓ BECSLÉSEK 315

lönböző módszereket (szintetikus, SPREE, RAS) dolgoztak ki arra. hogy egy or—

szágos nagy minta keretei között a kisterületi, megyei szintű becslések megbízha—

tósága hogyan javítható.

E módszerekről több publikáció jelent meg. E helyen csak annyit jegyzünk meg. hogy ezek a módszerek nagyon jó példái a véletlen mintán és modellen ala—

_puló becsléseknek. Az ELAR-minta egy többlépcsős. rétegzett. nem arányos kivá- lasztású valószínűségi minta, melynek segítségével bármilyen paraméter becsül—

hető (model-free), de sok esetben csak igen nagy szórással.

A szintetikus, a SPREE- vagy a RAS—módszerrel akkor lehet a megyei becslé- seket javítani. ha az adott feladatra megkonstruálható egy jól illeszkedő modell.

Ez a része a becslésnek tehát modellfüggésű (dependent). A becslést javítani ezen az úton csak akkor lehet, ha van ilyen modell, teljesülnek bizonyos feltételek.

Végül egy záró megjegyzés. A megfelelően megtervezett minta vagy modell és a hozzá tartozó becslési módszer segítségével meg lehet adni valamilyen változó (átlag, megoszlás, abszolút szám, hányados stb.) ..pont"-becslését. Ebből az adat—

ból azonban következtetést levonni csak akkor lehet. ha ismerjük a szórást. (: kon—

fidencia-intervallumot. lgy például a megyei szintű adatok közléseinél a hibahatá—

rok ismeretén (ami viszont sajnos csak nagyon ritkán van meg) múlik az, hogy a megyék között mutatkozó számszerű különbségek tényleges eltéréseket valószínűsí- tenek-e, vagy azt kell mondani. nincs jelentős különbség.

IRODALOM

Hansen, M. H. — Madow, W. u. - Tepping, B. I.: An evaluation of model-dependent and probability- sampling interences in sample surveys. Journal of the American Statistical Association. 1983. évi 76. sz.

776—807. old.

Kalton, G.: Madels in the practice of Survey sampling. International Statistical Review. 1983. évi 51.

sz. 175-188, old.

Little, R. I. A.: Models of nonresponse in sample surveys. Journal of the American Statistical Associati- on. 1982. évi 88. sz. 237—250, old.

Sörndal, C. E.: Design-based and model-based inference in survey sampling. Scandinavian Iorunal of Statistícs. 1978. évi 5. sz. 27—52. old.

Sörndal, C. E.: Design-consistent versus model-dependent estimation for small domains. Journal of the American Statistical Association. 1984. évi 79. sz. 624—631. old.

Wright, R. L.: Finite population sampling with multivariate ouxiliary information. Journal of the Ame—

rican Statistical Associaton. 1963. év 78. sz. 879—884. old.

Területi és egyéb szempontok szerint részletezett statisztikai mutatószámok becslése. Szerk: Marton Ádám. Központi Statisztikai Hivatal. Budapest. 1985. 146 old.

TÁRGYSZÓ: Becslés. Statisztikai mintavétel.

PE3I-OME

Aa'rop c mervonom—aecxoű u repmuuonomuecuoű mmm sperma usnaraer Ana aaa—

Moxmbix meroAa crarucmuecxux ouenon, Koropue ocnoabmaiorcn Ha HeCnnOmelX Haö- merHwax: cnocoőu, ocnoauaaioumecn Ha cnyuaünoü auőopxe Pl Ha Monenax. Ormeuae'r, ura a npunuune pasnmnbie MeTOAbl npuőnumenns : pnAe cnyuaea ny-reM KOMÖHHHPOBBH—

HDI'O npumeueuua ynyuuiaior ouemm " noabuuaio'r AOCTOBepHOCTb nporHoaoa.

SUMMARY

The study discusses from methodology and terminology aspects two possible procedures ol statistical estimation based on representative surveys: random sampling and methods based on models. lt is pointed out that the conceptually different approaches are. in many cases, suitable to improve. while complementing each other, the reliability of estimates and conclusions.