Gráfok színezése, Gallai tételek
Papp László
BME
2021. november 6.
Feladat
Adott 5 WIFI router, mindegyiknek a hatótávja 30 méter.
Szeretnénk ezen routereket elhelyezni az ábrán jelöl pontokba.
A kék körök jelölik a lefedett területeket. Ha van olyan pont ami több router hatósugarában is benne van, akkor ezen routereket más-más csatornára kell állítani, hogy ne zavarják egymást.
Kérdés:Minimum hány WIFI csatornát kell felhasználnunk?
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok! 2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan
pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt. 4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a
csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok!
2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt. 4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a
csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok!
2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt. 4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a
csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok!
2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt.
4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok!
2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt.
4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok!
2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt.
4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok!
2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt.
4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok!
2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt.
4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok!
2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt.
4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Feladat Megoldása:
1. Készítsünk gráfot! Legyenek a routerek a csúcsok!
2. Két routert pontosan akkor kössünk össze ha van olyan pont ami mindkett ˝o hatósugarában benne van.
3. Színezzük ki a csúcsokat a lehet ˝o legkevesebb színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok nem kapnak azonos színt.
4. Az azonos szín ˝u csúcsok használhatják ugyan azt a csatornát, a különböz ˝o szín ˝uek nem!
Gráfok csúcsszínezése
Definíció:EgyGgráfk színnel színezhet ˝o, ha a gráf csúcsai kiszínezhet ˝oekk megadott színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok különböz ˝o szín ˝uek. Az azonos szín ˝u csúcsok halmazátszínosztálynaknevezzük.
G
χ(G) =4
Definíció:EgyGgráfkromatikus számak, haG k színnel kiszínezhet ˝o, dek −1-gyel nem. Jele: χ(G)(Ejtsd: Khí).
Gráfok csúcsszínezése
Definíció:EgyGgráfk színnel színezhet ˝o, ha a gráf csúcsai kiszínezhet ˝oekk megadott színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok különböz ˝o szín ˝uek. Az azonos szín ˝u csúcsok halmazátszínosztálynaknevezzük.
G
χ(G) =4
Definíció:EgyGgráfkromatikus számak, haG k színnel kiszínezhet ˝o, dek −1-gyel nem. Jele: χ(G)(Ejtsd: Khí).
Klikkek
Definíció:EgyGgráfHrészgráfjátklikkneknevezzük haH teljes gráf.
$\omega(G)=3$
Definíció:AGgráfklikkszámánaG-ben található legnagyobb klikk csúcsszámát értjük. Jeleω(G). Állítás
Tetsz ˝olegesGgráfraω(G)≤χ(G).
Bizonyítás:Azω(G)méret ˝u klikk minden csúcsára különböz ˝o színt kell használni, hiszen ezek szomszédosak egymással. Emiatt nem lehetω(G)-nél kevesebb színnel színezniG-t.
Klikkek
Definíció:EgyGgráfHrészgráfjátklikkneknevezzük haH teljes gráf.
ω(G) = 3
Definíció:AGgráfklikkszámánaG-ben található legnagyobb klikk csúcsszámát értjük. Jeleω(G).
Állítás
Tetsz ˝olegesGgráfraω(G)≤χ(G).
Bizonyítás:Azω(G)méret ˝u klikk minden csúcsára különböz ˝o színt kell használni, hiszen ezek szomszédosak egymással. Emiatt nem lehetω(G)-nél kevesebb színnel színezniG-t.
Klikkek
Definíció:EgyGgráfHrészgráfjátklikkneknevezzük haH teljes gráf.
ω(G) = 3
Definíció:AGgráfklikkszámánaG-ben található legnagyobb klikk csúcsszámát értjük. Jeleω(G).
Állítás
Tetsz ˝olegesGgráfraω(G)≤χ(G).
Bizonyítás:Azω(G)méret ˝u klikk minden csúcsára különböz ˝o színt kell használni, hiszen ezek szomszédosak egymással.
Emiatt nem lehetω(G)-nél kevesebb színnel színezniG-t.
Maximum fokszámos becslés
Jelölés:∆(G)-vel aGgráf legnagyobb fokszámú csúcsának a fokát jelöljük és eztmaximális fokszámnaknevezzük.
Állítás
Tetsz ˝olegesGgráf eseténχ(G)≤∆(G) +1. Bizonyítás: Színezzünk mohó módon az 1,2, . . . ,∆(G) +1 színnel: Tetsz ˝oleges sorrendben egymás után színezzük a csúcsokat úgy, hogy minden csúcsban a legkisebb olyan színt használjuk amelyet még egyik szomszédjában sem használtunk fel.
Ez esetben minden csúcsnak jut megfelel ˝o szín, hiszen tetsz ˝oleges csúcsnak a foka nem több mint∆(G). Ezért a szomszédos csúcsok maximum∆(G)különböz ˝o színt használtak el, egy mindenképpen szabad a∆(G) +1-b ˝ol.
Maximum fokszámos becslés
Jelölés:∆(G)-vel aGgráf legnagyobb fokszámú csúcsának a fokát jelöljük és eztmaximális fokszámnaknevezzük.
Állítás
Tetsz ˝olegesGgráf eseténχ(G)≤∆(G) +1.
Bizonyítás: Színezzünk mohó módon az 1,2, . . . ,∆(G) +1 színnel: Tetsz ˝oleges sorrendben egymás után színezzük a csúcsokat úgy, hogy minden csúcsban a legkisebb olyan színt használjuk amelyet még egyik szomszédjában sem használtunk fel.
Ez esetben minden csúcsnak jut megfelel ˝o szín, hiszen tetsz ˝oleges csúcsnak a foka nem több mint∆(G). Ezért a szomszédos csúcsok maximum∆(G)különböz ˝o színt használtak el, egy mindenképpen szabad a∆(G) +1-b ˝ol.
Maximum fokszámos becslés
Jelölés:∆(G)-vel aGgráf legnagyobb fokszámú csúcsának a fokát jelöljük és eztmaximális fokszámnaknevezzük.
Állítás
Tetsz ˝olegesGgráf eseténχ(G)≤∆(G) +1.
Bizonyítás: Színezzünk mohó módon az 1,2, . . . ,∆(G) +1 színnel: Tetsz ˝oleges sorrendben egymás után színezzük a csúcsokat úgy, hogy minden csúcsban a legkisebb olyan színt használjuk amelyet még egyik szomszédjában sem használtunk fel.
Ez esetben minden csúcsnak jut megfelel ˝o szín, hiszen tetsz ˝oleges csúcsnak a foka nem több mint∆(G). Ezért a szomszédos csúcsok maximum∆(G)különböz ˝o színt használtak el, egy mindenképpen szabad a∆(G) +1-b ˝ol.
Páros gráfok
Definíció:EgyGgráfpáros gráf, haV(G)felosztható két részre,A-ra ésB-re úgy, hogyA-n ésB-n belül nem vezetnek élek.
Példa:Hetero Tinder: Csúcsok az emberek, élek a matchek, A={Férfiak},B={N ˝ok}.
A
B
Páros gráf ekvivalens definíciók Állítás:
Az alábbi három állítás ekvivalens:
(i) Gpáros gráf.
(ii) χ(G)≤2
(iii) Gnem tartalmaz páratlan (hoszú) kört.
Bizonyítás:(ii) =⇒ (i): VegyükG-nek egy 2-színezését. LegyenAaz egyik színosztály,Bpedig a másik.
(i) =⇒ (iii):G-ben ha elindulunk egyA-beli csúcsból akkor egy úton haladva felváltva vagyunkA-ban ésB-ben. Minden párosadik lépésben vagyunkA-ban így egy kör is csak páros sok élet tartalmazhat.
A
B
Páros gráf ekvivalens definíciók Állítás:
Az alábbi három állítás ekvivalens:
(i) Gpáros gráf.
(ii) χ(G)≤2
(iii) Gnem tartalmaz páratlan (hoszú) kört.
Bizonyítás:(ii) =⇒ (i): VegyükG-nek egy 2-színezését.
LegyenAaz egyik színosztály,Bpedig a másik.
(i) =⇒ (iii):G-ben ha elindulunk egyA-beli csúcsból akkor egy úton haladva felváltva vagyunkA-ban ésB-ben. Minden párosadik lépésben vagyunkA-ban így egy kör is csak páros sok élet tartalmazhat.
A
B
Páros gráf ekvivalens definíciók Állítás:
Az alábbi három állítás ekvivalens:
(i) Gpáros gráf.
(ii) χ(G)≤2
(iii) Gnem tartalmaz páratlan (hoszú) kört.
Bizonyítás:(ii) =⇒ (i): VegyükG-nek egy 2-színezését.
LegyenAaz egyik színosztály,Bpedig a másik.
(i) =⇒ (iii):G-ben ha elindulunk egyA-beli csúcsból akkor egy úton haladva felváltva vagyunkA-ban ésB-ben. Minden párosadik lépésben vagyunkA-ban így egy kör is csak páros sok élet tartalmazhat.
A
B
(iii) =⇒ (ii): Feltehetjük, hogyGösszefügg ˝o, mert ha nem az akkor minden egyes összefügg ˝o komponesre külön-külön tudok találni egy-egy 2 színezést és azok együtt is 2 színezést alkotnak.
Gösszefügg ˝o ezért van feszít ˝ofája amit egy BFS bejárással megkaphatunk. A gyökért ˝ol (bejárás kezd ˝opontja) páros távol lév ˝o
csúcsokat színezzük pirossal, a páratlanra lév ˝o csúcsokat pedig kékkel.
Miért nincs azonos szín ˝u csúcsok között él G-ben?
Két azonos szín ˝u csúcs gyökért ˝ol vett távolságának paritása megegyezik. A
feszít ˝ofában a kett ˝ojük között található út emiatt páros sok élb ˝ol áll. Ha lenne közöttük él akkor az ezt az utat egy páratlan hosszú körré egészítené ki, ami nincsG-ben. Tehát ez tényleg egy 2 színezéseG-nek.
(iii) =⇒ (ii): Feltehetjük, hogyGösszefügg ˝o, mert ha nem az akkor minden egyes összefügg ˝o komponesre külön-külön tudok találni egy-egy 2 színezést és azok együtt is 2 színezést alkotnak.
Gösszefügg ˝o ezért van feszít ˝ofája amit egy BFSbejárással megkaphatunk. A gyökért ˝ol (bejárás kezd ˝opontja) páros távol lév ˝o
csúcsokat színezzük pirossal, a páratlanra lév ˝o csúcsokat pedig kékkel.
Miért nincs azonos szín ˝u csúcsok között él G-ben?
Két azonos szín ˝u csúcs gyökért ˝ol vett távolságának paritása megegyezik. A
feszít ˝ofában a kett ˝ojük között található út emiatt páros sok élb ˝ol áll. Ha lenne közöttük él akkor az ezt az utat egy páratlan hosszú körré egészítené ki, ami nincsG-ben. Tehát ez tényleg egy 2 színezéseG-nek.
(iii) =⇒ (ii): Feltehetjük, hogyGösszefügg ˝o, mert ha nem az akkor minden egyes összefügg ˝o komponesre külön-külön tudok találni egy-egy 2 színezést és azok együtt is 2 színezést alkotnak.
Gösszefügg ˝o ezért van feszít ˝ofája amit egy BFSbejárással megkaphatunk. A gyökért ˝ol (bejárás kezd ˝opontja) páros távol lév ˝o
csúcsokat színezzük pirossal, a páratlanra lév ˝o csúcsokat pedig kékkel.
Miért nincs azonos szín ˝u csúcsok között él G-ben?
Két azonos szín ˝u csúcs gyökért ˝ol vett távolságának paritása megegyezik. A
feszít ˝ofában a kett ˝ojük között található út emiatt páros sok élb ˝ol áll. Ha lenne közöttük él akkor az ezt az utat egy páratlan hosszú körré egészítené ki, ami nincsG-ben. Tehát ez tényleg egy 2 színezéseG-nek.
(iii) =⇒ (ii): Feltehetjük, hogyGösszefügg ˝o, mert ha nem az akkor minden egyes összefügg ˝o komponesre külön-külön tudok találni egy-egy 2 színezést és azok együtt is 2 színezést alkotnak.
Gösszefügg ˝o ezért van feszít ˝ofája amit egy BFSbejárással megkaphatunk. A gyökért ˝ol (bejárás kezd ˝opontja) páros távol lév ˝o
csúcsokat színezzük pirossal, a páratlanra lév ˝o csúcsokat pedig kékkel.
Miért nincs azonos szín ˝u csúcsok között él G-ben?
Két azonos szín ˝u csúcs gyökért ˝ol vett távolságának paritása megegyezik. A
feszít ˝ofában a kett ˝ojük között található út emiatt páros sok élb ˝ol áll.
Ha lenne közöttük él akkor az ezt az utat egy páratlan hosszú körré egészítené ki, ami nincsG-ben. Tehát ez tényleg egy 2 színezéseG-nek.
(iii) =⇒ (ii): Feltehetjük, hogyGösszefügg ˝o, mert ha nem az akkor minden egyes összefügg ˝o komponesre külön-külön tudok találni egy-egy 2 színezést és azok együtt is 2 színezést alkotnak.
Gösszefügg ˝o ezért van feszít ˝ofája amit egy BFSbejárással megkaphatunk. A gyökért ˝ol (bejárás kezd ˝opontja) páros távol lév ˝o
csúcsokat színezzük pirossal, a páratlanra lév ˝o csúcsokat pedig kékkel.
Miért nincs azonos szín ˝u csúcsok között él G-ben?
Két azonos szín ˝u csúcs gyökért ˝ol vett távolságának paritása megegyezik. A
feszít ˝ofában a kett ˝ojük között található út emiatt páros sok élb ˝ol áll. Ha lenne közöttük él akkor az ezt az utat egy páratlan hosszú körré egészítené ki, ami nincsG-ben.
Tehát ez tényleg egy 2 színezéseG-nek.
(iii) =⇒ (ii): Feltehetjük, hogyGösszefügg ˝o, mert ha nem az akkor minden egyes összefügg ˝o komponesre külön-külön tudok találni egy-egy 2 színezést és azok együtt is 2 színezést alkotnak.
Gösszefügg ˝o ezért van feszít ˝ofája amit egy BFSbejárással megkaphatunk. A gyökért ˝ol (bejárás kezd ˝opontja) páros távol lév ˝o
csúcsokat színezzük pirossal, a páratlanra lév ˝o csúcsokat pedig kékkel.
Miért nincs azonos szín ˝u csúcsok között él G-ben?
Két azonos szín ˝u csúcs gyökért ˝ol vett távolságának paritása megegyezik. A
feszít ˝ofában a kett ˝ojük között található út emiatt páros sok élb ˝ol áll. Ha lenne közöttük él akkor az ezt az utat egy páratlan hosszú körré egészítené ki, ami nincsG-ben. Tehát ez tényleg egy 2 színezéseG-nek.
Párosítás
Definíció:EgyGgráfbanE(G)egyMrészhalmazát párosításnakvagy másnévenfüggetlen élek halmazának nevezzük, haMsemelyik két elemének nincs közös végpontja.
Példa páros gráf estén:
A B
M
Nem páros gráfban is van párosítás!Példa:
M
Maximális vs tovább nem b ˝ovíthet ˝o párosítás
A magyar nyelv a maximális szót két különböz ˝o fogalomra is használja:
▶ EgyAhalmaz maximális ha a mérete nagyobb értéket nem vehet fel. (In English: maximum)
▶ EgyBhalmaz maximális ha tovább nem b ˝ovíthet ˝o. (In English: maximal)
A kett ˝o nem ugyan az, az alábbi gráfbanMtovább nem b ˝ovíthet ˝o, de van nála több élet tartalmazó párostásN:
M N
Definíció:AGgráfmaximális párosításánegy olyan párosítást értünk aminek a lehet ˝o legtöbb éle van.
Példán azNilyen, viszont azMnem!
Független élek
Definíció:AGgráf éleinek egyMrészhalmazafüggetlenha semelyik kétM-beli élnek nincs közös végpontja. (Ez már volt.) AGgráfban egy maximális méret ˝u független élhalmaz méretét ν(G)-vel jelöljük és egy ilyen halmazt maximális független élhamaznak vagy maximális párosításnak nevezünk.
M
Független élhalmaz = párosítás!
Tehát egyGgráf maximális párosításának mérete egyenl ˝o ν(G)-vel!
Független élek
Definíció:AGgráf éleinek egyMrészhalmazafüggetlenha semelyik kétM-beli élnek nincs közös végpontja. (Ez már volt.) AGgráfban egy maximális méret ˝u független élhalmaz méretét ν(G)-vel jelöljük és egy ilyen halmazt maximális független élhamaznak vagy maximális párosításnak nevezünk.
M
Független élhalmaz = párosítás!
Tehát egyGgráf maximális párosításának mérete egyenl ˝o ν(G)-vel!
Független pontok
Definíció:AGgráf csúcsainak egySrészhalmazafüggetlen ha azSáltal feszített részgráf nem tartalmaz élt, azaz nincs olyan él aminek mindkét végpontjaS-beli lenne. AGgráfban egy maximális méret ˝u független ponthalmaz méretétα(G)-vel jelöljük és az ilyen halmazt maximális független
pontokhalmaznak nevezünk.
S
Független ponthalmaz minden gráfban van, legrosszabb esetben ez a halmaz üres ha minden csúcsra hurokél
illeszkedik. Általában nehéz feladat megtalálni egy maximális méret ˝ut.
Független pontok
Definíció:AGgráf csúcsainak egySrészhalmazafüggetlen ha azSáltal feszített részgráf nem tartalmaz élt, azaz nincs olyan él aminek mindkét végpontjaS-beli lenne. AGgráfban egy maximális méret ˝u független ponthalmaz méretétα(G)-vel jelöljük és az ilyen halmazt maximális független
pontokhalmaznak nevezünk.
S
Független ponthalmaz minden gráfban van, legrosszabb esetben ez a halmaz üres ha minden csúcsra hurokél
illeszkedik. Általában nehéz feladat megtalálni egy maximális méret ˝ut.
Független pontok alkalmazása
Egy jó színezés esetén egy színosztály egyben független ponthalmaz is. Emiatt egy színosztály mérete legfeljebbα(G).
Emiatt a WIFI routeres példánál maximumα(G)routert állíthatunk azonos csatornára.
Ebben a gráfbanα(G) =2.
Lefogó pontok
Definíció:AGgráf csúcsainak egyT részhalmazalefogó ponthalmazha aGminden élének legalább az egyik végpontjaT-beli. AGgráfban egy minimális méret ˝u lefogó ponthalmaz méretétτ(G)-vel jelöljük és egy ilyen halmazt minimális lefogó ponthalmaznak nevezünk.
T
Alkalmazás: Szenzorhálózatok: Szeretnénk egy hálózat éleit a csomópontokba telepített szenzorokkal megfigyelni. Minden szenzor a csomópontból kiinduló éleket tudja megfigyelni.
Legalább hány szenzorra van szükségünk?
Lefogó élek
Definíció:AGgráf éleinek egyLrészhalmazalefogó élhalmazhaGbármely csúcsára illeszkedik legalább egy L-beli él. AGgráfban egy minimális méret ˝u lefogó élhalmaz méretétρ(G)-vel jelöljük és egy ilyen halmazt minimális lefogó élhalmaznak nevezünk.
L
Vigyázat! Lefogó élhalmaza nem minden gráfnak van! Az izolált csúcsokat nem tudjuk lefogni. Viszont ha aGgráf nem tartalmaz izolált csúcsot, akkorρ(G)jól értelmezett.
Triviális összefüggések
Állítás
Tetsz ˝olegesGgráfraα(G)≤ρ(G)ésν(G)≤τ(G).
Bizonyítás:
HaSegy maximális független csúcshalmaz, akkor egy élS-nek legfeljebb egy elemét foghatja le. Egy lefogó élhalmaznakSminden elemét le kell fognia, emiatt egy lefogó
élhalmaz mérete legalább|S|=α(G).
HaM egy maximális független élhalmaz(párosítás), akkor egy csúcs M-nek legfeljebb egy elemét foghatja le. Emiatt egylefogó csúcshalmaz mérete legalább|M|=ν(G).
Megfigyelés
Segy maximális független ponthalmaz,T pedig egy minimális lefogó ponthalmaz. Vegyük észre, hogy a példánkban egymás komplementerei, azaz diszjunktak ésS∪T =V(G). Véletlen egybeesés ez vagy mindig igaz, hogy egy maximális független ponthalmaz komplementere minimális lefogó?
S T
Válasz: Nem véletlen, egy apró feltétel teljesülése esetén mindig igaz.
Gallai I. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz hurokélet, akkor α(G) +τ(G) =n.
Megfigyelés
Segy maximális független ponthalmaz,T pedig egy minimális lefogó ponthalmaz. Vegyük észre, hogy a példánkban egymás komplementerei, azaz diszjunktak ésS∪T =V(G). Véletlen egybeesés ez vagy mindig igaz, hogy egy maximális független ponthalmaz komplementere minimális lefogó?
S T
Válasz: Nem véletlen, egy apró feltétel teljesülése esetén mindig igaz.
Gallai I. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz hurokélet, akkor α(G) +τ(G) =n.
Gallai I. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz hurokélet, akkor α(G) +τ(G) =n.
Bizonyítás:
LegyenSegy maximális független ponthalmaz.
Ekkor nincsS-beli csúcsok közötti él. Így S =V(G)\Segy lefogó ponthalmaz.
Ezértn=|S|+|S|=α(G) +|S| ≥α(G) +τ(G).
LegyenT egy minimális lefogó ponthalmaz. Ekkor nincsT =V(G)\T-beli csúcsok közötti él, hiszen egy ilyen életT nem tudna lefogni. ÍgyT független ponthalmaz. Ezért
n=|T|+|T|=|T|+τ(G)≤α(G) +τ(G). A két becslést egyesítven=α(G) +τ(G)
S T
T
S
Gallai I. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz hurokélet, akkor α(G) +τ(G) =n.
Bizonyítás:
LegyenSegy maximális független ponthalmaz.
Ekkor nincsS-beli csúcsok közötti él. Így S =V(G)\Segy lefogó ponthalmaz.
Ezértn=|S|+|S|=α(G) +|S| ≥α(G) +τ(G).
LegyenT egy minimális lefogó ponthalmaz. Ekkor nincsT =V(G)\T-beli csúcsok közötti él, hiszen egy ilyen életT nem tudna lefogni. ÍgyT független ponthalmaz. Ezért
n=|T|+|T|=|T|+τ(G)≤α(G) +τ(G). A két becslést egyesítven=α(G) +τ(G)
S T
T
S
Gallai I. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz hurokélet, akkor α(G) +τ(G) =n.
Bizonyítás:
LegyenSegy maximális független ponthalmaz.
Ekkor nincsS-beli csúcsok közötti él. Így S =V(G)\Segy lefogó ponthalmaz.
Ezértn=|S|+|S|=α(G) +|S| ≥α(G) +τ(G).
LegyenT egy minimális lefogó ponthalmaz.
Ekkor nincsT =V(G)\T-beli csúcsok közötti él, hiszen egy ilyen életT nem tudna lefogni.
ÍgyT független ponthalmaz.
Ezért
n=|T|+|T|=|T|+τ(G)≤α(G) +τ(G). A két becslést egyesítven=α(G) +τ(G)
S T
T
S
Gallai I. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz hurokélet, akkor α(G) +τ(G) =n.
Bizonyítás:
LegyenSegy maximális független ponthalmaz.
Ekkor nincsS-beli csúcsok közötti él. Így S =V(G)\Segy lefogó ponthalmaz.
Ezértn=|S|+|S|=α(G) +|S| ≥α(G) +τ(G).
LegyenT egy minimális lefogó ponthalmaz.
Ekkor nincsT =V(G)\T-beli csúcsok közötti él, hiszen egy ilyen életT nem tudna lefogni.
ÍgyT független ponthalmaz. Ezért
n=|T|+|T|=|T|+τ(G)≤α(G) +τ(G).
A két becslést egyesítven=α(G) +τ(G)
S T
T
S
Gallai II. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor ν(G) +ρ(G) =n.
Bizonyítás:
LegyenM egy maximális párostás. EkkorMlefog 2ν(G)darab pontot.
A maradékn−2ν(G)darab pont mindegyikét le tudjuk fogni külön-külön egy-egy éllel, mert nincs izolált pont. Így ρ(G)≤ν(G) +n−2ν(G) =n−ν(G). HaLminimális lefogó élhalmaz, akkorLnem tartalmaz se kört, se 3 hosszú utat, hiszen ezekb ˝ol ki lehet dobni éleket és még mindig minden
csúcsot lefogunk. EmiattLcsillagok diszjunkt úniója, ahol egy csillag egy olyan fa aminek legfeljebb egy nem levél csúcsa van csak. HaL k darab csillagból áll, akkor,ρ(G) =|E(L)|=n−k. TovábbáLekkor tartalmazk független élet, ezért ν(G)≥k. Ígyρ(G) +ν(G)≥n−k+k =n.
M
L
Gallai II. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor ν(G) +ρ(G) =n.
Bizonyítás:
LegyenM egy maximális párostás. EkkorMlefog 2ν(G)darab pontot. A maradékn−2ν(G)darab pont mindegyikét le tudjuk fogni külön-külön egy-egy éllel, mert nincs izolált pont. Így ρ(G)≤ν(G) +n−2ν(G) =n−ν(G).
HaLminimális lefogó élhalmaz, akkorLnem tartalmaz se kört, se 3 hosszú utat, hiszen ezekb ˝ol ki lehet dobni éleket és még mindig minden
csúcsot lefogunk. EmiattLcsillagok diszjunkt úniója, ahol egy csillag egy olyan fa aminek legfeljebb egy nem levél csúcsa van csak. HaL k darab csillagból áll, akkor,ρ(G) =|E(L)|=n−k. TovábbáLekkor tartalmazk független élet, ezért ν(G)≥k. Ígyρ(G) +ν(G)≥n−k+k =n.
M
L
Gallai II. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor ν(G) +ρ(G) =n.
Bizonyítás:
LegyenM egy maximális párostás. EkkorMlefog 2ν(G)darab pontot. A maradékn−2ν(G)darab pont mindegyikét le tudjuk fogni külön-külön egy-egy éllel, mert nincs izolált pont. Így ρ(G)≤ν(G) +n−2ν(G) =n−ν(G).
HaLminimális lefogó élhalmaz, akkorLnem tartalmaz se kört, se 3 hosszú utat, hiszen ezekb ˝ol ki lehet dobni éleket és még mindig minden
csúcsot lefogunk.
EmiattLcsillagok diszjunkt úniója, ahol egy csillag egy olyan fa aminek legfeljebb egy nem levél csúcsa van csak. HaL k darab csillagból áll, akkor,ρ(G) =|E(L)|=n−k. TovábbáLekkor tartalmazk független élet, ezért ν(G)≥k. Ígyρ(G) +ν(G)≥n−k+k =n.
M
L
Gallai II. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor ν(G) +ρ(G) =n.
Bizonyítás:
LegyenM egy maximális párostás. EkkorMlefog 2ν(G)darab pontot. A maradékn−2ν(G)darab pont mindegyikét le tudjuk fogni külön-külön egy-egy éllel, mert nincs izolált pont. Így ρ(G)≤ν(G) +n−2ν(G) =n−ν(G).
HaLminimális lefogó élhalmaz, akkorLnem tartalmaz se kört, se 3 hosszú utat, hiszen ezekb ˝ol ki lehet dobni éleket és még mindig minden
csúcsot lefogunk. EmiattLcsillagok diszjunkt úniója, ahol egy csillag egy olyan fa aminek legfeljebb egy nem levél csúcsa van csak. HaL k darab csillagból áll, akkor,ρ(G) =|E(L)|=n−k.
TovábbáLekkor tartalmazk független élet, ezért ν(G)≥k. Ígyρ(G) +ν(G)≥n−k+k =n.
M
L
Gallai II. tétele
Ha azncsúcsúGgráf nem tartalmaz izolált pontot, akkor ν(G) +ρ(G) =n.
Bizonyítás:
LegyenM egy maximális párostás. EkkorMlefog 2ν(G)darab pontot. A maradékn−2ν(G)darab pont mindegyikét le tudjuk fogni külön-külön egy-egy éllel, mert nincs izolált pont. Így ρ(G)≤ν(G) +n−2ν(G) =n−ν(G).
HaLminimális lefogó élhalmaz, akkorLnem tartalmaz se kört, se 3 hosszú utat, hiszen ezekb ˝ol ki lehet dobni éleket és még mindig minden
csúcsot lefogunk. EmiattLcsillagok diszjunkt úniója, ahol egy csillag egy olyan fa aminek legfeljebb egy nem levél csúcsa van csak. HaL k darab csillagból áll, akkor,ρ(G) =|E(L)|=n−k. TovábbáLekkor tartalmazk független élet, ezért ν(G)≥k. Ígyρ(G) +ν(G)≥n−k+k =n.
M
L
Gráfparaméterek összefoglaló
Definíció:AGgráf csúcsainak egySrészhalmaza független ha azSáltal felszített részgráf nem tartalmaz élt. AGgráfban egymaximálisméret ˝ufüggetlen ponthalmazméretét α(G)-vel jelöljük
Definíció:AGgráf csúcsainek egyT részhalmaza lefogó ha a Gminden élének legalább az egyik végpontjaT-beli. AG gráfban egyminimálisméret ˝ulefogó ponthalmazméretét τ(G)-vel jelöljük.
Definíció:AGgráf éleinek egyMrészhalmaza független ha semelyik kétM-beli élnek nincs közös végpontja. (Ez már volt.) AGgráfban egymaximálisméret ˝ufüggetlen élhalmaz (párosítás)méretétν(G)-vel jelöljük.
Definíció:AGgráf éleinek egyLrészhalmaza lefogó haG bármely csúcsára illeszkedik legalább egyL-beli él. AG gráfban egyminimálisméret ˝ulefogó élhalmazméretét ρ(G)-vel jelöljük.
