Berger, J.O.: Statisztikai döntéselmélet

STATISZTIKAI IRODALMI FIGYELÓ

KULFÖLDI STATISZTIKAI IRODALOM*

A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS ELMÉLETE ÉS MÓDSZERTANA

BERGER, ]. O.:

STATISZTIKAI DÖNTÉSELMÉLET

(Statistical Decision Theory. Foundations, Concepts, and Methods.) Springer-Verlag. 1980. New York.

425 p.

A könyv a matematikai értelemben vett döntéselméletet tárgyalja. A szerző könyvét nemcsak az elméleti, hanem a gyakorlati sta- tisztikusok számára is írja. ezért kétféle szak- mai igényt egyeztet. A statisztikai döntés lé- nyegét matematikai nyelven írja le, az alap- fogalmakat vilagosan hatarozza meg. Össze- foglalja azokat a jelentős eredményeket, a- melyeket e tudomany jeles képviselői e terü- leten az elmúlt évtizedekben elértek. A könyv az olvasótól megköveteli a valószínűségszó—

mitós modern elméletének ismeretét. Tómasz- kodik a mértékelmélet és a játékelmélet szó—

mos eredményére, illetve módszerére. Az ol- vasó e könyv alapján nemcsak a szerző ko- rabbi tudományos tevékenységéről szerezhet tudomast. hanem tájékozódhat a tárgyhoz kapcsolódó valamennyi lényeges forrósmun—

kóról is. Értékét emeli, hogy az olvasó szóma—

ra lehetővé válik a tárgykörhöz tartozó ered- mények és problémák összefüggő áttekinté—

se.

A statisztikai döntés lényegét tekintve, a szerző abból indul ki: ha valamely probléma esetében egy döntést nem teljes információ alapján hoznak, akkor az azt meghatározó tényezők egy részét matematikai statisztikai módszerekkel kell meghatározni. Ilyen ese- tekben egy valószínűségi vóltozó eloszlásá- tól függ, hogy a lehetséges döntésvóltozatok

közül melyiket választjuk.

Megemlíti R. D. Luce és H, Raiffa ,,Games and Decisions" című, 1957—ben kiadott híres könyvét. amely foglalkozik a statisztikai dön- téselmélet előzményeivel. E könyv ismerteti az ún. Bernoulli—elvet, amely a statisztikai dön—

téselmélet kialakulásában döntő jelentőségű.

Daniel Bernoulli 1738-ban ,,pétervóri prob- léma" néven szerencsejátékokkal kapcsola—

tos feladat megoldására javasolt egy mód-—

szert, amely a döntéshozatalhoz egy függ—

vényt választ, s ez a játékot befolyásoló vé-v letlen következtében véletlen értékű. E függ- vény vórható értékét vizsgálja, s annak maxi- malis értékét (más esetben lehet minimalis érték) javasolja a döntés alapjóul elfogadni.

Bernoulli lényegében eljutott a hasznosság fogalmához, és megfontolásait Laplace is el- fogadta. Ezt követően e problémával többen foglalkoztak, és a Bernoulli—elv a statisztikai döntéselmélet egyik alapja lett, bár nem tar—

talmazott informóciószerzésre vonatkozó ki- sérletet. Pénzdobósról volt szó, ahol a pénz mindkét oldaléra 50—50 százalékos valószí—

nűséggel esik. Laplace a játékokon kívül már főleg természet- és tórsadalomtudomónyi' alkalmazásokkal foglalkozott, bebizonyítva, hogy a valószínűségek meghatározása után az alkalmazások könnyen elvégezhetők. Ha a várható értéket meghatároztak, akkor az al—

kalmazós soran a valaszt közvetlenül a va- lószínűségek vagy a várható érték ismerete alapján lehet megadni. A klasszikus való—

színűségi döntések mind ezt az elvet tükrö- zik, például az elemi próbák, a konfidencia- intervallum konstrukciók stb. A sztochasztikus, folyamatoknak egy része is tartalmazza ezt az elvet; a sorbanállás-, a felújítóselmélet stb. esetében először az eloszlást határozzák

meg, és ezután döntenek.

A szerző nagy figyelmet szentel a bayesi szemléletnek. A klasszikus értelemben vett statisztika kisérleti tapasztalatokon alapszik, a vizsgált sokaságra nézve bizonyos feltéte- lezéseket tesznek, és ezután a mintavétel ki- menetelére támaszkodva meghatározzák a minta jellemzőit. például a várható értéket,

* A Statisztikai Szemle 1962. júliusi számától kezdődően a "Statisztikai Irodalmi Figyelő"-ben a külföldi statisztikai könyvek és folyóiratcikkek ismertetését havonta közli.

A Külföldi statisztikai irodalom egyes fejezetein belül az anyag általában könyv- és folyóiratcikk—

ismertetésekre tagolódik. (Ezeket ' választja el egymástól.) Az ismertetések szerzők, illetve ahol szerző nincs, a címek betűrendjében következnek egymás után.

_? 040

szórást. A minta elemzése után a vizsgálato—

kat becslési eljárásokkal, hipotézissel stb.

folytatják. A bayesi szemléletű statisztikus minden rendelkezésre álló információt fel- használ, legyenek azok szubjektívek vagy ob—

jektívek. A döntési probléma bayesi szemlé- lete nem tesz különbséget a klasszikus érte- lemben vett valószínűség és a szubjektív va- lószínűség között. A Bayes—féle probléma elő- ször egyszerű alternatívaként jelentkezett.

Bayes vizsgálatait Laplace is folytatta, és megadta a ma ismert Bayes-tételt. A szerző ezt az elvet részletesen ismerteti. Kifejti, hogy ha a valószínűségeloszlások ismeretlen pa- ramétereinek egy valószinűségeloszlást tulaj—

donítunk (az ún. a priori eloszlást). akkor a kísérleti eredmények. illetve a Bayes—formula alapján következtethetünk az ismeretlen pa—

raméter elhelyezkedésére. Megemlíti H. Raif- fat és R. Sch/aifert, akik munkájukban —— bár nem kimondottan bayesi szemléletűek -— aza priori eloszlást súlyfüggvény gyanánt alkal- mazzák, elsősorban az eredmény nagyobb információtartalma miatt. Angol nyelvterüle—

ten sok híve van a Bayes-módszemek, erre további megfontolásokat alapoznakl például összekapcsolják a Bernoulli-elvvel, amennyi- ben a nyert feltételes eloszlással veszik egy

büntető függvény várható értékét.

A könyv szinvonalasan ismerteti a játékel- mélet matematikai megfontolásait. A játékel- mélet megalapítója E. Borel francia mate—

matikus volt 1921—ben, az elmélet jelenlegi formája elsősorban Neumann János 1928-ból származó munkája és 1944-ben Morgenstern- nel közösen írt könyve révén alakult ki. En—

nek nagy értéke a minimax elv kidolgozása mint a sztochasztikus rendszerekre vonatko- zó döntési elv eloszlásmentessége. mely nem tételezi fel a rendszerrel kapcsolatos valószí- nűségeloszlás ismeretét. Ez az elmélet olyan rendszerekre vonatkoztatható, amelyeket sztochasztikus körülmények között vizsgálnak.

Ha ismeretlenek a rendszert befolyásoló vé—

letlen tényezők valószínűségeloszlásai, a jó—

tékelméleti modellek akkor is gyakran jó eredményt adnak.

Egyszerű nullhipotézisek vizsgálata kapcsán a szerző bevezeti a statisztikai próbák teszt függvényét, amelyek lényegében egy x minta (P(x) függvénye, amely adott feltétel esetén minden x megfigyelésre megadja a nullhipo—

tézis elvetésének a valószínűségét. A helytál- ló hipotézis elvetése az elsőfajú hiba. (P(x).

tehát az elsőfajú hiba valószinűsége. Ennek adott 8 paraméter esetén x szerint vett át—

laga már csak Gfüggvénye. ami a próba erő—

függvénye, Ptp(9)-val jelölve. Ennek őszerint alkalmas súlyokkal vett súlyozott átlaga az ún. kockázati függvény, amit minimalizálunk olyan feltétel mellett, hogy Ptp(0)minden 6- ra egy adott )) valószínűségnél kisebb vagy azzal egyenlő legyen. A híres Neyman-Pear-

son lemma ezt a gondolatot fejti ki kissé elvontabb fogalmazásban. A minták terében van egy G' algebrán értelmezett ,a mérték és megfelelő f, g függvények esetén keresünk olyan ?)(x) függvényt, amely maximalizál egy integrált egy adott feltétel mellett. Ekkor egy hipotézist kell ellenőrizni, ahol egy ellenhi- potézis van. E lemma szerint legerősebb pró- ba létezik. és ez explicite megadható.

Valószínűségi feltétel melletti optimalizálás előfordul többek között még a konfidencia- halmaz és a toleranciahalmaz-konstrukcióval

kapcsolatban is.

A könyv foglalkozik a matematikai szem- pontból nem éppen egyszerű szekvenciális módszerekkel is. Részletesen ismerteti A. Wald ,

1947-ben. illetve 1950—ben megjelent "Segu- ential Analysis" (Wiley. New York), illetve

..Statistical Decision Functions" (Wiley. New York) című könweit. Az előbbi könyvében Wald kifejti, hogy adott sokaságra vonat- kozó hipotézis ellenőrzését több lépésben célszerű végrehajtani. Minden egyes lépés- ben ugyonis három lehetőség van, elfogad—

ni a hipotézist, elvetni a hipotézist, illetve úgy dönteni, hogy a vizsgálatot tovább kell foly—

tatni. Az utóbb említett könyvében Wald ezt az elméletet tovább fejlesztette, és ennek kö- szönhető a statisztika tudományában a vé- letlen körülmények közötti döntés elméleté—

nek a kialakulása.

A szerző a statisztikai döntéselmélet alap—

jait matematikai igényességgel irja le, és megismerteti a matematika közgazdasági és műszaki alkalmazóit ennek az elméletnek legújabb elveivel, valamint hasznos informá- ciókat nyújt a különböző alkalmazási lehe—

tőségekhez. Valamennyi fejezet végén gya- korlati feladat is ismertetésre kerül, ami a matematikai elveket az olvasó számára ért- hetőbbé teszi. Mivel a hazai szakirodalom- ban bayesi döntéselmélettel foglalkozó mű eddig alig jelent meg, így ez a könyv a ma- gyar szakemberek számára hasznos ismere- teket nyújthat.

(Ism.: Móritz Pálné)

KALBFLEISCH. !. G.:

VALÓSZINÚSÉGELMELET ÉS STAH SZTlKAl KÖVETKEZTETÉS

(Probability and Statistical lnference. Vol. l., ll.) Springer—Verlag. New York -— Heidelberg -- Berlin.

1979. 342, 316 p.

A kétkötetes mű másod- vagy harmadéves egyetemisták számára írott bevezető jellegű tananyag. Ebből adódóan a matematikai el- mélet és részletek helyett elsősorban a való- szinűségelmélet és a matematikai statisztika logikai alapelveinek bemutatására és a gya—

korlati alkalmazásokra helyezi a hangsúlyt.