Bevezetés a számításelméletbe 1.
6. gyakorlat, 2009. március 17. 16
15, IE 213
Gyak.vez.: Eisenberger András (csirkeee@gmail.com, http://www.cs.bme.hu/∼csirke/) Tudnivalók
LegyenA∈Rn×k. AzAsorrangja,oszloprangja, ill.determinánsrangjarendre a következő:
s(A) := dimhA1, A2, . . . , Ani, azaz Alineárisan független sorainak max száma.
o(A) := dimhA1, A2, . . . , Aki, azazAlineárisan független oszlopainak max száma d(A) :=Alegnagyobb nemnulla aldeterminánsának mérete.
Megfigyelés: TetszőlegesA valós mártixra (1)d(A) =d(AT), (2)o(A) =s(AT).
(3) HaAlépcsős alakú mátrix, akkors(A) =d(A).
Tétel: TetszőlegesAvalós mátrixras(A) =d(A).
Köv.: TetszőlegesAvalós mátrixras(A) =d(A) =o(A), és ez azAmátrixr(A)rangja.
Def: A valós vektorterek közöttiA:U →V leképezéslineáris, ha műveletterató, azaz
(1)A(u+v) =A(u) +A(v) ∀u, v∈U ill. (2)A(λu) =λA(u) ∀λ∈T, ∀u∈U
AzU ésV közötti lineáris leképezések halmazát Hom(U, V)jelöli. HaU =V, akkorlineáris transzformációról beszélünk.
Lineáris leképezésben a lineáris kombináció képe a képek lineáris kombinációja, azaz az (1) és (2) helyett megkövetelhető a (3)A(λ1u1+λ2u2+. . .+λkuk) =λ1A(u1) +λ2A(u2) +. . .+λkA(uk)
„lineáris kombináció tartási” tulajdonság.
Feladatok
1. Számold ki a alábbi mátrix rangját!
1 2 3 4 5 1 3 5 7 9 1 4 7 10 13 1 5 9 13 17
2. Lehet az alábbi lineáris
egyenletrendszer megoldása egyértelmű?
x+y+z = 6 2x+ 3y−z = 4
−x+y−7z = 1
3. Melyek igazak az alábbiak közűl?
(a) Ha azAx=begyenletrendszer megoldható, akkor azA|b kibővített mátrix oszlopai összefüggőek.
(b) Ha azA|b kibővített mátrix oszlopai összefüggőek, akkor azAx=begyenletrendszer megoldható.
(c) Ha az A mátrix oszlopai lineárisan függetlenek, akkor az Ax=begyenletrendszer megoldható.
(d) Ha az A mátrix sorai lineárisan függetlenek, akkor azAx=begyenletrendszer megoldható.
(e) Ha az Ax=begyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, akkor A oszlopai függetlenek.
4. HaA∈Rm×n, B∈Rn×n, ésr(B)< n, akkor r(AB)< n (ZH ’04)
5. Bizonyítsuk be, hogy haM ésN összeszorozható mátrixok, akkorr(M N)≤min{r(M), r(N)}.
6. Bizonyítsuk be, hogy haA, B∈Rm×n, akkor r(A+B)≤r(A) +r(B). (ZH ’02) 7. Legyen A egy6×5-ös valós mátrix. Melyek igazak az alábbiak közűl?
(a) Ha az első három sor lineárisan összefüggő, akkor a bal felső3×3-as aldetermináns 0.
(b) Ha a bal felső3×3-as aldetermináns 0, akkor az első három sor lineárisan összefüggő.
(c) Ha az első 3 és az utolsó 3 oszlop is lineárisan összefüggő, akkorr(A)≤3.
(d) Ha az első 2 és az utolsó 2 oszlop is lineárisan összefüggő, akkorr(A)≤3.
8. Legyen az Amátrixnak 100oszlopa, jelöljeB azAelső 70oszlopa által alkotott mátrixot,J az utolsó 70oszlop,C pedig a középső40oszlop által meghatározott mátrixot. Bizonyítsuk be, hogyr(B) +r(J)≥r(A) +r(C). (ZH ’04)
9. Számoljuk ki az következő mátrixok rangját! a)
1 2 3 2 5 6 3 5 9 0 1 0
b)
1 2 9 8 3 4 3 4 9 8 1 2
c)
1 −2 3
−3 6 −9 2 −4 6
−4 8 −12
10. Legyenek A ∈ Rn×m és B ∈ Rm×n. Bizonyítsuk be, hogy ha m < n, akkor az AB mátrix szinguláris, azaz nem invertálható.
11. Tegyük fel hogy az A mátrix minden sora számtani sorozat (vagyis bármelyik soron belül az egymás melletti elemek
különbsége állandó). Bizonyítsuk be, hogyr(A)≤2 (ZH ’04)
12. Határozzuk meg annak az (n×n)-es mátrixnak a rangját, melynek az (i, j) pozícióban álló eleme xixj valamely
rögzítettx1, x2, . . . , xn esetén! (GyIV ’04)
13. Igazoljuk, hogy minden mátrix kibővíthető egy sorral és egy oszloppal úgy, hogy a kibővített mátrix rangja nagyobb legyen, mint az eredetié. Mutassunk példát arra, hogy erre nem mindig elegendő az egy sorral bővítés.
