Bevezetés a számításelméletbe

(1)

Műszaki és gazdasági szakok alapozó matematikai ismereteinek e-learning alapú tanagyag- és módszertani fejlesztése TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0098

Maróti György, Sárvári Csaba

Bevezetés a számításelméletbe

(2)

1. Bevezetés a halmazelméletbe

Ebben a fejezetben a halmazelmélet legalapvetőbb fogalmaival ismerkedünk meg. A halmazelmélet önálló tudományágként is nagyon jelentős. Mi itt csak a hamazelméletnek a matematikai tudományágak megalapozásához szükséges fogalomrendszerével foglalkozunk.

Alapfogalmak

Meghatározott elemek összességét halmaznak nevezzük. Ezt a mondatot semmiképpen sem tekinthetjük a halmaz definíciójának, mindössze tájékoztató jellegű. A "halmaz", az "elem" és az

"elemének lenni" alapfogalmak, az `összesség` pedig a `halmaz` szinonimája. A továbbiakban idézőjelek nélkül említjük ezeket a fogalmakat, anélkül, hogy pontosan megmondanánk, mit értünk alattuk.

A halmazok tulajdonságaival a halmazelmélet foglalkozik. A "naiv" halmazelméletet George Cantor francia matematikus alkotta meg, a XIX. század végén. A Cantor-féle halmazelmélet ragyogó sikereket ért el és a matematika szinte minden ágába behatolt. Később azonban kiderült, hogy ellentmondásos állítások, ún. antinomiák léteznek benne. Az ellentmondások megszüntetését az elmélet axiómatizálásával érték el. Az axiomatikus halmazelméletben az alapfogalmak kapcsolatát a meghatározottsági axióma mondja ki:

"A halmazt egyértelműen meghatározzák az elemei."

A halmazokat általában latin nagybetűkkel

A, B, C, . . ., az elemeket kisbetűkkel:

x, y, z, . . . jelöljük.

Egy halmaz és annak eleme közötti "elemének lenni" kapcsolatot a 2

szimbólummal jelöljük.

A nem eleme kapcsolat jele

; Ha A egy halmaz, akkor bármely x dologra vagy

x2A,

vagy

x;A teljesül.

Néhány nevezetes számhalmaz:

;, Z, <, = rendre a természetes-, az egész-, a racionális-, a valós számok halmaza.

1.1.1. Definíció

Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik.

1.1.2. Definíció

Azt a halmazt, amelynek nincs egyetlen eleme sem üres halmaznak nevezzük.

Jele: :

Halmaz megadása, részhalmaz

(3)

>

(2.1) (2.1)

>

(2.3) (2.3)

>

(2.4) (2.4) (2.2) (2.2)

>

Egy halmazt megadhatunk:

1.Ha lehetséges, ún. analitikus módon, elemeinek felsorolásával 1.2.1. Példa

A:={1,1,2,3,4,5,6};

A:= 1, 2, 3, 4, 5, 6

Figyeljük meg, hogy egy elem többszöri felsorolása nem változtat a halmazon!

Az op függvény megadja a kifejezés operandusait, itt a halmaz elemeit, az op(i,e)

az e kifejezés i-edik operandusát adja meg. Az nops(e) függvény az e kifejezés operandusainak számát adja meg.

op(A);

1, 2, 3, 4, 5, 6 op(2,A);

2 nops(A);

6

2. Ha az előző módon nehézkes, vagy lehetetlen megadnunk a halmazt, akkor szintetikus módon, a halmaz minden elemét jellemző olyan tulajdonsággal adjuk meg a halmazt, amelynek alapján kétség nélkül eldönthető, hogy egy dolog hozzátartozik-e a halmazhoz, vagy sem.

1.2.2. Példa

H={ a páros számok}

A H halmaz elemeinek az a tulajdonsága, hogy valamennyien oszthatók 2-vel.

A H halmazt így is megadhatjuk:

H={x|x2Z és x osztható 2-vel}

1.2.3. Definíció

Azt mondjuk, hogy a B halmaz az A halmaz részhalmaza (része), ha az B minden eleme a A halmaznak is eleme.

Jelekkel:

B4A

Ha B4A, de A≠B, azaz A-nek van olyan eleme,amely nem eleme B-nek, akkor azt mondjuk, hogy B valódi része A-nak, és ezt így jelöljük: B3A.

(4)

A következőkben rövidítésként felhasználjuk az alábbi jeleket:

cx : "minden x (elem) -re"

0 : "akkor"

5 : "akkor és csak akkor"

Ezekkel a jelekkel az előző definíciót rövidebben is leírhatjuk:

cx(x2B0x2A)

Adott esetben meghatározhatjuk azt a halmazt, amelyből a vizsgálat során nem lépünk ki. Az elemzés tárgyát képező elemek halmaza a vizsgálat vonatkozásában az ún. alaphalmaz vagy latinosan

univerzális halmaz, röviden univerzum.

Ilyen alaphalmaz lehet például: a valós számok, a prímszámok, egy sík összes egyenese, egy iskola összes tanulója stb.

Az univerzális halmazt leggyakrabban U-val vagy I-vel jelöljük.

Hatványhalmaz

1.3.1. Példa

Legyen az A halmaz A= a,b,c . Határozzuk meg az A összes részhalmazát!

Megoldás

A részhalmazokat növekvő elemszám szerint vegyük számításba! Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaz. Nyílván három egyelemű részhalmaz adódik: a , b , c . Kételemű részhalmazhoz úgy jutunk, ha a három elem közül egyet nem választunk, tehát ezekből is három van: a,b , a,c ,

b,c . Végül minden halmaz része önmagának, tehát a nyolcadik, az utolsóként számbavett részhalmaz maga a kiindulási halmaz, az A= a,b,c . Az A összes részhalmaza tehát:

H:= , a , b , c , a,b,c , b,c , a,c , a,b .

Az összes részhalmaz megszámlálását a következőképpen is végezhetjük. Elemenként dönthetünk, hogy az illető elem hozzá tartozik-e, van sem, a szóbanforgó részhalmazhoz.

Tegyük fel, hogy meg akarjuk adni az A halmaz egy S részhalmazát. Az alábbi ábrát a

következőképpen értelmezhetjük. A legfelső körrel (ezt csúcsnak is nevezzük) kezdjük, ahol azonnal egy érdéssel szembesülünk: eleme-e az a az S halmaznak? A két válaszlehetőségnek (IGEN, illetve NEM) megfelelően két nyíl (avagy él) mentén haladhatunk tovább. Itt újabb kérdésre kell

válaszulnunk: eleme-e b az S halmaznak? A két válasznak megfelelően újra két úton mehetünk tovább, hogy feltehessük magunknak az utolsó kérdést: eleme-e a c a S halmaznak? A válaszok innen már nem egy újabb kérdéshez, hanem a szóban forgó útnak megfelelő S részhalmazhoz vezetnek.

A részhalmazok száma tehát megegyezik az ábra tetejétől az aljáig vezető utak számával. Mivel a legalsó szint bármelyik eleméhez pontosan egy út vezet, az utak száma megegyezik a legalsó szint elemeinek a számával. Ez esetünkben 2³. Könnyen meggondolható, hogy ha egy n elemű halmazt vizsgálnánk, akkor a válasz 2ⁿ lenne.

(5)

Döntési fa az a,b,c halmaz részhalmazainak kiválasztásához Ezek után nem meglepő a következő definíció:

1. 3. 2. Definíció

A H halmaz részhalmazainak halmazát a H hatványhalmazának nevezzük. A hatványhalmaz jelölése:

2^A, vagy P A .

Az elnevezést az indokolja, hogy minden pozitív n egészre igaz a következő tétel:

1. 3. 3. Tétel

Minden véges, n elemű A halmaz hatványhalmazának 2^A = 2ⁿ

számú eleme van, ahol A az A halmaz elemeinek számát jelöli. Másképpen szólva az n elemű halmaznak 2ⁿ számú részhalmaza van.

Bizonyítás

A tételt teljes indukcióval bizonyítjuk.

1. Lépés: megmutatjuk, hogy az állítás teljesül egy konkrét természetes számre, pl. n= 0-ra, vagy n= 1-re.

Esetünkben ez igen könnyen megy. Az n= 0 eset az üres halmazt jelenti, s annak egyetlen

részhalmaza van, önmaga. Az n= 1 eset is könnyen belátható. Az egy elemű halmaznak pontosan két részhalmaza van, azüres halmaz, s önmaga.

2. Lépés (indukciós feltétel): Teltételezzük, hogy a bizonyítandó állítás valamely n=k természetes számra igaz, tehát minden n=k elemű halmaznak 2ⁿ= 2^k számú részhalmaza van.

3. Lépés: Az indukciós feltételt felhasználva megmutatjuk, hogy az állítás a rákövetkező természetes

(6)

(3.3) (3.3)

>

(3.2) (3.2)

>

(3.4) (3.4) (3.1) (3.1)

>

számra, n=kC1-re is teljesül, igaz volta öröklődik. Képezzük az A* halmazt úgy, hogy az A

halmazhoz egy további elemet adunk. Ekkor az A* halmaznak kC1 eleme lesz. Az A* részhalmazait képezhetjük az A részhalmazaiból. Minden részhalmazból kettőt készíthetünk, aszerint, hogy az új elemet hozzátesszük-e vagy sem. Könnyen látható, hogy ezzel az eljárással A* valamennyi

részhalmazát előállítjuk, és mindegyiket csak egyszer. Így A*-nak kétszer annyi részhalmaza van, mint A-nak, tehát A^* =kC1 és

2 Â^* = 2$2 Â = 2$2^k= 2^k^C¹= 2Â^*, amit bizonyítani kellett.

A hatványhalmaz meghatározására a combinat csomag powerset utasítását is használhatjuk:

A:={a,b,c};

A:= a,b,c H:=combinat[powerset](A);

H:= , a , b , c , a,b , a,c , b,c , a,b,c

1. 3. 4. Példa

Katinkának négy barátnője van: Ágota, Zsófi, Timi, Adri. Katinka sétálni megy. Adjuk meg a lehetséges sétáló társaságokat, ha egyedül is szívesen sétál!

Megoldás

Vegyük fel a B halmazt, amelyet a barátnők neveiből alkotunk meg B:={Katinka,Agota,Zsofi,Timi,Adri};

B:= Adri,Agota,Katinka,Timi,Zsofi A B hatványhalmaza H:

H:=combinat[powerset](B);

H:= , Adri , Agota , Katinka , Timi , Zsofi , Adri,Agota , Adri,Katinka , Adri,Timi , Adri,Zsofi , Agota,Katinka , Agota,Timi , Agota,Zsofi , Katinka, Timi , Katinka,Zsofi , Timi,Zsofi , Adri,Agota,Katinka , Adri,Agota,Timi ,

Adri,Agota,Zsofi , Adri,Katinka,Timi , Adri,Katinka,Zsofi , Adri,Timi,Zsofi , Agota,Katinka,Timi , Agota,Katinka,Zsofi , Agota,Timi,Zsofi , Katinka,Timi, Zsofi , Adri,Agota,Katinka,Timi , Adri,Agota,Katinka,Zsofi , Adri,Agota,Timi, Zsofi , Adri,Katinka,Timi,Zsofi , Agota,Katinka,Timi,Zsofi , Adri,Agota, Katinka,Timi,Zsofi

Most a H hatványhalmazból kiválasztjuk azokat a halmazokat, amelyeknek eleme Katinka. Előzőleg definiálunk egy üres listát (inicializálás, K:=NULL), s minden egyes elemet ezzez a listához fűzünk.

Ezt egy for ciklus-utasítással hajtjuk végre. A for h in H utasítás sorra veszi a H halmaz összes elemét. Az if feltételes utasítással élve azokat a részhalmzokat fűzzük az üres listához, amelyeknek Katinka eleme.

K:=NULL:

for h in H do

(7)

>

(3.6) (3.6)

>

(3.8) (3.8)

(3.9) (3.9)

>

(3.5) (3.5)

>

(3.10) (3.10) (3.7) (3.7)

>

if member(Katinka,h) then K:=K,h fi:

od:

KatinkaK; , Adri,Katinka , Agota,Katinka , Katinka,Timi , Katinka,Zsofi , Adri, Agota,Katinka , Adri,Katinka,Timi , Adri,Katinka,Zsofi , Agota,Katinka,Timi ,

Agota,Katinka,Zsofi , Katinka,Timi,Zsofi , Adri,Agota,Katinka,Timi , Adri, Agota,Katinka,Zsofi , Adri,Katinka,Timi,Zsofi , Agota,Katinka,Timi,Zsofi ,

Adri,Agota,Katinka,Timi,Zsofi A K halmaz elemeinek száma:

nops({K});

16

Tehát 16 különféle társasággal mehet Katinka sétálni, beszámítva azt az esetet is, amikor egyedül sétál. Ezt a számértéket vártuk, hiszen egy 5 elemű halmaznak 2⁵= 32 részhalmaza van, s ezek között megegyező számú olyan van amely egy előre kiválaszott elemet tartalmaz, s ugyanannyi amely ezt az elemet nem tartalmazza.

Most változtassuk meg a feltételt úgy, hogy Katinka egyedül nem szeret sétálni. Ekkor az if utasítás feltételét kell átalakítanunk, egy "és" (and) utasítást szerepeltetve.

K1:=NULL:

for h in H do

if member(Katinka,h)and nops(h)>1 then K1:=K1,h fi:

od:

Adri,K1;Katinka , Agota,Katinka , Katinka,Timi , Katinka,Zsofi , Adri,Agota,

Katinka , Adri,Katinka,Timi , Adri,Katinka,Zsofi , Agota,Katinka,Timi , Agota, Katinka,Zsofi , Katinka,Timi,Zsofi , Adri,Agota,Katinka,Timi , Adri,Agota, Katinka,Zsofi , Adri,Katinka,Timi,Zsofi , Agota,Katinka,Timi,Zsofi , Adri, Agota,Katinka,Timi,Zsofi

A K1 halmaz elemeinek száma:

nops({K1});

15

1. 3. 5. Példa

Határozzuk meg az A halmaz összes olyan részhalmazát,amely pontosan két prímszámot tartalmaz!

Megoldás

A:={1,2,4,5,6,7};

A:= 1, 2, 4, 5, 6, 7

Első lépésként a combinat csomag powerset utasításával előállítjuk az A hatványhalmazát:

H:=combinat[powerset](A);

H:= , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 , 1, 2 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 , 1, 7 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6 , 2, 7 , 4, 5 , 4, 6 , 4, 7 , 5, 6 , 5, 7 , 6, 7 , 1, 2, 4 , 1, 2, 5 , 1,

(8)

>

(3.11) (3.11)

>

2, 6 , 1, 2, 7 , 1, 4, 5 , 1, 4, 6 , 1, 4, 7 , 1, 5, 6 , 1, 5, 7 , 1, 6, 7 , 2, 4, 5 , 2, 4, 6 , 2, 4, 7 , 2, 5, 6 , 2, 5, 7 , 2, 6, 7 , 4, 5, 6 , 4, 5, 7 , 4, 6, 7 , 5, 6, 7 , 1, 2, 4, 5 , 1, 2, 4, 6 , 1, 2, 4, 7 , 1, 2, 5, 6 , 1, 2, 5, 7 , 1, 2, 6, 7 , 1, 4, 5, 6 , 1, 4, 5, 7 , 1, 4, 6, 7 , 1, 5, 6, 7 , 2, 4, 5, 6 , 2, 4, 5, 7 , 2, 4, 6, 7 , 2, 5, 6, 7 , 4, 5, 6, 7 , 1, 2, 4, 5, 6 , 1, 2, 4, 5, 7 , 1, 2, 4, 6, 7 , 1, 2, 5, 6, 7 , 1, 4, 5, 6, 7 , 2, 4, 5, 6, 7 , 1, 2, 4, 5, 6, 7

J:=NULL:#A sorozat inicializálása

A H elemeit megvizsgáljuk. Az isprime utasítás segítségével választjuk ki azokat a részhalmazokat, amelyek pontosan két prímszámot tartalmaznak.

for h in H do g:=h:s:=0:

for t in g do if isprime(t) then s:=s+1: fi:

od:

if s=2 then J:=J,g: fi:

od:

J;

2, 5 , 2, 7 , 5, 7 , 1, 2, 5 , 1, 2, 7 , 1, 5, 7 , 2, 4, 5 , 2, 4, 7 , 2, 5, 6 , 2, 6, 7 , 4, 5, 7 , 5, 6, 7 , 1, 2, 4, 5 , 1, 2, 4, 7 , 1, 2, 5, 6 , 1, 2, 6, 7 , 1, 4, 5, 7 , 1, 5, 6, 7 , 2, 4, 5, 6 , 2, 4, 6, 7 , 4, 5, 6, 7 , 1, 2, 4, 5, 6 , 1, 2, 4, 6, 7 , 1, 4, 5, 6, 7

Műveletek halmazokkal

Valamely alaphalmaz (U) hatványhalmazán értelmezzük a következő műveleteket.

Halmazok egyesítése (uniója)

Az A és a B halmazok AWB egyesítésén azt a halmazt értjük, amelynek minden eleme az A-nak vagy a B-nek eleme. Jelekkel:

AWB = {x2U| x2A vagy x2B}

A halmazműveleteket Venn-diagramokkal szemléltethetjük, ahol minden halmazt egy síktartomány ábrázol. Az egyesítés Venn-diagrammja az alábbi ábrán látható. Az ábra a két halmaz egy

lehetséges kapcsolatát mutatja. Az olvasó vázolja föl a többi lehetséges esetet!

(9)

>

(4.1) (4.1)

(4.4) (4.4)

>

(4.3) (4.3)

>

(4.2) (4.2) 1. 4. 2. Példa

Legyen a az A és a B halmaz:

A:={1,2,3,4,5,6};B:={3,4,5,7,8};

A:= 1, 2, 3, 4, 5, 6 B:= 3, 4, 5, 7, 8 Képezzük rendre a két halmaz unióját!

'A union B'=A union B;

A gB= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Műveleti tulajdonságok

AWA=A (idempotencia) AWB=BWA (kommutativitás) AW(BWC)=(AWB)WC (asszociativitás)

AW:=A AWU=U

Halmazok metszete

Az A és s B halmazok AXB metszetén azoknak az elemeknek a halmazát értjük, amelynek minden eleme az A-nak és a B-nek is eleme.

AXB = {x2U| x2A és x2B}

AXB sötétkéken árnyékolva

1. 4. 4. Példa

A:={1,2,3,4,5,6};B:={3,4,5,7,8};

A:= 1, 2, 3, 4, 5, 6 B:= 3, 4, 5, 7, 8 Képezzük rendre a két halmaz metszetét!

'A intersect B'=A intersect B;

A hB= 3, 4, 5 Műveleti tulajdonságok

(10)

AXA=A (idempotencia) AXB=BXA (kommutativitás) AX BXC = AXB XC (asszociativitás)

AX:=: AXU=A

Az egyesítést és a metszetképzést kétféle disztributivitási törvény kapcsolja össze:

AX BWC = AXB W AXC AW BXC = AWB X AWC

Az A és a B halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük, ha metszetük az üres halmaz, azaz AXB =:

Komplementer halmaz

Egy A halmaz A′ komplementerén az univerzum azon elemeinek halmazát értjük, amelyek nem elemei az A-nak.

A` = {x2U | x;A}

Műveleti tulajdonságok

A` `=A :`=U U`=: AWA` = U AXA` =:

A de Morgan-féle azonosságok

A de Morgan féle azonosságok az egyesítés, a metszetképzés és a komplementum-képzés kapcsolatát mutatják:

AWB `=A`XB`

AXB `=A`WB`

(11)

(4.5) (4.5)

>

(4.6) (4.6) A dualitás elve

A halmazalgebrában azonosságból azonosságot kapunk, ha az W és a X jeleket felcseréljük, továbbá az U és a : jeleket is felcseréljük. Láthatólag a két de Morgan azonosság is így származtatható egymásból.

Halmazok különbsége

Az A és a B halmazok AyB különbségén azt a halmazt értjük, amely az A-nak azon elemeiből áll, amelyek nem elemei a B-nek.

AyB = x x2A, x;B

1. 4. 8. Példa

A:={1,2,3,4,5,6};B:={3,4,5,7,8};

A:= 1, 2, 3, 4, 5, 6 B:= 3, 4, 5, 7, 8 Képezzük rendre a két halmaz különbségét!

'A minus B'=A minus B;

AyB= 1, 2, 6

A két halmaz különbsége kifejezhető a korábban bevezetett műveletekkel:

AyB = AXB`

Descartes-szorzat

Legyen a2A és b2B. Ekkor beszélhetünk az a és a b elemekből képezett rendezett párról, amit a következőképpen jelölünk:

a,b

A rendezett szó itt azt jelenti, hogy az elemek sorrendjét is figyelembe vesszük (ami a halmazok elemeinek felsorolásánál közömbös). Két rendezett pár akkor és csak akkor egyenlő, ha megfelelő sorszámú elemeik rendre egyenlők, azaz

a,b = a`,b` 5a=a` és b=b`

A rendezett pár fogalmának általánosításaként bevezethetjük a rendezett n-es fogalmát is. Az

(12)

a₁,a₂, . . . ,a_n = b₁,b₂, . . . ,b_n

egyenlőség a rendezett n-esekre akkor és csak akkor áll fenn, ha a megfelelő elemek egyenlők, azaz a_i=b_i i= 1, 2,...n

Az A és a B halmazok Descartes-szorzatán ( jele: A#B ) az összes a,b rendezett pár halmazát értjük, azaz

A#B= a,b a2A,b2B

Ha az A és a B is véges halmaz és az A elemeinek száma A ill. B, akkor az A#B Descartes szorzat elemeinek száma

A#B = A$ B 1. 5. 2. Példa

Képezzük az A = 1, 2, 6 és a B = 3, 4, 5 halmazok Descartes-szorzatát!

Megoldás

A Descartes-szorzat az A és a B halmaz elemeiből képezhető összes rendezett párok halmaza. Mivel Az A és a B halmaz is 3 elemű, az A#B elemeinek száma A#B = 3²= 9

A#B= 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 6, 3 , 6, 4 , 6, 5

A Descartes-szorzat megadható a táblázatos formában és ún. gráf segítségével is. (A gráfokkal később foglalkozunk részletesen.)

Maple-eljárás a Descartes-szorzat kiszámítására

(13)

>

(5.1.2) (5.1.2)

>

(5.1.1) (5.1.1)

>

(5.1.3) (5.1.3)

>

Készítsünk eljárást két halmaz Descartes szorzatának kiszámítására!

restart:

Vegyünk föl két halmazt, ezeknek a Descartes-szorzatát szeretnénk előállítani.

M1:={1,3,4,6,3,5};

M1:= 1, 3, 4, 5, 6 nops(M1);

5 M2:={A,B,C,D};

M2:= A,B,C, D A rendezett párok elkészítése

A rendezett párokat készítsük el úgy, hogy először vesszük azokat a párokat, amelyek az elsõ halmaz első elemét és a második halmaz egy elemét tartalmazzák , majd azokat amelyek az elsõ halmaz második elemét és a második halmaz egy elemét tartalmazzák stb.

Ezt két egymásba ágyazott ciklussal érjük el. Az elemeket így felírhatjuk for i to nops(M1) do

for j to nops(M2) do print([M1[i],M2[j]]):

od:

od;

1,A 1,B 1,C 1, D 3,A 3,B 3,C 3, D 4,A 4,B 4,C 4, D 5,A 5,B 5,C 5, D 6,A 6,B

(14)

>

(5.1.2.2) (5.1.2.2)

>

(5.1.1.1) (5.1.1.1)

(5.1.3.1) (5.1.3.1)

>

(5.1.2.1) (5.1.2.1)

>

6,C 6, D A rendezett párok halmazának előállítása

Az előző szakaszban megkaptuk a szóbanforgó párokat felsorolva. Nekünk azonban a párok halmazára van szükségünk

Ezt a következõképpen készíthetjük el:

1.Készítünk egy üres halmazt: H :=NULL alakban.

2.Az "," operátorral a sorozat elemeit egymás mögé fűzzük. Minden egyes lépés egy egy elem hozzáfűzését jelenti.

H:=NULL:

for i to nops(M1) do for j to nops(M2) do H:=H,[M1[i],M2[j]]:

od:

H;

1,A , 1,B , 1,C , 1, D , 3,A , 3,B , 3,C , 3, D , 4,A , 4,B , 4,C , 4, D , 5,A , 5,B , 5,C , 5, D , 6,A , 6,B , 6,C , 6, D

3. Most már nem kell mást tennünk, mint az elemek halmazát képeznünk:

H:={H};

H:= 1,A , 1,B , 1,C , 1, D , 3,A , 3,B , 3,C , 3, D , 4,A , 4,B , 4, C , 4, D , 5,A , 5,B , 5,C , 5, D , 6,A , 6,B , 6,C , 6, D

Eljárás a Descartes-szorzat kiszámítására

A Descartes eljárás tetszõleges két halmaz Descartes szorzatát képezi.

Az eljárásnak két formális paramétere van A és B, ezek halmaz típusúak. A H-t és a ciklusváltozókat lokális paraméterekként definiáljuk:

Descartes:=proc(A::set,B::set) local H,i,j:

H:=NULL:

for i to nops(A) do for j to nops(B) do H:=H,[A[i],B[j]]:

od:

H:={H}

end:

Képezzük az eljárással az M₁#M₂ Descartes-szorzatot, H1:=Descartes({a,b,c,d},{e,r,t});

H1:= a,e , a,r , a,t , b,e , b,r , b,t , c,e , c,r , c,t , d,e , d,r , d,t

(15)

>

(5.1.4.4) (5.1.4.4)

>

(5.1.4.3) (5.1.4.3)

>

(5.1.4.1) (5.1.4.1)

(5.1.4.2) (5.1.4.2) (5.1.3.2) (5.1.3.2)

>

majd az M₂#M₁ szorzatot:

H2:=Descartes(M2,M1);

H2:= A, 1 , A, 3 , A, 4 , A, 5 , A, 6 , B, 1 , B, 3 , B, 4 , B, 5 , B, 6 , C, 1 , C, 3 , C, 4 , C, 5 , C, 6 , D, 1 , D, 3 , D, 4 , D, 5 , D, 6 Látható, hogy a Descartes-szorzat nem kommutatív, azaz általában A#BsB#A

M3:=[1,2,3]:

Ha az eljárást nem megfelelő típusú, vagy nem létező argumentumokra hívjuk meg, akkor hibajelzést kapunk.

Descartes(M2,M3);

Error, invalid input: Descartes expects its 2nd argument, B, to be of type set, but received [1, 2, 3]

Az eljárás továbbfejlesztése

Átírhatjuk az eljárást úgy, hogy maga az eljárás írjon hibaüzenetet, ha nem megfelelő típusú, vagy nem létező argumentumokra hívjuk meg.

Descartes:=proc(A,B) local H,i,j:

if not(type(A,set)) or not(type(B,set)) then RETURN(`Halmazokat várunk`)

else H:=NULL:

for i to nops(A) do for j to nops(B) do H:=H,[(A[i],B[j])]:

od:

H:={H}

fi;

end:

M3:=[A,B,C];

M3:= A,B,C Descartes(M2,M3);

Halmazokat v runk F:={f1,f2,f3}:H:={h1,h2,h3,h4};

H:= h1,h2,h3,h4 Descartes(F,H);

f1,h1 , f1,h2 , f1,h3 , f1,h4 , f2,h1 , f2,h2 , f2,h3 , f2,h4 , f3, h1 , f3,h2 , f3,h3 , f3,h4

A Descartes-szorzat fogalmát kettőnél több halmazra is kiterjeszthetjük:

A₁#A₂#A₃#...#A_n

(16)

>

(6.2) (6.2) (6.1) (6.1)

>

az A₁, A₂,..., A_n halmazok elemeiből képzett

a₁, a₂, . . . , an , a_i2A_i, i= 1, 1, . . .,n rendezett n-esek halmaza.

A Descartes-szorzat definíciójában szereplő halmazok nem szükségképpen különbözőek. Az A#A szorzat jelölésére az

A², az n-tényezős A#A#A#...#A szorzat jelölésére az

Aⁿ

szimbólumot használjuk. Beszélhetünk tehát a halmaz hatványáról. (Ez nem tévesztendő össze a hatványhalmazzal!).

1. 5. 3. Példa

A sík összes pontjainak halmazát az összes x,y x2=, y2= rendezett párral adhatjuk meg, s ez =².

Hasonlóan, a valós számokból képzett számhármasok halmaza a tér pontjainak halmazával egyezik meg:

=3= x,y,z x2=, y2=, z2= .

A mátrix fogalma

A mátix fogalmát egy gyakorlati példa segítségével vezetjük be.

Egy gyár kétféle terméket állít elő három (A, B, C ) alapanyag felhasználásával. A termékek egységnyi mennyiségének előállításához szükséges alapanyag mennyiségeket az.un. technológiai együtthatókat a következő táblázat tartalmazza:

Termék I II Alapanyag

A 3 1 B 2 0 C 1 2

Ha ebből az ún. technológiai együtthatókat tartalmazó táblázatból csak a számokat tartjuk meg eredeti elrendezésükben és szögletes zárójelbe tesszük ún. mátrixot kapunk.

with(linalg):

T:=matrix(3,2,[3,1,2,0,1,2]);

T:=

3 1 2 0 1 2

Bizonyos elemeknek téglalap alakú elrendezését mátrixnak nevezzük.

Ha egy mátrixnak m sora és n oszlopa van akkor m-szer n-es mátrixnak nevezzük.

Pl.: Legyen az A mátrixnak 3 sora és négy oszlopa. Ekkor:

a:=matrix(3,4);A:=evalm(a);

a:=array 1 ..3, 1 ..4,

(17)

(6.2) (6.2) A:=

a_{1, 1} a_{1, 2} a_{1, 3} a_{1, 4} a_{2, 1} a_{2, 2} a_{2, 3} a_{2, 4} a_{3, 1} a_{3, 2} a_{3, 3} a_{3, 4} Az A mátrix egy 3-szor 4-es mátrix.

A mátrix elemeit általánosan kettős indexszel ellátott kisbetűvel jelöljük. Az első index azt mutatja, hogy hányadik sor, a második pedig azt, hogy hányadik oszlop eleméről van szó.

A mátrix elemei lehetnek: valós számok, komplex számok, vektorok, mátrixok, függvények.

A továbbiakban valós szám elemű mátrixokkal foglalkozunk.

Relációk

A reláció fogalma

Eddig az egyes halmazok elemeit egymástól függetlenül vizsgáltuk, és figyelmünket az egyes halmazok közötti kapcsolatokra összpontosítottuk. Most azt vizsgáljuk, milyen kapcsolatban (relációban) vannak ill. lehetnek egymással ugyanannak a halmaznak vagy különböző halmazoknak az elemei. A kapcsolatok leírására szolgáló matematikai fogalom a reláció. A reláció szót a mindennapi életben is használjuk. Most pontos matematikai megfogalmazását igyekszünk megadni.Ehhez a Descartes-szorzat imént bevetetett fogalmára van szükségünk.

Tekintsünk mindenekelőtt néhány példát!

Előkészítő példák 1.7.1. Példa

Legyen M Magyarország lakosainak halmaza és tekintsük a rokoni kapcsolatokat. Ezt a kapcsolatot az M#M Descartes-szorzat egy részhalmazával adhatjuk meg, amely az egymással rokonságban álló emberpárok halmazából áll.

1.7.2. Példa

Az "apja" relációt az M#F-nek (F a magyarországi férfiak halmaza) azok az x,y alakú párjai alkotják, amelyben "x-nek apja y".

1.7.3. Példa

Egy üzemben levő anyagok A és termékek T halmazát tekintve az A#T halmaznak azon a,t párokból álló halmaza, amelyben az " a anyag szükséges t előállításához" egy technológiai relációt ad meg.

1.7.4. Példa

;-ben az oszthatósági kapcsolatot azon a,b alakú számpárok halmazával jellemezhetjük, amelyekben a osztója b-nek. Ez a halmaz az ;#;-nek részhalmaza.

1.7.5. Példa

Az = halmazon az egyenlőség relációját az =#= x,x alakú párokból álló részhalmazával jellemezhetjük.

1.7.6. Példa

A valós számok = halmazán értelmezett y=x² függvény olyan kapcsolatot teremt = elemei között, amelyet =#=-nek az x,x² alakú párokból álló részhalmazavjellemez. A függvény ezzel a relációval is megadható

(18)

Megfigyelhetjük, hogy minden relációt két halmaz Descartes-szorzatának egy részhalmaza ír le (ad meg, jellemez) Ez indokolja a következő definíciót.

1.7.7. Definíció

Tekintsük az A, B halmazok A×B Descartes-szorzatának egy részhalmazát. Ez részhalmaz egy R relációt értelmez az A és a B halmaz elemei között.

Akkor és csak akkor mondjuk, hogy az a elem (a2A) R relációban van a b-vel (b2B), ha a,b 2R.

Látjuk, hogy a relációt és az azt meghatározó részhalmazt ugyanazzal a betűvel jelöltük. Ez nem okoz félreértést. Azt a tényt, hogy az a R relációban van a b-vel a következőképpen jelöljük:

aRb vagy a,b 2R

Az itt értelmezett relációt bináris relációnak mondjuk. Ezt az elnevezést az indokolja, hogy kéttényezős Descartes-szorzat részhalmaza.

Hasonlóképpen definiálhatjuk az n-áris relációt:

1.7.8. Definíció

Az n-tényezős A₁#A₂#...A_n szorzathalmaz valamely R_n részhalmazát n- áris relációnak nevezzük.

Ha a reláció definíciójában szereplő Descartes-szorzat tényezői egyenlőek (vagyis egy halmaz hatványáról van szó), akkor a relációt homogénnek mondjuk, egyébként pedig inhomogénnek.

Speciálisan, ha a bináris relációnál A=B ,akkor homogén binér relációról beszélünk. Másképp ezt a relációt az A halmazon értelmezett relációnak is mondják.

Tehát az A#A Descartes-szorzat részhalmazát homogén binér relációnak, vagy másképp az A halmazon értelmezett relációnak mondjuk.

Példák 1.7.9. Példa

Legyen A= 1, 2, 3, , B= 1, 2, 4 . Legyen a,b 2R52$a%b, ahol a2A, b2B.

Adjuk meg az R relációt!

Megoldás

Könnyen végigszámolható, hogy a következő párok alkotják az R relációt:

R= 1, 2 , 1, 4 , 2, 4 . 1.7.10. Példa

Az A és a B halmaz elemeiből képezett (a,b) párok akkor és csak akkor legyenek elemei a binér relációnak, ha a²Cb² egész szám, másképpen szólva az a²Cb² kifejezés

(19)

>

(7.1.2.1) (7.1.2.1)

>

(7.1.2.2) (7.1.2.2)

>

négyzetszám. Adjuk meg a relációt alkotó párokat, ha

A= a2; 100%a%300 , B= b2; 400%a%600 . Megoldás

Most körülmenyes lenne manuálisan végigpróbálni az összes számpárt, hiszen több, mint 40 000 számpárt kell megvizsgálnunk. Ezt a számítógép hasonlíthatatlanul gyorsabban el tudja végezni. Ehhez eljárást kell írnunk! Az eljárás két egymásba ágyazott ciklussal vizsgálja meg az összes a,b számpárt. A type utasítást használjuk annak eldöntésére, hogy az a²Cb² kifejezés négyzetszám-e. Azt vizsgáljuk, hogy a²Cb²típusa egész-e. Az A és a B un.

formális paraméterek, amelyeknek itt a típusát is deklaráltuk, halmaz típusúnak kell lenniük.

Már korábban megismerkedtünk a H:=NULL utasítás jelentésével: a sorozatot inicializálja, Ez kezdetben üres, s a ciklusutasítás minden egyes lépésénél hozzáíródik egy-egy elem a

sorozathoz.

relacio:=proc(A::set,B::set) local H,i,j:

else

H:=NULL:

for i to nops(A) do for j to nops(B) do

if type(sqrt(A[i]^2+B[j]^2),integer) then H:=H,[(A[i],B [j])] fi:

od:

fi:

H end:

Adjuk meg az A és a B halmazt. Ez nehézkes lenne az elemek felsorolásával. Ehelyett a seq utasítást alkalmazzuk, amely sorozat megadására alkalmas. Például az első 10 pozitív egész megadása:

seq(1,i=1..10);

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 A szóbanforgó halmazok tehát:

A:={seq(i,i=100..400)}:B:={seq(i,i=400..600)}:

Ezután hívjuk meg az imént írt eljárást, amely megadja a relációt alkotó párokat!

relacio(A,B);

100, 495 , 108, 480 , 110, 600 , 112, 441 , 117, 520 , 119, 408 , 120, 442 , 120, 594 , 126, 432 , 126, 560 , 128, 504 , 132, 475 , 133, 456 , 135, 600 , 136, 570 , 138, 520 , 140, 480 , 144, 420 , 144, 567 , 145, 408 , 147, 504 , 153, 420 , 154, 528 , 155, 468 , 156, 455 , 156, 495 , 161, 552 , 165, 532 , 168, 425 , 168, 490 , 168, 576 , 170, 408 , 171, 528 ,

(20)

175, 420 , 175, 600 , 176, 468 , 180, 432 , 180, 525 , 184, 513 , 185, 444 , 190, 456 , 192, 494 , 192, 560 , 195, 400 , 195, 468 , 200, 480 , 204, 560 , 204, 595 , 205, 492 , 210, 416 , 210, 504 , 215, 516 , 216, 405 , 216, 462 , 217, 456 , 220, 459 , 220, 528 , 220, 585 , 224, 420 , 225, 540 , 230, 504 , 230, 552 , 231, 520 , 232, 435 , 234, 480 , 235, 564 , 240, 418 , 240, 450 , 240, 551 , 240, 576 , 245, 588 , 248, 465 , 250, 600 , 252, 405 , 252, 539 , 252, 561 , 256, 480 , 264, 448 , 264, 495 , 272, 510 , 272, 546 , 273, 560 , 276, 493 , 279, 440 , 280, 450 , 280, 525 , 285, 504 , 288, 540 , 296, 555 , 297, 504 , 300, 400 , 300, 455 , 300, 589 , 303, 404 , 304, 570 , 306, 408 , 308, 435 , 308, 495 , 309, 412 , 312, 416 , 312, 459 , 312, 585 , 315, 420 , 315, 572 , 318, 424 , 320, 462 , 320, 600 , 321, 428 , 322, 480 , 324, 432 , 327, 436 , 330, 440 , 330, 560 , 333, 444 , 336, 448 , 336, 527 , 336, 540 , 339, 452 , 340, 528 , 341, 420 , 342, 456 , 345, 460 , 348, 464 , 350, 576 , 351, 468 , 352, 420 , 354, 472 , 357, 476 , 360, 480 , 360, 546 , 360, 598 , 363, 484 , 364, 585 , 366, 488 , 368, 465 , 369, 492 , 372, 496 , 375, 500 , 378, 504 , 381, 508 , 384, 440 , 384, 512 , 385, 552 , 387, 516 , 390, 432 , 390, 520 , 393, 524 , 396, 403 , 396, 528 , 399, 468 ,

399, 532 , 400, 420 , 400, 561

Relációk reprezentációja mátrixokkal

Véges halmazok közötti relációk megadhatók, reprezentálhatók nulla-egy mátrixokkal, azaz olyan mátrixokkal, amelynek valamennyi eleme 1 vagy 0 értékű.

Legyen R az A= a₁, a₂, . . . , a_m és a B= b₁,b₂, . . . ,bn halmazok között értelmezett reláció, azaz R4A#B. Ekkor az R reláció reprezentálható az M

r= m_ij mátrix-szal, ahol

m_ij=

1, ha a_i,b_j 2R 0, ha a_i,b_j ;R

Tehát az R relációt reprezentáló Nulla-egy mátrix i,j eleme 1-gyel egyenlő, ha a_i relációban áll a b_j-vel, s 0-val egynlő, ha a_i nem áll relációban b_j-vel.

1.7.11. Példa

Legyen A= 1, 2, 3 és B= 1, 2 . Legyen az R reláció a következő: R= a,b aOb,

a2A,b2B . Adjuk meg az R relációt reprezentáló mátrixot, ha a₁= 1, a₂= 2, a₃= 3 és b₁= 1, b₂= 2.

Megoldás

Mivel R= 2, 1 , 3, 1 , 3, 2 , az R relációt reprezentáló mátrix

(21)

>

(7.2.1.1) (7.2.1.1)

>

(7.2.1.2) (7.2.1.2)

>

M_r= 0 0 1 0 1 1

Az 1-esek az M_r mátrixban mutatják, hogy a 2, 1 , 3, 1 és a 3, 2 pár eleme az R relációnak, a 0-k pedig, hogy a többi pár nem eleme.

Homogén binér reláció mátrix-reprezentációja

Tekintsük az R4A#A homogén binér relációt, s legyen A véges halmaz.

1.7.12. Probléma

Készítsünk eljárást, amely előállítja az R relációt reprezentáló M mátrixot!

Az algoritmus pszeudokódja

1. Az R és az A (a reláció domain-je) megadása (input)

2. Az A#A minden i,j párját megvizsgáljuk, hogy eleme-e az R relációnal

3. Ha i,j 2R, akkor az M mátrix i-edik sora j-edik elemének 1-et, egyébként 0-át adunk értékül.

4. Az eljárás az M mátrixot adja eredményül (Return)

Hozzuk létre a reláció típusát! Először definiáljuk a rendezett pár típusát:

`type/pair`:=[anything,anything];

type/pair:= anything,anything A binér reláció rendezett párok halmaza

`type/rel`:=set(pair);

type/rel:=set pair DomRel:=proc(R::rel)

RETURN(map(u->op(1,u),R)

union map(u->op(2,u),R));

end:

Az algoritmus Maple-kódja

KonstMatrix:=proc(R::set,A::set) local i,j,L:

L:=[]:

for i to nops(A) do for j to nops(A) do

if member([i,j],R) then

L:=[op(L),1] else L:=[op(L),0]

fi:

od:

evalm(matrix(nops(A),nops(A),L)) end:

(22)

>

(7.3.1) (7.3.1)

>

(7.3.2) (7.3.2)

>

(7.2.1.3) (7.2.1.3)

>

(7.2.1.4) (7.2.1.4)

>

R1:={[1,1],[1,2],[2,1],[2,2],[3,4],[4,1],[4,4]};

R1:= 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 4 , 4, 1 , 4, 4 KonstMatrix(R1,DomRel(R1));

1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1

Bináris reláció inverze

1.7.13. Definíció

Az R4A#B reláció inverzének nevezzük azt az R^K¹4B#A relációt, amelyre

b,a 2R^K¹5 a,b 2R 1.7.14. Példa

Legyen A= 2, 3, 5 és B= 4, 6, 7, 20 és aRB5a b (a osztója b-nak) , a2A,b2B Készítsünk a relációt megvalósító eljárást!

relacio:=proc(A::set,B::set) local H,i,j:

else H:=NULL:

if type(B[j]/A[i],integer) then H:=H,[(A[i],B[j])] fi:

od:

od:fi:

{H}

end:

A:={2,3,5};B:={4,6,7,20};

A:= 2, 3, 5 B:= 4, 6, 7, 20 relacio(A,B);

2, 4 , 2, 6 , 2, 20 , 3, 6 , 5, 20

A reláció inverze a B#A azon b,a rendezett párjaiból áll, amelyekre b többszöröse a-nak.

relacio_inv:=proc(A::set,B::set) local H,i,j:

if not(type(A,set)) or not(type(B,set))

(23)

>

(7.3.3) (7.3.3)

>

> then RETURN(`Halmazokat várunk`) else

H:=NULL:

if type(B[j]/A[i],integer) then H:=H,[(B[j],A[i])] fi:

od:

od:fi:

{H}

end:

relacio_inv(A,B);

4, 2 , 6, 2 , 6, 3 , 20, 2 , 20, 5

Bináris relációk kompozíciója (összetétele)

1.7.15. Definíció

Az S4A#B és az R4B#C relációk S+R kompozícióján az A#C azon a, c elemekből álló részhalmazát értjük, amelyekhez található B-nek olyan b eleme, hogy a, b 2S és b, c 2R teljesül.

1.7.16. Példa

Legyen A=B=C =M a magyarországi lakosok halmaza.

a,b 2S5a-nak apja b

b,c 2R5 b-nek anyja c.

Ekkor a,c 2S+R5a-nak apai nagyanyja c.

Homogén bináris relációk tulajdonságai, ekvivalencia reláció

1.8.1. Definíció

Az R4A#A reláció reflexiv, ha az A minden a elemére aRa, azaz a,a 2R teljesül.

1.8.2. Definíció

Az R4A#A reláció szimmetrikus, ha valahányszor a,b 2R , mindahányszor b,a 2R

1.8.3. Definíció

Az R4A#A reláció antiszimmetrikus, ha a,b 2R és b,a 2R egyszerre csak akkor teljesül, ha a=b.

1.8.4. Definíció

Az R4A#A reláció tranzitív, ha a,b 2R és b,c 2R esetén a,c 2R, másképpen jelölve, ha aRb és bRc, akkor aRc.

1.8.5. Definíció

Az R4A#A homogén bináris relációt ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha reflexiv, szimmetrikus

(24)

>

és tranzitív.

1.8.6. Példa

Legyen R az egészek (Z) felett értelmezett reláció, és a,b 2R5a=bna=Kb. Ez a reláció, reflexív és szimmetrikus, mivel az egyenlőség nyílván ilyen tulajdonságú, és könnyen látható, hogy tranzitív is.

1.8.7. Definíció

Az a és a b egész számokat az ms0 rögzített egész számra nézve kongruensnek nevezzük, ha az a és a b m-mel való osztásnál azonos maradékot adnak.

Az m számot modulusnak nevezzük, és azt, hogy a kongruenciát a rögzített m modulusra nézve értjük, röviden úgy fejezzük ki, hogy "a kongruens b-vel modulo m."

A kongruenciareláció jelölése

ahb mod m

Könnyen látható, hogy a kongruenciareláció definícióját a következőképp is megadhatjuk.

1.8.9. Definíció

ahb mod m , ha m aKb 1.8.10. Tétel

Legyen m pozitív egész és mO1. Mutassuk meg, hogy az R= a,b ahb mod m kongruenciareláció ekvivalenciareláció az egészek halmazán.

Bizonyítás

Mivel aKa= 0, és a 0 bármely egész számmal osztható, a reláció reflexív.

Tegyük föl, hogy ahb mod m . Ez azt jelenti, hogy van olyan k egész szám, amelyre aKb=k$m. Ebből következik, hogy bKa= Kk $m, tehát bha mod m , vagyis a reláció szimmetrikus.

Tegyük most föl, hogy ahb mod m és bhc mod m teljesül. De ekkor az m osztója az aKb- nek és a bKc-nek, azaz létezik olyan egész k és egész l szám, amelyekre aKb=k$m és

bKc=l$m teljesül. Összeadva a kér egyenletet adódik

aKc= aKb C bKc =k$mCl$m= kCl $m, tehát ahc mod m . Ez azt jelenti, hogy a reláció tranzitív. Ezzel beláttuk, hogy a

kongruenciareláció rendelkezik az ekvivalenciareláció mindhárom tulajdonságával, tehát a kongruenciareláció ekvivalenciareláció.

A tulajdonságok vizsgálata Maple-eljárásokkal

Eljárások

Az alábbi eljárások mátrixszal adott relációk esetén megvizsgálják, hogy rendelkezik-e a reláció a kérdéses tulajdonsággal.

reflexiv:=proc(M::matrix) local i,is_reflex:

is_reflex:=true;

for i to linalg[coldim](M) do if M[i,i]=0 then

(25)

>

is_reflex:=false;

fi:

od;

is_reflex end:

szimmetrikus:=proc(M::matrix)

local i,j: # a mátrix sor- és oszlopindexe if linalg[rowdim](M)<>linalg[coldim](M) then # négyzetes mátrixot várunk

RETURN(false) fi:

for i to linalg[rowdim](M) do for j to i-1 do

if M[i,j]<>M[j,i] then RETURN(false)

fi:

od od:

RETURN(true) end:

antiszimmetrikus:=proc(M::matrix)

local i,j: # a mátrix sor- és oszlopindexe if linalg[rowdim](M)<>linalg[coldim](M) then # négyzetes mátrixot várunk

RETURN(false) fi:

for i to linalg[rowdim](M) do for j to i-1 do

if M[i,j]=1 and M[i,j]=M[j,i] then RETURN(false)

fi:

od od:

RETURN(true) end:

tranzitiv:=proc(M::matrix) local i,j,k:

for i to linalg[coldim](M) do for j to linalg[coldim](M) do for k to linalg[coldim](M) do if M[i,j]=1 and M[j,k]=1

(26)

>

(8.1.5) (8.1.5)

>

(8.1.4) (8.1.4)

>

(8.1.6) (8.1.6) (8.1.2) (8.1.2)

>

(8.1.7) (8.1.7)

>

(8.1.3) (8.1.3)

(8.1.8) (8.1.8)

>

(8.1.1) (8.1.1) and M[i,k]=0 then

RETURN(false);

fi:

od od od;

RETURN(true) end:

1.8.11. Példa

Tekintsük az alábbi relációt:

R1:={[1,1],[1,2],[1,4],[2,1],[2,2],[3,3],[4,1],[4,4]};

R1:= 1, 1 , 1, 2 , 1, 4 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 1 , 4, 4 1. Adjuk meg a reláció mátrixát!

2. Döntsük el, hogy ekvivalenciareláció-e a szóbanforgó reláció!

M:=KonstMatrix(R1,DomRel(R1));

M:=

1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

Meg kell vizsgálnunk, hogy a reláció reflexív, szimmetrikus és tranzítív-e?

reflexiv(M);

true szimmetrikus(M);

true tranzitiv(M);

false

A reláció nem tranzitív (a [2,1] és az [1,4] pár ememe a relációnak, de a [2,4] pár nem eleme), tehát nem ekvivalenciareláció.

Ekv_rel:=reflexiv and szimmetrikus and tranzitiv;

Ekv_rel:=reflexivand szimmetrikus and tranzitiv Ekv_rel(M);

false graf(M);

graf M

1.8.12. Feladat

Egészítsük ki a relációt rendezett párokkal úgy, hogy ekvivalencia-reláció legyen!

Ekvivalenciaosztályok

(27)

(9.2) (9.2)

>

(9.1) (9.1)

>

Az előző szekcióban megmutattuk, hogy a kongruenciareláció ekvivalenciareláció. Az egész számok adott m modulus esetén m különféle maradékot adhatnak. Ha pl. m=5, akkor a lehetséges maradékok:

0, 1, 2, 3, 4. Két egész szám pontosan akkor ad 5-tel osztva azonos maradékot, ha kongruensek egymással modulo 5. A kongruenciareláció figyelembe vételével tehát az egészeket un. osztályokba sorolhatjuk. Ezek az osztályok az un. maradékosztályok. Minden egész beletartozik pontosan egy osztályba.

1.9.1. Definíció

Ha egy halmazt páronként diszjunkt, nem üres részhalmazainak egyesítéseként állítunk elő, akkor azt mondjuk, hogy osztályokra bontottuk. A felbontás osztályai a felbontásban szereplő részhalmazok.

Tehát egy H halmaz H_i részhalmazai akkor és csak akkor adják a H osztályfelbontását, ha H=

W

_i^Hi, H_iXH_j=: isj ,H_is:

Az

W

_i^Hi jelölés azt jelenti, hogy az összegzést az összes H_i halmazra kiterjesztjük.

Vizsgáljuk ezt egy példa segítségével!

Generáljunk véletlenszerűen számokat, és soroljuk be őket a maradékosztályokba. Ezek, például 5-tel osztva, a [0] osztály, amelybe az 5-tel osztható, tehát 5$k alakú számok tartoznak, az [1] osztály, amelyet az 5-tel osztva 1 maradékot adó, azaz 5$kC1 alakú számok alkotnak, és így tovább a [2], [3], [4] osztályt rendre az 5-tel osztva 2, 3, 4 maradékot adó, tehát rendre

5$kC2, 5$kC3, 5$kC4 alakú számok alkotnak.

A számokat a rand eljárással generálhatjuk.

roll := rand(-1000..1000):

roll();

K140

A seq utasítással számok sorozatát hozzuk létre, majd ezekből halmazt képzünk. Így minden előforduló elemet csak egyszer veszünk számításba. Az op utasítással a halmaz elemeinek

sorozatához jutunk, majd ezekből listát képezünk. A szamok nevű lista lesz az osztalyok eljárás első paramétere.

szamok:=[op({seq(roll(),i=1..100)})];

szamok:= K995,K993,K984,K950,K901,K871,K858,K854,K846,K829,K804,K799,

(28)

(9.3) (9.3)

>

K762,K701,K693,K689,K655,K639,K622,K608,K592,K550,K547,K543,K524, K519,K480,K418,K417,K399,K376,K358,K257,K250,K239,K238,K229,K221, K220,K184,K161,K132,K104,K61,K46, 42, 48, 62, 73, 100, 113, 185, 194, 197, 198, 200, 203, 210, 254, 279, 289, 297, 306, 320, 324, 364, 375, 380, 384, 390, 395, 419, 421, 470, 497, 532, 573, 588, 608, 618, 627, 628, 645, 651, 679, 706, 727, 730, 741, 764, 774, 782, 788, 809, 851, 868, 881, 913, 959

nops(szamok);

99

Az osztalyok eljárás első paramétere a számok listája, a második a modulus. Az eljárás besorolja a számokat a maradékosztályokba, megvizsgálja, hogy diszjunktak-e ezek az osztályok, és azt, hogy minden szám eleme-e valamely osztálynak. Ha metszet üres és az osztályelemszám értéke

megegyezik a számok értékével, akkor a számok mindegyikét besoroltuk egy és csakegy osztályba.

osztalyok:=proc(szamok::list,m::integer)

local i,j, szamok_mod_m,parok,metszet,elemszam,L,szam:

szamok_mod_m:=map(z->z mod m, szamok);

parok:=zip((x,y)->[x,y],szamok,szamok_mod_m);

for i from 0 to m-1 do L[i]:={} od:

for i to nops(parok) do

L[parok[i,2]]:=L[parok[i,2]] union {parok[i,1]}

od:

for i from 0 to m-1 do print(i=L[i])

od;

for i from 0 to m-1 do szam[i]:=nops(L[i]) od:

i:='i':

elemszam:=sum(szam[i],i=0..m-1):

metszet:={}:

for i from 0 to m-1 do for j from i+1 to m-1 do

metszet:=metszet union (L[i] intersect L[j]) od

od:

print('metszet'=metszet):

print('osztályelemszám'=elemszam,'számok'=nops(szamok)):

end:

osztalyok(szamok,6);

0 = K984,K858,K846,K804,K762,K480,K132, 42, 48, 198, 210, 306, 324, 384, 390, 588, 618, 774

1 = K995,K701,K689,K257,K239,K221,K161, 73, 289, 421, 679, 727, 913

(29)

>

(9.4) (9.4) 2 = K622,K592,K550,K418,K376,K358,K250,K238,K220,K184,K46, 62, 194, 200,

254, 320, 380, 470, 608, 764, 782, 788

3 = K993,K693,K639,K543,K519,K417,K399, 279, 297, 375, 573, 627, 645, 651, 741 4 = K950,K854,K608,K524,K104, 100, 364, 532, 628, 706, 730, 868

5 = K901,K871,K829,K799,K655,K547,K229,K61, 113, 185, 197, 203, 395, 419, 497, 809, 851, 881, 959

metszet=

oszt lyelemsz = 99,sz mok= 99

A példa azt mutatja, hogy a kongruenciareláció nyomán a szóbanforgó egészeket páronként diszjunkt osztályokba sorolhatjuk, s ezeknek az osztályoknak az egyesítése maga a kiindulási halmaz. Ez általában is így van, sőt az is igaz, hogy minden osztályfelbontáshoz rendelhető egy

ekvivalenciareláció. Az osztályfelbontás és az ekvivalenciareláció kapcsolatát mutatja az alábbi tétel.

1.9.2. Tétel

Egy H halmazban értelmezett bármely ekvivalenciareláció meghatározza a H egy osztályfelbontását.

Megfordítva, a H minden osztályfelbontása egy ekvivalenciarelációt indukál a H-ban.

Rendezési reláció

1.10.1. Definíció

Az R4A#A homogén binér relációt parciális rendezési relációnak nevezzük, ha reflexiv, antiszimmetrikus és tranzitív.

Az A halmazt, ha azon az R parciális rendezési relációt értelmezzük parciálisan rendezett halmaznak mondjuk és az A,R párral jelöljük.

1.10.2. Példa

Mutassuk meg, hogy a "nagyobb vagy egyenlő" reláció ( R) parciális rendezés az egészek ( Z ) halmazán!

Megoldás

Mivel minden a-ra aRa, a Rreláció reflexiv. Ha aRb, és bRa, akkor a=b, tehát a R reláció antiszimmetrikus. Végül, ha aRb, és bRc, akkor aRc teljesül, tehát a R reláció tranzitív. Ebből következőleg a R reláció parciális rendezés az egészek halmazán, tehát Z,R parciálisan rendezett halmaz.

1.10.3. Példa

Mutassuk meg, hogy az oszthatósági reláció (jele: ) rendezési reláció a pozitív egészek halmazán!

Megoldás

Minden a2Z^Cesetén aa, tehát a reláció reflexív. Ha a b és b a, akkor valamely egész c-re és d-re b=a$c és a=b$d, ahonnan a=a$c$d, és ebből c$d= 1 (aO0 ebből pedig c=d= 1, hiszen mindketten pozitív egészek. Innen a=b, tehát a reláció antiszimmetrikus. Végül megmutatjuk, hogy a reláció tranzitív. Tegyük fel, hogy a b és b c, tehát az a szám osztója a b számnak, a b szám pedig osztója a c számnak. Ekkor van olyan k és l egész szám, amelyekre b=a$k és c=l$b. Innen

c=a$k$l, tehát az a szám osztója a c számnak . Ebből következik, hogy a reláció tranzitív. Ezzel

(30)

beláttuk, hogy az oszthatósági reláció rendezési reláció a pozitív egészek halmazán.

Rendezett halmazok

Mint azt az előző szakaszban meghatároztuk, parciálisan rendezett halmaznak nevezünk egy H,R párt, ahol a H egy halmaz, az R pedig a H-n értelmezett rendezési reláció. (R4H#H)

A parciálisan rendezett halmazban vezessük be az a7b jelölést, annak kifejezésére, hogy a,b 2R. Magát a rendezési relációt is az R helyett az 7 szimbólummal fogjuk jelölni, a parciálisan rendezett halmazt pedig a H,7 párral. A 7jelölést azért használjuk, mert a "kisebb vagy egyenlő" reláció paradigmatikus esete a parciális rendezési relációnak. Az a3b azt jelöli, hogy a7b, de asb

Ha az a és a b a H, 7 parciálisan rendezett halmaz elemei, akkor nem szükségszerű, hogy a7b, vagy b7a valamelyike teljesüljön. Például a P Z ,4 (Itt P Z az egész számok

hatványhalmazát jelöli, tehát azt a halmazt, amelynek elemei az egész számok részhalmazai) parciálisan rendezett halmazban az 1, 2 és az 1, 3 nem áll relációban egymással és fordítva az

1, 3 sem áll relációban az 1, 2 -vel , másképpen szólva nem hasonlíthatók össze, ugyanis a két halmaz egyike sem része, részhalmaza a másiknak. Hasonlóan a Z, -ben a 2 nem áll relációban a 3 -mal és a 3 sem áll relációban a 2-vel, mert egyik sem osztója a másiknak. Ezek a példák vezetnek a következő definícióhoz.

1.11.1. Definíció

A parciálisan rendezett H,7 halmaz a és b elemét összehasonlíthatóknak mondjuk, ha vagy a7b, vagy b7a teljesül. Ha az a és b a H olyan elemei, amelyekre sem a7b, sem b7a, nem teljesük, akkor az a-t és a b-t összehasonlíthatatlan elemeknek mondjuk.

1.11.2. Definíció

Ha a H, 7 rendezési reláció olyan, hogy a H bármely két eleme összehasonlítható, akkor a H halmazt teljesen rendezett, vagy másképp lineárisan rendezett halmaznak mondjuk, az 7 relációt pedig teljes- vagy lineáris rendezésnek nevezzük. A teljesen rendezett halmazt láncnak is mondják.

1.11.3. Példa

A Z,% parciálisan rendezett halmaz teljesen rendezett, mivel tetszőleges a és b egészekre a%b, vagy b%a teljesül.

1.11.4. Példa

A Z^C, parciálisan rendezett halmaz nem teljesen rendezett halmaz, mert tartalmaz nem összehasonlítható elemeket. Ilyen elemek pl. az 5 és a 7.

1.11.5. Definíció

A H,7 parciálisan rendezett halmaz valamely m elemét minimális elemnek nevezük, ha nincs H- nak olyan x eleme (xsm), amelyre x3m.

1.11.6. Definíció

A H,7 parciálisan rendezett halmaz valamely M elemét maximális elemnek nevezük, ha nincs H- nak olyan x eleme (xsM), amelyre M3x

.Nem mindig van minimális ill. maximális eleme egy rendezett halmaznak. A Z,% halmaznak (itt

%a szokásos "kisebb vagy egyenlő" reláció) nincs sem minimális, sem maximális eleme. A negatív egész számok halmazának egyetlen maximális, a pozitív egész számok halmazának egyetlen

minimális eleme van ( % rendezésre nézve)

(31)

Definiáljuk az ;K 1 halmazon a 7 rendezést a következőképpen:

a7b5a b (a osztója b-nek)

Az ;K 1 ,7 parciálisan rendezett halmazban végtelen sok minimális elem van, ugyanis minden prímszám minimális.

Teljesen rendezett halmazokban a következő tétel szerint nem lehet egynél több maximális-, vagy minimális elem.

1.11.7. Tétel

Teljesen rendezett halmaznak legfeljebb egy minimális- ill. maximális eleme lehet.

Esetenként a parciálisan rendezett halmaznak van olyan eleme, amely minden más elemet megelőz, amely minden más elemnél kisebb. Az ilyen elemet legkisebb elemnek mondjuk. Hasonlóan, az esetlegesen létező olyan elemet, amely a halmaz minden más eleménél nagyobb, másképpen szólva, amelyet minden más elem megelőz, legnagyobb elemnek mondjuk. A legkisebb- és a legnagyobb elem, ha létezik, egyértelműen meghatározott.

Leképezés

A leképezés fogalmát a reláció fogalmát felhasználva, speciális relációként definiáljuk.

1.12.1. Definíció

Tekintsük az L4A#B relációt. Az A halmaznak a B halmazba történő leképezéséről, beszélünk akkor, ha

cx2A esetén d y2B, úgy, hogy x,y 2L.

Szavakkal kifejezve: az L4A#B relációról akkor mondjuk, hogy az A halmaznak a B halmazba történő leképezése, ha az A minden eleme legalább egyszer fellép a relációt alkotó párok első elemeként. Ha x,y 2R, akkor azt mondjuk, hogy az x elemnek az L leképezésnél az y elem a képe, az x-et pedig az y elem ősének nevezzük.

A leképezésnél általában egy elemnek több képe és egy képelemnek több őse is lehet. A definícióban a halmazba szó "ba" ragja azt jelzi, hogy a képelemek halmaza nem szükségképpen egyenlő a B halmazzal, lehet, hogy csak annak valódi részhalmaza.

Függvény

A leképezések közül számunkra azok a legfontosabbak, amelyek egyértelmű leképezést valósítanak meg. Az ilyen leképezéseket függvénynek mondjuk. A függvény tehát speciális leképezés.

1.13.1. Definíció

Az f relációt az X-et Y-ba leképező függvénynek nevezzük, ha f4X#Y,

•

x minden eleméhez található olyan y2Y, hogy x,y 2f,

•

továbbá, ha x,y₁ 2f, és x,y₂ 2f, akkor y₁=y₂, tehát a leképezés egyértelmű, az X halmaz minden egyes eleméhez pontosan egy y2Y tartozik.

•

(32)

Az X halmazt a függvény értelmezési tartományának is mondjuk, s dom f-fel, vagy másképp D_f -fel jelöljük. A függvény által felvett értékeket, a függvény értékkészletének mondjuk, s ran f -fel, másképp R_f -fel jelöljük.

Ha a függvénynél a ran f=Y egyenlőséget is megköveteljük, akkor szürjektív függvényről beszélünk.

1.13.2. Definíció

Az f függvényt szürjektívnek mondjuk, ha minden y-hoz (y2Y) van olyan x (x2X), amelyre x,y 2f.

A szürjektív függvénynél tehát ran f=Y.

Röviden azt mondhatjuk, hogy az f függvény szürjektív, ha az X- et az Y-ra képezi le. (A "ra" rag azt mutatja, hogy Y minden eleme képelem.)

A függvény egyértelmű leképezést valósít meg, de nem kizárt, hogy egy képelemnek egynél több őse van. Az injektív függvénynél nem ez a helyzet.

1.13.3. Definíció

Az f függvényt (f4X#Y) injektív függvénynek mondjuk, ha x₁,y 2f és x₂,y 2f esetén x₁=x₂.

Az injektív függvény tehát kölcsönösen egyértelmű módon képezi le az X-et az y-ba. Az Y-nak nem szükségképpen minden eleme képelem.

Afüggvények fontos osztályát képezik azok, amelyek két halmaz között kölcsönösen egyértelmű leképezést valósítanak meg.

4. 1.13.Definíció

Az f függvény bijektív, ha szürjektív is és injektív is.

(33)

Ellenőrző kérdések

1. Hogyan definiálhatjuk a halmaz és az elem fogalmát?

2. Milyen módokon adhatjuk meg a halmazt? Adjon példákat!

3. Hogyan definiáljuk két halmaz egyenlőségét?

4. Határozza meg a részhalmaz fogalmát!

5. Mit jelentenek a c, 0 és a 5 jelek?

6. Mikor valódi részhalmaza az A halmaz a B halmaznak?

7. Mit értünk egy halmaz hatványhalmazán?

8. Írja föl az A = {0,1} halmaz hatványhalmazának elemeit!

9. Hány eleme van egy 5-elemű halmaz hatványhalmazának?

10. Definiálja az egyesítés műveletét!

11. Sorolja föl és szemléltesse az egyesítésre és a metszetképzésre vonatkozó azonosságokat!

12. Milyen halmazokat nevezünk diszjunkt halmazoknak?

13. Határozza meg és szemléltesse a komplementer halmaz fogalmát!

14. Fogalmazza meg és szemléltesse a de-Morgan-féle azonosságokat!

15. Mit ért halmazelméleti dualitáson?

16. Mit ért halmazok különbségén? Szemléltessen Venn-diagrammal több esetet!

17. Hogyan definiáljuk a rendezett párok egyenlőségét?

18. Mit ért két halmaz Descartes-szorzatán?

19. Mi a különbség egy A halmaz hatványai és hatványhalmaza között?

20. Legyen A= {x,y,z}. Mi lesz 2^A és A² ? 21. Definiálja a reláció fogalmát!

22. Mikor beszélünk homogén relációról?

23. Mit ért egy reláció inverzén?

24. Definiálja a relációk kompozícióját!

25. Sorolja föl és értelmezze a homogén bináris relációk tulajdonságait!

26. Határozza meg az ekvivalenciareláció fogalmát!

27. Mit értünk egy halmaz osztályfelbontásán?

28. Milyen kapcsolatban van az ekvivalenciareláció és az osztályfelbontás?

29. Milyen tulajdonságú relációt nevezünk parciális rendezésnek?

30. Mikor mondjuk, hogy egy halmaz parciálisan rendezett?

31. Mit jelent a teljes rendezés?

32. Definiálja a leképezés fogalmát!

33. Definiálja a függvény fogalmát!

34. Definiálja a szürjektív, injektív és a bijektív függvény fogalmát! függvény fogalmát!

(34)

2. A matematikai logika elemei

A matematikai logika legalapvetőbb fogalmaival ismerkedünk meg ebben a fejezetben, azokkal,

amelyekre a matematika különböző részterületeivel való foglalatosság során lépten-nyomon szükségünk van. Röviden foglalkozunk az ítéletkalkulus egy alkalmazásával is: a logikai áramkörökkel.

Ítéletkalkulus

Bevezetés

A logika a helyes következtetés tudománya. A következtetések legegyszerűbb tulajdonságait már az ókori görögök is ismerték. Leibniz jutott először arra az ötletre, hogy a nyelv logikai

elemzéséből kiindulva szimbolikus logikai rendszert alkosson. Munkáját a XIX. században George Boole folytatta a matematikai logika algebrájának kidolgozásával.

A matematikai logika fejlődése a XX. század elejétől gyorsult fel igazán, amikor a

halmazelméletben felfedezett ellentmondások miatt elengedhetetlenné vált olyan fogalmak pontos megfogalmazása, mint az állítás igazsága, a következmény és levezethetőség fogalma. A XX.

században a matematikai logika korábban egységes tudománya több részterületre bomlott. Olyan résztudományok fejlődtek ki belőle, mint a modellelmélet, bizonyításelmélet, vagy a

rekurzióelmélet. Mi a következőben csupán a matematikai logikával foglalkozunk.

2.1.1. Definíció

Az ítélet eldönthetően igaz, vagy hamis állítás Példák ítéletekre:

"Ma hideg idő van."

"Magyarországon trópusi éghajlat van"

"Havazik."

"Ha futunk, akkor gyorsabbá válik a szívverésünk"

Mi az ítéletek nyelvi jellemzésétől eltekintünk, számunkra az állítás IGAZ, vagy HAMIS volta érdekes. Az ítéletek lehetnek elemiek és összetettek. Elemi ítéletnek nevezzük azokat az ítéleteket, amelyeket nem bonthatunk fel egyszerűbb ítéletekre.

Az ítéletkalkulus az ítéletek közötti kapcsolatokkal, pontosabban az ítéletekkel végzett

műveletekkel foglalkozik. Azt vizsgálja, hogyan függ a műveletek eredménének logikai értéke az egyes elemi ítéletek logikai értékétől, ítéletek egy halmazából hogyan következtethetünk újabb ítéletekre. Az összetett ítéleteknek az ítéletkalkulusban formulákat feletetünk meg, amelyek elvont módon fejezik ki az ítéletek szerkezetét. A formulák felépítéséhez a következő jelöléseket vezetjük be:

1. Az igazságértékek jelölésére az "i" (igaz) és a "h" (hamis) betűt használjuk.

2. Az A,B,C, . . . nagybetűkkel jelöljük az ítéletváltozókat. Ezek olyan változók, amelyek helyébe elemi ítéleteket helyettesíthetünk be. Az ítéletváltozók értéke valamely igazságérték lehet. Az ítéletváltozókat a tvábbiakban logikai változóknak nevezzük.

3. A logikai változók között logiki műveleteket definiálunk. Ezek az ítéletkalkulus műveletei.

4. Azokat a jelsorozatokat, amelyek igazságértékekből és logikai változókból épülnek fel a logikai műveletek segítségével, formuláknak nevezzük.

5. A formulákat a görög abc kisbetűivel jelöljük. Azt mondjuk, hogy egy formula kifejezi a G ítélet szerkezetét, ha ugyanúgy épül föl logikai változókból, mint G elemi ítéletekből.

Csomagok, eljárások

(35)

>

(1.3.1) (1.3.1) (1.2.1) (1.2.1)

>

restart:

A Logic és a Logika csomag a logikai műveletek elvégzéséhez szükséges eljárásokat tartalmazza.

with(Logic):

with(Logika);

alias(i=true,h=false): # A true és false logikai állandókat i-vel és h-val is jelölhetjük

OsszegSzorzat,SzorzatOsszeg,igazsagert_h,igazsagert_i,igtab,maxterm,minterm

Logikai műveletek

2.1.2. Definíció

A logikai művelet logikai értékekkel végrehajtott olyan művelet, amelynek eredménye is logikai érték.

Ennek alapján bináris logikai műveletek az

f: L×L →L függvények, ahol L az igazságértékek halmaza.

L= h,i

Összesen 16 féle bináris logikai műveletet definiálhatnánk, hiszen L#L 4 eleméhez az L két elemét 2⁴ féleképpen rendelhetjük hozzá (két elem negyedrendű ismétléses variációinak száma) Mi itt csak négy bináris és egy unáris (egy-operandusos) műveletet vezetünk be.

Konjunkció ("és", angolul "and" művelet)

Jele: o

AoB= i, ha A=i és B=i h, egyébként

A logikai műveletek műveleti tábláját az igtab eljárással jeleníthetjük meg. A konjunkció műveleti táblája:

igtab(A and B);

A B A and B

i i i

i h h

h i h

h h h

Ez a művelet az elemi ítéletekből az `és` kötőszóval képzett összetett ítélet igazságértékét adja eredményül. Akkkor és csak akkor ad igaz értéket, ha mindkét elemi ítélet igaz.

Például legyen a C összetett állítás a következő:

C: "Ma Budapesten esik az eső és a hőmérséklet nem érte el a 27° -t."

A C állítás olyan összetett állítás, amelyik két egyszerű állításból a konjunkció (és) műveletével

(36)

>

(1.3.2) (1.3.2)

(1.3.3) (1.3.3)

>

jött létre. Bontsuk fel a C összetett állítást két egyszerű állításra!

A: "Ma Budapesten esik az eső."

B: "Ma Budapesten a hőmérséklet nem érte el a 27° -t."

A C állítás csak akkor igaz, ha mindkét egyszerű állítás, az A és B állítások is igazak.

Diszjunkció ("vagy", angolul "or" művelet)

Jele: n

AnB= i, ha A=h és B=h h, egyébként

A diszjunkció műveleti táblája igtab(A or B);

A B A or B

i i i

i h i

h i i

h h h

A diszjunkcióa nyelvi `vagy` kötőszó megengedő értelmét fejezi ki. Például a "Táncoltak vagy beszélgettek" összetett ítélet igaz minden olyan esetben, amikor a két tevékenység közül legalább az egyik megvalósult.

Negáció (tagadás)

A köznapi beszédben gyakran fordul elő egy kijelentés tagadása, amit legtöbbször a nem tagadószóval teszünk, pl.: „Nem igaz, hogy nehéz a nyelvvizsga." A „Nem igaz, hogy" kezdetű mondatok az eredeti kijelentés logikai értékét ellentétesre változtatják. A beszédben tetten érhető jelenséget a logikában negációnak nevezik. Bármely kijelentésből képezhetünk egy újabb

kijelentést a következő definíció szerint.

Tetszőleges p kijelentés negációján (tagadásán) a „Nem igaz, hogy A" kijelentést értjük és SA- vel jelöljük. A „nem igaz, hogy A" mellett szokásos használni a „nem A" rövidebb

megfogalmazást is.

¬A= h, ha A=i i, ha A=h igtab(not(A));

A not A

i h

h i

Bevezetés a számításelméletbe

Maróti György, Sárvári Csaba