A régi görögök játékos elmék voltak. Szerettek számokkal játszani és szerették a számokat kavicsokkal kirakni. Annyi kavicsot vettek, amilyen számmal játszani szerettek volna és a kavicsokat különböző alakzatokba helyezték el. Észrevették, hogy bizonyos számok esetén a kavicsok háromszög alakzatba rendezhetők. Azokat számokat, melyekre ez a tulajdonság teljesül háromszögszámoknak nevezzük. Az ábra alapján mondhatjuk, hogy 1, 3, 6, és 10
háromszögszámok.
1 2 3 4
T1= 1 T2= 3 T3= 6 T4= 10
Ezek az alakzatok sok érdekes megfigyelésre adnak alkalmat. Elsőként fedezzük fel a kapcsolatot a háromszögszámok és baloldali szomszédjuk között! Vegyük észre, hogy a haromszög szám baloldali szomszédja feltűnik az alakzat felső felén és kiegészül egy új sorral . Ebben a sorban pontosan annyi elem van amennyi a vizsgált alakzat sorszáma. Tehát a második háromszögszám úgy keletkezik az elsőből, hogy ahhoz kettőt adunk. A harmadik a másodikból úgy, hogy a másodikhoz hármat adunk, és így tovább.
T2=T1C2 , T3=T2C3, ...
Általánosan
TnC1=TnC nC1
Ez az egyenlőség a T1= 1 egyenőséggel együtt az összes háromszögszámot, vagyis minden n-re Tn-et meghatározza. Ezt a teljes indukció tétele biztosítja. Ugyanis T1 meghatározott, értéke 1. Ha pedig Tn-t már ismerjük, akkor abból már TnC1-et megkapjuk úgy, hogy értékéhez nC1-et adunk.
Így tehát ez a két egyenlőség valóban alkalmas a háromszögszámok definiálására.
6.4.1. Definíció
1. T1= 1
2. TnC1=TnC nC1
A Tn számot a n-edik háromszögszámnak nevezzük.
Ez a definíció a háromszög számokat rekurzív ("visszafutó") módon definiálja. Az nC1 -edik háromszög szám meghatározásához ugyanis felhasználja az n-edik háromszög számot.
A rekurzív definíció alapjánz n-edik háromszögszám kiszámítása megköveteli az összes őt megelőző háromszögszám kiszámítását. Nézzük meg példaként, hogy számíthatjuk ki a 4.
háromszögszámot. Az első háromszögszámtól indulunk, erről tudjuk, hogy 1, majd ebből előállítjuk a másodikat, majd a harmadikat, és a negyediket.
T1= 1 , # a rekurzív definíció 1. pontja T2=T1C2 = 1C2 = 3 , # a rekurzív definíció 2. pontja T3=T2C3 = 3C3 = 6, # a rekurzív definíció 2. pontja T4=T3C4 = 6C4 = 10 . # a rekurzív definíció 2. pontja A kézi számolási sémát az alábbiakban mutatjuk be.
Inicializálás
n= 4
k Tk
1 1
2 3 4
Az első oszlopba felvesszük az 1, 2, 3 és 4 számokat. A második oszlop első sorába 1-et írunk, ez az első háromszög szám.
Végrehajtás
n= 4
k Tk
1 1
2 3
3 6
4 10
T4= 10
A második oszlop celláit felülről lefelé haladva töltjük ki. Az aktuális cella tartalmát úgy kapjuk, hogy a felette lévő és a mellete lévő cella tartalmát összadjuk.
Vegyük észre, hogy a 4. háromszög szám meghatározása során minden lépésben csak az utoljára kiszámolt háromszögszámra van szükségünk. Ez persze nem meglepő a rekurzív definíció ismeretében. Mégis ez az észrevétel vezet el bennünket a háromszögszámokat előállító
(1.4.3.2)
Szöveges leírás Maple metakód
1. Input: n természetes szám
2. A T kezdő értéke legyen 1 ( 1 az első háromszögszám)
3. A i változó 2, 3, ..., n értékére hajtsuk végre a következő utasításokat
Legyen TdTCi (az új háromszögszám az előzőből i hozzáadásával keletkezik)
4. Output: T az n-edik háromszög szám
Input: n természetes számTd1 for i from 2 to n do
Az mszögszám eljárás első paramétere azt mondja meg, hogy háromszög-, négyszög-, stb számot illetve számokat akarunk létrehozni. A második paraméterként megadott természetes szám pedig azt írja elő, hogy ezek sorozatából hányadikra vagyunk kíváncsiak.
mszögszám(3,5);
15
Ha második paraméterként intervallumot adunk, akkor az mszögszám eljárás kilistázza mindazokat az m-szögszámokat, amelyek indexe a megadott intervallunba esik.
mszögszám(3,10,list);
(1.4.3.3) (1.4.3.3) Eredmény(mszögszám):
21
A rekurzív definíciójuk ismeretében könnyen bizonyíthatjuk a háromszögszámok különböző tulajdonságait. Például figyeljül meg, hogy mi történik, ha két szomszádos háromszögszámot összeadunk.
T1CT2= 1C3 = 4 = 22 T2CT3= 3C6 = 9 = 32
Mindkét esetben egy szám négyzetéhez jutunk. Vajon megmarad-e ez a szabályosság általánosan is? A választ a következő tétel adja.
6.4.3. Tétel
Minden n természetes számra
TnCTnC1= nC1 2 .
Bizonyítás
Teljes indukcióval bizonyítunk. Az állítás, mint láttuk, n= 1-re teljesül. Eddig rendben. Tegyük fel, hogy állításunk teljesül az n természetes számra. Meg kell mutatnunk, hogy
TnC1CTnC2= nC2 2.
Használjuk fel a háromszögszámokat definiáló rekurzív formulát, és alkalmazzuk azt mind TnC1 -re, mind pedig TnC2-re.
TnC1CTnC2 = #` `TnC1=TnC nC1 és TnC2=TnC1C nC2
= TnC nC1 CTnC1C nC2 = # indukciós feltevés és összevonás
= nC1 2C2$nC3 = # négyzetre emelés elvégzése = n2C2$nC1C2$nC3 = # összevonás
=n2C4$nC4 = #
= nC2 2
Ezzel az indukciós bizonyítást befejeztük.
Ha azok a háromszögszámok, amelyek háromszög alakzatba rendezhetők, akkor a négyzetszámok azok, amelyek négyzet alakzatba rendezhetők, mondták a régi görögök.
1 2 3 4
S1= 1 S2= 4 S3= 9 S4= 16 A négyzetszámok is szép szabályos kapcsolatban vannak baloldali szomszédjukkal. Figyeljük meg például, hogy a S4 bal alsó sarkában feltűnik a harmadik négyzetszám, ami kiegészül egy L alakú alakzattal, melynek sorában 4, oszlopában pedig 3 = 4K1 elem van. Így mindösszesen 4C 4K1 = 2$4K1 elemmel bővül S4 az S3-hoz képest. Ez az észrevétel elvezet bennünket a négyzetszámok rekurzív definíciójához.
6.4.4. Definíció
1. S1= 1
2. SnC1=SnC 2$nC1
A Sn számot a n-edik négyzetszámnak nevezzük.
Szemmel látható, hogy minden négyzetszám valamely szám négyzete, pontosabban minden n-re Sn=n2, ami azt fejezi ki szemléletesen, hogy a négyzetszámok nem csak azért négyzetszámok, mert négyzet alakzatba rendezhetők, hanem azért is, mert egyenlők valamely természetes szám négyzetével, vagyis második hatványával. Az álllítás teljes indukciós bizonyítását az olvasóra bízzuk.
A négyzet alakzatban elhelyezett elemek egy vonallal ketté vághatók a négyzet főátlója mentén.
Ez a vonal a négyzet számot két háromszögszámra osztja, mégpedig oly módon, hogy az egyik háromszögszám sorszáma megegyezik a vizsgált négyzetszám sorszámával, a másiké pedig eggyel kisebb.
3 4 5
>
>
(1.5.1) (1.5.1)
>
>
(1.4.1) (1.4.1)
>
>
S3=T3CT2 S4=T4CT3 S5=T5CT4 Geometriai szemléletünk alapján nem kételkedünk abban, hogy minden n természetes számra érvényes a következő összefüggés
SnC1=TnC1CTn .
Nagyon azonban ne lepődjünk meg felfedezésünkön, ugyanis ez nem más mint a 2.11 tétel.
Példák
A következő utasítássorozat kísérletezésre ad alkalmat. Ha az nd7 utasításban a 7 helyébe más-más természetes számot írunk, majd Enter-t ütünk, akkor a Maple az adott indexű
háromszögszámhoz adja hozzá a rákövetkezőt, majd kiszámítja ugyanilyen indexű
négyzetszámot. Hajtsuk végre annyi kísérletet, ami meggyőz bennünket a háromszögszámok és négyzetszámok fenti összefüggéséről!
n:=7:
cat(n,`. háromszögszám`)=mszögszám(3,n);
cat(n+1,`. háromszögszám`)=mszögszám(3,n+1);
%%+%;
cat(n+1,`. négyzetszögszám`)=mszögszám(4,n+1);
7. h romsz gsz = 28 8. h romsz gsz = 36
7. háromszögszámC8. háromszögszám= 64 8. n gyzetsz gsz = 64