Bevezetés a számításelméletbe I.
8. gyakorlat, 2012. október 30.
Bertus-Barcza Tímea <tim@sch.bme.hu>
Lineáris leképezések, sajátérték, sajátvektor
1. Legyen V a síkbeli vektorok szokásos vektortere. Döntsük el, hogy az alábbi V-ből V-be menő hozzárendelések lineáris leképezések-e? Amennyiben igen, adjuk meg mátrixukat az i, j bázisokban, illetve kép-és magterüket. Minden vV vektornak feleltessük meg:
a.) az x tengelyre vett tükörképét
b.) azt az x tengelyre eső vektort, amelynek első koordinátája a v koordinátái közül nagyobb
2. Az lineáris leképezésről tudjuk, hogy teljesül rá az alábbi két feltétel: a) tetszőleges hét elem képe lineárisan összefüggő, és b) tetszőleges nyolc lineárisan független V1-beli elem között van olyan, amelyiknek a képe nem 0. Bizonyítsuk be, hogy ekkor dimV1 13.
3. Legyen adott a 2 dimenziós V vektortéren az lineáris transzformáció és a { } bázis V-ben.
Tegyük fel, hogy az mátrixa a B bázis szerint az alábbi A mátrix. Határozzuk meg p és q értékét, ha tudjuk, hogy ( ) . (ZH, 2010. nov. 25.)
( √ √ )
4. Jelölje V a valós számpárok (azaz a síkvektorok) szokásos vektorterét. Egy lineáris transz- formációról tudjuk, hogy az (1, 2) vektorhoz a (6, 7) vektort, a (-1, 2) vektorhoz pedig a (8, 9) vektort rendeli.
Írjuk fel mátrixát a szokásos, azaz az (1, 0) és (0, 1) vektorokból álló bázisban! (ZH, 2002. dec.) 5. Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor .
6. Adjuk meg az alábbi mátrixok összes sajátértékét! Mindegyik esetben keressük meg a legnagyobb sajátértékhez tartozó összes sajátvektort és a sajátaltért is!
a.) (
) b.) (
) c.) (
) d.) (
)
7. Határozzuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy az A mátrixnak a 0 sajátértéke legyen! Az A mátrixnak keressük meg a többi sajátértékét is, és a legnagyobb sajátértékhez keressünk egy sajátvektort! (ZH, 2002. dec.)
( )
8. Bizonyítsuk be, hogy ha az A mátrixnak létezik inverze, akkor nem lehet λ = 0 a sajátértéke!
9. Bizonyítsuk be, hogy ha az A invertálható mátrixnak sajátértéke a valós szám, akkor az A mátrix inverzének sajátértéke lesz az szám.
10. Adjuk meg az összes olyan p-t, amelyre az alábbi mátrixnak két különböző valós sajátértéke van. A lehetséges p-k közül a legnagyobb egész p-re számítsuk ki a sajátértékeket.
( )
11. Az A négyzetes mátrixra teljesül, hogy . Bizonyítsuk be, hogy A-nak létezik sajátvektora, és sajátértékei csak a -1, 0 vagy 1 számok lehetnek.
