SZEM LE
917
UN/ESA —- United Nations Department of Economic and Social Affairs
UNESCO -— United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization
UNIDO — United Nations Industrial Development Organization
UNlSiST -— lntergavernmental Programme for Co- operation in the field of Scientific and Technological
information (UNESCO)
WDRS -— World Data Referral Service (UNlSlST) Wt)lO — World Health Organization (United Na- tions
WHIS —- World Health information System (WHO) WlPO — World Intellectual Property Organization WlSl — World information System on lnformatics (UNESCO/IB!)
WMO -— World Meteorological Organization WWW — World Weather Watch (WMO)
MAGYAR SZAKIRODALOM
DR. DENKINGER GÉZA:
VALÓSZlNÚSÉGSZÁMiTÁS Tankönyvkiadó. Budapest. 1978. 264 old.
A mű a Marx Károly Közgazdaságtudomá- nyi Egyetem tankönyve. A könyv azonban nemcsak az egyetemi hallgatók, hanem azok érdeklődésére is számot tarthat, akik alap- és középfokon szeretnének megismerkedni a valószínűségszámítással, vagy matematikai statisztikai tanulmányaikat kívánják megala- pozni. Szinte olvasmányos stílusban, egysze- rű, kerek példák segítségével is szemlélteti a szerző az egyes fogalmakat, tételeket.
A könyv anyaga az egyetemi oktatásnak megfelelően két szintre bontható. Az általá- nos szint anyagát az emelt szint, a többdi- menziós valószínűségi változóknak és ezek jellemzőinek, valamint a speciálisabb eloszi lástípusoknak a tárgyalása egészíti ki.
A könyv első fele a valószínűségszámítás klasszikus alapjainak következő fejezeteit tár- gyalja:
-— eseményaigebra,
— a valászínűségszámítás elemei,
— valószínűségi változók és jellemzőik,
— a nagy számok törvénye,
— a kétdimenziós eloszlások és jellemzőik.
A kombinatorika tárgyalását az indokolja, hogy jelenleg nem tananyag a középiskolák—
ban. viszont (: valószínűségszámításban fel- merülő ún. csoportalkotási kérdések tárgya—
lásának alapjául szolgál.
Az első fejezetben bemutatja a szerző a permutációk előállítási módjai közül (: lexi- kografikus sorrendet. és tételesen bizonyítja a különböző, illetve az egyforma elemeket tartalmazó elemrendszer permutációi számá- nak meghatározását. Ezután ismerteti az is- métléses, illetve az ismétlés nélküli kombiná- ciókat. A következő alfejezetben a variációk- kal foglalkozva ismerteti az n különböző elemből készíthető k-ad osztályú ismétléses variációk számának meghatározását, majd röviden bemutatja az ismétléses és az ismét- lés nélküli mintavételi eljárásokat. A továb- biakban először a binomiális, majd a pali- nomíális tételt bizonyítja be. A binomiális együtthatók fontosabb tulajdonságai közül az
ún. Pascal-háromszöget, az együtthatók szimmetria—. illetve összegtulajdonságát, va- lamint Cauchy-féle tulajdonságát mutatja be.
Ezután a szerző megismerteti az olvasókat a valószínűségszámitás egyik gyakran használt segédeszközével, a generátorfüggvényekkel.
Az .,Eseményalgebra" című fejezetben a szükségszerű és a véletlen események bemu- tatása után az elemi és az összetett esemé- nyekkel, az eseménytér fogalmával, valamint az eseményekkel végezhető műveletekkel fog- lalkozik, majd néhány egyszerűbb esemény—
algebrai fogalom és tétel ismertetése után az eseményalgebra fogalmát tisztázza.
A harmadik fejezetben a relatív gyakori- ság felhasználásával definiált valószínűség axiómáinak bemutatása után olyan tételek- kel ismerkedhetünk meg, amelyek segítségé- vel adott események valószínűségének isme—
retében, velük valahogyan összefüggő más események valószínűségét meghatározhatjuk.
Hasonló felépítésben közli a feltételes való—
színűség fogalmát, axiómáit és tételeit is.
majd a teljes valószínűség tétele és a Bayes—
tétel levezetése és illusztrálása után az ese—
mények függetlenségének fogalmát vizsgál- ja.
A ,,Valószínűségi változók és jellemzőik"
című fejezetben az egy- és többdimenziós valószínűségi változó, valamint a teljes ese- ményrendszer fogalmának bevezetése után a legáltalánosabban ismert és felhasznált diszk- rét valószínűségeioszlások, a karakteriszti- kus, a hipergeometriai, a binomiális, vala—
mint a Poisson-eloszlás bevezetése követke- zik. Logikusan követi ezt az eloszlásfüggvény, valamint a folytonos valószínűségi változókra definiálható sűrűségfüggvény fogalma. Ez utóbbin belül kiemeli az egyenletes, a nor- mális és az exponenciális eloszlású valószínű- ségi változók jelentőségét. Foglalkozik a tá- pasztalati sűrűségfüggvénnyel is. de csak olyan mértékben, amennyi ahhoz szükséges, hogy az elméletet a gyakorlathoz köthesse.
Definiálja diszkrét és folytonos valószínűségi változó esetére a várható érték fogalmát, majd néhány fontosabb tételt bizonyít be. A szórás fogalmának bemutatása után levezeti az említett eloszlások első két momentumá- nak a megfelelő oaraméterektől fiioaő érté—
918 SZEMLE
keit. Ezek után mind a diszkrét, mind a foly- tonos valószinűségeloszlások néhány gyakor-
lati alkalmazását ismerteti.
.,A nagy számok törvénye" című fejezetben az empirikus törvényt matematikai formulák—
kal fejezi ki a szerző. Ennek alapján a rela- tív gyakoriság valószínűség körüli ingadozá- sának mértékét is megbecsülhetjük. Csupán a törvény legegyszerűbb alakjaival foglalko- zik. A Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség levezetése után a nagy számok törvényének Bernoulli-féle alakját és ennek finomított vál- tozatát ismerteti.
A 6. fejezet, amely a többdimenziós való—
színűségi változókkal és jellemzőikkel foglal- kozik, már átvezet egy emeltebb szintre. A tárgyalást nem végzi teljes általánosságban, főleg két- és háromdimenziós valószínűségi vektorokról van szó, a tételeket ilyen esetekre bizonyitja, de a fontosabb definíciókat és tételeket n dimenziós esetre is megfogalmaz- za. A diszkrét valószínűségi vektorok valószí- nűségeloszlósai közül a polinomiális, valamint a polihipergeometriai eloszlást emeli ki, majd a peremeloszlás fogalmát mutatja be. Álta—
lánositja az eloszlásfüggvény és a sűrűség- függvény fogalmát valószínűségi vektorválto—
zókra, majd az egydimenziós esethez hason- lóan transzformált valószínűségi vektorok sű—
rűségfüggvényének előállítását mutatja be.A függetlenség fogalmát is kiterjeszti valószi—
nűségi változókra. Mivel a gyakorlatban sok- szor kell valószínűségi változók egyszerűbb függvényeinek eloszlását meghatározni, ezért tételeken keresztül diszkrét és folytonos eset- re egyaránt példákat találhatunk a valószí- nűségi változók összegének. szorzatának, há- nyadosának eloszlására. Néhány várható ér—
tékre és szórásra vonatkozó és elsősorban a függetlenség fogalmát alkalmazó tétel után a naay számok törvényének Csebisev- féie alakját bizonyítja be.
A valószínűségi változók sztochasztikus kapcsolatának mérésére bevezeti a kovarián- cia, majd ezen keresztül a korrelációs együtt- ható fogalmát, végül a normális eloszlást n dimenziós esetre terjeszti ki.
A tankönyv ezután a feltételes valószínű- ségeloszlásokat tárgyalja. A feltételes való—
színűségnek megfelelő fogalom többdimen- ziós valószínűségi vektorok esetében az egy esemény feltétel melletti valószínűsége. Eb- ből adódik a valószínűségi változó feltétel melletti valószínűséoeloszlásának, a feltétel melletti feltételes eloszlásfüggvénynek, vala-
mint a feltételes sűrűségfüggvénynek a fo- galma, amelyre a teljes valószínűség tételét és a Bayes-tételt általánosítja.
A feltételes várható érték —- amelyet n di- menzióra is általánosít —— fogalmából vezeti le az elsőfajú regressziós függvényt. amely egy minimumfeladat megoldását adja. Az előrejelzési problémáknál az ökonometriai modellekben nagy fontosságú másodfajú reg- ressziós függvények közül az empirikus reg—
ressziós egyenest részletezi.
A valószínűségszámítás két fontos analízis—
beli segédeszközével a valószínűségelaszlá- sok generátorfüggvényével és a karakterisz—
tikus függvénnyel, valamint a rájuk vonatko—
zó legelemibb tételek tárgyalásával ismertet meg a következő fejezet. A központi határ—
eloszlas tetel és bizonyítása zárja le ezt a témakört.
A könyv utolsó fejezete néhány valószinű- ségeloszlás további vizsgálatával foglalkozik.
A Poisson-eloszlással kapcsolatban választ"
kapunk arra, hogy miért nevezik a pants-lhe- lyezkedések eloszlásának is. Az exponenciá—
lis eloszlásról pedig elmondja a szerző, hogy az a berendezések véletlenszerű meghibáso- dásával kapcsolatos élettartam hű leírását adja. A matematikai statisztika legfontosabb eloszlásai a gamma-. a béta-, valamint nor—r mális eloszlásból származtatott 12, x. (! Stu- dent-féle t-eloszlás, továbbá az F és a Fi—
sher- féle eloszlás legfontosabb tulajdonsá- gaival zárja a fejezetet.
A könyvet kiegészíti a binomiális, a Pois—
son- és a normális eloszlás értékeinek táblá- zata, a mélyebb ismereteket kívánóknak megfelelő irodalomjegyzék, valamint a köny- nyebb kezelhetőséget elősegítő fogalmi tárgymutató is.
A statisztikai elemzésekkel szemben nap- jainkban támasztott követelmények nem en- gedik meg, hogy a statisztikusok megreked- jenek a hagyományos eszköztárnál. A fejlett matematikai módszerek -— így a valószínűség- számítás -— alkalmazása ma már nélkülözhe—
tetlen eszköze a korszerű statisztikának. Ez indokolja, hogy Denkínger könyvét ne csak az egyetemi oktatás igényeinek kielégítésére tartsuk alkalmasnak, hanem felhívjuk rá mindazok figyelmét, akik gyakorlati elemző munkát végeznek, vagy az elemző munka módszereinek tudományos kutatásával, to—
vábbfejlesztésével foglalkoznak.
Freschl Győtgy
