Egy klasszikus probléma általánosítása.

- 3 -

P H A M V A N C H U N G

EGY K L A S S Z I K U S P R O B L É M A Á L T A L Á N O S Í T Á S A

A B S T R A C T : CA generalization of a classical problem} The 2 t-

congruence x £ x ( m o d m " > i m s investigated by several authors, the first solution of it was given by tf.Tédenat in 1814. Jn this paper u>e generalize this problem by 7 k solving the congruence x £ nx (mod m where a, m, and k are given natural numbers. Ve give the number and the

*

explicite form of the solutions and show s o m e properties of them.

1 8 1 4 - b e n az " A n n a l e s d e M a t h . " c. f o l y ó i r a t azt a p r o b l é m á t v e t e t t e fel, h o g y " M e l y e k azok a t e r m é s z e t e s s z á m o k , a m e l y e k n e k négyzet.e u g y a n a r r a a k - j e g y ü s z á m r a v é g z ő d i k , m i n t az e r e d e t i s z á m ? " Ezt M. T é d e n a n t 161 o l d o t t a meg e l ő s z ö r é s igazolta, h o g y két nem t r i v i á l i s m e g o l d á s á n a k ö s s z e g e 1 0k+ l . Azóta i l y e n , i l l e t v e h a s o n l ó p r o b l é m á v a l m á r t ö b b e n f o g l a l k o z t a k ( l á s d 121>. E h h e z a p r o b l é m á h o z

* * 2 ^ 0

l é n y e g é b e n az x £ x (mod 10 ) k o n g r u e n c i á t kell m e g o l d a n i . A p r o b l é m á t a k ö v e t k e z ő k é p p e n á l t a l á n o s í t h a t j u k : " M e l y e k a z o k a t e r m é s z e t e s s z á m o k az m alapú s z á m r e n d s z e r b e n , a m e l y e k n e k n é g y z e t e u g y a n a k k o r a a k—.jegyű s z á m r a v é g z ő d i k , m i n t az e r e d e t i szám a - s z o r o s n ? " A z n z . k e r e s s ü k az

( 1 ) x £ ax ( m u d m > 2 V

k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i t .

A k o n g r u e n c i a s p e c i á l i s e s e t e i v e l s o k a n f o g l a l k o z t a k . K ü l ö n ö s e n az m = 1 0 e s e t b e n é r t e k el sok e r e d m é n y t .

É r d e m e s m e g j e g y e z n i , hogy az x2 = x Cmod mk) m e g o l d á s a i t a u t o m o r f i k u s s z á m o k n a k is n e v e z t é k , é s e z e k e t s z á m i t ó g é p s e g í t s é g é v e l ki i s s z á m í t o t t á k k ü l ö n b ö z ő k é r t é k e k m e l l e t t . Vernon d e G u e r r e é s R.A. F a i r b a i r n 171 — b e n k i s z á m í t o t t á k az 1000 j e g y ű a u t o m o r f i k u s s z á m o k a t m = 6; 10 é s 12. e s e t b e n . Itt a s z e r k e s z t ő k m e g j e g y z i k , hogy I. F e i g b e r g é s T . M o o r e az 5 - r e v é g z ő d ő 2 2 . 3 0 0 j e g y ű a u t o m o r f i k u s s z á m o k a t is k i s z á m í t o t t á k .

1 9 7 2 - b e n N . P . G a l l a s [1] b i z o n y í t o t t a , hogy ha x2 s X Cmod 1 0n5 é s

y - v « > ' r n r - í r

) * * .

k =o a k k o r

y2 s y Cmod 10l n>

A l t a l á n o s m e s e t é n az a u t o m o r f i k u s s z á m o k k a l K i s s P é t e r is f o g l a l k o z o t t , é s m e g a d t a az a u t o m o r f i k u s s z á m o k j e g y e i n e k m e g h a t á r o z á s i m ó d s z e r é t Clásd tdl).

E d o l g o z a t b a n a z C l ) k o n g r u e n c i a á l t a l á n o s m e g o l d á s á v a l f o g l a l k o z u n k ; m e g a d j u k a m e g o l d á s o k s z á m á t é s a m e g o l d á s o k e x p l i c i t a l a k j á t , v a l a m i n t a k o n g r u e n c i a n u m e r i k u s m e g o l d á s á r a egy r e k u r z i ó s e l j á r á s t .

G. V r a n c e a n u 181 f e l v e t e t t e azt a k é r d é s t , hog}' m e l y e k azok a z x t e r m é s z e t e s s z á m o k , a m e l y e k r e x2 — kx = a * 1 0n , a z a z m i k az x2 s kx Cmod 1 0 " ) m e g o l d á s a i r ö g z í t e t t k é s n m e l l e t t . Mi e z e n p r o b l é m a á l t a l á n o s í t á s á v a l f o g l a l k o z u n k , ahol a,m,k p o z i t í v e g é s z e k . A m e g o l d h a t ó s á g s z ü k s é g e s f e l t é t e l e n y i l v á n az, hogy x2 - ax Cmod rn) m e g o l d h a t ó legyen. Ezért e l ő s z ö r az u t ó b b i k o n g r u e n c i á v a l f o g l a l k o z u n k .

M e g m u t a t j u k , hogy elég a z ( a , m ) = 1 e s e t t e l f o g l a l k o z n i . 1. TÉTEL. L e g y e n e k a é s m r ö g z í t e t t p o z i t í v e g é s z e k , m>l. Az C 2 ) x2 = ax Cmod m )

k o n g r u e n c i a m i n d e n m e g o l d á s a v i s s z a v e z e t h e t ő C 3 ) y2 = a y Cmod m >

alakú mo| m .

k o n g u r e n c i á k m e g o l d á s á r a , ahol mo> = 1, aQ| ai é s

B I Z O N Y Í T Á S : L e g y e n Ca,m> = d é s t e g y ü k fel, hogy x egy m e g o l d á s a C2)-nek. Ekkor a = d at, ni = d mt é s C ai, mj) = 1 é s C 2 ) a l a k j a

x2 = da^x Cmod d m ^ ,

a m i b ő l d | x2 . Ha d|x , a k k o r x = dy é s C 2 ) - b e h e l y e t t e s í t v e a

d2y2 = d atd y Cmod d mf>

a d ó d i k , a m i b ő l

y2 = aty Cmod mQ> ,

mi

ahol m = v i - — r - , e s e z a ki vant C 3 ) alak.

o C u , mt) *

Ha d f x, a k k o r d p r í m o s z t ó i t x is t a r t a l m a z z a :

e. f d = f] P. 1 é s x = [] P. 1 x'

i=l 1

ahol e. ^ 2 f. Cl = i . 2 , . . . , S > d e van o l y a n j, hogy e . > f .

• )

S

L e g y e n do = f] P^ é s x = dQx ' ' tx3 az

S e.

e g é s z érték f ü g g v é n y . Ezek a l a p j á n do = d J] P. 1 ,ahol e . = 0 1

vagy 1 a s z e r i n t , hogy e^ p á r o s vagy p á r a t l a n . L e g y e n d ^ = d d ' így d ' | dQ v a g y i s dQ = d ' dt. V i s s z a h e l y e t t e s í t v e e z e k e t C 2 > — b e , azt k a p j u k hogy

2

a m i b ő l

dd' x' = d dQaix ' (mod d m2> ,

2

x* = d a x' I mod

i i C d ' , m1>

Legyen ao = d ^ e s mQ= ; x' = y. E k k o r y h a1 2 Qy Cd',m )

Cmod m ) , ahol a < a. Ha (a„, rn ) = 1, a k k o r a C 3 ) a l a k o t o ' o o o

kaptuk. Ha nem, a k k o r az e l ő b b i s m e r t e t e t t e l j á r á s t f o l y t a t j u k é s aQ < a m i a t t v é g e s l é p é s b e n ( 3 ) a l a k r a jutunk, ami t é t e l ü n k e t b i z o n y i t j a .

Most m e g h a t á r o z z u k az

( 4 ) x2 = ax Cmod m>; Ca.m> = 1 k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i t .

2. TÉTEL. ( 4 ) k o n g r u e n c i a ö s s z e s m e g o l d á s a x = u yQ i l l e t v e x = v zQ alakú, a h o l C u , v ) = 1. u'v = m, é s az yQ-z 0 s zá m p á r m e g o l d á s a az u y + v z = a e g y e n l e t n e k .

B I Z O N Y Í T Á S : Be kell l á t n u n k , hogy m i n d e n m e g o l d á s a k i v á n t a l a k ú é s v i s z o n t .

T e g y ü k fel e l ő s z ö r , hogy C<1) m e g o l d o t t é s legyen x egy m e g o l d á s a , a z a z x2 ax (mod m>; legyen ( x , m ) = u.

E n n é l f o g v a v a n n a k yQ é s v e g é s z e k , a m e l y r e x = u yo é s m = u'v : ( yo, v ) = 1 E z e k e t C 4 ) - b e h e l y e t t e s í t v e

uyQJ = a u yQ (mod u v )

k o n g r u e n c i á h o z j u t u n k , a m i b ő l u y2 ~ a yQ (mod v> é s ( yQ, v ) = 1 miatt:

u yo £ a (mod v).

Innen ( u , v ) = 1, mert m á s k é n t (a.nO ** 1 lenne, ami l e h e t e t l e n a f e l t é t e l s z e r i n t . Ebből k ö v e t k e z i k , h o g y v a n olyan z e g é s z s z á m , m e l y r e

uy0 + v zo = a'

ami b i z o n y í t j a a t é t e l egyik á l l í t á s á t .

Még azt kell igazolni, hogy ha u , v , yo ,z o l y a n e g é s z e k , m e l y e k r e uv = m, ( n . v ) = 1 é s

uy + v z „ = a,

J o o '

akkor x = u yQ é s x = V Zq m e g o l d á s a i (4)-nek. Ez p e d i g igaz, mert a f e l t é t e l e k m i a t t az e g y e n l e t b ő l p é l d á u l x = u yQ

mellett

x2 = ( a - v z )7 = a ( a - v z ) - v z ( a - v z ) = o o o o

= auy -uvy z „ = a x - m y z ^ = ax (mod m ) o o o ' o o

k ö v e t k e z i k .

M E G J E G Y Z É S E K : Az előbbi tétel f e l h a s z n á l á s á v a l a (4L) k o n g r u e n c i á t a k ö v e t k e z ő k é p p e n o l d h a t j u k meg:

1. B o n t s u k fel a z m m o d u l u s t két r e l a t i v prim t é n y e z ő s z o r z a t á r a , a z a z m = u'v ; ( u , v ) = t.

2. O l d j u k meg az uy+vy = a e g y e n l e t e t . E l e g e n d ő c s a k e g y ( xo, yQ) m e g o l d á s t keresni.

3. A (4.) k o n g r u e n c i a két m e g o l d á s a x £ u yQ i l l e t v e vy (mod m).

J o

4. M e g k a p j u k (4.) ö s s z e s m e g o l d á s á t , ha az e l ő z ő e l j á r á s t m e g i s m é t e l j ü k m i n d e n m = u*v, ( u , v ) = 1 f e l b o n t á s n á l .

Meg t u d j u k adni a m e g o l d á s o k e x p l i c i t a l a k j á t is.

G. P. P o p o v i c i 151 b i z o n y í t o t t a , hogy x2 = x C m o d 1 0n >

k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i xf 2 , 5 Cmod 1 0n> . A z o n k í v ü l G o o d s t e i n C 3 1 - b e n i g a z o l t a , hogy ha m = u * v , C u , v > = l é s q olyan p o z i t í v e g é s z szám, h o g y uq = 1 Cmod v>, a k k o r

rjv'' " ' L , 2 k x = uM Cmod m > m e g o l d a s a a z x = x Cmod m >

k o n g r u e n c i á n a k .

A mi e s e t ü n k b e n h a s o n l ó tétel i g a z o l h a t ó . 3. TÉTEL. L e g y e n C a , m ) = 1. Ekkor

C5? x2 = ax Cmod m )

k o n g r u e n c i a m i n d e n m e g o l d á s a : x == a u ^t v ) Cmod m>

a l a k ú , ahol u*v = m, (u, v ) = 1 ó s '/> az E u l e i — f ü g g v é n y . B I Z O N Y Í T Á S : A 2. T é t e l a l a p j á n C 5 ) m e g o l d á s a i x = uy a l a k ú a k , ahol m = uv, ( u . v ) = 1 é s

uy = a Cmod v).

De akkor

y = a * u^*" v 5 -1 cmod v>

é s igy

x s uy s a * u ^> t v 5 mod v>.

S z i n t é n a 2. T é t e l b ő l k ö v e t k e z i k , hogy m i n d e n (u' v ) = * f e l t é t e l t k i e l é g í t ő u - h o z mod m e g y e t l e n x m e g o l d á s a t a r t o z i k a z C 5 ) k o n g r u e n c i á n a k , továbbá k ö l ö n b ö z ő u é r t é k e k h e z i n k o n g r u e n s x — e k t a r t o z n a k mod rn.

Ezek a l a p j á n á l l a p í t s u k meg a m e g o l d á s o k s z á m á t . T e g y ü k f e l . hogy az m m o d u l u s n a k r k ü l ö n b ö z ő p r í m t é n y e z ő j e van,

a ct

a z a z m = P ... P r . M i n t láttuk, m i n d e n m = u*v; ( u , v ) = 1 1 r

f e l b o n t á s h o z p o n t o s a n 1 m e g o l d á s t a r t o z i k . Innen k ö v e t k e z i k , hogy C 5 ) - n e k annyi k ü l ö n b ö z ő m e g o l d á s a van. a h á n y f é l e k é p p e n

- 9 -

m felborítható két r e l a t i v prim t é n y e z ő s z o r z a t á r a ; a t é n y e z ő k s o r r e n d j é t is f i g y e l e m b e véve. A f e l b o n t á s a k ö v e t k e z ő k é p p e n t ö r t é n h e t : u az m - n e k r p r i m t é n y e z ő j e k ö z ü l t a r t a l m a z h a t 0 , l , 2 , . . . , r - e t , amig v rendre: r, r-1, • 2, 1, 0 - á t . E z é r t a m e g o l d á s o k s z á m a

(5)

( D * ••

IfJ =

E z z e l b i z o n y í t o t t u k a k ö v e t k e z ő tételt:

a a a

4. TÉTEL. Ha m = P / P „z ... P r az m szám k a n o n i k u s

1 2 r

e l ő á l l í t á s a , a k k o r az x2 ~ nx Cmod mi k o n g r u e n c i á n a k 2r

i n k o n g r u e n s m e g o l d á s a van, f e l t é v e , hogy Ca,mi = 1.

M o s t v i z s g á l j u k azt az e s e t e t , a m i k o r a m o d u l u s m - n e k k - a d i k h a t v á n y a , v a g y i s

Cói x s ax Cmod m i , 2 V

ahol Ca,mi = 1. Mivel mv - r a u g y a n a z o k a fej t é t e l e k t e l j e s ü l n e k mind m - r e é s p r í m t é n y e z ő k s z á m a is m e g e g y e z i k , e z é r t a 2. é s 3. T é t e l s e g í t s é g é v e l Cói is m e g o l d h a t ó é s az i n k o n g r u e n s m e g o l d á s o k s z á m a a Tétel m i a t t itt is 2r.

M e g k ö n n y í t i a z o n b a n Cói n u m e r i k u s m e g o l d á s á t a k ö v e t k e z ő t é t e l , ami l é n y e g é b e n a 3. Tétel á t f o g a l m a z á s a .

5. TÉTEL. Ha Ca, ini = 1, m = u'v; Cu,vi = 1 é s yk = u ' ^v : > , v k _ 1C m o d mki ,

k « , a k k o r xk = ay^ Cmod m i m e g o l d á s a az C6i k o n g r u e n c i á n a k .

L á s s u n k egy p é l d á t az 5. T é t e l r e . I.egyen p é l d á u l ••• = 10 2 V e s a = 1, v a g y i s k e r e s s ü k az x s x Cmod 10 i k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i t , a z a z a z o k a t a k jegyű p o z i t í v e g é s z s z á m o k a t , m e l y e k n é g y z e t é n e k u t o l s ó k h e l y e n á l l ó s z á m j e g y e i m e g e g y e z n e k az e r e d e t i s z á m m a l . P é l d á u l u=5, v=2 e s e t é n

k = l , 2 , 3 , 4 , 5 é r t é k e k h e z tartozó m e g o l d á s o k 5 , 2 5 , 6 2 5 , 0 6 2 5 , 9 0 6 2 5 . K ö n n y e n b e l á t h a t ó , hogy h a e g y k jegyű megoldás,* akkor xw + i a z xk a l s ó k+1 j e g y é b ő l k é p e z e t t k+1 jegyű s z á m .

A k ö v e t k e z ő k b e n a k o n g r u e n c i a m e g o l d á s a i n a k ö s s z e g é t v i z s g á l j u k . B e v e z e t j ü k a z " a l a p m e g o l d á s " f o g a l m á t .

Egy k o n g r u e n c i a a z o n m e g o l d á s a i t , a m e l y e k p o z i t i v a k é s a m o d u l u s n á l nem n a g y o b b s z á m o k , a l a p m e g o l d á s n a k n e v e z z ü k . P é l d á u l xz = ax (mod m> ilyen m e g o l d á s a i x = a és x=m , ahol 0 < a < m.

Ezután b e b i z o n y í t j u k a k ö v e t k e z ő tételt, a m e l y m e g k ö n n y í t i a k o n g r u e n c i á i n k n u m e r i k u s m e g o l d á s á t .

6. TÉTEL. Ha az x2 s ax Cmod mk) k o n g r u e n c i a egy

,

m e g o l d a s a , a k k o r x? = m "+a-xt is m e g o l d á s . BIZONYÍTÁS: Valóban, ha x2 = a xf Cmod mV) , akkor

-- |mk + a - x 1 j = ^ a - x ^ = a C a - xt >+x*-ax t =

= a ^rn^+a—xtj = a x? Cmod mk)

ami a t é t e l t b i z o n y í t j a .

M e g j e g y e z z ü k , hogy e tétel s p e c i á l i s e s e t é t már t ö b b e n b i z o n y í t o t t á k a=l é s m = 1 0 e s e t é b e n e l ő s z ö r M. T e d é n a t töl .

A 6. T é t e l b e n s z e r e p l ő m e g o l d á s p á r o k a k ö v e t k e z ő t u l a j d o n s á g o k k a l r e n d e l k e z n e k az C a , m ) = 1 e s e t b e n .

a / x j. x2 l e g n a g y o b b k ö z ö s o s z t ó j a r e l a t i v prim a m o d u l u s h o z . Ez abból k ö v e t k e z i k , hogy (xi» xa'J= (xi» mk+ a - xij =

= ^ xi, mk+ a j é s Cm, a ) = 1, e z é r t ^ x ^ X2 j * mJ = —' b / x 1*x 2 s 0 Cmod mk> . Ez p e d i g abból k ö v e t k e z i k , h o g y

- 1 1 -

xi 'x2 = xi (_ x 1 + m k +a ] = a x 1~xi = 0 (mod mk> .

Ezen t u l a j d o n s á g o k egy b i z o n y o s m e g f o r d í t á s á t m u t a t j a a k ö v e t k e z ő t é t e l .

7. TÉTEL. L e g y e n xi, x2 két m e g o l d á s a az x2 = ax Cmod mk) , ( mk, a ) = 1

k o n g r u e n c i á n a k . Ha [ [x 1,x 2] , mkj = 1 é s xt* x2 £ 0 Cmod mk) akkor x 1 + x 2 i s m e g o l d á s é s

x, + x„ = a (mod mk) 1 2

B I Z O N Y Í T Á S :

(xi+ x 2)2 = xi+ x2+ 2 xtx2 é s a f e l t é t e l e k m i a t t

x 'x„ = 0 (mod m \>, L.

1 2 ' x2 = aXj (mod mV) ,

x2 £ a x „ (mod m :) . 2 2

ezért

fk l ZJ x«+ x, l - aCx„ ) (mod m1 2 k >. T e h á t x +x 1 2 is m e g o l d á s .

De [ [X 4»X 2J > m k] = 1 é s x t x 2 - 0 ( m o d mk> m i a t t

^ xt+ x2J [x 1 + x 2~ a ] - 0 (mod mk>

k o n g r u e n c i á b ó l

x +x - a = 0 (mod mk) 1 2

k ö v e t k e z i k , a m i b ő l m á r adódik a tétel h i á n y z ó á l l í t á s a .

Az e l ő z ő e k a l a p j á n , m i v e l a k o n g r u e n c i á n k m e g o l d á s a i párokba r e n d e z h e t ő k , az i n k o n g r u e n s m e g o l d á s o k ö s s z e g é r e könnyen b i z o n y í t h a t ó :

8. T É T E L . L e g y e n ( a , m ) = 1 é s j e l ö l j ü k Sy - v a l az

x = ax Cmod m ' ) 2 y

k o n g r u e n c i a i n k o n g r u e n s m e g o l d á s a i n a k ö s s z e g é t . E k k o r S, = a * 2r ~4 Cmod mV :) ,

k

ahol r az m k ü l ö n b ö z ő p r í m t é n y e z ő i n e k s z á m a .

B I Z O N Y Í T Á S : A 3. T é t e l a l a p j á n ha \f s a ' u ^C v ) Cmod mk ) egy m e g o l d á s , akkor x2 = av, í > ( u ) is m e g o l d á s , ahol mk = u*v;

Cu,v> = 1. De [ xi fx2] = a é s Ca,m> = 1. így , mk) = 1 és = 0 Cmod m ) . E z é r t a 7. Tétel a l a p j á n xi+ x 2 = a

Cmod mk> . De a T é t e l miatt 2r 1 ilyen m e g o l d á s p á r van, ezért a m e g o l d á s o k r a

2r -1

5 x. = 5 a = 2k ~1 a Cmod mk) .

í

Például: x2 = x Cmod 2 1 0 ) m e g o l d á s a i n a k ö s s z e g e : 5 x. = 24~1 = 8 C mod 2 1 0 >

mert 2 1 0 = 2,3 * 5 ' 7 m i a t t r = 4.

É s v a l ó b a n , s z á m i t ó g é p s e g í t s é g é v e l a k ö v e t k e z ő m e g o l d á s o k adódtak:

xi = 1

X S = 70 = 106

X 1 3 = 175

X2 = 15 X

* =

X3 = 21 =

r 91

xt i = 126

xi s = 196

X 4 = 36

X 8 = 105

X l 2 = i a 4

Xl0 = 2 1 0 Ezek ö s s z e g e J x^ = 1688 = 8 Cmod 210>.

- 1 3 -

IRODALOM

til N. F. Gallas, R e p r e s e n t a t i o n s of a u t o m o r p h i c n u m b e r s , F i b o n a c c i Q u a r t . , 10 ( 1 9 7 2 ) , 393-396, 4 0 2 .

[21 L.E. Dickson, H i s t o r y of the theory of n u m b e r s , Vol. I, New York, 1952.

[31 R.L. G o o d s t e i n , A u t o m o r p h i c n u m b e r in a g e n e r a l s c a l e . Math. Gaz., 43 C 1 9 5 9 5 , 2 7 0 - 2 7 2 .

[41 P. Kiss, On o n e way of m a k i n g a u t h o m o r p h i c n u m b e r s , Publ. Math. D e b r e c e n , 22 < 1 9 7 5 > , 199-203.

[51 C.P. P o p o v i c i , S u r une e q u a t i o n a r i t h m é t i q u e

de D. P o m p e i u , Bull. Math. Soc. Sei. Math. R. S. R. , 9 C19Ő7), 9 1 - 9 7 .

t61 M. T é d e n a t , S o l u t i o n s du p r o b l é m e d' a r i t h m é t i q u e , Ann. Math., 3 C 1 8 1 4 - 1 5 ) , 3 0 9 - 3 2 1 .

[71 V e r n o n de G u e r r e and R. A. F a i r b a i r n , A u t o m o r p h i c n u m b e r s , J o u r n a l o f Reer. M a t h . . 1 C 1 9 6 8 ) , 173-179.

[81 G. V r a n c e a n u , A s u p r a unei e c u a t i i a r i t m e t i c a , Com. Acad. Rep. Pop. Romane, 3 (1933), 3 - 8 .