A regressziós módszer általánosítása linearizálható statisztikai elemzésekre

A REGRESSZIÓS MÓDSZER ÁLTALÁNOSlTÁSA LINEARIZÁLHATÓ STATISZTIKAI ELEMZÉSEKRE

DR. GOMBOSlNÉ GÁRDOS ESZTER

A matematikai modellek a valóságnak mindig egy bizonyos részét — azt ame- lyet vizsgálni kivánunk -- próbálják kiragadni. Amikor a konkrét modellek paramé—

tereinek kvantitatív meghatározását statisztikai felvételekből szerzett adattömegen

akarjuk elvégezni, óhatatlanul szembekerülünk azzal a problémával, hogy a vizs- gálni kivánt adatok a konkrét esetben érdektelen mennyiségektől is nagymérték-

ben függenek.

Az adatok adott szempontból történő statisztikai értékelését általában úgy végzik. hogy először korrigálnak az érdektelen effektusokra (például összevonnak vagy elhagynak változókat, esetleg új változókat vezetnek be), majd az így nyert adattömegen elvégzik a kívánt elemzést. Ez a módszer azonban az esetek több- ségében matematikailag kifogásolható, mivel a becslés nem lesz torzitatlan. Cél—

szerű tehát olyan eljárásokat alkalmazni, amelyeknél a paraméterek becslésével egyidőben korrigálunk az érdektelen effektusokra. Ilyen feldolgozási módszereket a világon ma még csak néhány helyen használnak. elsősorban ott, ahol a para- métereket igen nagy relatív pontossággal kell meghatározni. A statisztikai model- lezés fejlődésével egyre inkább felmerül az igény a paraméterek torzitásmentes

becslésének biztosítására.

A fenti körülmények miatt válik szükségessé olyan matematikai statisztikai prog- ramrendszerek kidolgozása, amelyek egyidejűleg több különböző típusú jelenség- kör vizsgálatát teszik lehetővé. Az alábbiakban ennek a problémakörnek egy álta- lános matematikai statisztikai megoldását és egy ezen alapuló programmegoldást adunk tetszőleges linearizálható statisztikai elemzésre. A kidolgozott példa tetsző- leges függvények lineáris kombinációi esetén az együtthatók becslésére szolgál, amivel például egyidejűleg végezhető regresszió— és Fourier—analizis. A program- rendszert alapos kipróbálás után célszerű nem lineáris esetre is továbbfejleszteni.

A matematikai eljárás

Legyen a független változók száma K,

(xj, xa, ..., xK) : x

Legyenek MX). MX), fL (x) ezek tetszőleges függvényei. Definiáljuk az u meny-

nyiséget az fi, fz, . . .. fL lineáris kombinációként (aj . . . , a,_ valószínűségi változók):

" : 01f1(x)'l" 02 fz 00 "l' *l' GLfL (X)

DR. GOMBOSINÉ GÁRDOS: A REGRESSZIÓS MÓDSZER 47

Például:

u : 01 exi—l—sz —l— az sin (xi—l—2x3—l—x4)

Végezzünk N szómú megfigyelést az u, xi, . . ., xKértékére. és rendezzük az ezek alapján számított fi, . . ., fL mennyiségeket egy NXL-es matrixba (a a továbbiak-

ban is mindenütt matrixot jelöl):

fi (Xi) fa (xi) h (xi)

ii (XN) íz (KN) fi. (KN)

ahol X; az í-edik megfigyelés eredménye.

Legyen u az u mennyiségekből álló N dimenziós megfigyelési vektor és 0 az él- talónosított regressziós együtthatók L dimenziós vektora. Az elméleti modellt az "

mennyiség vórható értékére szokós felállítani, ugyanis az u mennyiség megfigyelt értékei a várható érték körül statisztikus fluktuációkat mutatnak.

Jelölje (u) az u várható értékét, amelyet az alábbi formula alapján számitha-

tunk (feltételezve G ismeretét):

(u) 3 a a /1/

Ennek ismeretében az NXN—es szórósmatrix:

:(öuo—öuT)D%E_f((u—(u))0(u7—(UT?)) /2I

ahol T a transzponólóst, o pedig a diadikus szorzóst jelenti.

A fenti diód a következő alakban is felírható:

(öuoöu7)202£1"1 /3/

ahol 02 konstans a maximális variancia, a 4—1 pedig egy NXN-es diagonális mat- rixot jelöl. (A a továbbiakban is mindenütt matrixot jelöl.) Ha az egyes megfigyelé-

seket nem súlyozzuk, akkor 4—1 egységmatrix. különben elemei § 1.

A keresett 0 értéke megfelelő. ha minimális az

: (uT — a7 (17) Ál (" — aa)

skalóris mennyiség, mely függvénye a-nak. A a 11—i matrix inverze. hasonló tulaj-

donsággal. 1

Az FCI szerinti derivóltjót nullóval egyenlővé téve kapjuk az optimumot szolgól- tató 0——— a értéket:

a* : (aTA oz)*'1 aTA u /4/

/1/-ből és /4/-ből látszik, hogy a becslés torzítatlan. mert

(eü) : (aTA (x)—1 aTA (u) :

1 Teljesen általános esetben a 4—1 matrix nem feltétlenül diagonális matrix. mert az elvégzett N számú megfigyelés nem feltétlenül független egymástól. A tárgyalt elméleti módszer tulajdonképpen ezt az esetet is leírja. hiszen ekkor a AT matrix a maximum--likelihood módszernél alkalmazott korrekciós faktor matrixa.

Ezzel az általános esettel azonban itt nem foglalkozunk részletesen, és a megadott programban ishatáro- zottan csak :: súlyozatlan legkisebb négyzetek módszerével végzett számítást alkalmaztuk.

48 DR. GOMBOSINÉ GÁRDOS ESZTER

Az 0* LXL-es szórásmatrixa /3/ és /4/ alapján:

S a* : (ő a* o ö(a*)7 ) :

: (ar A (x)—1 a7 A (öu o öuT ) - A a(aT A a)"1 : duar A a)-1 N

A maradék fluktuáció (másképpen a négyzetösszegek hibája) az "* ismereté-

ben a következőképpen határozható meg:

F*:(uT—(a*)TaT)A (u—aa*)———uTAu—(u*)TaTAu—uTAau*—l-

—j— (a*)7 aTAah*:uTAu—(a*)7 (aTA a) a*

/6/

Az F'" segítségével ki tudjuk számítani a 02 becsült értékét. Ennek érdekében több lépésből álló átalakítást végzünk a /6/-os formulán, melynek eredménye

F' : (a u7 — amr (17) A (a u — a a en) '/7/

A /7/-et tovább alakítva nyerjük az

F': Tr(öu őuT A — óva" ő (a*)T (117 A a))

összefüggést. ahol Tr a mögötte zárójelben álló matrix diagonális elemeinek ösz-

szege. A maradék fluktuáció várható értéke:

(P) : Tr (O'2 IN— 652 IL) : diff (N — L) /8/

Az IN és IL NXN-es. illetve LXL-es egységmatrixok. A /8/ alapján, ha N )) L.

akkor a maradék; fluktuáció egy N dimenziós 252 eloszlást alkot. lgy becsült 02:

Fil!

N _ L 19/

at2:

Összegezve: a /4/ formula alapján határozzuk meg a számítani kívánt paramé-

tereket. majd — /6/, illetve [9] figyelembevételével — /5/ alapján a paraméterek szó-

rásmatrixát. Fontos észrevétel a számító program tervezése szempontjából az, hogy

a /4/ és az /5/ formulákban szereplő a' Aa matrix mérete LXL—es és az, hogy ez a

matrix a megfigyelt adatok közlésével egyidejűleg számítható. jóllehet implicite tartalmazza az NXN—es méretű A matrixot. Hasonló megállapítás vonatkozik a for—

mulákban szereplő aT Au L dimenziós vektorra és az MT Au skalárra is.

A kapott eredmény lineáris algebrai, illetve geometriai értelmezése a következő-

képpen adható meg. Eredetileg N számú megfigyelést végeztünk, tehát egy N cli-

menziós terünk volt. Mivel a modellben L számú a,- paramétert vettünk fel, elmé- letileg a megfigyelések az N dimenziós térnek mindig ugyanabba az L dimenziós alterébe esnek (N ))L). Gyakorlatilag azonban kívül is kerülhetnek értékek az L dimenziós altéren, és éppen ezek szolgáltatják a maradék fluktuációt, amely az N — L dimenziós alteret írja le. Mivel feltesszük. hogy a hibatag független a magya—

rázó változóktól a két altér ortogonális. Másképpen kifejezve a Öu vektorok által kifeszített N dimenziós tér szétesik az (N -— L) dimenziós altér és a 50* vektorok által

kifeszített L dimenziós altér összegére úgy. hogy a két altér ortogonális.

A program leírása

1. A paraméterek becslése. A program FORTRAN nyelven íródott, és valódi

problémák megoldására a következő szubrutinokat tartalmazza: USER, ADOGAT,

LÁNC. ALTREG és SZORZO. Ily módon a feladat megoldását lépésekre bontottuk,

A REGRESSZIÓS MÓDSZER 49

és minden lépést egy szubrutinban fogalmaztunk meg. amelyek aktiválása részint egymásban, részint a főprogramban történik. Ezáltal a program olyan előre elké- szített rendszernek tekinthető, amelyben a felhasználónak csak a USER és az ADO—

GAT nevű szubrutinokhoz kell hozzányúlnia. Az utóbbiban, amely az adatok beol- vasását végzi csak a formátumot kell megadnia, a USER- ben pedig le kell írnia azo?

.,.l

felépíti. A LÁNC, ALTREG és SZORZO szubrutinokban rendre a /4/, /5/ és /9/ for-

mulák programozása történik. (A rutinok listáit lásd a Függelékben.)

A szubrutinokban felvett tömbök dimenzióját lehetne dinamikusan deklarálni, így teljesen általános lenne a leírás. Ez ellen szól azonban az a tény, hogy akkor a program tárolóterület—szükséglete nagyon megnövekedne, mert minden tömbnek külön helyet kellene fenntartani a memóriában. így viszont fizikailag egyetlen töm—

böt használunk, és az ennek kijelölt helyet COMMON mezőkkel adjuk át egyik szegmensből a másikba. Deklarációnk szerint maximálisan 50 függvény lineáris kombinációjából építhető fel a regressziós egyenlet. és a független változók száma 15 lehet. Ha ez nem elég egy feladatnál, akkor néhány programsor módosításával megnövelhetők a tömbméretek. A megfigyelések száma tetszőleges.

2. A program tesztelése. A tesztelésre szolgáló bemenő adatokat véletlenszám- generátor segítségével állítottuk elő. A SETRND2 véletlenszám—generáló rutin és a GENER szubrutin, amely ezekből a véletlenszámokból az input adatokat előállítja, csak a tesztelésre szolgáló segédrutinok szerepét töltik be. ezeket valódi adatok feldolgozása esetén a programrendszer nem tartalmazza. Ez a gyakorlatban any-

nyit jelent, hogy az ADOGAT szubrutin a megfelelő helyen nem a GENER szubru-

tint hívja, hanem beolvassa a megfigyelési matrix egy sorát. (A bemenő adatok visszaíratása akár el is hagyható.) Egyébként az ADOGAT szubrutin használata biztosítja, hogy a memóriában egyszerre mindig csak a megfigyelési matrix egy sora legyen bent. ami a gyakorlatban tetszőlegesen sok megfigyelés feldolgozását teszi lehetővé.

A USER szubrutinban kell a felhasználónak a konkrét f függvényeket megad—

nia. A példaként vett regressziós egyenlet a következő:

uzaí-í—a2x1lagxzá—aásinwxg—l—a5coswx3—i—

-l—aősin2a)x3—l—ayc052wx3

/10/

ahol az 60 : 0.02 értékkel dolgoztunk.

A véletlenszám- generátorral 0 és 1 közötti számokat állítunk elő egyenletes el- oszlással úgy. hogy a közeli korrelációkat is kiküszöböljük. Ezekből az xi. X2, X3 pa- ramétereket a következő módon állítjuk elő:

xi : 100 (21 - 0.5) 1000 (12 — 0.5)

X3 : _l ' 10 13

Xz

ahol zi, 22, 23 a véletlenszám-generátor különböző aktivizálásaiból adódó. O és 1

közötti számok. ] pedig a megfigyelés sorszáma (1, 2, . . ., N). Ezen xi, xZ, X3 segítsé- gével először a /10/ formula alapján kiszámítjuk a hozzájuk tartozó .,elméleti" u ér-

téket. Ezek után a véletlenszám—generátort még kétszer aktivizáljuk. ekkor a 24 és 25 számokat kapjuk. A bemenő adatokat úgy állítjuk elő. hogy a ,.megfígyelt" u' érték az u elméleti értéke körül Gauss-eloszlást mutasson. A Gauss—eloszlás % szó-

3 A szubrutint Pintér György, a Központi Fizikai Kutató Intézet tudományos munkatársa készítette.

4 Statisztikai Szemle

50 DR. Gomsosrrle GARDOS ESZTER '

rását célszerűen úgy választottuk, hogy az egyes megfigyelések relativ pontossága nagy legyen, azaz % kicsi legyen az u értékéhez képest,

A Gauss—eloszlás sűrűségfüggvénye:

1 _ ___—. __,"

e 2x2 /11/

p(u*. u) :

V27r 952

ahol p(u*, u) 0 és 1/1/27752 között változik.

..1. .

Vhr?

pi ! r ! !....--T...—v...—._.E

Tekintsük p mért értékének a

* 1

__ VZJZ 942

mennyiséget. A p*-hoz tartozó u* értéket a /11/ formula logoritmizálósának segit—

ségével nyerjük:

, _ 1

u —— u i l/2x2 lnw

14

A négyzetgyökös kifejezés előjelét a 25 véletlenszám segítségével határozzuk meg:

P 7-4

. ()—í1,h015_í0.5

5'9" u — —1, ha 25) 0.5

így

u' :

u —l— sign (U) - V2x2 lnz1

4

(Innen látszik a 14 és 25 véletlenszámok előállításának szükségessége. amelyre már a fentiekben utaltunk.)

A :: értékének önkényesen 5-öt választottunk, amely a korábban említett és

megindokolt szempontoknak eleget tesz.

A program véletlenszám-generótorral ily módon való tesztelése lehetővé teszi a rendszer helyes működésének torzításmentes ellenőrzését.

Az eredmények értékelése

A programot hét különböző N érték (N a megfigyelések száma) mellett futtatf tuk; le. A kapott eredményeket táblában tüntetjük fel. Látszik, hogy az egyes pora—

méterek hibái N VN—ed részére csökkennek, ami azt mutatja, hogy (: véletlenszám- generátorral előállított megfigyelések jó közelítéssel függetleneknek tekinthetők.

A REGRESSZIÓS MÓDSZER 51

A különböző számú megfigyelések mellett kapott eredmények

K'é'ftgfo N a 100 N : 200 N .: 500 N : 1000 N : 2000 N : 5000 N :: 10 000

a 1000 1002.03i 1000,13—i_— 1000,49i 1000.29i 1000,04$ 999,973i 9993433 1 0.766255 0.543796 0.327451 0.222163 0.159320 0.100654 0.0710299 a 100 99.991ói 99.9782j; 106.000t 100.094i 99.99571 100.0003i 99,9988i

? 0.0241351 0.0193771 0.0111032 0.00764639 0.00555860 0.00350068 0.00246009 a 2 2.00292jc 2.00314i 1.909963; 2.000723; 2001314; 1.99946i 2.00029i 3 000260544 0.00183886 0.00116090 0.000745548 0.000556650 0.000347100 0.000248108 a,, _27 —27.7004j; —2'7.90331c —-28,0025i —25.0398í —26.8074£ —26,8872i -—26.9537i 1.09379 0.751507 0.475415 0.320530 0.223360 0.142926 0,100369

05 32 31 .7943í 33,2398i 32.5583i 4 32.231si 31 .8586i 31 90951 31 ,90325:

1.04439 0.781416 0.451571 0.305547 0227595 0,141849 0.100547

% 19 6 20.3629j: 18.03461L 19.74503: 19.4261i 19,4775—_!— 19.63441 19.62305;

' 1.02711 0.784330 0.466264 0.308032 0.223043 0.142767 01100200 a? __35 3 —34,9124:l; —36,4034i —3a.4927 t —34,05774_r —35.7061 i —35,514si —35.4121i ' 1.08816 0.745633 0.459051 0.317849 0.227576 -* 0.142097 0.100706

A korrelációs matrixok azt mutatják, hogy a paraméterek becslései mennyire függetlenek egymástól. Az N : 10000 esetben például két tetszőleges paraméter közötti korreláció kisebbnek adódott. mint 1.3 százalék. '

Az fg, ..., f7 függvények várható értéke N ——oo esetén nulla, ezért lehetett a korrelációs matrixra (: programban is használt egyszerű formulát alkalmazni:

Clíi

Val-ian

(c,-n itt (017 A (l)—Lt értjük). Általános esetben a megfelelő várható értékeket le kell

vonni. A programnak ezt az óltalónositósót a későbbiekben kívánjuk megoldani.

Ugyancsak megoldandó feladat a becsült paraméterek tetszőleges részhalmaza- nak valamely elméletileg számitott értékkel való összeféréshez tartozó szignifikan—

ciaszintek számítása, ami igen bonyolult programozőstechnikai feladat.

r_—

1]—

!RO DALOM

Dixon. W. !. — Massey. F. I.: Introduction to statistical analysis. McGraw—Hill. New York. 1969. 220 old.

Draper. N. R. — Smith, H.: Applied regression analysis. Wiley. New York. 1966. 407 old.

]ánossy Laios: A valószínűségelmélet alapjai és néhány alkalmazása különös tekintettel mérési eredmé- nyek kiértékelésére. 2. jav. kiad. Tankönyvkiadó. Budapest. 1967. 211 old. ,

FUGGELEK

A PROGRAMRENDSZER SZUBRUTINJAiNAK LISTA! UD

FORTRAN IV 6 LEVEL 21 USER [ DATE : 76159 11/00

0001 SUBROUTINE USER .

0002 DIMENSION A(15), B(50). F(50) 0003 DOUBLE PRECISION B

0004 COMMON /DA/ L. N, K,

0005 COMMON IDC/ B, F. A

0006 DATA OM/o.02/

c

c A KONKRÉT FUGGVÉNYEK MEGADÁSA c

0007 PR:OM*A(3)

0008 F(1):1.

0009 F(2)———A(1) 0010 F(3)———A(2) 0011 F (4) leN (PR)

0012 F(5):COS(PR)

0013 F(ó):SlN(2.*PR) 0014 F(7):COS(2.*PR)

0015 RETURN

0016 END

4-

52 DR. GOMBOSNE emacs 95sz

FORTRAN

FORTRAN

IV (3 LEVEL 21 0001 0002 0003 0004 0005 0006

0007 0008 0009 0010 0011 0012 0013 IV 6 LEVEL 21

0001 0002 0003 0004 0005

0006 0007 0008 0009 0010 0011 0012 0013 0014 0015 0016 0017 0018 0019 0021 0023 0024 0025 0026 0027 0028 0029 0030 0031 0032 0033 0034 0035 0037 0038 0039 0040 0041 0042 0043 0044 0045 0046 0047 0048 0049 0050 0051 0052 0053 0054 0055 0056

ADOGAT

SUBROUTINE ADOGAT (U) DIMENSION A(15). 8(50). F(SO) DOUBLE PRECISION 8

COMMON /EE/M

COMMON IDA/ L, N. K COMMON (DC) B. F, A

DATE : 76159 mao

C

% AZ ADATOK SORONKENTI BEOLVASASA

10

LANC

MzM—H

CALL GENERALUMU) IF(N.NE.100) RETURN WRITE(6,10) (A(J).J:—1,K).U FORMAT (4F15.8)

RETURN END

SUBROUTINE LANC(NR.NV.1DET) DIMENSION A(50.51) P(51) DOUBLE PRECISION PIVOT.Z DOUBLE PRECISION A COMMON IDD/ A

DATE :: 76139 11104

C

% A L1NEARIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA

OOÓGNJ

12 11

14 141 142 143

25 26

27

105131 DO 1 lam—m nnna!

DO 5 KanNR Ptvoraopo DO 6 l:K.NR zzoAasmuxn IF (Z—PIVOT) 6.6.7 PlVOTzZ

IPRal CONTlNUE IF (PIVOT) o.v.a loerao

RETURN

IF (IPR—K) 10.11.1o an1P(K)

magamon) lP(IPR)zIW _ MAzNR—l—NV 00 12 1:1.MA Z:A(IPR.J) A(IPR.J):A(K.J) A(KJ ———z CONTINUE

PlVOT——:1.Do/A(K.K) A(K.K):1.DO De 5 l———-—1.NR

Z—Ml-K) x

IF (!. NE. K) A(l. K)——0 MB—NR

DO 5 3—1NMB

u: (t-K) namam _ A(I.J):A(l.l)-—Z*A(K.J)aPlVOT 60 m 5

A 8.1)ÉASC.!) *PIVOT Ag. J)——A5(l. J)—Z*A(K. !) CONTI

MC—NR-JE DO 30 l—1, MC

IF(1P(1).EG.I) 60 To 30 MD—1H'1

DO 25 J—MD. NR

IF (1P(J).EG.I) GO TO 26 CONTINUE

GO TO 30 DO 27 KahNR

:A(K.1) A(K.1)SA(K,J) A K

IP(Ji——:IP(I)

A REGRESSZIOS MÓDSZER

53

0057 30 CONTINUE

0053 RETURN

0059 END

FORTRAN N 6 LEVEL 21 ALTREG DATE : 76159 11104

0001 SUBROUTINE ALTREG

0002 DIMENSION G(SO.51).B(50).F(50).A(15) 0003 DOUBLE PRECISION 0.3

0004 DOUBLE PRECISION BT.S

0005 COMMON /DG/ BT

0006 COMMON /DD/ G

0007 COMMON IDC/ B.F.A

0000 COMMON /DA/ L.N.K

c

§ A PARAMETEREK es HIBAIK MEGHATÁROZÁSA

0009 L1zH—1

0010 CALL SZORZO

0011 LL:1

0012 CALL LANC(L,LL.1D) 0013 IF (10.504) GO TO 10 0014 WR!TE(6,203)

0015 203 FORMAT (21H1A MATRIX SZINGULARIS)

0016 RETURN

0017 10 52000

0010 00 15 J:1.L

0019 15 SzS-HNLUHBU)

0020 SzBT—s

0021 s1z1.*(N—L)

0022 5225

0023 S:SGRT(SZ/S1)

0024 DO 20 Jx1.L

0025 20 B(J)zS*DSGRT(G(J.J))

0026 00 30 J:1.L

0027 113111

0028 IF(J1.GT.L)GO TO 30

0029 Do 25 lam

0030 G(l.J)——-G (U)/DS ORT(G(I.I)* 00.11) 0031 25 () (1.029 (1.1)

0032 30 CONTINUE

0033 00 40 Jam

0034 40 00.031.

0035 RETURN

0036 END

FORTRAN IV 6 LEVEL 21 SZORZO DATE % 76159 11/04

0001 0002 0003 0004 0005 0006 0007 0008

0010 001 1 0012 0013 0014 0015 0016 0017 0018 0019 00201 0021 0022 0023 0024 0025 0026 0027 0028

C

SUBROUTINE SZORZO

DIMENSION G(50.51),B(50).F(50),A(15) DOUBLE PRECISION 0.3

DOUBLE PRECISION BT COMMON IDG/ BT COMMON IDA/ L.N.K COMMON IDC/ B.F.A COMMON [DD/ ()

C A O MÁTRIX ÉS 8 VEKTOR KISZÁMITASA

C ;

25

133

L1zH—1 BT;O.DO DO 5 !:1.L DO 5 Jam o(1.J):0.Do 00 133 IS:1,N CALL ADOGAT(U) CALL USER

BT:BT-§—U*U Do 25 lzm

G(í.L1)———:G(I,L1)—i-F(l)*u DO 25 3211

G(I.J):G(I.JH—F(l)* (J)

DO 60 1:1.L B(I):O(I.LT) 00 60 J:I.L

G(J.l):O(I.J)

CONTINUE RETURN END

54 DR. GOMBOSINÉ GARDOS: A REGRESSZIÓS MÓDSZER-

PE3IOME '

AB'rop usnarae-r nporpaMMy HeucnameHr-roü oueHm—r Ann cnyuaa perpeccusr—roü sagauu npou3sonbuoü nuneünocru. Ocranaannaaercx Ha cnyuae, KOFAG napamerpu nsnmo'rcazznesa ponmbrMu nepemem—rbrmu, Ho ne oössa'renhuo HBSÖBHCHMHMH. He cumaer rpeőoaaunem nak aaaucnmoc-rb nepemeHHbrx, HOCKOJ'leY arc ssnse'fcn őonee oőumm peweuueM npoőneMbr-s' o-mmne or oősruno npnmeHneMbrx ananomv—rnsrx npurpaMM. Hpnmeunemuü aaropom pack ue-r own—nőm npnronen Tonhuo !; TOM cnyuae, een" uncno Haőr-oneuuü anaumenbno—aneasr- maer uncno nepemenubrx, 'ro een, Koma ocrawugraa cpnyuryaung cnegyer N —- paamepHOMy'

752 -— pacnpenenenmo. _

SUMMARY *

The author shows in her study 0 program of unbiased estimation for any regression task that ccm be trcmsformed into lineor form. She discusses the case when the pcrumeters are probability variobles, but not necessarily independent. Since indepedence of the variables is not token as a reguírement this is a more general solution of the problem than widely used other similar programs. The calculation of errorsl used by the u'uthor. ccm be applied if the number of observations is much higher than the number of variobles, that is the residual fluctuntíon corresponds to an N dimensional ;? distribution.