Egy stabilis dinamikus oligopol probléma

EGY STABILIS DlNAMlKUS OLIGOPOL PROBLÉMA

DR. SZlDAROVSZKY FERENC — DR. OKUGUCHI KOJl

Az "oligapol probléma az egyik legismertebb gazdasági játék. amely valós gaz- dasági szituációkat ír le. Dolgozatunkban a dinamikus többtermékes oligopol prob-

lémát vizsgáljuk meg, amikor a játékosok az időben folyamatosan változtathatják

stratégiáikat. A játék stabilitását bizonyítjuk be általános feltételek mellett. Ered—

ményeinket a mátrixok H stabilitása néhány tulajdonságának felhasználásával bi—

zonyítjuk.

A legegyszerűbb változatban, az ún. klasszikus oligapol játékban jelölje n a

termelők számát. *

Tegyük fel. hogy egyféle terméket állítanak elő. amelyet közös piacon értéke—

sítenek. Jelölje Lk (1 §k§n) a k—adik termelő kapacitását. így az általa előállított Xk termékmennyiségre fennáll. hogy OÉXkÉLk. Ha f jelöli egységnyi termék el—

adási árát. valamint Kk a k-adik termelő költségfüggvényét. akkor haszna a

Wk(x1*---vxn):xkf(,§l1xl)— Kklxkl UÉk—S—nl /1/

kifejezéssel adódik. ltt feltettük, hogy a termék egységára az együttesen piacra ke- rülő termékmennyiségtől függ. Az Sk : [O. Lk] stratégiahalmazokkal és a (Pk kí- fizetőfüggvényekkel rendelkező n személyes játék jelenti a legegyszerűbb oligapol problémát. A játék megoldását az ún. Nash-féle egyensúlypontok jelentik. amelye—

ket a következő két tulajdonság jellemez:

a)x; E Sk (1§k§n):

b) tetszőleges k (1 §k§nj és xk 6 Sk esetén

cm (x; . . ., x;_1,xk,x;4r1, . . .,le § % (x:, . . .,x;_1,x;,x;*1, . . .,x;) . [2]

Ha egy x' : (x:, ..., xz) vektor kielégíti az a) és a b) feltételt, akkor egyen-

súlypontnak és az x; koordinátákat egyensúlyi stratégiáknak nevezzük.

A klasszikus oligapol játék egyensúlypontjának létezésével és egyértelműsé- gével igen nagy irodalom foglalkozik. A szimmetrikus esettel (amikor a Kk költség- függvények azonosak) E. Burger (1) foglalkozott, az általános nem szimmetrikus esettel pedig többek között Szidorovszky ((2). (3)), Okuguchí (4), Szidarovszky és Yakowítz (5).

'A klasszikus oligapol játék többféle általánosítása,kiterjesztése ismert az iro—

dalomból. Az ún. többtermékes oligapol problémát Szidarovszky vezette be (3).

Jelölje most is n a játékosok számát, M pedig az előállított termékféleségeik szá—_

mát. Legyen xí'") a k-adik játékos által az m-edik termékféleségből előállított meny-

?

292 DR. SZIDAROVSZKY FERENC -— DR. OKUGUCHI KOI!

nyiség. Jelölje fm az m-edik termék egységárát. Kk pedig a k-adik játékos költség—

függvényét. ekkor kifizetőfüggvénye a

mh, .. ,xn) : XZHZZ x.) — Kkixk) 13/

kifejezéssel adódik, ahol

xk:(xl(1l...x§M))r és f:(f1...fM)T Tegyük fel a következőket:

1. létezik olyan konvex, zártD C RM halmaz. hogy s 6 D esetén f(s) : 0;

2. tetszőleges 5 E D, 0 § : § : esetén? ED:

3. azi7," árfüggvények folytonosan differenciálhatók a D halmazon, konkávak. valamint a KSH—Ms) mátrix tetszőleges s 6 D mellett negativ szemidefinit ahol ] jelölif Jacobi-

mátrixát;

4. a játékosok Sk stratégiahalmami RM korlátos, zárt, konvex részhalmazai, valamint tetszőleges xk 6 Sk, O § xk § xk esetén xk E Sk:

5. a Kk költségfüggvények folytonosak, konvexek, és minden változójukban szigorúan növekedők az Sk halmazon.

Ismeretes (3). hogy a fenti feltételek mellett a játéknak létezik egyensúly—

pontja. A nemlineáris esetben az egyensúlypontok meghatározására nincs, álta- lános módszer, viszont a lineáris esetben alkalmas kvadratikus programozási prob- léma megoldásával a játék egyensúlypontjait megkaphatjuk.

A tanulmány szerzői vizsgálták az oligopol probléma dinamikus kiterjesztését, a dinamikus játék stabilitását időben diszkrét és folytonos esetekben (7), Jelen dolgozatukban folytonos modelljüket vizsgálják. és stabilitását igen általános fel—

tételek mellett bizonyítják be.

A vizsgált dinamikus modell

Tegyük fel. hogy a többtermékes oligopol játék esetén az f és a Kk függvények valamennyien lineárisak:

M

fm (sm, . . ..s(M)) :: z ni,/M") —i— bm ('léméM),

[121

' M

Kk (le' . . ., xáMl) : Z1A§mlxémll— Bk (1 ákén).

mF_

Vezessük be a következő jelöléseket:

:'(Agn,,.___,Agm,..),Ag),....Aw (eRM"),

b : (b,, bM . . ..b1. . . ., bM)T (g RM").

A—; (OEM/vik? (6 RMxM)

Feltesszük továbbá. hogyaz Sk e's a D halmazok kielégítik (: többtermékes oli- gopol játékra az előző paragrafus végén tett feltételeket, valamint tetszoleges

" .

xk G S'k esetén —ZXké D Tegyük fel ezeken kívül. hogy az A —l— A! mátrix

soveouooroupnosLEMA " ' ' - ; 293

negativ definithimutatható, hogy A— éppen" az ff függvény'Jacobi—mótrixa, és *így 0 (Pk kifizetőfüggvény Xk—bdn konkáv. A Kk költségfüggvény szigorú növekedéSe pedig Ag") ) 0 (V k, m) esetén biztosított.

Tegyük fel. hogy a t : 0 időpontban ismert a játékosok stratégiája, x(O)' rí?

::(x1 (O), . . . . x,, (C)). Az x(O) kezdeti pontból kiindulva a játék dinamizmusa a kö—

vetkezőképpen írható le. Minden k esetén 'je'lölje xiii) a" " ' ' ' '

(Pk (xiltl' - - ., Xk—1ltlv Xkltli Milli), - - .. antl) /4/'

függvény xk-beli maximumhelyét rögzitett x,(t)y.vlwá; ki.—stratégiák mellett. Ekkor a

k-adik játékos az , ,

ikltl : Dk (letl — Kultl) /5/

differmiólegyenletnek megfelelően választja meg, stratégiáját. Feltéve. hogy /4/

optimumhelye Sk belső pontja, a [4/ függvény optimumhelye kielégíti az

(A % A*) XHt) * %A xm) * ('a — b) %O 16,

összefüggést minden k esetén. A /6/ egyenlőség a /4/ függvény gradiensének zé- russó tételét jelenti.

A /4/ függvény konkavitósóból azonnal adódik, hogy a /6/ egyenlet x,:(t) meg-

oldása egyértelmű. és valóban maximumpont.

A [6/ egyenlet tömören az

(A-i—AT)'1 — * o A A A

fm : _ ' . x(t) Jr a /7/

(A—HUr1 A A Ao

alakban is felírható. ahol a konstans vektor. lgy az /5/ egyenletek tömörítésével az x(t) stratégiavektorra az

D1

ima '. (a—nxmw /8/

lineáris differenciólegyenlet-rendszer adódik, ahol B a /7/ egyenlet együttható mótrixa, ! az azonos méretű egységmótrix, valamint 13 konstans vektor.

A fentiekkel kapcsolatban még két megjegyzést teszünk.

' 1. Általában a Dk mátrixok diagonálisak, viszont egymással helyettesíthető termékek esetén az egyes termékekből gyártott mennyiségek dinamizmusa nem té—

telezhető fel egymástól teljesen függetlennek. Ilyenkor célszerű diagonálistól el- térő struktúrájú Dk mátrixok választása. '

2. Feltettük, hogy /4/ optimumhelye Sk belső pontja. Ez a feltétel csupán tech—

nikai egyszerűsítéseket szolgál. Ellenkező esetben ugyanis alkalmas büntetőfügg—

vények bevezetésével vezérelhetjük vissza az optimumot Sk belsejébe. A részletek tárgyalását mellőzzük. mert a metodika analóg az (B)—ban részletezett dinamikus

modellben is használt eljárással.

294 _ "DR. sztonaovszxv FERENC - DR. oxueuem— Kon

A következő paragrafusban a— /8/ differenciátlegyenlet—rendszer stabilitását vizs—

gáliuk meg. , w - , . . , n _ _.

A dinamikus rendszer stabilitása

A /8/ dinamikus játékot akkor mondjuk stabilisnak, ha mint differengiálegyen—

let-rendszer aszimptotikusan stabilis. ismeretes. hogy ennek szükséges és elégséges

feltétele az, hogy az együtthatómátrix sajátértékeinek valós része negativ legyen.

Ezt a feltételt vizsgáljuk meg a továbbiakban. Fő eredményünk (: következő.

1. tétel. Tegyük fel, hogy a dinamikus modellre az előző paragrafusban tett felf tételek teljesülnek. valamint Dk : lkl (Ik ) 0). Ekkor a dinamikus játék stabilis.

Mint már említettük. elegendő azt belátnunrk, hogy /8/ együtthatómátrixának

sajátértékei negatív valós résszel rendelkeznek. Ennek belátásához fel kell hasz-

nálnunk mátrixok ún. S-stabili'tásának fogalmát és néhány tulajdonságát] í

Deliníció. Egy komplex C mátrixotlH-stabilisnak nevezünk. ha tetszőleges po—

zitiv definit H mátrix esetén HC sajátértékeinek valós része negatív.

A mátrixok H-stabilitására D. Carlson (9) adott szükséges és elégséges fel-

tételt. ,

1. lemma. Legyen

R(C) : ——;—-(C4—C*l és l(C)4;-'—"glz'(c"c*l-

A C mátrix akkor és csak akkor H—stobilis. ha (i) R(C) negatív szemidefinit:

(ii) x'R (C) x : O :, x*l (C) x : 0;

(iii) C nem szinguláris.

Valós mátrixok esetére e feltétel-a következőképpen módosítható.

2. lemma. Egy valós C mátrix akkor és csak akkor H-stabilisyha az (i). (iii) .és a (ii') tetszőleges valós E. 7] vektorokra

R(C)E: R(C)17:0:vÉTCn zo;

feltételek fennállnak.

Következmény. Ha C —l— CT negatív definit, akkor C H-stabilis. Ennek belátása

a következőképpen történik. Az (i) fennállása nyilvánvaló. Ha R(C) negativ definit.

akkor a (ii') feltételt kielégítő E és 17 vektor zérus, így ;" C 77 is nyilvánvalóan zérus.

A (iii) feltétellel ellentétben tegyük fel. hogy C szinguláris. Ekkor alkalmas 5 e; 0 vektor mellett C 5 :: 0. így 57 CS : 0. és ennek transzponálásával ET CT § : 0,

majd összeadással 57 (C —l— CÖÉ "; 0, amely 5 §; 0 esetén C —l— CT negativ defi-

nitsége alapján nem állhat fenn. lgy C szükségképpen nem szinguláris.

A tétel bizonyítása. Egyszerű számolással látható. hogy

(IH—Nr1 AtAT A ... A

. T

B—Iz— , A A*A ... A /W

eov OLIGOPOL PROBLÉMA

295

így /8/ együtthatómátrixo H—C alakban is felírható. ahol H pozitiv definit:

—r1(A—l-AT)"1

. —— r,.(A—l—ATY1

és C a /9/ jobb oldalának második tényezője. A 2. lemma következménye alapján a tétel bizonyításához már csak azt kell belátnunk, hogy C —l— CT negatív definit.

Vegyük észre először, hogy

2(A—l—AT) A—l—AT A—l—AT ,21...1

T T T

ctcT: A—l—A 2(A—l—A) AA—l—A ___ 12...1 WHAT); /10/

A—l—AT A—l—AT 2(A—l—AT) 1 1 2

...

ahol x (: mátrixok direkt szorzatát jelöli. Ismeretes. hogy mátrixok direkt szorzatá- nok sajátértékeit úgy kapjuk meg, hogy az egyes tényezők sojátértékeit összeszo- rozzuk. Minthogy A %— A7 negatív definit. sojátértékei negatívak, így már csak az

maradt hátra. hogy belássuk. hogy /10/ első tényezőjének sojátértékei pozitívak.

Ennek érdekében számítsuk ki először az

1 1 1

1 1 1

E :

1 1 . 1 mátrix sajátértékeit. A sojátérték-egyenlet

u14— uz %— 4— una-luk (k:1,2,...,n)

alakú. Nyilvánvalóan 2 : 0 soiátérték tetszőleges u : (uk), Z uk : k

tor mellett. Ha 1 : 0, akkor uk : Ul (k : I), így szükségképpen Á : n. Tehát E :sajátértékeí O és n. Minthogy /10/ első tényezője I—i— E, sajátértékei 1 és n-l—l.

Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

O. scjátvek-

Megjegyzés. A Dk : rk ! feltétel helyett elegendő azt feltennünk, hogy Dk (A—l—

AT "1 ne₉átív definit. ekkor ugyanis a

—D1(A1L-AT)"1

llll

——D,, (A—iATr'

mátrix most is pozitív definit. Ez a tételben adott Dk : l'k ! feltételnél sokkal álta- lánosabb körülmények között is teljesül. Ennek belátásához felhasználunk egy is- mert eredményt ((10) 137. old.).

3. Iemma. Legyen K1 pozitív definit és K2 olyan. hogy Ki Kg hermetikus. Ekkor

"Ki Kz akkor és csak akkor pozitiv definit, há Kp. sojátértékei valósak és pozitívak.

296 DR. SZlDAROVSZKY FERENC -— DR. OKUGUCH! KOM-

A lemma alapján a következőt fogjuk bebizonyitani. ' 4 u , ::4 2. tétel. Ha Dk pozitiv definit, Dk A : A Dk (1 § k § n), valamint az 1. tétel?

egyéb feltételei fennállnak. akkor a dinamikus játék stabilis.

Bizonyítás. Minthogy Dk A : A Dk és Dk szimmetrikus, Dk AT :: AT Cu. így

összeadással látszik. hogy Dk felcserélhető az A-l—AT mátrixszal. így annak ln-

verzével is. A tétel bizonyításához már csak azt kell belátnunk. hogy ha két mátrix szimmetrikus és felcserélhető, akkor szorzatuk is szimmetrikus. hiszen ekkor a 3.

lemmából azonnal következik az állítás. Tegyük fel tehát. hogy 57 : S és T7 :: Tb

valamintSTr—TS.Ekkor(ST)T:TTST:—:TS:ST. '

FUGGELÉK

Az 1. tétel bizonyításában a 2. Iemma egy érdekes következményét használtuk fel, amely—

a következőt mondta ki:

1. állítás. Ha C—l—CT negatív definit és C valós, akkor tetszőleges H valós pozitiv de- finit mátrix esetén HC sajátértékeinek valós része negatív.

A 2. tétel bizonyításában felhasználtuk a 3. Iemma elégségességet garantáló részét valós mátrixok esetére, amely közvetlenül így fogalmazható meg: *

2. állítás. Ha Ki és K2 pozitiv def—hitek. valósak, valamint KiKg szimmetrikus. akkor KiKg is pozitív definit.

Mindkét állítást általános, az irodalomból ismert eredmények alapján nyertük. Ennek a függeléknek az a célja. hogy az általános eredményektől független, egyszerű elemi bizo-—

nyitást adjon a fenti állítása-kra.

Az 1. állítás bizonyítása. A HC mátrix sajátérték-egyenlete.

HC u : Au,

balról beszorozva a H--1/2 mátrixszal és bevezetve a v : H—1/2 u jelölést a

Hm cr-l"2 v : Av

összefüggést nyerjük. Szorozzuk be balról v"-gal (azaz v konjugált transzpanáltjával). ekkor v' H1l2 CH'nv : Zlvlzy

vagyis a w :: H"2 v jelöléssel

A: w'Cw/lvlz.

Komplex konjugáltra áttérve és transzponálva

?: w'C'w/lvlz.

Eszrevéve, hogy C' : CT. és összeadva a két legutóbbi összefüggést azonnal adódik, hogy .

2Rel:l$í:%4ü

A 2. állítás bizonyítása. Vegyük észre, hogy a Cz—Kg mátrix kielégíti az 1, állítás feltételeit. ugyanis (-—K2) —l— (—K2)T :: -2K2 negatív definit. lgy —K2 H-stabilis, és a H : K1 választással K1(—K3) :: Ksz sajátértékei negatívak. Minthogy KlKg szimmetrikus, szükség—

képpen pozitív definit.

lRODALOM

(1) Burger, E.: Einführung in die Theorie der Spiele. De Gruyter. Berlin. 1959. 169 old.

(2) Szidarovszky Ferenc: On the oligopoly game. DM 70—i. Karl Marx University of Economics. Buda—

pest. 1970. 30 old.

(3)-Szidarovszky Ferenc: .látékelmélet. Tankönyvkiadó. Budapest. 19 . 190 old.

(4) Okuguchi. K.: Expectations and stability in oligopoly models. Springer Verlag. Berlin — Heidel—

berg — New York. 1976. 103 old.

EGY ouoopm PROBLÉMA 297

(5) Szídorovszky Ferenc — Yokowitz. S.: A new proof of the existence and uniouenoss of the cournot eauílibrium. International Economic Review. 1977. évi 18. sz. 787—789. old.

(6) Szidarovszky Ferenc — Yakowr'tz, S.: Contributions lo Cour-not oligopoiy. Journal ol Economic Theory. 1982. évi 28. 51. 51—70. oid.

(7) Szidorwszky Ferenc — Okuguchr', K.: Az oligopol játék stabilitésúrói. Szígma. (Megjelenés alatt.) (8) Szép Jenő —- Forgó Ferenc: Introduction to the theory of games. Akadémiai Kiadó. Budapest.

1985. XVIII. 4- 392. old.

(9) Carlson, D.: A new criterion for H-stobility of complex motrices. Linear Algebround Applications..

1968. évi 1. sz. 59—64. old.

(10) Bellman, R.: Introduction to matrix analysis. McGraw. New York. 1970. 403. oid.

TARGYSZÓ: Jótékelmélet.

PESFOME

Onurononsnan npoönema asnae'rcn oAHoü us Hauőonee uaaecmux 3KOHOMHHeCKHX"

nrp, noropan onncmsaer Aeücmnrenbnue xoanücrseunbie cmyauuu.

B caoeü crarbe BBTOphI uccneAyror craőunbuocn, AnHaMuuecxoi MHoronponyKroaoü onurononbuoü npoőneMbl, Koma urponn no ony apemel—m CHCTeMaTHHeCKH moryr "3-—

Menm'rcaoro crpa'rermo. CoaAauue craőunbnocm Aaer xopouro KomponwpyeMbre Accra—v

Touubie ycnosm. '

Peaynbraru HOBH, marema'ruuecxn Koppexru u npnaomrr K nyumeMy nor-mmanmo npuponu onurononn.

SUMMARY

The oligopoly—problem is one of the best known economic games, describing real eco- nxomic (situations.

The authors analyse in their study the stability of the dyncrmic multi-product oli—

gopoly-problem in cases when players can change their strategies continuousiy over time, The stabilizatíon provides sufficient conditions that may be fairly checked. ,

The new and mathematically correct results hihgiy contribute to the understanding of the nature of oiigopoly.