Hogyan tanítsuk...

Ha a rendelkezésre álló gépek szám a eléri legalább a c s o p o rt létszám ának negyedét-harm adát, akkor sokkal tö b b felhasználási terület kínálkozik. É rdem es pl.

évkezdetkor szám ítógépes szintfelm érést tartani, és az egyes átism étlendő, gya korla n - dó régi anyagrészeket szám ítógépen (is) gyakoroltatni. Az egyes ta n u ló k aktuális tudásszintjét és haladásának dokum entum ait szintén szám ítógépen kifizető dő tárolni.

Néhány fő s c so p o rto ka t képezhetünk, közülük egyesek a kom puteren d o lg o zn ak, a tö b b ie kke l intenzívebben foglalkozhatunk. Minél inkább am b icio ná ljuk az egyes diákok tanulását, fejlődését követni és irányítani, annál inkább rászorulunk a szám ító g é p segítségére, am ely erre a célra a legrugalm asabban felhasználható eszköz.

S zám ítógépek az id e gennyelv-oktatásban (R.A M orrey: C om puters in the S e co n d L anguage C lassroom , P ro ce e d in g s o f the Twelfth E ducational C o m p utin g O rganization o f O ntario C o n fe ­ rence a n d the E ighth Inte rn a tion a l C onference on Technology a n d E ducation, Toronto, M ay

1991, 4 6. p .)

G yakorlati útm utató id e g e n nyelvek szá m ítóg é pp e l tám og a tott oktatásához (R .A .M orrey: P rac­

tic a l G uidelines fo r U sing C om puters in the S eco n d Language C lassroom , P ro c e e d in g s o f the Twelfth E du ca tio n a l C o m p utin g O rganization of O ntario C onference a n d the Eighth In te rn a tio n a l C onference on Technology a n d E ducation, Toronto, M ay 1991, 535-537. p.)

M ÁRTONFI GYÖRGY

Hogyan tanítsuk...

...a szöveges feladatokat?

A szöveges feladatoknak nagy szerepük van a tanulók p ro b lé m a m e g o ld ó ké p e ssé ­ gének fejlesztésében, gyakorlati életre való felkészítésében, szem élyiségjegyeik kiala­

kításában. Lehetőséget adnak sokféle m atem atikai fo g a lo m alakítására és gyakorlati alkalm azására (pl. reláció, nyitott m ondat), a szám olási készség és a bizonyítási készség fejlesztésére stb. Ezért a szöveges feladatok m egoldatása nagyon fo n to s és hatékony eszköze az oktató, nevelő munkának. El kell érni, hogy a tanulók képesek legyenek a feladatok teljesen önálló m egoldására, term észetesen differenciáltan, képességeiknek m egfelelő szinten.

E céltól az alsó tag o za to s gyerekek nagy része eléggé m essze van. Ennek az elfogadhatatlan állapotnak olyan sok oka van, hogy ezek ism ertetése külön tanulm ányt igényelne. M ost a hiányosságok, hibák felsorolása helyett inkább azt a m ódszert, illetve azokat a m ódszertani fogásokat szeretném ismertetni, am elyek alkalm azása esetén jo b b eredm ényt rem élhetünk.

A szöveges feladatok m egoldásának a m ódszertan által m eghatározott, logikailag egym ás után következő lépései (fázisai) a következők:

A feladat m egértése Az elemzés.

A m egoldási terv készítése, felírása szám kifejezéssel, vagy nyitott m ondattal.

A m egoldási terv végrehajtása (m egoldás).

Az ellenőrzés.

Válaszadás.

Nézzük ezután, hogy m ilyen tartalom m al kell ezeket a fázisokat m egtölteni, egy konkrét példa esetén.

Feladat: Egy öltöny 2800 Ft-ba kerül. A nadrág ára a ka b á t árának a 3 n e g y e d része.

M ennyi a kabát ára?

M ennyibe kerül a nadrág?

Első fázis: a fe la d a t m egértése

A m egértés a diák feladata, a tanítóé pedig a m egértés ellenőrzése. Ennek é rdekében a következő kérdéseket kell feltennie:

- M ilyen adatokat ism erünk?

- M ilyen adatokat nem ism erünk?

- M ilyen összefüggéseket ism erünk?

- Mit kell kiszám ítani?

(A későbbiek során a gyerekeknek önállóan kell g o n d o ln iu k ezekre a kérdésekre.) A tanító szoktassa rá a tanulókat arra is, hogy az adatokat táblázatszerűen írják ki, és rögzítsék röviden az összefüggéseket. (Ezt nem lehet azzal pótolni, h o g y a szö ve g b e n aláhúzásokat alkalm azunk.)

A m eg old á s előtt praktikus m egállapodni abban, hogyan jelöljék az egyes ism e re t­

leneket (változókat). Az egységes jelölés alapján a gyerekek k ö n n ye b b e n m egértik e gym ás k ü lö n b ö ző m egoldásait, és kön nye b b lesz az ellenőrzés is.

Az adatokat és a közöttük fennálló összefüggéseket így em elhetik ki a s z ö v e g b ő l:

Ö ltöny: 2800 Ft

N adrág: O F t, ez 3 negyede A Ft-nak.

Kabát:

A

így is célszerű felíratni az összefüggést:

□ Ft --- A Ft Ez 3 negyede ennek M á so d ik fázis: elem zés

Az elem zést nagym értékben m egkönnyítik a rajzok. Ezek nélkül a ta n u ló k tö b b s é g e nem képes a kissé nehezebb problém ák m egoldását m egtalálni. A n e hezebb feladatokat a jó tanulók is csak rajz segítségével tudják m egoldani. M eg kell tehát tanítani a tanulókat m egfelelő rajzok készítésére.

A színes rudak előzetes alkalm azása alapján a gyerekek kö n nyen m egértik a szám ok, m ennyiségek szakaszokkal való ábrázolásának az elvét. M inden adatot és m inden ö ssze fü g gé st ábrázolni kell! Célszerű kü lö n b ö ző színek alkalm azása is.

Példánk esetében a tanulóktól a következő ábrázolást várhatjuk el.

Kabát: 1— '— 1— ‘— * Ft N adrág: 1— 1— 4— ’ Ft

Ö ltöny: 2800 Ft

i— i— i— i— 1_. i i i

v--- v--- *■--- --- '

A Ft

P

Az o sztá sp o ntokn a k d ö n tő szerepe van. Az ilyen rajzok alapján sokféle m e g o ld á si tervet találhatnak.

H arm adik fázis: a m e g o ld á s i terv elkészítése

A m eg old á s logikai m enetét önállóan kell a gyerekeknek m egtalálniuk. A tanító csak az igazán rászorulókat segítse, őket is csak a szükséges m értékben, m ert k ü lö n b e n nem fo g n a k fejlődni.

Biztassa arra a tanulókat, hogy többféle m egoldást is keressenek! Tapasztalatok alapján az a vélem ényem , hogy egy szöveges feladat sokféle m eg old a tá sáva l jo b b a n fejleszthető a p ro b lé m a m e g o ld ó gondo lkod á s, m int sok feladat egyféle, s o k s z o r ötlettelen, felületes m egoldásával. A kkor van szükség igazán ötletekre, a m iko r ugyanazt

• a p ro b lé m á t m á ské pp e n is m eg akarjuk oldani.

Választott feladatunk esetén is sokféle helyes m egoldási tev készíthető, például a következők:

A

□ = / 4 ) • 3

A

A

<A

4

A

(6 ) Q = (2800 / 7) • 3

A hány helyes vagy helytelen m egoldási tervet találnak a tanulók, m ind kerüljön a táblára és m ind e g yike t indokolják, értelmezzék és próbálják eldönteni, h o gy helyes-e!

A v é g s ő d ö nté st az ellenőrzés alapján lehet, illetve kell m eghozni.

N e g y e d ik fázis: a m e g old á s

Ez a b b ó l áll, h o gy a tervként felírt nyitott m ondatot m egoldjuk, illetve a szám kifejezés értékét kiszám ítjuk. Az ism eretlenek m eghatározása a leg e g ysze rűb b az (5)-ös vag y a (6)-os m e g old á si terv alapján, mert ezek esetén egy szám kifejezés értéket kell csak kiszám ítani. A tö b b i m e g old á si terv egy, illetve két nyitott m o n d a tb ó l áll. A nyitott m on da to ka t a tanterv szerint próbálgatással kell m egoldaniuk a gyerekeknek.

Az (1)-es és a (2)-es tervben két ism eretlen is szerepel, ezeket próbá lg atássa l h osszad a lm as lenne m eghatározni. Ezért arra kell ö sztönözni a tanulókat, h o gy olyan nyitott m o n d a to t írjanak fel m egoldási tervként, am elyben csak egy ism eretlen szerepel.

Ilyen pl. a (3)-as szám ú terv:

A + ( A /4) -3 = 2 8 0 0

E bből a kabát ára ( ) próbálgatással a következőképpen határozható m eg. E lőször a becsléssel kapott értékkel próbálkozzanak a gyerekek

A > 28 0 0 /2 A kb. 1500 Ft

1 5 0 0 + (1 5 0 0 /4 )-3 = 2 8 0 0 (hamis) 2625

A tanulóknak rá kell jö n n iü k arra, hogy n a gyo b b szám m al érdem es p ró b á lko zni!

A kb. 1700 Ft

1700 + (17 00 /4 )-3 = 28 0 0 (hamis) V--->*,---s

2975

Ezután kisebb szám ot célszerű kipróbálni:

A kb. 1600 Ft

1600+ (16 00 /4 )-3 = 28 0 0 (igaz) v--- -

2800

Tehát A = 1600 Ft és

□ = 2800 Ft-1600 Ft = 1200 Ft

M egjegyzés: N agyon helytelen, ha a tanító a próbálgatás helyett betanítja az egyenletek gépies m egoldását. Egyrészt azért, mert a pró bá lg atás a szám olási készséget fejleszti, m ásrészt pedig a form alizm usra e lő b b -u tó b b ráfizet a tanuló. Ha időt akarunk nyerni, akkor néhány próbálgatás után inkább közöljük az ism eretlen szám értékét.

Ö töd ik fázis: az ellenőrzés

Az általunk kiszám ított értékek akkor és csak akkor heiyesek, ha a szöve g szerint szám olva velük, m inden eredeti adatot m egkapunk. Tehát e llenőrzéskor tekin tsü k ism eretleneknek az eredeti adatokat, és m indegyiket szám ítsuk ki!

a) Az ö ltöny ára 2800 Ft-e?

b) A nadrág ára a kabát árának a 3 negyed része-e?

M ennyi az ö ltöny ára?

1600 Ft + 1200 Ft = 2800 Ft

H ányad része a nadrág ára a kabát árának?

1200 : 1600 = 12:16 = 3:4 = 3/4

M egkaptuk az eredeti adatokat, ezért biztos, hogy jól szám ítottuk ki az ism eretleneket H ato dik fázis: válaszadás a fela da t kérdéseire.

A kabát ára 1600 Ft.

A nadrág 1200 Ft-ba kerül.

Látható, hogy a szöveges feladatok m egoldatásának m ó d szertana sok időt, a la p o ssá go t igényel. A szükséges időt ne sajnálja a tanító, ne akarjon úgy időt nyerni, hogy sürgeti a tanulókat, hogy a kelleténél sokkal tö b b e t segíti őket a m e g o ld á sba n . Ne egyszerűsítse le, ne nagyolja el az egyes m ódszertani lépéseket, m ert nem lesz eredm ényes a munkája.

Törekedjen arra, hogy a gyerekek minél elő b b és m inél ö n á lló b b a n oldják m eg a feladatokat. Adjanak fel gyakran szöveges feladatot házi feladatként, mert o tth o n a tanulók tö b b időt fordíthatnak a m egoldásra. Ne felejtsék el azt sem, h o gy a p ro b lé m a m e g o ld ó g o n d o lk o d á s fejlesztésére csak az összetett fela da tok alkalm asak.

Végül néhány m egjegyzés. Az esetek d ö n tő tö b b sé g é b e n nyitott m o n d a to k se g ítsé ­ gével oldjuk m eg a szöveges feladatokat, de erre sem szabad teljesen rászokni.

T öbbször sokkal ügyesebben oldhatók m eg a feladatok próbálgatással. Például: Egy ké tje g yű szám első szám jegye 4-gyel nagyobb, m in t a m ásodik. Ha szá m je g y e it fe lc s e ré ljü k és az ügy k a p o tt szám ot az eredetihez hozzáadjuk, a kko r 88-at kapunk.

M e lyik szám ról van szó? Legfeljebb a következő szám okat kell kipróbálni: 95, 84, 73, 62, 51, 40.

S zoktassuk rá a tanulókat arra, hogy az eredeti szituációt próbálják m ódosítgatni.

Nézzük például a következő feladatot! Egy osztály létszám a 27, a lán yo k 3-m al tö b b e n vannak, m in t a fiúk. M e n nyi a lányok, illetve a fiúk szám a? N agyon kö n nyen és g yo rsa n m egold h atju k a problém át, ha elképzeljük, hogy kiküldünk az o sztá lybó l három lányt, vagy behívunk az osztályba m ég három fiút. A feltételezett szitu á ció k alapján a fiúk szám a (27-3)/2= 12, illetve a lányok szám a (2 7 + 3 )/2 = 15

... az írásbeli osztást?

A kétjegyű szám m al törté n ő írásbeli osztás a legutóbbi tantervi k o rre kció óta szerepel az alsó tagozaton, a 4 osztályban. Ennek alapm űveletnek a szo ká so s a lg o ritm u sa - abban az esetben, ha a kivon a n d ó részletszorzatokat nem írjuk le - m ég a fe lső ta g o za to s tan u ló szám ára is bonyolult. Ezért ezt az algoritm ust szem léletes lejegyzéssel kell m egértetni és bizo n yo s ideig gyakoroltatni. Egy olyan m ó d szert szeretnék

ta g o za to s m atem atikai szakirodalom ban. Ezen algoritm us leírásának, m agyarázatának a hiánya na gyo n gyakran eredm ényezi azt, hogy a tanítás-tanulás csak form álisan, gépiesen történik. Ez egyáltalán nem korszerű, és m egengedhetetlen. Az a la p m ű ve le ­ tekkel ka p c s o la to s készség szintet úgy kell kialakítani, hogy a tu d a to s s á g m egelőzze a gépiességet. A ké ső bb i gyakoroltatás során is ellenőrizze a p e d a g ó g u s, h o g y érti-e m ég (illetve már) a tanuló azt, am it végez.

A kétjegyű szám m al va ló osztás tanítását, tanulását az alábbiak szerint képzelem el:

Azzal, am it nem oko z kü lö n ö se b b g o n d o t a tanítás során (pl. becslés, ellenőrzés), nem kívánok foglalkozni, csak az algoritm usra szorítkozom . Figyeljük m eg az osztás m enetét elő szö r abban az esetben, ha a kivonandó részletszorzatokat leírjuk!

E sz t e

9 6 ’ 3 ’ 1' : 27

-8 1

1 5 3 +1°

-1 3 +1 5

1 8 1+1°

-1 6 +1 2

1 9

A m á sodik illetve a harm adik kivonásnál alkalm aztam azt az elvet, h o gy nem változik a különbség, ha a kisebbítendőt ugyanannyival növeljük, m int a kivon a n d ót. (10 tízes

= 1 százas, illetve 10 egyes = 1 tízes)

Ne g o n d o lju k azonban, hogy az ilyen lejegyzéssel (b izo n yo s ideig gyakoro lta tva ) jól előkészítettük a tö b b je g y ű szám m al va ló osztás szo ká sos algoritm usát. U gyanis, ha nem írjuk le a kivonandókat, akkor egészen m ásképpen végezzük el a részletszorzatok kivonását. M é g pe d ig az alábbiak szerint:

Az első részletszorzatot (a 81 százast) úgy vonjuk ki, hogy a százasok o s z lo p á b a n kivonunk 21 százast, és az ezresek oszlopában 6 ezrest.

E sz t e 9 6 3 1 : 27 = -6 +2 (21)

De 6 d b százasból nem lehet kivonni 21 db százast, ezért a kise b b íte n d ő h ö z hozzáadunk 20 d b százast, és hogy a különbség ne változzon, a kiv o n a n d ó h o z 2 d b ezrest adunk (20 százas = 2 ezres).

(Ez szokatlan a tanulók szám ára, mert az előbbiek során a kise b b íte nd ő h öz szükség esetén annyi egységet kellett adniuk, am ennyi a szám rendszer alapszám a. Ennek alapján persze önállóan is rájöhetnek arra, hogy m ost 20 százas hozzáadása vezet célhoz.)

9 6 +20 3' 1 ’ : 27 = 3 5 (21)

1 5 3

A m ásodik részletszorzatot (135 tízes) úgy szokás kivonni, hogy kivon u n k 35 tízest és 10 d b százast. De 3 tízesből nem lehet kivonni 35 tízest. Fel kell fedeztetni a gyerekekkel, hogy ez a problém a úgy oldható meg, ho gy a kise b b íte nd ő h öz 40 d b tízest adunk hozzá, a kivon a n d óh o z pedig 4 db százast. (Mivel 40 tízes = 4 százas, ezért az eredeti m aradékot kapjuk.)

9 6 +20 3' 1 : 27 = 3 5 6 A + 2 (21)

1 5 3 +40

-1 0 +4 (35^

1 8 1

A harm adik esetben a kivonandó 162 egyes. Ennek a kivonása az e lő b b ie k alapján az alábbi lejegyzésből könnyen érthető.

9 6 +20 3 1 : 27 = 3 5 6 -6 +2 (21)

1 5 3 +40

-1 0 +4 (35)

1 8 1+50

_____ g i L m

1 9

C sak az ilyen lejegyzéssel való, kellő ideig tartó szem léltetéssel képesek a ta n u ló k m egérteni és kö n nyebben elsajátítani a szokásos a lgoritm ust úgy, h o gy nem szü ksé ge s leírniuk a kivonandókat.

Rem élem , ho gy lesznek olyan kollégák m ind az alsó, m ind a fe lső ta g o za to n, akik d o lg o za to m n a k valam ilyen hasznát veszik.

KÖVES LÁSZLÓ

Ötletes gráfok

Gráfon általában egy véges ponthalm azt (csú cso k) értünk, a m e ly e k e t szakaszok (élek) kö tn e k össze. E bben a cikkb e n nem a gráfokkal, és tu la jd o n s á g a ik k a l foglalkozunk, hanem bizonyos típusú szöveges fela da tok m e g o ld á sá ra ha szno ­ sítju k a m űveletek s o rre n d jé t ábrázoló g rá f adta ötletet.

Képzeljünk el egy közlekedési hálózatot ábrázoló gráfot (egy vasúti térképet, ahol a csú c s o k a t a vasúti cso m ó p o n to k , míg az éleket a k ü lö n b ö ző helységeket ö s s z e k ö tő va sú tszakaszok jelentik). Ez azzal a fo n to s tu la jd o n ság g a l rendelkezik, h o g y valam ely útján haladva, m inden csú c s b ó l el lehet jutni m inden csú csb a. Az ilyen g ráfot ö ssze fü g gő n e k nevezünk. Az össze fü g gő gráfok között sajátos helyet fo g la ln a k el az úgynevezett „fá k". Példaként adjuk m eg a következő kifejezést helyettesítő gráfot:

32 [4 + 2 .(5 3+ 3 2)] = K

A kifejezés értékének a kiszám ítása esetén, alulról kell indulni addig, am íg eljutunk a „fa" törzséhez.

P róbáljuk m eg alkalm azni ezt az eljá­

rást m ás hason ló kifejezés értékének a kiszám ítása esetén is!

A gráffal való helyettesítés ötlete alkal­

m azható a következő típusú szöveges feladatok esetén is:

Egy anya n é há n y alm á t ra ko tt az asztalra és azt m ondta három fiának, ho gy a m ik o r hazajönnek az iskolá b ól, osszák e l e g y e n lő e n egym ás közt azo­

kat. E lőször István érkezett haza, elvette az a lm ák egy h a rm a d á t és elm ent. Utána P éter jö tt m eg, elvette az asztalon m a rad t a lm ák e g yh a rm a d á t és elm ent.

Végül m e g é rke ze tt Já nos ö is, a m e g ­

m a ra d t a lm ák e g yha rm a d át vette m agá- 1. ábra