JAMES P. JONES* és KISS PÉTER**
A b s t r a c t . ,,Pure powers in linear recursive sequences." A linear recursive sequence G of order k is defined by t h e integer initial t e r m s C o , G \, . . . , G k—1, integer c o n s t a n s t s A\, , • . . , Ak and by t h e recursion Gn — A\ Gn—\ + ...+ AkG n-k for n > k.
In the case k = 2 it is known t h a t there are only finitely many perfect powers in such sequence. In the generál case, under certain hypotheses, we show t h a t for any n there exists a n u m b e r ÇQ, depending on G and n, such t h a t the équation GrnGqx~r = Wq in positive integers x, w, q, r has no solution with x > n, q > qo and 0 < r < ç/2.
Legyen R = R(A, B, RQ, R\) egy másodrendű lineáris rekurzív sorozat, melyet az
Rn = ARn-1 + BRn„2 (n > 1)
rekurzió definiál, ahol A,B:RQ és R\ rögzített egészek. A következőkben feltesszük, hogy az R sorozat nem degenerált, azaz ha a , ß jelöli az x2 — Ax — B = 0 egyenlet gyökeit, akkor ajß nem egységgyök.
Az R(l, 1,0,1) és Ä ( 2 , 1 , 0 , 1 ) speciális sorozatokat Fibonacci, illetve Pell-sorozat oknak nevezzük, és F-fel, illetve P-vel fogjuk jelölni.
Az R sorozat tagjai között előforduló teljes hatványokkal már többen foglalkoztak. A Fibonacci-sorozat tagjaira, a Fibonacci-számokra Cohn [2]
és Wylie [23] megmutatták, hogy FN akkor és csak akkor teljes négyzet, ha n = 0 , 1 , 2 vagy 12. J. C. Lagarias és D. P. Weisser [7], Pethő [12], továbbá London és Finkelstein [9,10] bizonyították, hogy FN csak akkor teljes köb, ha n = 0 , 1 , 2 vagy 6. Ljunggren [8] egy eredményéből következik, hogy egy Pn Pell-szám csak akkor teljes négyzet, ha n = 0,1 vagy 7, Pethő [13] pedig igazolta, hogy csak ezek a teljes hatvány Pell-számok. Hasonló, de általáno- sabb eredményeket nyertek McDaniel és Ribenboim [11], Robbins [19,20], Cohn [3,4,5] és Pethő [15]. Szép és általános eredményt igazolt Shorey és Stewart [21], valamint A. Pethő [14]: bármely nem degenerált másodrendű
* R e s e a r c h was s u p p o r t e d by the N a t i o n a l Scientific Research C o u n c i l of C a n a d a , Grant No O G P 0 0 0 4 5 2 5
* * A k u t a t á s t ( r é s z b e n ) az A l a p í t v á n y a M a g y a r F e l s ő o k t a t á s é r t és K u t a t á s é r t és az O T K A 1641. sz. p á l y á z a t a t á m o g a t t a .
lineáris rekurzív sorozat csak véges számú teljes hatványt tartalmaz, és ezek effektive meghatározhatók.
Más típusú problémákat vetett fel Ribenboim és McDaniel. Egy R soro- zatban akkor mondjuk, hogy az Rm és Rn elemek azonos négyzetosztályban vannak, ha léteznek nem zérus x, y egész számok úgy, hogy Rmx2 = Rny2
vagy, ami ezekkel ekvivalens, h a
RmRn — ^
valamely t egész esetén. Egy négyzetosztályt triviálisnak nevezzük, ha csak egy elemet tartalmaz. Ribenboim [16] igazolta, hogy egy Fm Fibonacci-szám négyzetosztálya triviális, ha m / 1 , 2 , 3 , 6 vagy 12, továbbá az L{ 1 , 1 , 2 , 1 ) Lucas sorozat Lm elemének osztálya triviális, ha m / 0 , 1 , 3 vagy 6. Az álta- lánosabb R(A,B, 0,1) sorozatra, ahol A és B relatív prímek, Ribenboim és McDaniel [17], valamint Ribenboim [18] bizonyították, hogy minden négy- zetosztály elemeinek száma véges.
A másodrendűnél magasabb rendű lineáris rekurzív sorozatokról keve- sebbet tudunk.
Legyen G = G(A\,..., G o , . . . , Gk-i) egy k-adrendű lineáris rekur- zív sorozat, melyet a
Gn = AiGn-i + ... + AkGn-k (n>k- 1)
rekurzió definiál a nem mind nulla rögzített A\,...,Ak és Gk-i egészekkel. Jelölje a = o;i, a2, . . . , o;s az
xk - Arxk~l - ... - Ak = 0
egyenlet különböző gyökeit. Tegyük fel, hogy a , a 2 , . . . , as multiplicitása 1,7712,..., ms és jqíI > |o!iI h a i = 2 , . . . , 5. Ekkor, mint ahogy jól ismert, a sorozat tagjai
(1) Gn = dan + r2(n)a? + . . . + rs( n ) <
alakban adhatók meg, ahol T{ (Í = 2 , . . . , S) egy rrii — 1 fokú polinom, melynek együtthatói és d a Q(a, a2,..., as) algebrai számtest elemei. Né- hány feltétel mellett Shorey és Stewart [21] bizonyították, hogy a G sorozat nem tartalmaz teljes ç-adik hatványt, ha q elég nagy. Ez az eredmény [6] és [22]-ből is következik néhány általánosabb tételből.
A következőkben Ribenboim és McDaniel négyzetosztály ötletét álta- lánosítjuk A;-adrendű sorozatokra és q hatvány osztályokra.
Legyenek g > l é s O < r < ç rögzített egész számok. Akkor mondjuk, hogy egy G sorozat Gn és Gm eleme azonos (ç, r) hatványosztálynak eleme, ha GrnG^r teljes ç-adik hatvány, azaz ha létezik egy w egész szám úgy, hogy
GrnG^r = w*.
Megjegyezzük, hogy r és q — r hiányában a q hatványosztályok GnGm =
= wq definíciója q > 2 esetén nem sorolná az elemek mindegyikét osztá- lyokba mert a reflexivitás és a tranzitivitás nem teljesülne.
Bizonyítjuk, hogy a G sorozat bármely Gn elemének (q, r) osztályában nincs olyan Gm elem, melyre m > n ha q elég nagy.
Tétel. Legyen G egy fc-adrendű lineáris rekurzív sorozat, mely kielégíti a fenti feltételeket. Tegyük fel, hogy d ^ 0 és G{ / da1 ha i > no. Akkor bármely n egész szám esetén létezik egy n-től és G-től függő qo szám úgy, hogy a
(2) Gr nGÍ~r = w*
egyenletnek nincs x,w,q,r megoldása x > n, q > qo és 0 < r < q/2 feltétel- lel.
A tétel bizonyításában felhasználjuk Baker [1] következő eredményét.
L e m m a . Legyenek 7 i , . . . 7V nem zérus algebrai számok és legyenek ezek magasságainak felső korlátja M\,... Mv. Tegyük fel, hogy Mv > 4.
Legyenek továbbá b\,... ,bv_i racionális egészek, melyek abszolút értéke legfeljebb B, és legyen bv egy nem zérus racionális egész |6V| < B', B' > 3 feltétellel. Legyen
L = \bi log 7! + . . . + bv log 7uI,
ahol a logaritmusok a főértékeket jelentik. Ekkor ha L ^ 0, úgy L > e x p ( - C ( l o g B'\ogMv + B/B')), ahol C egy effektive meghatározható pozitív szám, mely csak az
és v számoktól függ. (lásd Theorem 1 az [l]-ben, 6 = 1/B' helyettesítéssel).
A t é t e l bizonyítása. Feltehetjük, hogy n > no, és n elég nagy, to- vábbá hogy w > 4, mert különben a tétel következik [21] vagy [6] eredmé- nyeiből, illetve az eredmények bizonyításából. Az általánosság rovása nélkül azt is feltehetjük, hogy a sorozat tagjai pozitívak.
Legyenek x,w,q és r egészek, melyekre (2) fennáll.
Akkor (1) alapján
( 3 ) «,« = G L D ' - R A * ^ ( L + T M + . . X ' T ,
amiből
(4) Ci(q — r)x < q\ogw < c2(q - r)x
következik valamely Ci, c2 > 0 G-től függő konstansokkal, hiszen R2(X) (OL2 , 0
d va
ha x —> oo és log Gn ~ n l o g | a | < c^x. Felhasználva (3)-at, a logaritmus függvény tulajdonságai alapján valamely C4 konstanssal
( 5 ) L = w-
log ^ e-Cix{q-r)
d i -rGr nax( i -r)
adódik. Másrészről a Lemma alapján v — 4, M4 = w és B' = q választással L = |glog w — (q — r) log d — r log Gn — x(q — r) log a |
^ g- c ( l o g q l o g w+x(q-r)/q)
következik, ahol c > 0 fíigg az n-től. (4), (5) és (6) miatt
c4x(q - r) < c (log q log w + (q — r)x/q) < c5 log glog w, és így (4) alapján
q log w < c& log q log w, vagyis
q < c6 log g, ami lehetetlen, ha g > go = go(ra)-
Ez az ellentmondás bizonyítja a tételt.
I r o d a l o m
[1] BAKER, A., A sharpening of the bounds for linear forms in logarithms II, Acta Arithm., 24 (1973), 33-36.
[2] COHN, J. H. E., On square Fibonacci numbers, J. London Math. Soc., 39 (1964), 537-540.
[3] J. H. E. COHN, Squares in some recurrent sequences, Pacific J. Math., 41 (1972), 631-646.
[4] J. H. E. COHN, Eight Diophantine équations, Proc. London Math. Soc., 16 (1966), 153-166.
[5] J. H. E. COHN, Five Diophatine équations, Math. Scand., 21 (1967), 61-70.
[6] P. KlSS, Différences of the terms of linear récurrences, Studia Sei. Math.
Hungar., 20 (1985), 285-293.
[7] J. C. LAGARIAS and D. P. WEISSER, Fibonacci and Lucas cubes, Fibonacci Quart., 18 (1981), 39-43.
[8] W. LJUNGGREN, Zur Theorie der Gleichung x2 + 1 = Dy4, Avh.
Norske Vid Akad. Oslo., 5 (1942).
[9] J. LONDON and R. FINKELSTEIN, On Fibonacci and Lucas numbers which are perfect powers, Fibonacci Quart., 7 (1969) 476-481, 487, errata ibid 8 (1970) 248.
[10] J. LONDON and R. FINKELSTEIN, On Mordell's équation y2 - k = x3, Bowling Green University Press., 1973.
[11] W. L. MCDANIEL and P. RLBENBOIM, Squares and double-square s in Lucas sequences, C.R. Math. Acad. Sei. Soc. R. Canada., 14 (1992), 104-108.
[12] A. PETHÖ, Füll cubes in the Fibonacci sequence, Publ. Math. Debre- cen., 30 (1983), 117-127.
[13] A. PETHŐ, The Pell sequence contains only trivial perfect powers, Coll.
Math. Soc. J. Bolyai, 60 sets, Graphs and Numbers, Budapest., (1991), 561-568.
[14] A. PETHÖ, Perfect powers in second order linear récurrences, J. Num- ber Theory., 15 (1982), 5-13.
[15] A. PETHŐ, Perfect powers in second order récurrences, Topics in Clas- sical Number Theory, Akadémiai Kiadó, Budapest., (1981), 1217-1227.
[16] P. RlBENBOIM, Square classes of Fibonacci and Lucas numbers, Por- tugáliáé Math., 46 (1989), 159-175.
[17] P. RlBENBOIM and W.L. MCDANIEL, Square classes of Fibonacci and Lucas sequences, Portugáliáé Math., 48 (1991), 469-473.
[18] P. RlBENBOIM, Square classes of (an - 1 )/(a - 1) and an + 1, Sichuan Daxue Xunebar., 26 (1989), 196-199.
[19] N. ROBBINS, On Fibonacci numbers of the form px2, where p is prime, Fibonacci Quart., 21 (1983), 266-271.
[20] N. ROBBINS, On Pell numbers of the form PX2, where P is prime, Fibonacci Quart., 22 (1984), 340-348.
[21] T. N. S H O R E Y and C . L. S T E W A R T , On the Diophantine équation ax2t + bxty -f cy2 = d and pure powers in récurrence sequences, Math.
Scand., 52 (1983), 24-36.
[22] T. N . S H O R E Y and C . L. S T E W A R T , Pure powers in récurrence se- quences and some related Diophatine équations, J. Number Tlieory., 27 (1987), 3 2 4 - 3 5 2 .
[23] 0 . W Y L I E , In the Fibonacci sériés FX = 1,F2 - 1 , J F » + I = FN + FN_ I
the first, second and twelvth terms are squares, Amer. Math. Monthly,
7 1 ( 1 9 6 4 ) , 2 2 0 - 2 2 2 .
