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S A S H A L M I N É K E L E M E N É V A
A F Ő I S K O L A I G E O M E T R I A A N Y A G EGY L E H E T S É G E S M E G A L A P O Z Á S A I . R É S Z
A B S T R A G T : COne of the possible establishments of the academic geometrical subject. Part I I n our college students study geometry according to the book written by Pelle Béla titled "The GeometryIn this setting up we initiate the coincidental trans format ion with the help of the reflectial axioms.
In this article we begin to initiate an axiomscheme wich differs from the setting up of the book but also b a s e d on symmetry. After the disscussion of certain subjects the book is also avialable to practise the given subject.
The establishment prepared by employment and modicfication of G. Choquet's axiomscheme better relies on the theory of sets and the algebrical knowledge of the students.
F ő i s k o l á n k o n a h a l l g a t ó k dr. P e l l e Béla: G e o m e t r i a c i m ű t a n k ö n y v e a l a p j á n t a n u l j á k a g e o m e t r i á t . Ebben a f e l é p í t é s é b e n az e g y b e v á g ó s á g i t r a n s z f o r m á c i ó k a t t ü k r ö z é s ! a x i ó m á k s e g í t s é g é v e l v e z e t j ü k be.
Az 1 9 8 9 - 9 0 - e s t a n é v b e n egy h a l l g a t ó i c s o p o r t n á l az e r e d e t i t ő l e l t é r ő , de u g y a n c s a k a s z i m m e t r i á t f ö l h a s z n á l ó
a x i ó m a r e n d s z e r a l a p j á n k e z d t ü k el a g e o m e t r i a a n y a g f ö l é p í t é s é t .
Ez a r e n d s z e r v i s z o n y l a g k e v é s axiómát t a r t a l m a z , s az e g y s z e r ű s é g k e d v é é r t e z e k nem m i n d f ü g g e t l e n e k . CA2 I. II.
l e v e z e t h e t ő a t ö b b i b ő l , s a VI. e g z i s z t e n c i a r é s z e b i z o n y í t h a t ó ) .
A f e l é p í t é s során a z e d d i g i e k n é l jobban t á m a s z k o d u n k a h a l l g a t ó k h a l m a z e l m é l e t i , a l g e b r a i i s m e r e t e i r e . A r e n d s z e r b e n s z e r e p l ő a x i ó m á k a k ö v e t k e z ő k :
Í L L E S Z K E D É S I A X I Ó M Á K :
I. A tér, a sík, az e g y e n e s v é g t e l e n p o n t h a l m a z .
II. A t é r t a r t a l m a z l e g a l á b b két k ü l ö n b ö z ő s í k o t , é s m i n d e n sík t a r t a l m a z l e g a l á b b két k ü l ö n b ö z ő e g y e n e s t .
III. Az E tér bármely k é t k ü l ö n b ö z ő p o n t j á r a egy é s c s a k egy e g y e n e s i l l e s z k e d i k .
IV. Ha egy e g y e n e s k é t k ü l ö n b ö z ő p o n t j a i l l e s z k e d i k a s í k r a , a k k o r az e g y e n e s m i n d e n p o n t j a i l l e s z k e d i k a s í k r a .
V. Az E tér t e t s z ő l e g e s , de nem k o l l i n e á r i s p o n t h á r m a s á r a egy é s csak egy s í k i l l e s z k e d i k .
VI. T e t s z ő l e g e s a s í k o t , rá i l l e s z k e d ő a e g y e n e s t é s t e t s z ő l e g e s P ^ cx, de P « a p o n t o t t e k i n t v e , a P p o n t r a az a s í k n a k egy é s csak egy o l y a n e g y e n e s e i l l e s z k e d i k , a m e l y az a e g y e n e s s e l p á r h u z a m o s .
R E N D E Z É S I A X I Ó M Á K :
VII. M i n d e n e g y e n e s e n létezik két, e g y m á s s a l e l l e n t é t e s r e n d e z é s .
VIII. M i n d e n a,b p á r h u z a m o s e g y e n e s p á r é s t e t s z ő l e g e s , a - r a i l l e s z k e d ő A,A' é s b-re i l l e s z k e d ő B,B' p o n t n é g y e s e s e t é n , m i n d e n o l y a n , az a , b e g y e n e s p á r r a l p á r h u z a m o s e g y e n e s , mely m e t s z i az A,B s z a k a s z t , m e t s z i az A',B' s z a k a s z t is.
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IX. T e t s z ő l e g e s . a sík e s e t é n l é t e z i k az E \ a h a l m a z n a k két o l y a n Et, E^ v é g t e l e n r é s z h a l m a z r a t ö r t é n ő f e l b o n t á s a úgy, hogy t e t s z ő l e g e s két t é r b e l i p o n t a k k o r é s c s a k a k k o r t a r t o z i k a két k ü l ö n b ö z ő r é s z h a l m a z h o z , ha a z á l t a l u k m e g h a t á r o z o t t s z a k a s z m e t s z i az a —t, s ez a m e t s z é s p o n t a s z a k a s z n a k b e l s ő pontja.
Á M É R É S A X I Ó M Á J A :
X. A z E t é r h e z h o z z á r e n d e l j ü k a tér p o n t p á r j a i h a l m a z á n a k a n e m n e g a t i v v a l ó s s z á m o k h a l m a z á r a t ö r t é n ő d l e k é p e z é s é t , m e l y e t t á v o l s á g f ü g g v é n y n e k n e v e z ü n k , s m e l y r e t e l j e s ü l n e k a k ö v e t k e z ő k :
1. d C P , Q ) = d C Q , P ) m i n d e n P,Q <= E - r e .
2. T e t s z ő l e g e s i r á n y í t o t t e e g y e n e s , rá i l l e s z k e d ő P p o n t é s t e t s z ő l e g e s c^O v a l ó s s z á m e s e t é n az e e g y e n e s e n e g y e t l e n o l y a n Q p o n t létezik, a m e l y r e P5Q CP m e g e l ő z i Q - t ) és d C P , Q ) = c .
3. Ha P az A,B s z a k a s z n a k p o n t j a , a k k o r d C A , P > + d C P , B ) = dCA,B).
4. L e g y e n A , P , B t e t s z ő l e g e s , nem k o l l i n e á r i s p o n t h á r m a s , e z e k r e a p o n t o k r a t e l j e s ü l :
d C Á , B ) < dC A , P ) + d C P , B ) .
C S z i g o r ú h á r o m s z ö g e g y e n l ő t l e n s é g ) A S Z I M M E T R I A A X I Ó M Á J A :
XI. T e t s z ő l e g e s y sík e s e t é n egy é s c s a k egy o l y a n e g y b e v á g ó s á g létezik, amely a y által m e g h a t á r o z o t t z á r t f é l t e r e k e t e g y m á s n a k f e l e l t e t i meg, s m e l y n é l t e l j e s ü l , hogy a y sík p o n t j a i f i x p o n t o k .
Ez az a x i ó m a r e n d s z e r G . C h o q u e t a x i ó m a r e n d s z e r é n e k f e l h a s z n á l á s á v a l , m ó d o s í t á s á v a l k é s z ü l t , de a m e g f o g a l m a z á s o k n á l , j e l ö l é s e k n é l f i g y e l e m b e v e t t ü k a t a n k ö n y v
jelölésrendszerét-, hogy b i z o n y o s t é m a k ö r ö k u t á n ismét h a s z n á l n i lehessen.
A két m e g a l a p o z á s k ö z t i l é n y e g e s e l t é r é s e k a k ö v e t k e z ő k : 1. A l e g j e l e n t ő s e b b az, h o g y a p á r h u z a m o s s á g i a x i ó m á t (a VI.
a x i ó m a — e g z i s z t e n c i a r é s s z e l k i e g é s z í t v e ) jóval k o r á b b a n b e v e z e t j ü k , m i n t a h o g y a t a n k ö n y v b e n t a l á l h a t ó . így b i z o n y o s á l l í t á s o k i g a z o l á s a e g y s z e r ű s ö d i k , v i s z o n t l e m o n d u n k a n n a k b e m u t a t á s á r ó l , h o g y ezen a x i ó m a h a s z n á l a t a n é l k ü l a g e o m e t r i a m e l y f e j e z e t e i é p í t h e t ő k föl.
2. A r e n d e z é s l é n y e g e s e n e l t é r az e r e d e t i f e l é p í t é s é t ő l , a r e n d e z e t t h a l m a z f o g a l m á n a l a p s z i k .
3. A m é r é s a x i ó m á j á n a k b e v e z e t é s e u t á n d e f i n i á l j u k az e g y b e v á g ó s á g i l e k é p e z é s t , Ceredeti' é s k é p p o n t o k t á v o l s á g a e g y e n l ő ) s v i z s g á l j u k , i g a z o l j u k n é h á n y t u l a j d o n s á g á t . A XI. axióma a l a p j á n a s í k s z i m m e t r i a é r t e l m e z h e t ő , s m i v e l e g y b e v á g ó s á g , t u l a j d o n s á g a i n a k egy r é s z e m á r e b b ő l k ö v e t k e z i k . A t á v o l s á g t a r t á s t é s a X. a x i ó m á t f ö l h a s z n á l v a a t a n k ö n y v b e n s z e r e p l ő t ü k r ö z é s i a x i ó m á k n a k m e g f e l e l ő á l l í t á s o k l e v e z e t h e t ő k , ill. van ami f ö l ö s l e g e s s é v á l i k CXII. a x i ó m a ) .
4. A t e n g e l y e s t ü k r ö z é s b e v e z e t é s e után a s í k b e l i e g y b e v á g ó s á g i t r a n s z f o r m á c i ó k a t Ca t a n k ö n y v b e n m o z g á s o k a t ) t e n g e l y e s s z i m m e t r i á k s z o r z a t a k é n t é r t e l m e z z ü k . .
A c e n t r á l i s t ü k r ö z é s t , e l t o l á s t , f o r g á s t két t e n g e l y e s t ü k r ö z é s s z o r z a t a k é n t d e f i n i á l j u k , s b i z o n y í t j u k , hogy b á r m e l y s í k b e l i e g y b e v á g ó s á g l e g f e l j e b b három t e n g e l y e s s z i m m e t r i a s z o r z a t a k é n t e l ő á l l í t h a t ó . Ezen l e k é p e z é s e k j e l l e m z é s e u t á n k a p c s o l ó d u n k a t a n k ö n y v a n y a g á h o z . C S o k s z ö g e k , H á r o m s z ö g , e g y e n l ő s z á r ú h á r o m s z ö g , ... S p e c i á l i s n é g y s z ö g e k s t b . ) E l t é r é s a t é r g e o m e t r i a t á r g y a l á s á n á l lesz, a t é r e g y b e v á g ó s á g i t r a n s z f o r m á c i ó i n a k k i é p í t é s é n é l .
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E b b e n a d o l g o z a t b a n a f e l é p í t é s e l s ő h á r o m f e j e z e t e s z e r e p e l . Á t o v á b b i f e j e z e t e k e t é s a t a p a s z t a l a t o k ö s s z e g z é s é t a m á s o d i k ill. a h a r m a d i k r é s z b e n m u t a t j u k be.
1. T é r e l e m e k , i l l e s z k e d é s i a x i ó m á k
L e g y e n E nem ü r e s h a l m a z , a m e l y e t 4érnek n e v e z ü n k . A z E e l e m e i t pont o k n a k , a z E r é s z h a l m a z a i n a k e g y r e n d s z e r é t e g y e n e s e k n e k , az E r é s z h a l m a z a i n a k egy m á s i k r e n d s z e r é t s í k o k n a k t e k i n t j ü k .
A t é r e l e m e k e t vagy a l a p e l e m e k e t nem é r t e l m e z z ü k , t u l a j d o n s á g a i k a r á j u k k i m o n d o t t a x i ó m á k b a n l e s z n e k , ill.
a z o k b ó l k ö v e t k e z n e k .
A p o n t o k a t nagy-, az e g y e n e s e k e t k i s b e t ű v e l , a s í k o k a t g ö r ö g b e t ű v e l Jelöljük. A t é r e l e m e k Jelei k ö z ö t t az = Jel Cpl. a=b> a m e g f e l e l ő két h a l m a z e g y e n l ő s é g é t j e l e n t i .
1.1 É R T E L M E Z É S : A tér p o n t j a i n a k , e g y e n e s e i n e k , s í k j a i n a k v a l a m i l y e n m e g h a t á r o z o t t ö s s z e s s é g é t geomeiriai a l a k z a t n a k n e v e z z ü k .
A t é r e l e m e k k ö z ö t t k ü l ö n b ö z ő r e l á c i ó k v a n n a k , e z e k e g y i k e az illeszkedési reláció, e r r e v o n a t k o z i k az e l s ő a x i ó m a c s o p o r t . CA t o v á b b i a k b a n a h a l m a z e l m é l e t i Jelölésekjet h a s z n á l j u k P s a, e e ft s t b . )
I. A x i ó m a : A tér, a s í k , az e g y e n e s v é g t e l e n p o n t h a l m a z . II. A x i ó m a : A tér t a r t a l m a z l e g a l á b b két k ü l ö n b ö z ő s í k o t , é s m i n d e n sík t a r t a l m a z l e g a l á b b két k ü l ö n b ö z ő e g y e n s t .
E z e n a x i ó m á k Cpl. l é t e z i k két e g y e n e s egy s í k b a n ) é s a h a l m a z e l m é l e t i i s m e r e t e k f e l h a s z n á l á s á v a l m e g f o g a l m a z h a t ó k a k ö v e t k e z ő é r t e l m e z é s e k . A z t , hogy egy pont i l l e s z k e d i k e g y e g y e n e s r e vagy síkra, ugy é r t j ü k , hogy a p o n t e l e m e a
t e k i n t e t t h a l m a z n a k ; e g y e n e s i l l e s z k e d é s e s í k r a pedig azt J - < f
jelenti, h o g y e c ft.
1 . 2 É R T E L M E Z É S : A tér k é t , a,b e g y e n e s e p á r h u z a m o s Cjele:
a II b ) , ha a é s b egy s í k r a i l l e s z k e d n e k é s a <~» b = 0.
1 . 3 É R T E L M E Z É S ; A tér k é t , a,b e g y e n e s e egyállású, ha vagy a=b, vagy a H b .
í
1 . 4 É R T E L M E Z É S : Az a é s b e g y e n e s e k metszők, ha a*b é s ar»b*0.
" * • -> - i. Í '
C I t t még nem tudjuk, h o g y a közös p o n t o k s z á m a mennyi).
í r ••••», . v.... , „ .p . . .
1 . 5 É R T E L M E Z É S : Az E ' c E pontjai kotlineárisak, ha l é t e z i k o l y a n e g y e n e s , amely t a r t a l m a z z a E ' — t .
1.6 É R T E L M E Z É S : Az E'<r E pontjai komplanárisak, ha l é t e z i k o l y a n sík, a m e l y t a r t a l m a z z a E'-t.
1 . 7 É R T E L M E Z É S : Az a e g y e n e s és ex s í k metszők, ha a & a é s a n a * 0. .< >
III. A x i ó m a : Az E t é r bármely k é t k ü l ö n b ö z ő p o n t j á r a egy é s csak egy e g y e n e s i l l e s z k e d i k .
IV. A x i ó m a : Ha e g y e g y e n e s két k ü l ö n b ö z ő p o n t j a i l l e s z k e d i k a síkra, a k k o r az e g y e n e s m i n d e n p o n t j a i l l e s z k e d i k a síkra.
V. A x i ó m a : Az E t é r t e t s z ő l e g e s , d e nem k o l l i n e á r i s p o n t h á r m a s á r a egy és c s a k egy sík i l l e s z k e d i k .
VI. A x i ó m a : T e t s z ő l e g e s a s í k o t , rá i l l e s z k e d ő a e g y e n e s t é s t e t s z ő l e g e s P e a, d e P c? a p o n t o t t e k i n t v e , a P p o n t r a az a s í k n a k egy és c s a k egy o l y a n e g y e n e s e i l l e s z k e d i k , amely az a e g y e n e s s e l p á r h u z a m o s .
CICésőbb a l é t e z é s b i z o n y í t h a t ó . >
A t o v á b b i a k b a n az A , B C A ^ B ) p o n t o k r a i l l e s z k e d ő e g y e n e s t Á,B s z i m b ó l u m m a l j e l ö l j ü k .
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1 . 1 K Ö V E T K E Z M É N Y : Két m e t s z ő e g y e n e s n e k p o n t o s a n egy k ö z ö s pontja van.
Ha k e t t ő lenne, a III ax. m i a t t a = b t e l j e s ü l n e , d e az é r t e l m e z é s a l a p j á n a*b. A k ö z ö s p o n t a m e t s z é s p o n t .
1 . 2 K Ö V E T K E Z M É N Y : Ha egy e g y e n e s é s sík m e t s z ő , a k k o r p o n t o s a n egy k ö z ö s p o n t j u k van.
Ha k e t t ő lenne, a IV. ax. miatt az e g y e n e s i l l e s z k e d n e a síkra, a o a = M — M a m e t s z é s p o n l .
1.1 TÉTEL: Ha e é s f k é t m e t s z ő , v a g y p á r h u z a m o s e g y e n e s , a k k o r p o n t o s a n egy o l y a n sík l é t e z i k , amely e-t é s T - t t a r t a l m a z z a .
B I Z O N Y Í T Á S : L e g y e n e n f = M.
Az I. ax. m i a t t l é t e z i k A«e é s B^f, de A*M é s B*M. Az V. ax. s z e r i n t e g y e t l e n a. sík létezik, m e l y r e A , M , B illeszkedik, s a IV. ax. a l a p j á n e é s f i l l e s z k e d i k a — r a . Tegyük fel, h o g y l é t e z i k olyan ct' * a , mely s z i n t é n t a r t a l m a z z a e é s f —t.
e c a', igy A « a' é s M e a' . f a' , igy B e a ' .
Ezek a l a p j á n <A,B,M> <= ex' , ami az V. ax. s z e r i n t a z t jelenti, hogy a = a'.
Ha e II f, a k k o r a l é t e z é s az 1 . 2 é r t e l m e z é s é b ő l a d ó d i k , az e g y é r t e l m ű s é g az e l ő z ő h ö z h a s o n l ó a n b e l á t h a t ó .
1 . 2 TÉTEL: Egy e g y e n e s é s rá nem i l l e s z k e d ő pont e s e t é n p o n t o s a n egy o l y a n s í k létezik, a m e l y az e g y e n e s t és a p o n t o t t a r t a l m a z z a .
B i z o n y í t á s a h a s o n l ó a két m e t s z ő e g y e n e s r e v o n a t k o z ó á l l í t á s Cl.l t é t e l ) b i z o n y í t á s á h o z .
1.3 K Ö V E T K E Z M É N Y : L e g y e n a a tér t e t s z ő l e g e s e g y e n e s e , F pedig egy rá nem i l l e s z k e d ő pont. Egy és c s a k egy o l y a n e g y e n e s l é t e z i k , a m e l y P - r e i l l e s z k e d i k és a - v a l p á r h u z a m o s .
Az 1 . 2 t é t e l a l a p j á n P és a e g y e t l e n s í k o t h a t á r o z n a k m e g , abban pedig igaz a VI. a x i ó m a .
1.3 TÉTEL: M i n d e n s í k n a k v é g t e l e n sok e g y e n e s e , a t é r n e k v é g t e l e n sok s í k j a van.
BIZONYÍTÁS: 1. A II. ax. alapján e g y t e t s z ő l e g e s a s í k n a k van két k ü l ö n b ö z ő e g y e n e s e , a és b. A z I. ax. s z e r i n t f e l v e h e t ő a-n egy A p o n t , s ez a b e g y e n e s v é g t e l e n sok p o n t j á v a l v é g t e l e n sok a — b e l i C I V . a x . ) e g y e n e s t h a t á r o z meg.
Igy a sík egy p o n t j á r a v é g t e l e n sok s í k b e l i e g y e n e s illeszkedik.
2. A t é r n e k van két k ü l ö n b ö z ő s í k j a ß , y CII. ax. ) é s f e l v e h e t ő A e ß Cl. a x . ) . A t é t e l e l s ő r é s z e a l a p j á n a y - n a k v é g t e l e n sok e g y e n e s e van, a z 1 . 2 tétel m i a t t a z A — v a l együtt m i n d e g y i k m e g h a t á r o z egy s í k o t , igy a t é r A p o n t j á r a v é g t e l e n sok sík i l l e s z k e d i k .
1 . 4 TÉTEL: B á r m e l y sík e g y e n e s e i n e k a h a l m a z á n az e g y e n e s e k e g y á l l á s ú s á g a e k v i v a l e n c i a r e l á c i ó .
B I Z O N Y Í T Á S : Az 1.3 é r t e l m e z é s a l a p j á n ez a r e l á c i ó r e f l e x i v
— a=a; s z i m m e t r i k u s — ha a M b — • b II a , vagy h a a = b, a k k o r b = a.
I g a z o l n i kell, hogy e z a r e l á c i ó t r a n z i t í v .
Legyen a II b vagy a = b é s b H c vagy b = c. E k k o r , ha az a , b , c e g y e n e s e k k ö z ü l m i n d h á r o m , v a g y bármely k e t t ő e g y e n l ő , az á l l í t á s n y i l v á n v a l ó . Ha az e g y e n e s e k p á r o n k é n t k ü l ö n b ö z ő e k , a k k o r a o c = 0. Ha u g y a n i s a é s c m e t s z e n é k e g y m á s t , a k k o r az a n c = A p o n t o n k e r e s z t ü l b — v e i két p á r h u z a m o s e g y e n e s l é t e z n e , ami e l l e n t m o n d a VI. a x . — n a k . 1 . 4 K Ö V E T K E Z M É N Y : K é t p á r h u z a m o s e g y e n e s e g y i k é t m e t s z ő e g y e n e s m e t s z i a m á s i k a t is.
Ha létezik a n c = A, akkor l é t e z i k b rt c = B is, e l l e n k e z ő e s e t b e n az A p o n t o n át b - v e l p á r h u z a m o s lenne az a
- 9 9 -
C f e l t é t e l v o l t ) , é s a b is.
1.8 É R T E L M E Z É S : A sík e g y e n e s e i n e k h a l m a z á n az e g y á l l á s ú s á g r e l á c i ó j a á l t a l l é t r e h o z o t t e k v i v a l e n c i a o s z t á l y o k a t i r á n y o k n a k n e v e z z ü k . Az e e g y e n e s t t a r t a l m a z ó e k v i v a l e n c i a o s z t á l y t az e e g y e n e s irányának m o n d j u k .
Je le: 6 o
2. G e o m e t r i a i l e k é p e z é s e k é s t r a n s z f o r m á c i ó k
E b b e n a f e j e z e t b e n a t o v á b b l é p é s h e z s z ü k s é g e s f o g a l m a k s z e r e p e l n e k .
2.1 É R T E L M E Z É S E K :
1. Egy A ponthalmaznak egy B ponthalmazba történő F leképezésén olyan e l ő í r á s t é r t ü n k , amely az A m i n d e n P p o n t j á h o z h o z z á r e n d e l i a B h a l m a z v a l a m e l y i k P' pontját.
P—t eredeti pontnak, P ' — t képpontnak n e v e z z ü k . A P k e z d ő p o n t ú , P' v é g p o n t ú n y i l a t leképezési n y í l n a k n e v e z z ü k .
A l e k é p e z é s jelölése: P ' = F ( P ) , P t F l P '
2. Az A h a l m a z t az F l e k é p e z é s értelmezési tartományának m o n d j u k . Az A h a l m a z F — k é p e - képhalmaz; e z a B - n e k
r é s z h a l m a z a . Ha a k é p h a l m a z e g y b e e s i k B — v e i , a k k o r A-t B - r e képeztük le.
Ha a k é p h a l m a z az A r é s z h a l m a z a , akkor A-t önmagába, ha A e g y b e e s i k a k é p h a l m a z z a l , a k k o r önmagára képeztük le.
3. Ha egy. A h a l m a z ö n m a g á b a vagy ö n m a g á r a v a l ó l e k é p e z é s é n é l egy pont e g y b e e s i k a képével; a k k o r azt a p o n t o t / i x p o n t n a k n e v e z z ü k .
Ha az A h a l m a z e e g y e n e s e p o n t j a i n a k képei a z e e g y e n e s r e i l l e s z k e d n e k , a k k o r az e-t i n v a r i á n s e g y e n e s n e k n e v e z z ü k . Ha az i n v a r i á n s e g y e n e s m i n d e n p o n t j a f i x p o n t , az e g y e n e s pontonként fixegyenes.
Ha egy l e k é p e z é s a z a sík p o n t j a i t az a síkra k é p e z i le, a —t invariáns síknak nevezzük. Ez is l e h e t p o n t o n k é n t fix.
2.1 TÉTEL: Két m e t s z ő i n v a r i á n s e g y e n e s k ö z ö s p o n t j a f i x p o n t . B I Z O N Y Í T Á S : Legyen a z F l e k é p e z é s n é l a é s b i n v a r i á n s é s a n b - M.
FCfD=M> M e a, igy M' e a
M = M' m e r t két k ü l ö n b ö z ő M € b, igy M' e b
e g y e n e s n e k csak egy k ö z ö s p o n t j a lehet.
2 . 2 TÉTEL: I n v a r i á n s s í k é s azt m e t s z ő i n v a r i á n s e g y e n e s k ö z ö s p o n t j a fixpont.
B I Z O N Y Í T Á S : Legyen F C a ) = a és F C a ) = a é s a n a = M.
M € a , igy M' <£ a
M e a , igy M' e a , M = M' , e l l e n k e z ő esetben a i l l e s z k e d n e a z a -ra.
2 . 2 É R T E L M E Z É S E K :
1. Ha az F l e k é p e z é s az A-beli k o l l i n e á r i s ill.
k o m p l a n á r i s p o n t h a l m a z o k h o z B-nek e g y - e g y k o l l i n e á r i s ill. k o m p l a n á r i s p o n t h a l m a z á t r e n d e l i , a k k o r a z F l e k é p e z é s t e g y e n e s t a r t ó n a k , ill. sífcéartónak n e v e z z ü k . 2. Az A p o n t h a l m a z n a k a B p o n t h a l m a z r a v a l ó egyértelmű leképezésén o l y a n l e k é p e z é s t é r t ü n k , a m e l y az A m i n d e n p o n t j á h o z B - n e k e g y p o n t j á t r e n d e l i , é s B m i n d e n e g y e s p o n t j a v a l a m e l y i k A-beli p o n t n a k a képe. C s z ü r j e k t i v l e k é p e z é s )
3. Az A p o n t h a l m a z n a k a B p o n t h a l m a z r a v a l ó kölCBÖnosen egyértelmű leképezésén o l y a n e g y é r t e l m ű T l e k é p e z é s t
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é r t ü n k , a m e l y n é l k ü l ö n b ö z ő A-belj. p o n t o k n a k ' k ü l ö n b ö z ő B - b e l i p o n t o k f e l e l n e k meg. A z a z ha P * Q, a k k o r TCP)**TCQ). A k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ű l e k é p e z é s t m á s k é p p e n transzformációnak n e v e z z ü k . C B i j e k t i v l e k é p e z é s ; a l g e b r á b a n a t r a n s z f o r m á c i ó mást j e l e n t — A ö n m a g á b a v a l ó l e k é p e z é s e ; A ö n m a g á r a v a l ó k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ű l e k é p e z é s é t p e r m u t á c i ó n a k n e v e z i k ) .
<1. A t r a n s z f o r m á c i ó n á l B m i n d e n e g y e s p o n t j á n a k e g y e t l e n e r e d e t i p o n t j a van, igy ha a k é p p o n t o k h o z az e r e d e t i p o n t o k a t r e n d e l j ü k , a k k o r D - n e k A - r a v a l ó t r a n s z f o r m á c i ó j á t d e f i n i á l t u k , é s ezt a T inverz transzformációjának n e v e z z ü k , jele: T ~1.
5. L e g y e n A,D,G h á r o m p o n t h a l m a z . Az F^ l e k é p e z é s v i g y e A-t ÍJ—be, Fo p e d i g 13—t a G — b e . L e g y e n P<sA, s ennek k é p e legyen: F ( P ) = P ' , F C P ' ) = P ' ' . Az F , F e g y m á s u t á n i
OJ J ' 2 1 ' 2 O J
a l k a l m a z á s á v a l P a p * > — b e került. A l e k é p e z é s e k e g y m á s utáni a l k a l m a z á s á t a leképezések szorzósónak n e v e z z ü k . J e l ö l é s e : P " = F2C F ( P ) ) vagy P ' ^ F ^ C P ) , ill.
Pt F IP'[F IP'' = F C F . F IP' '
1 2 1 2
Az F F l e k é p e z é s t az F é s F l e k é p e z é s e k s z o r z a t á n a k
2 1 ' 1 2
m o n d j u k . C h a s z n á l j u k az F2o Fi j e l ö l é s t is).
6. Két leképezési egyenlőnek m o n d u n k , ha az é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y u k m e g e g y e z i k , é s a n n a k m i n d e n e g y e s p o n t j á h o z a k é p h a l m a z b a n u g y a n a z o k a t a p o n t o k a t r e n d e l i k . J e l ö l é s e : F =F .
1 2
7. Az o l y a n l e k é p e z é s t , amely az é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y m i n d e n pontját f i x e n h a g y j a , identikus leképezésnek v a g y azonosságnak n e v e z z ü k . Jele: I.
2.1 K Ö V E T K E Z M É N Y : - B á r m e l y t r a n s z f o r m á c i ó t az i n e v e r z é v e l m e g s z o r o z v a i d e n t i k u s l e k é p e z é s t kapunk.
M E G J E G Y Z É S : 1. A l e k é p e z é s e k s z o r z á s a a s s z o c i a t í v , azaz F3o C Fao F1> « C F3o Fa> o ri.
2. T "1o I = I o T ~1 = T "1 é s T o I = I o T = T
3. Nem k o m m u t a t í v , r?o Fi á l t a l á b a n nem e g y e n l ő F oF - v e i .
1 2
2 . 3 TÉTEL: Ma egy T t r a n s z f o r m á c i ó n é g y z e t e a z o n o s s á g , a k k o r a t r a n s z f o r m á c i ó e g y e n l ő a z i n v e r z é v e l .
B I Z O N Y Í T Á S : C T o T = T2= I ) • CT=T~*>
T "1 |ToT=I - b a l r ó l s z o r o z v a
T ~1o C T o T ) = T ~1o I - a m e g j e g y z é s e k a l a p j á n C T ~1o T > o T = T ~1 - 2 . 1 k ö v e t k e z m é n y a l a p j á n IoT = T "1
1 = T "1
2 . 3 É R T E L M E Z É S : Ázt a l e k é p e z é s t , a m e l y i k m e g e g y e z i k az i n v e r z é v e l , involulórikur. leképezésnek n e v e z z ü k .
2 . 2 K Ö V E T K E Z M É N Y : A z A p o n t h a l m a z ö n m a g á r a t ö r t é n ő t r a n s z f o r m á c i ó i n a k ö s s z e s s é g e c s o p o r t o t a l k o t .
É r v é n y e s e k a csoporttulajdonsíágok:
1. IIa T. és T. k é t t e t s z ő l e g e s t r a n s z f o r m á c i ó , a k k o r a L J
s z o r z a t u k is a z ö s s z e s s é g h e z t a r t o z i k . 2. A s z o r z á s m ű v e l e t e a s s z o c i a t i v , a z a z
T, oCT.oT. ) = CT. oT. )oT. k j I k j i
3. A t r a n s z f o r m á c i ó k ö s s z e s s é g e a t r a n s z f o r m á c i ó k i n v e r z e i t is t a r t a l m a z z a .
4. A z ö s s z e s s é g n e k az i d e n t i k u s t r a n s z f o r m á c i ó is eleme. C e g y s é g e l e m ) . A c s o p o r t t u l a j d o n s á g o k f i g y e l e m b e v é t e l e az a l g e b r a e s z k ö z e i n e k f e l h a s z n á l á s á t teszi l e h e t ő v é .
A t o v á b b i a k b a n b e v e z e t ü n k egy l e k é p e z é s t , a m e l y n e k t u l a j d o n s á g a i t a k é s ő b b i e k során jól t u d j u k a l k a l m a z n i .
2 . 4 TÉTEL: L e g y e n a t e t s z ő l e g e s a. s í k b e l i e g y e n e s , é s 6 , a - b e l i , a - t ó l k ü l ö n b ö z ő irány. M i n d e n e g y e s P e a p o n t h o z
.létezik o l y a n & i r á n y ú e g y e n e s , a m e l y m e t s z i a-t v a l a m i l y e n
- 1 0 3 -
pontban.
B I Z O N Y Í T Á S : 1. P <s a - a VI. ax. m i a t t igaz az á l l í t á s . 2. P «í a — VI. ax. - l é t e z i k e e g y e n e s , é s l é t e z i k a n e = <pCP) p o n t is; e l l e n k e z ő e s e t b e n alle, d e f e l t é t e l volt, hogy ö ** 6a.
2 . 4 É R T E L M E Z É S : A z a h a l m a z n a k az a h a l m a z r a v a l ó , a 2 . 4 t é t e l b e n leirt <p l e k é p e z é s é t az a - n a k a-ra t ö r t é n ő «5 i r á n n y a l párhuzamos v e t í t é s é n e k C r ö v i d e n ö irányú v e t í t é s n e k ) n e v e z z ü k .
2 3 K Ö V E T K E Z M É N Y : T u l a j d o n s á g o k :
1. 'p(a)=a, a z a z s í k n a k e g y e n e s r e t ö r t é n ő l e k é p e z é s e ; nem k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ű l e k é p e z é s .
2. f ( a ) = a — A l e k é p e z é s f i x p o n t j a i , a z a z a m e l y e k r e
•pCX)-X, az a e g y e n e s p o n t j a i é s c s a k azok.
A p á r h u z a m o s v e t í t é s n é l az é r t e l m e z é s i t a r t o m á n y lehet az a sík v a l a m e l y r é s z h a l m a z a is, s igy b e s z é l h e t ü n k p é l d á u l e g y e n e s n e k e g y e n e s r e t ö r t é n ő p á r h u z a m o s v e t í t é s é r ő l .
TÉTEL: L e g y e n a,b két t e t s z ő l e g e s , a - b e l i e g y e n e s é s
<5o:< ezen e g y e n e s e k i r á n y á t ó l k ü l ö n b ö z ő irány. Az a e g y e n e s n e k a b e g y e n e s r e t ö r t é n ő 6 i r á n y ú v e t í t é s e az a - n a k - b - r e t ö r t é n ő k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ű l e k é p e z é s e .
B I Z O N Y Í T Á S : L e g y e n <p a f e l t é t e l e k n e k e l e g e t t e v ő p á r h u z a m o s , v e t í t é s . </?(a)=b t e l j e s ü l , m i v e l a b m i n d e n Y p o n t j á n á t m e n ő S i r á n y ú e g y e n e s m e t s z i a—t v a l a m i l y e n X p o n t b a n , é s <pCX)=Y.
Ha X é s X' az a e g y e n e s két k ü l ö n b ö z ő p o n t j a , akkor a z e z e k r e i l l e s z k e d ő 6 irányú e g y e n e s e k is k ü l ö n b ö z ő e k , és a b e g y e n e s t a k ü l ö n b ö z ő >pCX), >p(. X' ) p o n t o k b a n m e t s z i k .
M i n d e z e k b ő l az is n y i l v á n v a l ó , hogy b - n e k a - r a t ö r t é n ő ó irányú v e t í t é s e k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ű .
A s í k o L k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ű e n k é p e z z ü k le, ha k é t m e t s z ő e g y e n e s r e v e t í t j ü k , a k ö v e t k e z ő k é p p e n :
2.5 É R T E L M E Z É S : L e g y e n e , e2 a z a sík két m e t s z ő e g y e n e s e . J e l ö l j ü k ^ - e l a - n a k ei — r e t ö r t é n ő , e2 — v e i p á r h u z a m o s v e t í t é s é t ; y? - v e i a - n a k - r e történő, e, - v e i p á r h u z a m o s
* 2 2 1 v e t í t é s é t . Az et é s e2 e g y e n e s e k e t e z e n l e k é p e z é s e k n é l t erigel y e k n e k n e v e z z ü k . T e t s z ő l e g e s P e a pont e s e t é n a
<P1 C P ) é s /?2CP) p o n t o k a t a P p o n t n a k az et é s e2 t e n g e l y e k r e n d s z e r é r e v o n a t k o z ó meghatározóinak ( ö s s z e t e v ő i n e k ) n e v e z z ü k . Az e t n e2 = 0 a r e n d s z e r kezdőpontja.
2.a K Ö V E T K E Z M É N Y : Az a s í k mínclen < Pt, P2> p o n t p á r j á h o z , hol
a z a e g y e t l e n o l y a n P pontja t a r t o z i k , a m e l y r e teljesül, h o g y P ^ / ^ C P ) é s P2=*>2CP); ez a p o n t a Pt
— r e i l l e s z k e d ő é s e2 — v e i p á r h u z a m o s , v a l a m i n t a P2~ n á t m e n ő és e — e l p á r h u z a m o s e g y e n e s e k m e t s z é s p o n t j a . A
P — • C'/^CP), v?2CP)) l e k é p e z é s t e h á t az ct h a l m a z b i j e k t i v l e k é p e z é s e az X e2 s z o r z a t h a l m a z r a . (Ha az e g y e n e s e k s z á m o s s á g á t \ - v a l j e l ö l j ü k , a s í k s z á m o s s á g a X2) .
3. R e n d e z é s i a x i ó m á k
Y l l ^ . a x i é m a : M i n d e n e g y e n e s e n létezik két, e g y m á s s a l e l l e n t é t e s rendezés.
M E G J E G Y Z É S : Ebben az a x i ó m á b a n s z e r e p e l a " r e n d e z é s " , amely h a l m a z e l m é l e t i f o g a l o m . CDr. S z e n d r e i J á n o s : A l g e b r a é s s z á m e l m é l e t f ő i s k o l a i t a n k ö n y v d e f i n í c i ó j á t é s j e l ö l é s é t h a s z n á l j u k . )
S z e m l é l e t e s e n : ha a z e g y e n e s p o n t j a i t •'befutjuk" a z egyik i r á n y b a n , m e g h a t á r o z u n k rajta e g y r e n d e z é s t .
A b e v e z e t e t t a x i ó m a s e g í t s é g é v e l a k ö v e t k e z ő l é n y e g e s f o g a l m a k d e f i n i á l h a t ó k :
- 1 0 5 -
3.1 É R T E L M E Z É S E K :
1. A z o k a t az e g y e n e s e k e t ; a m e l y e k e n a két, r e n d e z é s v a l a m e l y i k e adott, irányítóik e g y e n e s e k n e k n e v e z z ü k .
2. Két, k ü l ö n b ö z ő A, B pont e s e t é n az Á, ÍJ i r á n y í t o t t e g y e n e s k i f e j e z é s azt az A,B e g y e n e s t j e l e n t i , m e l y n e k a z i r á n y í t á s a o l y a n , hogy A<B.
3. L e g y e n e t e t s z ő l e g e s i r á n y í t o t t e g y e n e s é s P t e t s z ő l e g e s P e pont. Az <X;A<X> é s az < X ; A > X > h a l m a z o k a t az e i r á n y í t o t t e g y e n e s A kezdőpontú nyilt fél e g y e n e s e i n e k , az CX,A^X> és < X ; A ^ X > h a l m a z o k a t A kezdőpontú zárt félegyeneseinek n e v e z z ü k .
Az Ä,B f é l e g y e n e s a t o v á b b i a k b a n az Á,B i r á n y í t o t t e g y e n e s azon A k e z d ő p o n t ú z á r t vagy n y i l t f é l e g y e n e s é t j e l e n t i , a m e l y t a r t a l m a z z a a B—t. B — b e l s ő pont.
<1. Az A,B p o n t o k á l t a l m e g h a t á r o z o t t e g y e n e s e n , m i n d k é t r e n d e z é s n é l , az A,ü é s a Ö,A z á r t f é l e g y e n e s e k k ö z ö s p o n t j a i n a k a h a l m a z a u g y a n a z o n p o n t o k b ó l á l l , e z t a p o n t h a l m a z t n e v e z z ü k szakasznak. Jele: CA,B] A é s B — a s z a k a s z v é g p o n t j a i , az e z e k t ő l k ü l ö n b ö z ő , a s z a k a s z h o z t a r t o z ó p o n t o k - b e l s ő pontok.
Az [A,B3 - t s z o k á s z á r t i n t e r v a l l u m n a k is n e v e z n i , m i g a n y i l t f é l e g y e n e s e k , ill. n y i l t és zárt f é l e g y e n e s e k m e t s z e t e k é n t a d ó d ó p o n t h a l m a z o k n e v e nyilt ill. félig zárt intervallum. CÍA,Bt ill. t A , B t )
B á r m e l y p o n t r a t e l j e s ü l :
[A,AJ = <A> é s 3 A,AC = 0.
5. Ifa A , B , C p o n t o k az e e g y e n e s p o n t j a i , é s A<B<C, vagy A > B > C t e l j e s ü l , a k k o r azt m o n d j u k , hogy B elválasztja A é s G - t , B az A é s G k ö z ö t t van.
M E G J E G Y Z É S : Az 5. e s e t b e n B az CA,Cl b e l s ő p o n t j a , s f o r d í t v a , ha B e ] A , C t , a k k o r A < B < C , vagy A > B > C t e l j e s ü l .
6. Az E h a l m a z E* r é s z h a l m a z a C o n v e x , ha t e t s z ő l e g e s Y,ZeE' e s e t é n t Y , Z I c E ' .
3.1 K Ö V E T K E Z M É N Y : MJ_nden sík, e g y e n e s , f é l e g y e n e s , s z a k a s z k o n v e x halmaz.
3.2 K Ö V E T K E Z M É N Y : A z E tér t e t s z ő l e g e s k o n v e x r é s z h a l m a z a i n a k m e t s z e t e Is k o n v e x halmaz.
3 . 2 É R T E L M E Z É S : E g y e n e s , f é l e g y e n e s , s z a k a s z közül b á r m e l y k e t t ő t Clehet pl. s z a k a s z - s z a k a s z ) m e t s z ő n e k n e v e z ü n k , ha az á l t a l u k m e g h a t á r o z o t t e g y e n e s e k m e t s z ő k , é s a m e t s z é s p o n t o t m i n d k é t alakzat t a r t a l m a z z a .
5£ííí±:=2XÍQ[jga: M i n d e n a , b p á r h u z a m o s e g y e n e s p á r é s t e t s z ő l e g e s A , A ' ^ a é s B , B ' « b p o n t n é g y e s e s e t é n az [ A , B ] - t m e t s z ő é s az a,b e g y e n e s p á r r a l p á r h u z a m o s e g y e n e s e k m i n d e g y i k e m e t s z i az
CA',D'l - t is.
M E G J E G Y Z É S : Ez az a x i ó m a a k ü l ö n b ö z ő e g y e n e s e k r e n d e z é s e i között teremt k a p c s o l a t o t . ( E n n e k lesz a k ö v e t k e z m é n y e az, hogy a p á r h u z a m o s v e t í t é s r e n d e z é s t a r t ó . )
3.3 K Ö V E T K E Z M É N Y : L e g y e n e az a sík t e t s z ő l e g e s e g y e n e s e , c5ca,e i r á n y á t ó l k ü l ö n b ö z ő i r á n y é s >p az e - r e t ö r t é n ő , <5 irányú vetítés.
Ekkor m i n d e n X , Y ^ a e s e t é n
f>C [X, Y ] > = Í^CX?, i>CY>3.
Ha X é s Y egy 6 i r á n y ú e g y e n e s e n van, akkor 1> [ X, Y 3 = X<jp(X)> = <*> CY)>.
Ha ÍTfY nem <5 i r á n y ú e g y e n e s , akkor a VIII. a x i ó m a a l a p j á n a -p l e k é p e z é s az ÍA,B1 k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ű l e k é p e z é s e a
t^CX), <pCY>3 - r a .
3 . 4 K Ö V E T K E Z M É N Y : M i n d e n a ' c a konvex h a l m a z a e g y e n e s r e t ö r t é n ő , p á r h u z a m o s v e t í t é s s e l kapott ipCa') képe s z i n t é n k o n v e x halmaz.
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3.5 K Ö V E T K E Z M É N Y : Egy e g y e n e s n e k e g y e n e s r e t ö r t é n ő p á r h u z a m o s v e t í t é s e , hol a v e t í t é s iránya k ü l ö n b ö z i k az e g y e n e s e k i r á n y á t ó l , r e n d e z é s t a r t ó l e k é p e z é s .
Ha X , Y , Z e t e t s z ő l e g e s p o n t h á r m a s , ugy hogy Y a z X é s Z k ö z ö t t van, a k k o r a 3.3 köv. a l a p j á n a ^>CY) is a ^>CX) é s <pCZ) k ö z ö t t van, hol ^CY),^>CX) é s <pCZ> egy f e g y e n e s p o n t j a i .
CAzaz, a p á r h u z a m o s v e t í t é s az e - n e k f - r e t ö r t é n ő m o n o t o n c s ö k k e n ő v. n ö v e k v ő fv-e. Ha pl. X < Y < Z , a k k o r ^ C X ) <*>C Y ) C f C Z ) vagy f>CX) >'p(. Y ) >£>CZ) t e l j e s ü l . Az e g y i k e g y e n e s két r e n d e z é s é n e k b á r m e l y i k e i z o m o r f a m á s i k e g y e n e s e g y i k r e n d e z é s é v e l . T ö b b s z ö r i v e t í t é s s e l b e l á t h a t ó , hogy egy e g y e n e s két r e n d e z é s e is i z o m o r f i z m u s . )
3.6 K Ö V E T K E Z M É N Y : Egy t e t s z ő l e g e s e e g y e n e s P k e z d ő p o n t ú m i n d k é t f é l e g y e n e s e v é g t e l e n h a l m a z .
Az e e g y e n e s é s a tér egy A ' C e p o n t j a m e g h a t á r o z n a k egy s í k o t . A VI. a x i ó m a a l a p j á n l é t e z i k az e'l'e. Cl. á b r a )
Az I. ax. a l a p j á n f e l v e h e t ő e'-n P', Q', R' p o n t C A ' - t ő l f ü g g e t l e n ü l ) , é s legyen Q ' < P ' < R ' . A P,t" nem p á r h u z a m o s e - v e l , igy Q ' , R ' P , P ' — v e i p á r h u z a m o s v e t ü l e t e e-n 0,R, m e l y e k r e a 3.3 é s 3 . 5 k ö v e t k e z m é n y m i a t t p e l Q , R C , s igy a P k e z d ő p o n t ú e g y i k f é l e g y e n e s sem ü r e s h a l m a z .
Q ' - t v e t í t s ü k P'Q — v a l p á r h u z a m o s a n e — r e ; 1 . 4 k ö v e t k e z m é n y m i a t t l é t e z i k az e - v e l v a l ó Z m e t s z é s p o n t , s a r e n d e z é s t a r t á s
1. á b r a
m i a t t Q<=3Z,P[. A Q ' - t P ' , Z - v e i p á r h u z a m o s a n v e t í t v e u j a b b R pont a d ó d i k , s a k o n s t r u k c i ó v é g t e l e n sok p o n t o t e r e d m é n y e z . 3.1 T É T E L : T e t s z ő l e g e s , a s í k b e l i e g y e n e s e s e t é n l é t e z i k az {a\e> h a l m a z n a k k é t , c^ é s a2, v é g t e l e n , k o n v e x h a l m a z r a t ö r t é n ő e g y é r t e l m ű f e l b o n t á s a . Az a sík t e t s z ő l e g e s
p o n t j á r a t e l j e s ü l , hogy ha Xt <£ ctt é s X2 e <*2 a k k o r a z C X1, X21 metszi az e e g y e n e s t egy P p o n t b a n , é s P^X^ Ci=l,2).
B I Z O N Y Í T Á S :
1. A l é t e z é s i g a z o l á s a : L e g y e n e - t A p o n t b a n m e t s z ő a - b e l l e g y e n e s a. J e l ö l j ü k >p — v e i a — n a k e — v e i p á r h u z a m o s , a - r a t ö r t é n ő v e t í t é s é t , at é s a2 - v e i az e e g y e n e s A k e z d ő p o n t ú nyílt f é l e g y e n e s e i t .
E z e k a f é l e g y e n e s e k k o n v e x e k , é s az a V C A ) h a l m a z f e l b o n t á s á t a d j á k . C a j U a 2 = a \ ( A > é s ai n a2 = 0 L e g y e n at azon a beli p o n t o k h a l m a z a , m e l y e k k é p e a4, o<2 pedig azoké, m e l y e k k é p e a2; ezek k o n v e x h a l m a z o k . Az at, a2
s z á m o s s á g a l e g a l á b b a k k o r a , m i n t at 111. a2 -é.
2. E g y é r t e l m ű s é g : L e g y e n a*, a*, az <a\e> egy m á s i k , k o n v e x h a l m a z o k r a t ö r t é n ő f e l b o n t á s a , a z a z a* a* = < a \ e> é s
' 1 2
a" u a* = 0. A e ( a * ) é s a <pCa*) h a l m a z o k is k o n v e x e k , t e h á t
1 2 1 2
az a , a2 f é l e g y e n e s e k v a l a m e l y i k é v e l e g y b e e s n e k . Igy az ct*
h a l m a z o k v a l a m e l y i k é t az 0 ^ ( 1 = 1 , 2 } h a l m a z o k v a l a m e l y i k e t a r t a l m a z z a .
M i v e l a* u a* = a u a - < a \ e> é s az a.-k e g y i k e sem
1 2 1 2 t
üres, igy vagy ct* = a± é s a* = c<2 vagy ct* = c<2 é s a* = . Tehát a z indexek s o r r e n d j é t ő l e l t e k i n t v e az c**, a* f e l b o n t á s e g y b e e s i k az o^ , a2 f e l b o n t á s s a l .
3. Ha X. <s a é s X„ <s a , a k k o r az t X . , X . 3 m e t s z i e-t. A 1 1 2 2 i 2 f e l t é t e l b ő l k ö v e t k e z i k , hogy a [ X , X 3 > v é g p o n t j a i az a4 é s a2 —n vannak, a m i azt j e l e n t i , hogy e z e n s z a k a s z n a k az A b e l s ő pontja. Igy a VIII. a x i ó m a a l a p j á n az t X1, X2 3—t az e
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e g y e n e s metszi.
3.3 É R T E L M E Z É S : Az e l ő z ő t é t e l b e n j e l l e m z e t t a , a 1 2 h a l m a z o k a t az a sík e e g y e n e s e által m e g h a t á r o z o t t nyilt fél s í k j a i n a k n e v e z z ü k . Az ai u e é s c*2 u e—t az e á l t a l m e g h a t á r o z o t t zári fél s í k o k n a k nevezzük.
Az e a f é l s í k o k haiáregyenese, az e p o n t j a i t ó l k ü l ö n b ö z ő p o n t o k , b e l s ő pontok.
3 . & É R T E L M E Z É S : Egy félegyenes vagy szakasz metsz egy síkot Cnyilt vagy z á r t fél s í k o t ) , ha az á l t a l a m e g h a t á r o z o t t e g y e n e s m e t s z i a s í k o t Ca f é l s í k által m e g h a t á r o z o t t s í k o t ) , és a m e t s z é s p o n t m i n d k é t t e k i n t e t t a l a k z a t r a i l l e s z k e d i k . IX^-axiQüia: T e t s z ő l e g e s a s í k esetén l é t e z i k az E \ a h a l m a z n a k két olyan E , E? v é g t e l e n r é s z h a l m a z r a t ö r t é n ő f e l b o n t á s a , a m e l y e k n é l t e t s z ő l e g e s Xt é s X2 p o n t r a Xl« Ei és X2«^E2 a k k o r és c s a k a k k o r teljesül, ha l é t e z i k az [ X1, X21 n a = <P> e g y e l e m ű h a l m a z , és P*X. Ci=l,2).
3.5 É R T E L M E Z É S : Az a x i ó m á b a n leirt E, és E h a l m a z o k a t az a 1 2
sík á l t a l m e g h a t á r o z o t t nyilt / é í t e r e k n e k n e v e z z ü k . Az a u E4
é s a u E2 zárt félterek. a — a f é l t é r határsikja — p o n t j a i határpontok, E p o n t j a i - belsó' pontok. C i = l , 2 )
3 . 2 T É T E L : IIa egy a s í k o t A p o n t b a n m e t s z egy a e g y e n e s , a k k o r az e g y e n e s n e k az a h a t á r s í k ú nyilt f é l t e r e k k e l k ö z ö s p o n t j a i n a k halmaza az e e g y e n e s két, A k e z d ő p o n t ú n y i l t f é l e g y e n e s e .
B I Z O N Y Í T Á S : Legyen Bea é s B*A, v a l a m i n t B<=Et.
T e k i n t s ü k az E2 t e t s z ő l e g e s G p o n t j á t . Ha G-^a, az á l l í t á s igaz. Ha C<?a, akkor t e k i n t s ü k a C, a által m e g h a t á r o z o t t a' síkot.
IX. ax. : C BG1 n a = 0 é s 0 " A. CBC1 c a', e z é r t
Q <s a' é s Á € a'
Így a n a ' = A , Q = b.
Q e a é s A e a
L e g y e n D az a' sík b á l t a l m e g h a t á r o z o t t a z o n f é l s í k j á b a n , m i n t a C, é s D e a t e l j e s ü l j ö n . tGDl nem m e t s z i a b—t, igy a — t sem, ezért D e E2 < Az et' b á l t a l m e g h a t á r o z o t t , G — t t a r t a l m a z ó f é l s í k j á b a n az a - n a k A k e z d ő p o n t ú e g y i k f é l e g y e n e s e van, s e n n e k bármely p o n t j á r ó l b e l á t h a t ó , h o g y E2~ b e n van. CA m á s i k f é l e g y e n e s e E ^ b e n } .
3 . 3 TÉTEL: Ha a é s ft k é t k ü l ö n b ö z ő s í k , a k k o r vagy a r> ft = 0, vagy az a n ft p o n t j a i k o l l i n e á r i s a k .
B I Z O N Y Í T Á S : L e g y e n a n ft " 0 és A e C a n fty
T e k i n t s ü k az a sík A - r a i l l e s z k e d ő két k ü l ö n b ö z ő , a,b e g y e n e s é t . Ha e z e k k ö z ü l az egyik i l l e s z k e d i k ft—ra is, a b i z o n y í t á s k é s z . Ha ez n e m teljesül, a k k o r a z e l ő z ő tétel a l a p j á n az a e g y e n e s e n l é t e z i k « Et, X2 e E2 pont, ahol E4, E2 a ft á l t a l m e g h a t á r o z o t t n y i l t f é l t e r e k e t jelentik. A IX. axióma m i a t t IX..X J metszi /3-t A-tól k ü l ö n b ö z ő B
1' 2
p o n t b a n . A,B a két sík k ö z ö s e g y e n e s e . Ettől k ü l ö n b ö z ő k ö z ö s p o n t nincs, m e r t az 1 . 2 t é t e l a l a p j á n a k k o r a = ft t e l j e s ü l n e . 3.6 É R T E L M E Z É S : Ha a és ft két k ü l ö n b ö z ő sík é s van k ö z ö s e g y e n e s ü k , a k k o r a k é t síkot m e í s z ő n e k n e v e z z ü k , k ö z ö s e g y e n e s ü k e t m e t s z é s u o n a l n a k .
Síkot és félsifcot ill. két fél síkot metszőnek n e v e z ü n k , ha az á l t a l u k m e g h a t á r o z o t t s í k o k m e t s z ő k é s a m e t s z é s v o n a l n a k l e g a l á b b egy p o n t j a m i n d k é t g e o m e t r i a i a l a k z a t r a i l l e s z k e d i k . 3 . 7 É R T E L M E Z É S : Két aíkot párhuzamosnak n e v e z ü n k , ha m e t s z e t ü k ü r e s halmaz.
3 . 7 K Ö V E T K E Z M É N Y : Ha k é t s í k metszi e g y m á s t , az e g y i k n e k a m á s i k által h a t á r o l t fél terekkel k ö z ö s r é s z e i a k ö z ö s h a t á r e g y e n e s ű , k ü l ö n b ö z ő f é l s í k o k .
- I l l -
Az m-t, m e t s z ő a — b e l i e g y e n e s e k két, a m e t s z é s p o n t á l t a l m e g h a t á r o z o t t f é l e g y e n e s e i a 3 . 2 tétel a l a p j á n a k é t ß h a t á r ú f é l t é r b e n v a n n a k , s a f é l s í k o k k o n v e x i t á s a a l a p j á n a két, m h a t á r ú f é l s í k j á b a n is. (.ß — r e h a s o n l ó a n b e l á t h a t ó a z á l l í t á s . )
3 . 4 TÉTEL: Két, nem p á r h u z a m o s i n v a r i á n s s í k k ö z ö s e g y e n e s e i n v a r i á n s e g y e n e s .
B I Z O N Y Í T Á S : F C a ) = a, F C/3) = ß a n ß = m , m c a é s rn' a a
m c ß és m' c ß . m = m ' mert k é t m e t s z ő s í k n a k két k ö z ö s e g y e n e s e nem lehet. CHa a. = ß, az á l l í t á s n y i l v á n v a l ó ) .
I R O D A L O M
tl] G . C h o q u e t , G e o m e t r i a , Mir ( M o s z k v a ) , 1970.
[21 Dr. H a j ó s G y ö r g y , B e v e z e t é s a g e o m e t r i á b a , T a n k ö n y v k i a d ó , B u d a p e s t , 1966.
C 3 3 Dr. P e l l e Béla, G e o m e t r i a , T a n k ö n y v k i a d ó , B u d a p e s t , 1974.
t43 R a d ó F e r e n c - Orbán Béla, A g e o m e t r i a mai s z e m m e l , Dacia K ö n y v k i a d ó , K o l o z s v á r , 1981.
E33 Dr. R e d l i n g Elemér, G e o m e t r i a i t r a n s z f o r m á c i ó k , T a n k ö n y v k i a d ó , B u d a p e s t , 1980.
[6 3 Dr. S z e n d r e i János, A l g e b r a é s s z á m e l m é l e t , T a n k ö n y v k i a d ó , B u d a p e s t , 1974.
[73 V i g a s s y L a j o s , E g y b e v á g ó s á g i t r a n s z f o r m á c i ó k a s í k b a n é s a térben, T a n k ö n y v k i a d ó , B u d a p e s t , 1979.
