 xbxbxbY ˆ xbxbxbxbxbxbxxxbY  ˆ  xbxbxbbY ˆ

3 3 2

2 1

1

ˆ b0 b x b x b x

Y     x₁  x₂  x₃ 1





ˆ b0 x x x b x b x b x b x b x b x

Y            

→tengelymetszet nélküli modell Mixture designs

Modellek:

3 3 2

2 1

ˆ b1x b x b x

Y   

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x 3 0.00

0.25

0.50

0.75

1.00 x1

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

x 2

linear model

3 2 23 3

1 13 2

1 12 3

3 2

2 1

ˆ b1x b x b x b x x b x x b x x

Y      

3 2 1 123 3

2 23 3

1 13 2

1 12 3

3 2

2 1

ˆ b1x b x b x b x x b x x b x x b x x x

Y       

quadratic model

special cubic model

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x 3 : 3 0.00

0.25

0.50

0.75

1.00 x1: 1

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

x 2 : 2

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x3 0.00

0.25

0.50

0.75

1.00 x1

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

x2

1. példa

M.J.Anderson, P.J. Whitcomb, Rubber & Plastics News, Oct. 21, 2002, p. 16

Három oldószer elegyében egy anyag oldhatósága

MEK.sta

Statistics>Industrial Statistics & Six Sigma>

>Experimental Design (DOE)>Mixture designs and triangular surfaces

3 factor simplex-centroid desig ([No active dataset]) +interior points

Sum total of all mixture components: 100.

Standard

Run A B C Solubil

1 ity 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100.00000.0000 0.0000 121 0.0000100.00000.0000 164 0.0000 0.0000100.0000179 50.000050.00000.0000 140 50.00000.000050.0000185 0.000050.000050.0000180 33.333333.333333.3333199 66.666716.666716.6667175 16.666766.666716.6667186 16.666716.666766.6667201

Analyze design fülön Special cubic

Fitted Surface; Variable: Solubility DV: Solubility ; R-sqr=.9868; Adj:.9603

Model: Special Cubic

> 200 < 194 < 184 < 174 < 164 0.25

0.50 0.75

1.00 C 0.00

0.25

0.50

0.75

Coeffs (recoded comps); Var.:Solubility; R-sqr=.9868; Adj:.9603 (MEK.sta) 3 Factor mixture design; Mixture total=100., 10 Runs DV: Solubility; MS Residual=25.27317

Factor

Coeff.Std.Err.t(3) p (A)A

(B)B (C)C AB AC BC ABC

122.2824.86025.1620.00014 164.8284.86033.9170.00006 178.4644.86036.7230.00004 -5.78124.463-0.2360.82841 141.49224.4635.7840.01028 34.58324.4631.4140.25236 799.412161.2784.9570.01576

Az optimum megközelítése szimplex módszerrel

Több faktorra is általánosítható

n-dimenziós szimplex: n+1 csúcsot tartalmazó konvex poliéder Ha egy csúcs n+1 lépés után is megőrzi helyét, a szimplex forog:

• az optimum közelében vagyunk

• hiba miatt kiugró kísérleti érték új kísérlet

zsugorítás





2 1

 

j r_j j

m n

i

i uj

m x

x n

x n 



 



  

 







 

 1

1 ¹

1

a tükrözéssel kapott új pont:

A feladat a gázkromatográfiás elválasztás egyes beállítható paramétereinek változtatásával a kromatogram felvételéhez

szükséges idő minimalizálása. Csak olyan beállításokat fogadtak el, amelyekkel a csúcsfelbontás még elfogadható.

A faktorok a következők:

1. a vivőgáz áramlási sebessége, amelyet közvetve, egy U csöves manométerrel mértek, vagyis a vizsgált faktor: p, torr

(1torr=133.32 Pa);

2. a programozott fűtés kezdeti hőmérséklete, t, ^oC;

3. a lineáris hőmérsékletprogram meredeksége, t, amely 2 C/min és 30 C/min határok között 2 C/min fokozatonként

2. példa

J. Holderith, T. Tóth, A. Váradi: Minimizing the time for gas chromatographic analysis. Search for optimal operational parameters by a simplex method. J.

Chromatograph. 119, 215-222 (1976)

Az elfogadható csúcsfölbontás azt jelenti, hogy a legkisebb relatív retenciójú (egymástól a legnehezebben elválasztható) komponenspárok, az adott esetben a meta- és para-xilol, ill. az 1,3,5-trimetil-benzol és az 1,2,4-trimetil-benzol közötti

elválasztást jellemző PS érték 0.5-nél nagyobb.

Mivel a z₃ faktor szintjei csak diszkrét értékek

lehetnek, ha a faktornak az új csúcsbeli számított értéke nem volt beállítható, a legközelebbi beállítható értéket vették.

265

524 60

70

4

6





2       

m n

i

i uj

m x

x n

x n 



 



 



 







 

 1

1 ¹

1

Összevetés a faktoros tervekkel A szimplex kísérletek

• egyenként hajtandók végre: előnyös, ha gyorsan van eredmény

• megtalálják az optimumot

• kevés információt adnak a hatásokról A faktoros tervek

• párhuzamosan hajtandók végre: előnyös, ha lassan van eredmény, de kevésbé időigényes

• megismerjük a hatásokat

• haladunk az optimum felé

Összevetés a faktoros tervekkel 2 A szimplex kísérletek

• a faktorok csak folytonosak lehetnek

• érzékenyek a hibákra

• mivel nincs mögöttük modell, nem adnak eredményfelületet

• csak egy függő változónk lehet A faktoros tervek

• a faktorok lehetnek és diszkrétek (legalábbis két szint esetén)

• a hibákat a modell kiegyenlíti

• mivel van mögöttük modell, eredményfelületet adnak

• több függő változónk lehet

3. példa

Kalibráció ingadozás-forrásainak elemzése

kalibr_varcomp.sta

Graphs>Scatterplot

Scatterplot of Area against Concentration kalibr_varcomp.sta 9v*216c

-20 0 20 40 60 80 100 120

-5E5 0 5E5 1E6 1.5E6

2E6 2.5E6

3E6 3.5E6

4E6

Area

Volt egy koncentrált (300g/l) törzsoldat, ebből 3 ismétléssel állítottak elő 12-féle koncentrációjú oldatot.

Mind a 36 oldatból kétszer készítettek kb. 40-szeres szeres (de

egyforma) hígítást, és ezeket vitték a plate-re, és mindegyiket 3-szor injektálták.

 ^{i k} ^{ij ijkl}

j i

yijkl         

y_ijkl az i-edik koncentráció j-edik bemérése k-adik hígításából végzett l-edik injektálással kapott terület (Area)

Mit akarunk megismerni?

• a kalibrációs függvény alakját

• az ingadozás összetevőit (számszerűsítve)

• az illesztés feltételeit

Statistics>Advanced Linear/Nonlinear Models>General Linear Models>

>Nested Design ANOVA

Univariate Tests of Significance for Area (kalibr_varcomp.sta) Over-parameterized model

Type III decomposition; Std. Error of Estimate: 38181.27 Effect

Effect (F/R)

SSDegr. of

Freedom

MSDen.Syn.

Error df

Den.Syn.

Error MS

F p

Intercept

Concentration

Mix(Concentration)

Dilution(Concentration*Mix) Error

Fixed4.544E+1414.544E+1424.01.8793E+1024181.950.000000 Fixed2.633E+14112.394E+1324.01.8793E+101273.850.000000 Random4.510E+11241.879E+1036.04.9480E+093.800.000156 Random1.781E+11364.948E+09144.01.4578E+093.390.000000

2.099E+111441.458E+09 Components of Variance

Over-parameterized model Type III decomposition

Effect Area

Mix(Concentration)

Dilution(Concentration*Mix) 2.307457E+09 1.163402E+09

Predicted vs. Residual Values Dependent variable: Area (Analysis sample)

-5E5 0 5E5 1E6 1.5E6 2E6 2.5E6 3E6 3.5E6 4E6 Predicted Values

-1.5E5 -1E5 -50000

0 50000

1E5 1.5E5

2E5

Raw Residuals

Normal Prob. Plot; Raw Residuals Dependent variable: Area

(Analysis sample)

-1.5E5 -1E5 -50000 0 50000 1E5 1.5E5 2E5

Residual -4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Expected Normal Value

.01 .05 .15 .35 .65 .85 .95 .99

 _y ~ y







 





y^tr

dy ky

dy^tr  ^

 

dy dy dy

y dy Var

tr y

tr tr



 



 



 



 

 

Var ha y^  konst

dy dy^tr

Box-Cox transzformáció







 





y^tr

Dilution(Concentration*Mix); Weighted Means (kalibr_varcomp.sta) Current effect: F(33, 132)=3.3941, p=.00000

Type III decomposition

Include condition: Concentration>0 Cell No.

ConcentrationMixDilutionMeanStd.Err.lnmean

=log(v4) lnsd

=log(v5) N 1

2 3 4 5 6 7

10 1 1 1256912331.2211.741587.7541473 10 1 2 1309163300.7011.782318.101893 10 2 1 1189441324.6311.686417.1888883 10 2 2 1193442791.7911.689777.9344383 10 3 1 1263961637.9811.747177.4012213 10 3 2 1229002340.0411.719137.7579253 20 1 1 3187091243.3512.672037.1255663

az egy hígításhoz tartozó

injektálások átlaga és szórása

Scatterplot of lnsd against lnmean Dilution(Concentration*Mix); Weighted Means (kalibr_varcomp.sta) 8v*66c

lnsd = -1.6907+0.7959*x

11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5

lnmean 6.5

7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5

lnsd

az egy hígításhoz tartozó injektálások átlaga és szórása

Scatterplot of lnsd against lnmean Mix(Concentration); Weighted Means (kalibr_varcomp.sta) 7v*33c

lnsd = -3.0805+0.8907*x

7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0

lnsd

Mix(Concentration); Weighted Means

Current effect: F(22, 33)=3.7980, p=.00028 Type III decomposition

Include condition: Concentration>0 Cell No.

ConcentrationMix MeanStd.Err.N 1

2 3 4 5 6 7 8 9

10 1 1283032151.996 10 2 1191441384.836 10 3 1246481497.586 20 1 3129223549.576 20 2 3097534099.596 20 3 3013684367.206 30 1 5656115917.516 30 2 5603607715.216 30 3 5402774949.136

itt nemcsak a hígítás

hibáját látjuk, hanem ebbe belekeveredve az

injektálási hibák átlagát is

az egy Mixhez tartozó ismételt hígítások átlaga és szórása

Scatterplot of lnsd against lnmean Concentration; Weighted Means (kalibr_varcomp.sta) 6v*11c

lnsd = -4.0591+0.9472*x

7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5

lnsd

Concentration; Weighted Means (kalibr_varcomp.sta) Current effect: F(10, 22)=1082.9, p=0.0000

Type III decomposition

Include condition: Concentration>0 Cell No.

ConcentrationMean Std.Err.lnmean

=log(v2) lnsd

=log(v3) N 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10 1240321302.1411.728297.17176318 20 3080142480.0212.63797.81602218 30 5554164322.1613.227478.3715118 40 8370107936.8613.637598.97927318 50 11286068685.4513.936499.06940418 60 146789512044.8814.199349.39639518 70 180682612289.0714.407089.41646618 80 216289215954.4714.586969.67749418 90 260991222468.1014.7748310.0198518 100302843429845.5814.9235610.3037918 110337681625117.9715.0324410.1313418

itt nemcsak a Mix (az oldat újra- elkészítése) hibáját látjuk, hanem ebbe belekeveredve a hígítási és injektálási hibák átlagát is

az egy

koncentrációhoz tartozó ismételt Mixek átlaga és szórása

A hiba-komponensek arányos jellegűek, és az adatok logaritmikus transzformációja indokolt

Univariate Tests of Significance for lnAr (kalibr_varcomp.sta) Over-parameterized model

Type III decomposition; Std. Error of Estimate: .0341341 Include condition: Concentration>0

Effect

Effect (F/R)

SSDegr. of Freedom

MSDen.Syn .

Error df

Den.Syn.

Error MS

F p

Intercept

Concentration

Mix(Concentration)

Dilution(Concentration*Mix) Error

Fixed164.6271164.626822.0000.0196988357.720.0000 Fixed198.7891019.878922.0000.0196981009.200.0000 Random0.433220.019733.0000.00095520.620.0000 Random0.032330.0010132.0000.0011650.820.7419

0.1541320.0012

Components of Variance Over-parameterized model Type III decomposition

Include condition: Concentration>0

Effect lnAr

Mix(Concentration)

Dilution(Concentration*Mix) Error

0.003124 -0.000070

0.001165

2 2 2

ln

ln

y

y dy

y

d 

 _



 



 

Amit kiszámoltunk (y a terület):

2 ln 2 2

y

y y 

 

Ha azt kérdezzük, hogy a kalibrációs pontnak (3 Mix, 2 hígítás, 3 injektálás átlaga) mekkora a varianciája

18 6

3

2 2 Inj

Dilution 2

2 Mix Total

 

    

2 lny



Ha azt kérdezzük, hogy a majdani fölhasználásnál, ha nem készítenek több mix-et minden koncentrációnál, nem hígítják többször, de 3-

szor injektálják, és ennek átlagát rendelik a koncentrációhoz

3

2 2 Inj

Dilution 2

Mix 2

inj_atlag

 



   

Ha csak egy injektálás van minden koncentrációnál

2 Inj 2

Dilution 2

Mix 2

pont   

   

S t a c k e d P l o t o f m u l t i p l e v a r i a b l e s c o n c _ a r e a . s t a 2 2 v * 1 1 c

s i g m a y Q I n j s i g m a y Q D i l u t i o n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

0 2 E 9 4 E 9 6 E 9 8 E 9 1 E 1 0 1 . 2 E 1 0 1 . 4 E 1 0 1 . 6 E 1 0 1 . 8 E 1 0

M o d e l : v 3 = b 0 + b 1 * v 1 + b 2 * v 1 ^ 2

y = ( - 4 8 7 7 4 . 5 3 8 1 3 8 5 3 ) + ( 1 5 5 9 1 . 5 8 0 9 9 2 0 9 ) * x + ( 1 5 1 . 7 9 3 5 3 7 8 1 4 0 5 ) * x ^ 2

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0

C o n c - 5 E 5

0 5 E 5 1 E 6 1 . 5 E 6 2 E 6 2 . 5 E 6 3 E 6 3 . 5 E 6 4 E 6 4 . 5 E 6

A másodfokú függvény illesztése az átlag-adatokra, súlyozva

weight=1/sigmayQTotal

Parameter Estimates (conc_area.sta) Sigma-restricted parameterization

Effect

Mean

Param.

Mean Std.Err

Mean t

Mean p

-95.00%

Cnf.Lmt

+95.00%

Cnf.Lmt Intercept

Conc

Conc^2

-48774.58532.332-5.716440.000446-68450.1-29098.9 15591.6764.65420.390380.00000013828.317354.9

151.89.58015.845550.000000129.7173.9

1

Conc 2

Mean 3

sigmayQMix 4

sigmayQDilution 5

sigmayQInj 6

sigmayQTotal 7

weight 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

101240321.117E+072.754E+069.092E+064.687E+062.134E-7 203080146.888E+071.698E+075.607E+072.890E+073.460E-8 305554162.240E+085.522E+071.823E+089.399E+071.064E-8 408370105.086E+081.254E+084.140E+082.134E+084.685E-9 5011286069.247E+082.280E+087.528E+083.881E+082.577E-9 6014678951.564E+093.857E+081.273E+096.565E+081.523E-9 7018068262.370E+095.844E+081.929E+099.946E+081.005E-9 8021628923.396E+098.374E+082.765E+091.425E+097.02E-10 9026099124.945E+091.219E+094.026E+092.075E+094.82E-10 10030284346.658E+091.642E+095.420E+092.794E+093.58E-10 11033768168.278E+092.041E+096.739E+093.474E+092.88E-10

Többszörös célfüggvény

A célfüggvény megválasztása igen fontos. Például egy gumi- termék szakítószilárdságának maximalizálása ill. a gyártás költségeinek minimalizálása egészen más feladat, a független változók más beállítás-kombinációjánál van az optimum.

Esetenként e kívánalmak egymásnak teljesen ellentmondanak.

Lehetőségeink:

• Grafikusan vizsgáljuk a közös tartományokat

• Gazdasági természetű célfüggvény, ez alkalmasan szintetizálhatja a többféle szempontot.

• Ha a műszaki jellemzők pénzbeli kifejezése nehéz vagy lehetetlen, használható a Taguchi-féle négyzetes

veszteségfüggvény.

•

24. példa

Derringer, G., & Suich, R. (1980). Simultaneous optimization of several response variables. Journal of Quality Technology, 12, 214-219.

(Autógumi út-tapadása), a Statistica példája, kiegészítve

Tiretrem.sta 4 függő változó: abrasion, modulus, elong, hardness

3 faktor: silica, silane, sulphur kompozíciós terv

Statistics>Industrial Statistics & Six Sigma>

>Experimental Design (DOE)>Central composite...

From: Derringer and Suich (1980).

1

SILICA

2

SILANE

3

SULPHUR 4

ABRASION 5

MODULUS 6

ELONG

7

HARDNESS 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0.7 40 2.8 102 900 470 67.500

1.7 40 1.8 120 860 410 65.000

0.7 60 1.8 117 800 570 77.500

1.7 60 2.8 198 2294 240 74.500

0.7 40 1.8 103 490 640 62.500

1.7 40 2.8 132 1289 270 67.000 0.7 60 2.8 132 1270 410 78.000 1.7 60 1.8 139 1090 380 70.000 0.3835 50 2.3 102 770 590 76.000 2.0165 50 2.3 154 1690 260 70.000 1.2 33.67 2.3 96 700 520 63.000 1.2 66.33 2.3 163 1540 380 75.000 1.2 50 1.4835 116 2184 520 65.000 1.2 50 3.1165 153 1784 290 71.000 1.2 50 2.3 133 1300 380 70.000 1.2 50 2.3 133 1300 380 68.500 1.2 50 2.3 140 1145 430 68.000 1.2 50 2.3 142 1090 430 68.000 1.2 50 2.3 145 1260 390 69.000

DV: ABRASION

SULPHUR(Q) SILANE(Q)SILICA(Q)1Lby2L 1Lby3L

2Lby3L

(3)SULPHUR(L)

(1)SILICA(L) (2)SILANE(L)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

xpected Half-Normal Values (Half-Normal Plot)

.25 .45 .65 .75 .85 .95 .99

SULPHUR(Q) SILANE(Q)SILICA(Q)1Lby2L 1Lby3L

2Lby3L

(3)SULPHUR(L)

(1)SILICA(L) (2)SILANE(L)

Effect Estimates; Var.:ABRASION; R-sqr=.97205; Adj:.94689 (Tiretrem.sta) 3 factors, 1 Blocks, 20 Runs; MS Residual=31.48609

DV: ABRASION Factor

EffectStd.Err.t(10) p -95.%

Cnf.Limt

+95.%

Cnf.Limt Mean/Interc.

(1)SILICA (L) SILICA (Q)

(2)SILANE (L) SILANE (Q)

(3)SULPHUR (L) SULPHUR (Q) 1L by 2L

1L by 3L 2L by 3L

139.11922.28195560.964920.000000134.0347144.2038 32.98733.07340110.733150.00000126.139339.8353

-8.01923.088128-2.596780.026638-14.9000-1.1384 35.76153.07340111.635820.00000028.913642.6095

-6.89423.088128-2.232490.049633-13.7750-0.0134 21.81313.0734017.097370.00003314.965128.6610

-3.14423.088128-1.018170.332597-10.02503.7365 10.25003.9677512.583330.0272601.409319.0907 14.25003.9677513.591460.0049175.409323.0907 15.75003.9677513.969500.0026456.909324.5907

A négy célfüggvényre külön-külön végezhetünk elemzést

Effect Estimates; Var.:MODULUS; R-sqr=.74217; Adj:.51012 (Tiretrem.sta) 3 factors, 1 Blocks, 20 Runs; MS Residual=108039.3

DV: MODULUS Factor

EffectStd.Err.t(10) p -95.%

Cnf.Limt

+95.%

Cnf.Limt Mean/Interc.

(1)SILICA (L) SILICA (Q)

(2)SILANE (L) SILANE (Q)

(3)SULPHUR (L) SULPHUR (Q) 1L by 2L

1L by 3L 2L by 3L

1261.133133.67159.434570.000003963.2951558.972 536.302180.03252.978920.013833135.165937.440 -167.132180.8951-0.923920.377286-570.191235.928 493.006180.03252.738430.02088991.869894.144 -249.631180.8951-1.379980.197663-652.691153.428 278.969180.03251.549550.152293-122.168680.106 398.363180.89512.202180.052248-4.696801.423 138.750232.42130.596980.563794-379.117656.617 188.250232.42130.809950.436817-329.617706.117 208.750232.42130.898150.390216-309.117726.617

DV: MODULUS

SILICA(Q)1Lby3L2Lby3L SILANE(Q)

(3)SULPHUR(L)

SULPHUR(Q)

(2)SILANE(L) (1)SILICA(L)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

xpected Half-Normal Values (Half-Normal Plot)

.25 .45 .65 .75 .85 .95 .99

SILICA(Q)1Lby3L2Lby3L SILANE(Q)

(3)SULPHUR(L)

SULPHUR(Q)

(2)SILANE(L) (1)SILICA(L)

Effect Estimates; Var.:ELONG; R-sqr=.98149; Adj:.96484 (Tiretrem.sta) 3 factors, 1 Blocks, 20 Runs; MS Residual=422.2685

DV: ELONG Factor

EffectStd.Err.t(10) p -95.%

Cnf.Limt

+95.%

Cnf.Limt Mean/Interc.

(1)SILICA (L) SILICA (Q)

(2)SILANE (L) SILANE (Q)

(3)SULPHUR (L) SULPHUR (Q) 1L by 2L

1L by 3L 2L by 3L

400.3858.3568447.91100.000000381.764419.005 -199.33311.25523-17.71020.000000-224.411-174.255

15.86511.309161.40290.190930-9.33341.064 -62.79311.25523-5.57900.000234-87.871-37.715

34.61511.309163.06080.0120289.41759.814 -147.83811.25523-13.13510.000000-172.916-122.760

0.86611.309160.07650.940506-24.33326.064 17.50014.530461.20440.256179-14.87649.876 12.50014.530460.86030.409795-19.87644.876 2.50014.530460.17210.866828-29.87634.876

DV: ELONG

SULPHUR(Q)2Lby3L1Lby3L SILICA(Q)

1Lby2L SILANE(Q)

(2)SILANE(L)

(3)SULPHUR(L)

(1)SILICA(L)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

xpected Half-Normal Values (Half-Normal Plot)

.25 .45 .65 .75 .85 .95 .99

SULPHUR(Q)2Lby3L1Lby3L SILICA(Q)

1Lby2L SILANE(Q)

(2)SILANE(L)

(3)SULPHUR(L)

(1)SILICA(L)

Effect Estimates; Var.:HARDNESS; R-sqr=.95809; Adj:.92037 (Tiretrem.sta) 3 factors, 1 Blocks, 20 Runs; MS Residual=1.60619

DV: HARDNESS Factor

EffectStd.Err.t(10) p -95.%

Cnf.Limt

+95.%

Cnf.Limt Mean/Interc.

(1)SILICA (L) SILICA (Q)

(2)SILANE (L) SILANE (Q)

(3)SULPHUR (L) SULPHUR (Q) 1L by 2L

1L by 3L 2L by 3L

68.909620.515402133.70070.00000067.7612370.05800 -2.819690.694158-4.06200.002279-4.36637-1.27301

3.115360.6974844.46660.0012041.561274.66945 8.639370.69415812.44580.0000007.0926910.18605 0.115390.6974840.16540.871898-1.438701.66948 3.269690.6941584.71030.0008291.723014.81637 -0.634610.697484-0.90980.384308-2.188700.91949 -3.250000.896156-3.62660.004639-5.24676-1.25324

0.250000.8961560.27900.785953-1.746762.24676 -0.500000.896156-0.55790.589158-2.496761.49676DV: HARDNESS

SILANE(Q)SULPHUR(Q)1Lby3L2Lby3L

(1)SILICA(L) SILICA(Q)

1Lby2L (3)SULPHUR(L)

(2)SILANE(L)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

xpected Half-Normal Values (Half-Normal Plot)

.25 .45 .65 .75 .85 .95 .99

SILANE(Q)SULPHUR(Q)1Lby3L2Lby3L

(1)SILICA(L) SILICA(Q)

1Lby2L (3)SULPHUR(L)

(2)SILANE(L)

Profiles for Predicted Values

SILICA

80.000 139.12 180.00

SILANE SULPHUR

ABRASION

-500.0 1261.1 3000.0

MODULUS

150.00 400.38 700.00

ELONG

56.000 68.910 82.000

HARDNESS

Fitted Surface; Variable: ABRASION

> 180 < 180 < 160 < 140 < 120 < 100 < 80

A d-függvény (d: desirability function)

A több, különböző mértékegységben kifejezett és különböző

súlyokkal figyelembe veendő jellemző kombinációjára dolgozta ki Harrington 1965-ben.

A szakirodalomban több módszer, a d(y) függvénykapcsolat lehet lineáris és nemlineáris.

Közös bennük, hogy a függvény a (0, 1) intervallumban vesz fel értékeket.

d = 1 az y fölső határán, melynél nagyobb érték nem fordulhat elő, d = 0 y alsó határértékénél, melynél kisebb érték nem lehetséges.

Az összetett célfüggvény a komponensekre vonatkozó d értékek geometriai átlagolásával kapható.

D  ^q d d_{1 2}...d_q

ahol q a célfüggvény-komponensek (a vizsgálandó tulajdonságok) száma.

A D függvény ugyanolyan tulajdonságú, mint d_i komponensei, egyes értékei ugyanúgy értelmezhetők így használható

optimum keresésére.

D értéke akkor és csak akkor nagy, ha egyik d_i kompo- nens se kicsi. A geometriai átlagolás következtében a kisebb d értékek súlya jelentős, vagyis D kompromisszumot ad a

részcélok között.

Derringer és Suich (1980)

lineáris függvény a d=(0, 0.5) és a d=(0.5, 1) intervallumokban esetleg görbeség























 





 





U y

U T T

U y

T y

L L T

L y

d _t

s

, ,

kétoldali egyoldali

f y

L L f

L

d y  



  ,



U y

U a a

U

d y  



  ,



LB

SB

0 2 4 6 8 10 12 y

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

d052

s=0.5, t=2

0 2 4 6 8 10 12

y -0.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

d

s=t=0.5

0 2 4 6 8 10 12

y -0.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

d1

s=t=1

0 2 4 6 8 10 12

y -0.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

d2

s=t=2

t=s=1

t=s=2

t=s=0.5

t=s=1

t=s=2

t=s=0.5

t=0.5 s=2

kétoldali határra egyoldali

határra

Specifikáció és a kívánatossági függvény értéke

Profiles for Predicted Values and Desirability

SILICA

80.000 139.12 190.00

SILANE SULPHUR Desirability

0.

.5

1.

120.00145.00170.00 ABRASION 0.

.5

1.

-500.0 1261.1 3000.0

0. .5 1.

1000.01150.01300.0 MODULUS

0. .5 1.

150.00 400.38 700.00

0.

1.

0.

400.00500.00600.00 ELONG 0.

1.

0.

56.000 68.910 82.000

0.

1.

0.

60.00067.50075.000 HARDNESS 0.

1.

0.

.17956 Desirability

0.

.5

1.

0. .5 1.

0.

1.

0.

0.

1.

0.

mean

Profiles for Predicted Values and Desirability

SILICA

80.000 129.17 190.00

SILANE SULPHUR Desirability

0.

.5

1.

120.00145.00170.00 ABRASION 0.

.5

1.

-500.0 1280.0 3000.0

0. .5 1.

1000.01150.01300.0 MODULUS

0. .5 1.

200.00 461.03 750.00

0.

1.

0.

400.00500.00600.00 ELONG 0.

1.

0.

54.000 67.363 80.000

0.

1.

0.

60.00067.50075.000 HARDNESS 0.

1.

0.

.56586

Desirability

0.

.5

1.

0. .5 1.

0.

1.

0.

0.

1.

0.

optimum

Desirability Surface/Contours; Method: Spline Fit

> 0.2 < 0.125 < 0.025 < -0.075 < -0.175

> 0.1 < 0.025 < -0.075

> 0.2 < 0.175 < 0.075 < -0.025 < -0.125

Desirability Surface/Contours; Method: Spline Fit

> 0.2 < 0.125 < 0.025 < -0.075 < -0.175

0.2 0.4

0.6 0.8

1.0 1.2

1.4 1.6

1.8 2.0

2.2

SILICA 30

35 40 45 50 55 60 65 70

SILANE

> 0.1 < 0.025 < -0.075

0.2 0.4

0.6 0.8

1.0 1.2

1.4 1.6

1.8 2.0

2.2

SILICA 1.4

1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2

SULPHUR

> 0.2 < 0.175 < 0.075 < -0.025 < -0.125

30 35 40 45 50 55 60 65 70

SILANE 1.4

1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2

SULPHUR