Egy speciális elrendezésű modell költségmegtakarító megoldása

EGY SPECIÁLIS ELRENDEZESÚ MODELL KOLTSEGMEGTAKARlTO MEGOLDÁSA

DR. TÓTH JÓZSEF

A mezőgazdasági vállalatok komplex tervezése során eredményesen alkalmaz- ható a gyakorlatban egy speciális elrendezésű modell, amely a termelési szerkezet.

a termelési technológiák és a termelési források egyidejű, egymással szoros össze—

függésben történő optimalizálósát teszi lehetővé (1). (2). Hasonlóképpen szerkeszt-

hető —* némi módosítással —— a termelési szerkezet. a termelési szinvonal, a termelési

technológiák és a termelési források egyidejű optimalizálására (5). (8). valamint a

géppark és géphasználat optimalizálására (3), (4) szolgáló modell. Elképzelhető analóg módon felépített modell a népgazdaság más területén is.

Az ilyen modellek egyik jellemzője, hogy általában nagyméretűek, megoldásuk időigényes. Ennélfogva nem érdektelen olyan megoldási lehetőségek vizsgálata.

amelyek gyorsabban. kevesebb költséggel vezetnek eredményhez.

Másik jellemzőjük a modelleknek. hogy speciális elrendezésűek. Ezt vizsgálva olyan eljáráshoz jutunk, amely a modell megoldásához szükséges számítógépidő- igényt csökkentheti.1 E jelzett modellek is lehetnek különböző elrendezésűek. cél- szerű azonban azokat az alábbiakban tárgyalt blokkos elrendezésben szerkeszteni (8), nemcsak azért. mert ez az elrendezési mód teszi legegyszerűbben lehetővé a modellszerkesztés automotizálását. hanem szakmai megfontolások miatt is: ez a fel—

építés lehetővé teszi az egyes termékek optimális technológiai folyamatának rend—

szerbe foglalt leírását a modell megoldásának eredményeként. Az alapmodell:

xT yr

ul A O : 0

u2 B F § o /1/

113 D G É b

pT c' 0

1 E modellek lehetőséget adnak a modellszerkesztés automatizálására. erre azonban nem térünk ki.

998 DR. TÓTH JÓZSEF

A modellben alkalmazott jelölések:

A -- a termelési tevékenységek és a munkaműveletek összefüggését előíró matrix.

B -— a termelési tevékenységek és munkaműveletek fajlagos erőforrósigényeinek mat- rixa (B_2 0).

D, 6 — egyéb feltételekre (takarmány, termelési korlátok anyagkorlótok. beruházási kor- látok stb.) vonatkozó fajlagos tényezők matrixa [D. G (E) 0].

F — a forrósvőltozók fajlagos kapacitására vonatkozó matrix (F 5 0).

b — az egyéb feltételekre vonatkozó korlátok (b ; 0).

p7 — a termelési tevékenységek hozamait (pozitív előjelű elemek) és a munkaműve- letek költségeit (negatív előjelű elemek) tartalmazó vektor,

cT — a forrósvóltozók fix költségeinek vektora (cT § 0).

x —— termelési és műveleti változók vektora, y -— forrósvóltozók vektora.

Méretét tekintve legnagyobb az A matrix. minthogy a mezőgazdasági vállala-

toknál sokféle termék termelése jöhet szóba, azok termelése során igen sokféle mun- kaműveletet kell elvégezni, s ezek megoldási módja és ideje is változatos. Általában

az A matrixhoz kapcsolódik a modellvóltozóknak és a feltételeknek körülbelül hó- romnegyede. a modellben a változók szóma BOD—1500 között van, s e körül található

a szükséges feltételek száma is.

Az A matrix jellemzője, hogy kvózidiagonőlisan elhelyezkedő blokkokból (8) épül

fel: '

/2/

nn

Az A matrix blokkjaiban az elemek elrendeződése speciális. a legegyszerűbb esetben Au- a /3/ szerint alakul.

A /3/ modellblokkban azt írjuk elő, hogy amennyiben például adott terméket

meghatározott mennyiségben termelünk, ennek megfelelő mennyiségben el kell vé- gezni a termék termeléséhez szükséges első műveletet (xm-2), illetve az első művelet

elvégzése maga után vonja a második művelet elvégzését, és így tovább a k-adik

művelet elvégzését. Szükségesnek tartjuk megjegyezni, hogy a gyakorlati tervezés során a modellblokkok nem ilyen egyszerűek. A munkaműveletek különböző módo-"

kon (például különböző erő— és munkagépkapcsolatokkal) és különböző időszakok-

ban (dekódokban vagy hónapokban) végezhetők. Ebből adódóan adott művelet több

változóval képviseltethető, és ezek között minden esetben kapcsolatot kell teremteni

a feltételekben.

A problémát itt egyelőre leegyszerűsítve tárgyaljuk. az ismertetésre kerülő el—

jórós azonban — erre utalni fogunk — bonyolultabb esetekben is alkalmazható.

A /3/ szerinti AÚ blokk jellemzője. hogy k számú változót és k—l számú feltételt

EGY SPECIÁLIS ELRENDEZESO MODELL ' , 999

tartalmazó irreguláris matrix. Az Au matrix utolsó oszlopának elhagyásával képzett

A'U matrix viszont kvadratikus, nem szinguláris matrix.

xü1 xm xü3 xm . . xűk_1 ka

1 -—1

1 ——1

1 _1 * l3/

1 —1

ahol:

xii1 —— az ii-edik blokk termelési változója (í-edik termelési tevékenység mérete).

Xüz- xr3, ..., x,,k — a i-edik termelési változóhoz szükséges munkaműveletek változói.

Egyszerűen megállapítható. hogy az A9 matrix utolsó oszlopának elhagyásával képzett A; matrix inverze olyan trianguláris matrix, amelynek diagonális elemei és a diagonális feletti elemei egységek, s természetesen diagonális alatti elemei zéru—

sok. Ezek szerint tehát A;;1 minden számolás nélkül felírható. Ha például:

(1) (2) (3). . . (k—i)

1 ——l

1 —1

1

Ali: ' /4/

——1

1

akkor _

(1) (2) (3). . . (k—1)

! 1 1 1 . . . 1

'l l . . . 'l

'l . . . 1

Aifl ' ' /5/

1000 ' , DR. TÓTH .lÓZSEF

' Térjünk vissza az /1/ szerint megfogalmazott modellre. _ ' -

Ha úgy rendezzük a feladatot. hogy xTvektort x'7 és x"Tvektorokra bontjuk, ahol, x"T-hez rendeljük az Au matrixok utolsó oszlopainak megfelelő vektorokat, a modell

a következőképpen alakul:

X'T x" T ,T

u1 A' A" 0 _ o

[12 B' § B" F § 0 lő,

ug D' D" G § b

plT puT CT 0

l !

Végrehajtva (: bózistranszformóciót A' generáló blokkal a következőket kapjuk:

u1T x'" y 7

x' A-—1 A'"1A" o o

u2 -B'A'—1 B"—B'A'*1A" F 0 h!

u3 —D'A'—1 D"-D'A'"1A" G b

_p'TA' " 1 pf'T—p' TA"1A" c 7 0

A bózistranszformóció tehát csak az x'T és x"T-hez tartozó blokkokat változtatta meg, ami természetes, tekintve hogy a feladat első sorában A matrix kivételével zé-

rus blokkok szerepelnek.

Megállapítottuk, hogy az A' matrix inverze (A'—1) olyan kvázidiagona'lisan elhe-

lyezkedő felsőtriangulóris matrixblokkokból áll, amelyeknek zérustól különböző ele- mei egységek. Ha például egy B matrixot ilyen matrixblokkal szorzunk. a B matrix vektorainak kumulációjót kapjuk. Például:

(1) (2) - - - (k—l)

bu bm . . . b1k_1 1 'l . . . 1 b21 b22 . . . b2 k_1 1 . . . l

[ bk_1 1bk—1 2 . . . bk_1 k_1 [ 1

EGY SPECIÁLIS ELRENDEZÉSÚ MODELL 1001

bu bu'l'blz - - - bu'l'blz'l— - - - 'l'blk—l ]

bm bzl'l'bzz ' ' - bzl'l—bzz'l' ' ' ' lbzk—l

: Z '. '. /8/

[ bk__1 lbk_1 l—j-bk_1 2 . . . bk—1 l—l—bk_1 2—l— . . . _l-bk_1k_1J

Hasonlóképpen nyerjük a —-B'A'—1. -—D'A'—1, —p'TA"'1 szorzatokat, utóbbi eset- ben természetesen a sorvektor elemeinek halmozásaként.

Egyszerű példa segítségével könnyen ellenőrizhető, hogy A'—1A" olyan mátrixot eredményez, amelynek diagonálisan elhelyezkedő matrixai olyan oszlopvektorok, amelyek az eredeti A,j matrix sorainak számával egyező elemet tartalmaznak, s az elemek mindegyike —l AB"—-B' (A'—IA") és D"—D'(A"1A") (: B matrix az A], mat- rixhoz kapcsolódó elemeinek soronkénti összege. Ugyanez vonatkozik értelemszerű- en a célfüggvényekre is.

Az előbbiekből következik, hogy a /7/ minden különösebb számítás nélkül fel-

írható, illetve csupán a vektor elemeinek halmozott összeadására szorítkozik (ez a számítógépbe történő beolvasás folyamán elvégezhető), s természetesen az elője-

leket ellenkezőre változtatjuk.

Ezáltal viszont előállítottunk egy olyan közbenső bázismegoldóst, amikor a mo—

dellváltozók nagyobb részét bevontuk a bázisba. Igaz, hogy a bázisba vont változók értéke egyenlőre nulla, de eljutottunk a feladat jelentős átrendezéséhez.

—p'TA'—1 elemei általában negativ, viszont a p"T—p'T(A'"1A") elemei általában pozi- tiv előjelűek. (Ellenkező esetben olyan tevékenység szerepel a modellben. amely biz- tosan nem jövedelmező, hiszen a termék termelési értéke a közvetlen művelési költ- ségeket sem fedezi, nem is beszélve a gépek fix költségeiről. Ha a modellben ilyen tevékenység van, az természetesen akkor szerepelhet a megoldásban, ha azt egyen—

lettel, vagy alsó korláttal előírjuk.)A megoldás tehát a p"T—p'T(A'—l A") szerint foly-

tatható, az X" valamely eleme a bázisba bevonható. (Érdekességként megjegyezzük, hogy a bázisba vont változók egy ideig még továbbra is nulla értéket vesznek fel.

Közben azonban cT elemei előjelet váltanak és y7 elemei is a bázisba kerülnek.

majd az x'T , X" és y7 több bázisba vont eleme vesz fel egyszerre nullától különböző

pozitiv értéket.)

Összefoglalva tehát egy nagyméretű modell megoldását egy olyan közbenső bá-

zismegoldásból kiindulva kezdhetjük el. amikor a vóltozóknak körülbelül 75 százalé—

kát már bevontuk a bázisba, tehát a számításoknál igen jelentős gépidőt takarit—

hatunk meg.

Ar. eddigiek során a problémát lényegesen leegyszerűsítettük. A gyakorlati ter- vezés ilyen egyszerűsítéseket nem tesz lehetővé, azonban az ismertetett eljárás bo-

nyolultabb esetekben is alkalmazható és jelentős segitséget nyújthat.

Bonyolitja a problémát. hogy az állattenyésztési változóknál nem merül fel tech- nológiai blokkok szükségessége, hanem olyan aggregált tevékenységeket reprezen- tálnak, amelyek a termelést és a munkaműveleteket egyidejűleg tartalmazzák. Te- kintve azonban. hogy ezek a tevékenységek az Uj sorokban nulla értékeket tartal- maznak, viselkedésük a forrásváltozókhoz hasonló, tehát a /7/ előállítását nem za-

varjók.

Nagyobb problémának tűnik. hogy -— mint arra már utaltunk — a munkaműve-

letek — vagy azok egy része — adott vállalat esetén is különböző módokon és külön- böző időszakokban végezhetők. A /3/szerinti An blokk tehát a gyakorlati tervezés során a bemutatottnál bonyolultabb.

1002 . DR. TÓTH JÓZSEF

A bonyolultságot a /9/ érzékelteti:

xm xyz x:; ,(512 l xízjg x2j3 xga x,.j4 xng xgs

1 —1 —1 ; —1 -1

1 1 1 1 —1 —1 [9]

1 1 —1

_1 —1 -1

A blokk első változója most is a termelési változó. Ehhez kapcsolódik az első művelet. amelyet itt négy változó képvisel, tekintve, hogy az adott művelet két időr szakban kétféle módon végezhető. Ugyanakkor a második művelet két időszakban és egyféle módon, a harmadik művelet egy időszakban és egyféle módon. a negye—

dik művelet két időszakban egyféle módon végezhető, és'igy tovább.

Az Aíj matrixblokkok és xT particionálása ilyenkor is célszerűen elvégezhető úgy, hogyaz x " vektor tartalmazza a termelési változókat és minden blokk munka—

műveleti változóinak egyikét (célszerű azt választani. amelyhez a legkisebb költség

tartozik), az x"7 vektor pedig tartalmazza az xT többi elemét. Most tehát az Az; mat-

rix nemcsak az A. blokk utolsó oszlopát. hanem több közbeeső oszlopát is"tartal-

mazza. Ennek alapján az A; matrixblokkok egyszerűen előállíthatók, az ismertetett

eljárás segítségével a /7/ minden különösebb számítás nélkül felírható és a modell megoldása innen indítható. Könnyíti a feladat megoldását, hogy számítógépre írható

olyan program. amely a blokkméretek megadása után az A'"1—et adott feladathoz

összeállítja. A vázolt eljárás a szükséges gépidőt 40—50 százalékkal csökkentheti, ami nagyméretű modell esetén jelentős. Ugyanakkor azonban a gépidő-megtaka—

ritás aránya a műveleti változók sokféleségével csökken.

Természetesen a modell különböző célfüggvényekkel vizsgálható. mind maxi—

mum, mind minimum feladatként megoldható, és igen széles körű. részletes elem-

zésre ad lehetőséget. Különösen nagy előnye, hogy lehetővé teszi a vállalat, mint rendszer részletes és komplex vizsgálatát. lehetőséget teremt a vállalat gazdasági magatartásának, a változásokra való reagálásának vizsgálatára. érzékenységi vizs—

gálatokra, ha a rendszer valamely eleme, vagy elemei megváltoznak (7), például az

árak változására, valamely eszköz vagy anyag árának, vagy fajlagos szükségletének megváltozására, a beszerezhető gépek fajtáinak megváltozására. vagy korlátozó- sára stb. Különösen komplex módon vizsgálható a vállalati magatartás, ha a mo-

dellben a termelési színvonal (átlaghozamok) optimalizálását is feladatul tűzzük ki,

természetesen ez esetben nem lineáris modellt alkalmazva (5). (8). Ez lehetővé te- szi nemcsak az átlaghozamok optimális szintjének meghatározását, hanem annak vizsgálatát is. hogyan reagálhat a vállalat az átlaghozamok változására. milyen át- laghozamok elérése szükséges bizonyos feladatok jövedelmező megoldásához. vagy ahhoz, hogy adott termék termelésének jövedelmező szintjét elérjük.

A gépidő csökkentése és az itt bemutatott eljárás különösen jelentős lehet dina—

mizált tervezési feladat esetén, amikor a vázolt komplex rendszermodell lényegesen

EGY SPECIALiS ELRENDEZÉSO MODELL 1003

több változót és feltételrendszert tartalmaz. llyen méretű gyakorlati feladat megol—

dása automatizált modellszerkesztés nélkül jelentős nehézségek elé állítja a terve—

zőt, és a modell megoldása költséges. A gépidő jelentős csökkentésének lehető- ségét megteremtve viszont közelebb kerülünk ilyen jellegű feladatok gyakorlati célból történő megoldásához is.

IRODALOMV

(1) Acsay Ferenc - Balla Sándor — Tóth József: A termelési szerkezet. a termelési tényezők és a ter- melési források egyidejű, összefüggő optimalizálása. Vezetés a mezőgazdaságban, az élelmiszeriparban, az erdészet—faiparban. 1973. évi 2. sz. 8—15. old.

(2) Acsay Ferenc — Balla Sándor - Tóth József: A termelési szerkezet. a termelési technológia és a termelési források egyidejű optimalizálása egy gazdaságban. Vezetés a mezőgazdaságban, az élelmiszeripar-

bán, az erdészet—faiparban. 1973. évi 10. sz. 642. aid.

(3) Dr. Acsay Ferenc —- Dr. Csáki Csaba -— Dr. Módos Gyula: A vállalati gépfeihasználás és gépszük- séglet tervezése új módszerrel. Gazdálkodás. 1974. évi 3. sz. 1—14. old.

(4) Acsay Ferenc — Csáki Csaba — Varga Gyula: A válialati géppark és géphasználat matematikai tervezése. A nagyüzemi gazdálkodás kérdései. Akadémiai Kiadó. Budapest. 1973. 183 old.

(5) Kar/ik Erzsébet — Tóth József: Termelési szerkezet, források és termésátlag tervezése nem lineáris modellel. Az ..Operációkutatás és számítástechnika a mezőgazdaságban" tudományos konferencián (Gödöllő.

1976. április 8—9.) elhangzott előadás. (Kézirat)

(6) Krekó Béla: Optimumszámítás. Nemlineáris programozás. Matematikai ismeretek gazdasági szak- emberek számára. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1972. 655 old.

(7) Tóth József: A termelési tényezők felhasználásának optimalizálása (: mezőgazdaságban. Közgazda- sági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1973. 231 old.

(8) Tóth József: A termelési tényezők felhasználásának és elosztásának optimalizálása a mezőgazda- ságban. Akadémiai doktori értekezés. (Kézirat)

PE3lOME

B xone ocymecrannemoro censcnoxosnücraeHHmMu npeAanSTHHMM KOMHDEKCHOFO nna—

HupoBaI—mn c ycnexom MO)KHO npumeum'b e npaxmuecxoü paőo-re cneuuanbnyio no apo- eumo MOAenb, Koropan npercrasnneT aosmomnocn. mm OAHOBpeMeHHof—i OHTHMM3auHH crpyn'rypbi npouasoactaa, npOHSBDACTBeHHle Texnonorwü " pecypcoa. AHanorwiHuM 06- pasoM Mom-lo coc1'aams Tanme Monenb mm on'mMusaw—m MamuHHoro napna n ucnoma- sosem—m Mamma. Xapaxrepnofi ueproü smx Moneneii nanmoTcn prngle macm'raőhl " ux pemer—me Tpeőye'r MHoro BpeMeHH. OAHBKO ux cneuuanbnoe crpoeHue nonycxaer ana—

uutenbnoe coxpamenne 'rpeőyemoro .nrm ux pemei—mn BpeMeHH c nOMouibio Metona, npu—

BOAHMOI'O B Hacmnuieü ctarbe.

Hsnaraemmü METOA momer 65in anMeHeH u a őonee cnomnux cnyuanx, BOSHHKa—

ioumx a xone npaxruuecxoro nnaHupoaaHun.

Bria—tenue npuaeaeHHor—o MeTOAa noabn'uaefcn TeM oöcmmenbctaom, u.i-ro npame—iec- noe npuMeHem—ie CpaBHHTeHbHO prm-ioi'i no MacurrasaM monenn a npouecc nnaanoeaHun a censcxoxoanücmenubix npennpum'unx Momet cmrpatb Bamnyio ponb, nocxonbky oHa, c oAHoü CTOpOHbI, npuronna p,:m Aéraanoro u Komnnekcnoro s CHCTeMHOM omomenuu nc—

cnenosaHl—m nonomeuwn npennpnm'm, a c npyroí—i CTOpOHb! npenocmsnnef BO3M07KHOCTb

mm aeromamaauuw megennpoaanuz. '

SUMMARY

In the complex planning of agricultural farms a model of a special set-up which per- mits of simultaneous optimalization of the production structure. technologies. and sources of production can be practically applied with good results. A model for the optimalization of the machine stock and of its use can be constructed in a similar manner. These models are generally of great size, thus their solution is time-consuming. On the other hand, their special design allows a considerable reduction of the time reguired for the solution by means of the

method discussed in the study.

The discussed procedure can also be used in the more complicated cases of practical planning.

The significance of the presented method may be increased by the important part these reiatively large models may play in the planning of agricultural farms. They can be applied for the detailed and complex investigation of the forms. and they make possible the auto-

matization of model construction.