MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK
TOBBPOZlClÓS INDEXFORMULÁK USSZEHASONLlTÁSA (II.)
VITA LÁSZLÓ
Az összehasonlított indexformulák bemutatása, az összehasonlítás módszerei—
nek és adatbázisainak ismertetése után (lásd: Statisztikai Szemle. 1981. évi 11. sz.
1118—1128. old.) a kapott eredményeket foglaljuk össze. Befejezésül pedig néhány általánosítható megállapítással zárjuk tanulmányunkat.
SZÁMSZERÚ EREDMÉNYEK10
A kilenc összehasonlított formulával kapcsolatban mindenekelőtt azt jegyezzük meg, hogy a BLAU indexek meghatározására szolgáló iterációs eljárás csak a BPF- adatok esetében konvergált, míg a másik két esetben nem vezetett eredményre. Mi—
vel az eljárás konvergenciája általánosságban nem bizonyított, ez mindenképpen fontos adalék a BLAU—módszer gyakorlati alkalmazhatóságát illetően. Az egyes for- mulákkal a BPF-, a HVA—, valamint az lCP-aclatokból számított eredményeket az S., 6. és 7. táblákban közöljük.
Az előző részben tárgyaltaknak megfelelően legelőször a /15/ illeszkedési együtt- hatókat közöljük a 8. táblában. Ugyanebben a táblában mutatjuk be a /ló/ eltérés—
matrix elemeinek előjelmegoszlását is, ami az egyes formulák szisztematikus torzítá-
sáról adhat képet. Ha ugyanis a /16/ matrix elemeinek többsége azonos előjelű,
akkor ez arra utal, hogy a szóban forgó indexformula alkalmazása az aggregátum—matrix elemeinek rendszeres felül— vagy alulbecsléséhezll vezet. A 9. táblában a té-
nyezőpróba megsértésének relatív mértékéről és szisztematikusságáról közlünk né—hány adatot.
A 8. és 9. tábla adatait tanulmányozva talán az L' és a P' formulák szélsőséges viselkedése a legszembeötlőbb mindhárom adathalmaz esetében. Mindkét táblából az tűnik ugyanis ki. hogy az A matrix aü elemeinek e két formula alapján becsülhető értéke az esetek többségében szisztematikusan — és a két formula esetében egymás—
sal ellentétes irányban — eltér az A matrix elemeitől. Az L' és F' formulák viselkedése ugyanilyen szélsőségesnek mondható az illeszkedési együttható nagyságát illetően is. mert e két formula használható fel a legkevésbé a megfelelő aggregátum-matrix elemeinek reprodukálására, különösen az lCP—adatok esetében.
Ami a többi hét formulát illeti, azok mindegyike igen jól reprodukálja az aggre- gátumok matrixát.
1" A számítások az Egyetemi Számitóközpontban készültek. A számítások programját Várnai Katalin és Bencsik István készítették, akiknek ezúton is köszönetet mondok.
" Az A matrix aii elemének becslése aux], (i,/1) Xg (i/1).
1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
1 9 6 0 1 9 6 1 1 9 6 2 1 9 6 3 1 9 6 4 1 9 6 5 1 9 6 6 1 9 6 7 1 9 6 8 1 9 6 9 1 9 7 0
ÉvL' 100.00 89.29 79.94 '96.21 104.06 103.67 12622 138.52 146.82 153.70 158.35 100.00 106110 11170 10286 11227 124,38 118,11 114.35 126.89 125.55 13726
F' 100.00 87.73 75.89 88.38 94.21 92,72 112,11 121.75 126.35 13013 130.04 100.00 10425 107.94 94.49 101,64 111.25 104,91 100.51 109.21 106.30 11273
AEPP-adatokbólszámítottkülönfélevolumen-ésárindexek F' 100,00 88.50 77.89 92.21 99.01 98.05 11896 129.87 13620 141,42 141350
1 0 0 1 1 0 1 0 5 . 1 7 1 1 0 , 7 8 9 8 . 5 8 ; 1 0 6 6 2 1 1 7 , 6 3 1 1 1 , 3 2 1 0 7 2 0 1 1 7 . 7 2 1 1 5 5 2 1 2 4 3 9
(Index:1960.év:100) A 100.00 87.69 76.78 90.92 96.28 94.98 11494 125.93 133.33 138,13 142.66 100.00 104.77 110.68 98.28 106,00 11690 111,16 107.82 118.52 116.18 126.59
V
E 100.00 87.61 76.65 90.80 96.05 94.74 114,69 125.59 132.81 137.63 141,99 Árindexek 100.00 104.72 111164 98.27 105.82 116.51 110.79 10721 117.76 115.48 125.66
olumeníndexek
1
BL 100.00 87.56 7656 ,90.72 95.89 9458 11453 12538 13247 137,31 141,54 100.00 104,66 110.59 98.28 105.67 116.17 110.48 106,67 117.09 114.86 124,_83
BLAU 100.00 82.73 67.47 87,10 94.24 92.42* 120.08 135.10 14488 151,59 157,42 100.00 106.36 114.47 9165 107,69 121,98 114.20 10889 12310 120.06 133.61
DBL 100.00 87,66 76.73 9088 96.19 9439 114,84 12530 133.14 137.95 14242 100.00 104.75 110.64 9827 10595 11634 111.11 107,74 118.43 116,08 126.46
5.tábla FK 100.00 87.71 76.82 90.97' 96.37 95.06 115.03 12606 13351 13831 14289 100.00 104,78 110,69 9829 10603 11695 111.20 107.90 118,61 116.27 126.71
1206
VITA LÁSZLÓ A,AHVA-adatokbólszámítottkülönfélevolumen-ésárindexek (Index:1953.év:100)
6.tábla 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
Év 3429 2521 38.49 53.13 63,74 75.35 76.92 82.16 85.32 100.00 99.53 104,70 120.79 133,34 14128 14522 11727 16324 125,30 100.89 87.30 81.57 98,19 97.46 103.30 100,00 12693 139,08 151.77 141,79 145,64 150.12
P' 38.70 30.03 44,65 60,81 71.41 82.50 83,46 83.80 8621 100,00 98.45 102.71 116,46 127.13 133.33 136.77 132.33 194,43 14136 115.48 97.80 89.31 106.54 99.41 10437 100,00 125.56 136,43 146,33 132,62 137.44 141,39
F' 36.43 27.52 41,46 56.84 67.47 78.84 80.12 82.97 85.76 100.00 98.99 103.7O 118.61 13020 13725 14093 124.58 178.15 13496 10794 92.40 85.35 10228 98.43 103.83 10090 12624 137.75 149,02 138.45 141.48 145.69
A Volumenindexek 42.52 30.91 43.80 56.72 66,67 78.16 78.94 83.00 85.68 100,00 99,51 103.75 118.78 130.15 13692 140.05
41,40 30.21 42.96 55.84 66.03 77.64 7828 82.89 85.66 100.00 99,74 10490 11896 13022 13724 14018 Áríndexek 103,41 216,11 147.05 108.64 9091 84.86 10327 9923 103.72 100.00 126,87 13695 148.89 138.88 143,64 147,43
104.03 22793 152.61 110,61 91.55 84.89 103.36 99.12 103.83 100.00 126.64 137.33 149,1O 13894 14293 146,ó9
BL 39.78 29.17 41.72 54.57 65.10 76.90 7736 82.72 85.62 100.00 100.06 104,34 119,19 13028 137.64 140.30 104.49 23591 15640 111.88 91.90 84.85 103,44 98.98 103.85 100.00 126.43 137.62 14922 13897 142.41 14623
DBL 42.52 30.91 43,81 56.72 66.67 78.16 78.94 83,00 85.68 100,00 99.51 103.75 118,78 130.15 13692 140.05 103.33 214,52 146.32 108,39 90.82 84.84 10324 9925 103.71 100,00 126,89 13691 148.85 138,85 143,72 147.52
FK 42.56 30.94 43.84 56.75 66.69 78.18 78.96 83.00 85,68 100.00 99.50 103.74 118.78 130.15 13691 140.05 103,50 217.71 147.78 10890 91.00 8438 10329 9922 103.74 100.00 12ő,85 13699 14893 13891 143,56 147,34
TUBBPOZICIÓS 1NDEXFORMULÁK 1 207
1 208
7.tábla Az[CP-adatokbólszámítottkülönfélevolumen-ésárindexek OrszágL'P'F'AEBLDBLFK Volumenindexek (EgyesültÁllamok:100) EgyesültÁllamok....100.00100.00100.00100.00100.00100.00100,00100,00 Franciaország.....74.9668.4071.60772273.2371.96769277.36 NémetSzövetségiKöztér- sosóg.......75.8966.1370.8473,0270.9169.9672.9173.07 EgyesültKirályság...68.7753.2660.5260.1161.2761.1860.1360.11 Japán...73.2348.6859,7060.4657.5257.3060.4260.47 Olaszország......64.7638.0349,ó348.1146.8546.0448.0248.17 Magyarország.....61.1030.2643,0041.3042.0842.2241344129 Kolumbia...28.918.6615.8316.3418.0218.1216.4516.30 India........13.443.116.466.787,547,716.846.76 Kenya........13.232.415.655,956,947.116.005.93 Árindexek (EgyesültÁllamok:1) EgyesültÁllamok....1.0000LOOOO1.00001.00001.0000 Franciaország.....4.90474,47554.685?5,09424.8176 NémetSzövetségiKöztér— saság.......3.54883.09243.31283.64003.4113 EgyesültKirályság...0.34880.27010.30690.32330.3183 Japán........308,4822205.0454251,5012272,5869266.3047 Olaszország......598,7329351,577345830385219876496.0308 Magyarország.....226704112267159535182097183207 Kolumbia.......14.70914.40898.053010.636711.3981 India........4.93691.1412237363.16153.4069 Kenya...,.8.85971.61583.7836_4.76225.0245
1.00001.00001,0000 4.76845.02595.1419 3.36593.58573.6784 0.31640.32230.3241 264,5838270.7675273,9013 492.7076515,05325269145 18,422018.210018.2127 11,559910.806710.5255 3.45523.21233.1282 5,06874,82264.7205
VITA LÁSZLÓ
AzilleszkedésLegyAütthatókésazEjeltérés-malríxokelemeinekelőielmegoszlása Formula
B L Á U . . . . . . .
DBL..._ FK... *AzEmatrixelemeinek FormulaBPF—adatok Nega- lív előjel
Egye—Pozitív zéselőjel 96,7—-3.3 ———100.0 2,5—97,5 ——100.0 ——-100.0 ——100.0 46,3—537 0.8—99,2 ———-100,0
Össze— sen* 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100.0
0.9732 0.9863 0.9822 0.9961 0.9978 0.9983 09957 09963
Nega- tív előjel 28,1 44,1 16,8 18,8 23,4 25,4 18.0 l8,8 számaaháromadathalmazesetében121.256,illetve100.
HVA-adatok Egye— zés
Pozitív' előjel 71,9 559 832 812 76.15 74,6 82,0 81.2
Össze- sen* l
0.8603 0.8729 09927 09952 09994 0.9991 0.9967 09940 Atényezőpróbamegsértésénekrelatívmértékeésszisztematikussága HVA-adotokBPF-adatok
Nega- tív előjel 98,0 'l0.0 49,0 44,0 40.0 50.0 52,0
lCP-adatok
ooogoo
.—--—e——.—.-.—
00.
__
Pozitív előjel 1.0 99,0 89.0 50,0 55.0 59,0 49,0 47,0 lCP-adatok
8.tábla Össze- sen' 100,0 100,0 100,0 100.0 100,0 100,0 100.0 100.0 9.tábla 0.1207 0,1106 0,0221 0.0257 0.0304 0,0784 0,0231 0.0213
EgyevPoziiív zeseltérés
l'— lm ] r—
::
l
!
Össze- sen 10 10 10 10 10 10 10 10 10
0.1024 0.0800 0.0430 0.0490 0.0530 0.0420 0.0440
Nega— tív eltérés
oo lomot: loa
Egye- zés
Pozitív eltérés
oo Isa—on lxo—o
Össze- sen 15 15 15 15 15 15 15 15
1,4345 0,4423 O,1928 02462 02537 0.1961 0.1921
(% loo—ao lo-a
Pozitív eltérés Össze— sen
() (h () (h () C) lmas
TUBBPOZlCIÓS lNDEXFORMULAK 1 209
' , l
1210 * VITA LAszto
A reprodukció során a hét formulánál a két időbeli összehasonlítás ese—
tén a legtöbbször egyirányú torzítás: az aggregátum—matrix elemeinek rendszeres alulbecslése figyelhető meg. Érdekes viszont, hogy ugyanezek a formulák az ICP- adatok esetében sokkal kiegyenlítettebben viselkednek; annál is inkább. mert a té—
nyezőpróba megsértésének irányára vonatkozó adatok mindhárom adatbázis ese—
tében egyirányú torzításra utalnak] A
Az egyes formulák alapján számított volumen- és árindexek szorzata a BPF-ada—
tok esetében a legtöbbször alábecsli. a másik két adathalmaz esetében pedig álta—
lában felülbecsli az értéklnclexet. Az egyedüli kivételt ez alól a kifejezetten ezen tor—
zítás kiküszöbölését célzó BLAU formula képezi a BPF-adatok esetében. E formula
használata a 8. tábla adatainak tanúsága szerint a diagonálison kívüli elemek esetében is kiküszöböli az aggregátumok szisztematikus alulbecslését. ) A
Ami a tényezőpróbo megsértésének mértékét illeti, a két időbeli összehasonlí- tás esetében az A, E, BL, DBL és FK formulák egyaránt kielégítően viselkednek. míg a BLAU formula esetében viszonylag nagy a tényezőpróba megsértésének mértéke.
Más a helyzet az lCP-adatok esetében. amikor minden formula viszonylag nagy—mér—
tékben megsérti a tényezőpróbát. Az A, DBL és FK formulák azonban a többinél va—
lamivel jobbnak tűnnek e tekintetben. Az F' formula természetesen eleget tesz a tényezőpróbának.
*
Első két szempontunkat figyelembe véve tehát úgy tűnik, hogy az F', A, DBL és FK formulák kedvező tulajdonságaiknál fogva többé-kevésbé egyértelműen kiemel—
kednek az összehasonlított kilenc formula közül. Ugyancsak igen kedvezőnek látszik az E formula viselkedése is. bár az egy árnyalattal lemarad az előbb említett négy formulától.
Következő összehasonlítási szempontunk a különféle formulákkal kapott érté- keknek az F' formulával kapott megfelelő értékekkel való egyezésének mértéke. Az erre vonatkozó adatokat a 10. és o 11. tábla tartalmazza. Az adatok többé-kevésbé egybehangzóan most is az L' és a P' formula szélsőséges s a többi hét formula egy- máshoz ennél lényegesen közelebb álló viselkedésére utalnak. Különösen figyelemre méltó az A, DBL és FK formuláknak az F' formulától kissé eltérő. de egymáshoz igen hasonló viselkedése.
10. tábla
A bázisról ,,Iegtávolabbi" pozícióra vonatkozó index a megfelelő Fisher—féle'index százalékában
Volumen' l Ár—
Formula index
; BPF HVA lCP BPF HVA ICP
L' . ; 110.35 94.13 234.16 110,35 94.13 234.16
P' . 90.62 10623 42.65 90.63 10622 42.71
F' . l 100,00 100,00 100,00 100.00 100,00 100,00
A . [ 99,41 116.72 10331 101.77 83.01 125.86
E . 9895 113,64 12283 101,02 83,50 132,80
BL . . 98,63 10920 125.84 10035 83.87 133,97
BLAU 10970 —— — 107,41 — -—
DBL . .' 99.25 'lló.72 106,19 101,66 8294 127.4ó
EK . 7 , ! _,99,57 11ó,83 ] 10496 101,87 83.08 124,7ó
A bázistól
,.legtávolab- v
bi" pozíció . 1970 1944 Kenya ' 1970 1944 Kenya
T'OBBPOZI'CIÓS INDEXFORMULÁK 1211
11. tábla
A Fisher—féle indextől való átlagos relatív eltérés
(bázispozíció nélkül)
Volumen- ! Ár—
Formula index
BPF ] HVA l lCP l BPF ! HVA ! lCP
] l
L' . . . . . —l—v0.0583 -0, 0368 —l—0. 4950 l *l—O, 0583 —0.0368 $0,4950 P' . . . . . —-O,05435 —l—0, 0385 —0, 2767l —0. 0544 Jr0,0397 —O.2767 F' . . . . . 0.0000 ; 0, 0000 0. 0000 l 0.0000 0.0000 00000 A . . . . . —0, 0211 ! 0, 0268 —-l-—0. 0371 0.0059 , —l—0.0'375 cl—O.1682 E . . . . . —0 023ól 0, 0229 —l—0. 0760 0. 0043 l %O, 0440 —l—0.1736 BL . . . . . -—0, 0253 l 0. 0213 1 0, 0840j ——0. 0060 l —l 0, 0485 —l—0.175'l
BLAU . . . 0, 0642l — —
—l—0,—0366 —l—0.l684
l—iooaoo
DBL. . . . w(),0220 0.0268 40.03921 0.0058l
l l
FK. . . -—0,0202; 00269 l0,0362 0.0061 —l—0,0383I —l—0.1684 '
A Fisher-féle indexektől való eltérés irányáról talán annyit érdemes megjegyez—
ni. hogy az összes többi formulával kapott árindexek értéke az esetek többségében magasabb a Fisher—féle formulával kapott megfelelő értékeknél, míg a volumen- indexek esetében nem állapítható meg ilyen határozott tendencia.
Ami a különféle formulákkal kapott indexsorok között meghatározott korrelációs együtthatókat illeti, mindenekelőtt azt állapíthatjuk meg, hogy a magas (0,98—l.00 közötti) korrelációs együtthatók többé-kevésbé egyértelműen azt látszanak igazolni, hogy minden vizsgált indexformula ugyanannak a jelenségnek az alakulását mu—
tatja.
Az egyes formulák konstrukciója folytán valószínűsíthető, e jelenség a termelés volumene, illetve az árszínvonal. Ezt az általános megállapítást azonban minden—
képpen ki kell egészítenünk azzal, hogy egyes esetekben (BPF- és HVA-adatok) az L' és a P' formulával számított árindexek között a várakozásokhoz képest elég laza kapcsolat mutatkozik (r: 0.838, illetve r—: 0904)
A korrelációs együtthatók alapján két hipotézisünket is vizsgálat tárgyává kíván- tuk tenni. Egyrészt azt kívántuk megállapítani. hogy a korrelációs együtthatók alap- ján is valószínűsíthető-e a formulák két nagy csoportba (L' és F', illetve az összes töb- bi formula) tartozása, másrészt pedig azt, hogy a hagyományos és a főkomponens- megközelítésen alapuló formulák külön csoportot alkotnak—e. E két hipotézist az egyes csoportokba tartozó formulákkal kapott eredmények közötti korrelációs együtt—
hatók átlagos értéke alapján vizsgáltuk, feltételezve. hogy az egymáshoz közelebb álló formulákkal kapott eredmények közötti korrelációs együtthatók átlaga nagyobb, mint az egymástól távolabb álló formulák esetében. Az eredmények egyik hipotézi—
sünket sem támasztják egyértelműen alá, bár úgy tűnik, hogy az első hipotézis he—
lyessége — különösen az árindexek esetében -— a kapott eredmények alapján nem zárható eleve ki.
Az összes korrelációs együttható közlésétől a terjedelmi korlátok miatt eltekin—
tünk. A 12. táblában illusztrációképpen közöljük a BPF-adatok alapján meghatáro—
zott különféle árindexek közötti korrelációs együtthatókat. '
A 12. tábla bemutatja a formulák három feltételezett csoportját is: (L', P'), (F', A, E), (BL, BLAU, DBL, FK).
Az első hipotézis helyességének vizsgálata érdekében egyfelől azt kell megha—
tározni. hogy az első csoportba tartozó két formulával kapott eredmények átlagosan
mennyire korrelálnak a többi hét formulával kapotteredményekkel ('1(23))- másrészt
1212 VITA LÁSZLÓ
pedig azt, hogy a többi hét formulával kapott eredmények egymással átlagosan
mennyire korrelólnak ('(23))- A 12. tábla alapján:12
—— (0.981—i— 0985 4- ' ' - —i- 0.985) -i— (0.928—4— 0.9124- - - - 4- 0.911)
r1(23) : 14 :: 0,951
% (0.997-Jr . . . _ro,997).(o,99s.u .. .4—1,oooH— . . . .L1,ooo
f(23) :: 21 : 0,999
A BPF—adatokból meghatározott árindexek tehát valószínűsítik az L', P' formu—
lák, illetve a többi hét formula külön csoportba tartozását.
12. tábla A BPF—adatokból számított kilencféle árindexsor
korrelációs matrixa
l
Formula , J P' ! F' ; A ! E ! BL ; BLAU l DBL ! FK
L' ; 1.000 0.838 0.981 0.985 0.982 0.980 0.979 0.985 0.985
P' : _, 1.900 : 0..?_2_8___9_.?1?___0._9_1_9_ 0.925 0927 0.913 0911
F' 1 1.000 0.997 0.997 ; 0.998 0.998 0.997 0.997
A ' 1.000 0.998 ; 0.999 0.999 1.000 1.000
E 7__,..W.,__t__._eU-i-999,§39.09."J.-9994úlg99931999u
BL 1,000 1.000 0.999 0.999
BLAU ] 1,000 0.999 0.999
DBL ; l 1.000 1.000
FK . 1.000
A második hipotézis helyességének vizsgálata céljából az E., E. és F.:. átlagos
korrelációk meghatározására van szükség. A 12. tábla adataiból
7. : 0.998, 7. : o,999, ?... a 0.999
azaz a vizsgált esetben nem figyelhető meg olyan tendencia, hogy a második vagy a harmadik csoportba tartozó formulák egymással saját csoportjukon belül átlago- san jobban korrelálnak. mint a második. illetve a harmadik csoportba tartozó for—
mulák egymással. A vizsgált esetben tehát az elsőnek megfogalmazott hipotézis he- lyessége valószínűsíthető, míg a második teljesülése nem mutatható ki.
A 13. táblában azoknak a lineáris regresszió-függvényeknek a paramétereit kö—
zöljük, melyek az F' formula eredményei alapján állítják elő az összes többi formu—
lával kapható eredményeket. Ugyanebben a táblában közöljük az egyes függvé—
nyekhez tartozó korrelációs együtthatókat is. A táblából jól látható, hogy a korre- lációs együtthatók értéke az esetek többségében igen magas. azaz F' értékei alap- ján a legtöbb esetben igen jól becsülhetők a többi formula felhasználásával adódó
értékek.
Mint már jeleztük. a /19/-ben szereplő bomés blmegyütthatók alapján is számos
érdekes következtetés vonható le. Eltekintve ugyanis egyelőre az X.- formula'val ka- pott értékeknek az F' formulával kapott értékek alapján történő /19/ előállítása so-'2 Az itt következő átlagos korrelációs együtthatók 1, 2 és 3 alsó índexei rendre az índexformulók (L'. P'), (F', A, E) és (BL, BLAU. DBL. FK) csoportjaira utalnak. Ha két alsó index zárójelbe van téve, akkor az a megfelelő két formulacsoport egyesítésére utal. A számítások kijelölésekor a korrelációs matrix azonos sorába tartozó együtthatókat zárójelbe tettük.
TÖBBPOZICIÓS INDEXFORMULÁK 1213
rán adódó kisebb-nagyobb hibáktól, a bow együtthatók O-tól való eltérése az X,- és
F' skálák"; zéruspontjainak eltérő elhelyezkedését, a blmegyütthatók 1—től való elté-
rése pedig a kétféle skála mértékegységének különbözőségét jelzi. Ha ugyanisbo m) 0, akkor az X skála zéruspontia az F skála zéruspontjánál magasabban. a
bom(0 esetében pedig annál alacsonyabban helyezkedik el. Ugyanakkor blm )1 az F' skálánál ..összenyomottabb" , blfll)1 pedig az F' skálánál ,.széthúzottabb"skálára utal. Ebből adódóan egy X]. skála az F' skálával akkor és csak akkor tekint- hető azonos, aránymérő skálának. ha egyidejűleg bow: O és blmz 1 áll fenn.
13. tábla Al lel/UZI bow—i" b1mF' (i'/1) regresszió-függvények
paraméterei és a hozzájuk tartozó korrelációs együtthatók
Volumenindexek Árindexek
Formula * . * '
r l bg l 5, _, r b.) b1
BPF-adatok
L' . . . 09976 1 —0, 1451 l 1.188? ! 09808 l —0,3844 1,4026
P' . . . ; O,9959 ; 0, 7302 0.8290 09280 ) 03463 0,6356
F' . . . ' 1 0 l l 0 l
A . . . 0.9985 00079 l 09734! 09966 —0,0707 10654
E . . . 09985 007339 * 09655 09974 —0,0354 10302
BL . ; 09984 0.0?78 09603 l 0.9978 —-0.0039 0.9987
BLAU . 09984 —0,3602 7.3294 0.9978 —0,3598 73528
DEL . . 09985 0.0100 ! O,9705 0.9967 —-0,0663 1,067O
FK . . . 0.9985 0,0057 l 09762 09965 ——0,0748 1,0ő9ó
HVA—aclatok
L' . . . 0.9993 —0,0Ó48 1,0692 9.977"! ——0.0094 0.9890
P' . . . 0.999? 00670 09294 09740 0.0070 1 ,0138
F' . . . 1 0 'l 1 0 'l
A , . . 09991 00351 09657 0.9549 —0.2702 12368
E , . . 0.9991 0,0219 O,9777 0.9404 —0,3404 1.3039
BL . . 0.9990 0,0032 09947 09301 —O,3889 1,3500
DBL . . 0.9991 0,0351 09656 09566 -—0,2ÓO8 72277
FK . . . 0.9991 0.0355 0.9652 09531 —0,2796 12458
lCP—odatok
L' . . . 0.9841 0.1285 0,9225 (),9995 (13918 12861
P' . . . 0.9912 —0,0738 1.0196 0.9995 0.1152 0.7772
F' , . . 1 0 'l 1 0 1
A . . . 09980 -—0,0022 10171 09997 —0.2948 1,1261
E . . . 0.9987 00093 09831 09999 0.3977 1.0751
BL . . 0.9986 —0,0107 09746 09999 O,4684 1.0677
DBL . . 09981 —0.001 4 1 ,0150 09998 —0,1244 1.1124
FK . . .
0.9979 —0,0024 1.0180 09997 —0,4130 1.1359
A 13. táblából látható, hogy ez pontosan egyetlen esetben sem teljesül. Mivel
azonban a /19/ előállítások sem teljesen pontosak, felmerül az a kérdés, hogy mikor
tekintsük homo-tól, illetve b1(j)1-től való eltérését elég nagynak ahhoz, hogy ennek alapján az X,- és F' skálák azonosságát vagy azok egymáshoz képesti aránymérő voltát megkérdőjelezhessük. Mivel úgy véljük. hogy a /19/ közelítő előállítás csak** Pontosabban itt az X]— , illetve F' formuláknak megfelelő skólákról van szó. Az egyszerűség kedvéért azonban e skálókra most is és a továbbiakban is az X]— skála és F' skála elnevezéssel utalunk.
1214 VITA LAsZLo
igen nehezen volna felruházható egy olyan sztochasztikus jelleggel, ami lehetővé
tenné az ilyenkor szokásos statisztikai próbák végrehajtását, a paraméterek értéke—lése során a
lbfpl ) a(ej), illetve lbilíi—ll ) a(ej)
értékeket tekintjük O-tól, illetve l-től ,,eléggé" eltérőnek. ahol
É [Xj(i/1)—Yj(í/1)]2
a(ej) : íz1 :
a/19/ egyenlethez tartozó reziduális szórás. A fenti feltételeknek eleget tevő bomés bio) értékeket a 13. táblában dőlt szedéssel jelöltük.
A 13. tábla adatai egyértelműen azt jelzik. hogy a különböző indexformulák használata általában más—más mérési skálák alapulvételét jelenti. Kivételt ez alól csak az lCP—adatokból számított árindexek képeznek. melyek esetében nem zárható ki a különféle formuláknak megfelelő mérési skálák azonossága. Ez azonban — mint arra később még kitérünk - nem függetleníthető a szóban forgó árindexek .,valu- takulcs" nagyságrendjétől s ebből adódó szokatlanul nagy szóródásától.
A különböző mérési skálák alapulvétele kissé konkrétebben a következőket je—
lenti.
a) A különböző indexformulák használata egyben a legtöbb esetben más—más zéruspont alapulvételét is jelenti az árszínvonal, illetve a termelési volumen mérése során. Úgy tűnik, hogy ez — az ennél jóval nagyobb eltérést produkáló L', P' és BLAU formulákat leszámítva — mintegy 0.5—3.5 szózalékpontnyi eltérést jelent az F' formula zéruspontjához képest, amennyiben a termelési volumen méréséről van szó.
Az árszínvonal mérése esetében még ennél is sokkal rosszabb a helyzet, mert nem—
egyszer 30—40 százalékpontos eltérés is tapasztalható az F' formula zéruspontjához képest, s ráadásul nemcsak a területi, hanem az egyik időbeli összehasonlítás ese—
tén is.
b) A bi együtthatók is elég nagy intervallumban ingadoznak. ami arra utal, hogy az egyes formulák által reprezentált mérési skálák nemcsak a zéruspont he- leében. hanem a skálaegység hosszában is elég nagy mértékben eltérnek mind az 'skála egységétől, mind egymástól. A blú együtthatók nagy többsége a 0.9—1, 15 sFávban foglal helyet. Ez megint csak erősen megkérdőjelezi a különféle formuláknak
megfelelő mérési skálák azonosságát.
c) Szerencsére úgy tűnik, hogy a fenti kétféle torzítás bizonyos fokig kiegyenlíti egymást. Az lCP—adatokból számított árindexe-ket leszámítva ugyanis minden eset—
ben egy igen erős olyan tendencia figyelhető meg. hogy az F'—nél alacsonyabb zé—
rusponntal rendelkező skálák általában széthúzottabbak, míg az annál magasabban fekvő zérusponttal rendelkezők összenyomottabbak, mint az F' skála. E tendencia kiegyenlítő hatását jól szemlélteti a 14. tábla is.
A táblából látható, hogy egy X skálának az F' skálához képesti ,.torzítása' an—
nál kisebb, minél kisebb be? értékhez minél nagyobb blm ertek tartozik, vagy meg—
fordítva: minél nagyobb bou értékkel minél kisebb blm jár együtt.
Úgy tűnik tehát, hogy mind a volumen—, mind az árszínvonal, de különösen ez utóbbi mérésének során reális problémaként kell számolni az eltérő formulák ala- pulvételéből származó eltérő skálahasználattal. Különösen a skálák eltérő zérus—
TUBBPOZlClÓS INDEXFORMULÁK 1215
pontja problematikus. mert ez lehetetlenné teszi a skálaértékek közötti arányok egy- értelmű mérését.
14. tábla
Az Xi(i/1):bgl—kb(,"F'(i/1) függvény értékei néhány bg), by") és F'(i/1) érték esetén
b?) értékei
F'(i/1)
0.90 0.95 0.98 1.00 1.02 1.05 1.10
bg): —0.10
80 . . . . . 62,0 66,0 68,4 70,0 71.6 74,0 780
100 . . . . . 80,0 85,0 88.0 900 920 950 1000
120 . . . . . 9s,0 104,0 107,6 1100 1124 116,0 1220
150 . . . . . 1250 1325 137,o 1400 143,o 147.5 155,0
bg): —0.05
80 . . . . . 67.0 71.0 73.11 75,0 76,6 79.0 83.0
100 . . . . . 85,0 90,0 93,0 950 970 1000 1050
120 . . . . . 1030 1090 112,ó 115,0 nm 1210 1270
150 . . . . . 130,0 137,5 142,0 145,0 148.0 152.5 160,0
bf)": o
80 . . . . . 72,0 76,0 78.4 80.0 81.15 84,0 88,0
100 . . . . . 900 95,0 98.0 1000 1020 1050 1100
120 . . . . . 108,0 114,0 117.6 120,o 122,4 1260 1320
150 . . . . . 135,0 ( 1425 1470 1500 1530 157.5 165,0
bg): 0.05
30 . . . . . 77,0 81.0 83.11 85,0 86,6 89.0 1 93,0
100 . . . . . 95.0 1000 1030 1050 1070 1100 ! 1150
120 . . . . . 113.0 119.o 122,ó 125,0 127,4 131.0 137,0
150 . . . . . 140.o 147.5 1520 1550 158.0 1625 1700
bg): 0.10
80 . . . . . 82,0 86,0 %A ' 90,0 91,6 94,0 98,0
100 . . . . . 100.0 105,0 108,0 1100 1120 1150 1200
120 . . . . . 1180 1240 127,6 1300 1324 13ó.0 1420
150 . . . . . 145.0 152,5 157.0 160,0 163.0 167.5 175,o
Amennyiben tehát az F' formula által adódó eredményeket tekintjük a külön—
böző indexformulák összehasonlítási bázisának, nem találhatók olyan indexformu- lók, amelyek — az F' formulához képest — aránymérő szinten mernének.
Külön kiemelést érdemel az. hogy a BLAU skála zéruspontja jóval alacsonyab- ban fekszik, mint az F' skáláé, s ugyanakkor jóval nagyobb egységgel is rendelke- zik az F' skáláná/l. Ennek illusztrálása céljából megjegyezzük, hogy az F' skálán mért 50, 100 és 150 értékeknek rendre a 31,5, 99 és 166.5 értékek felelnek meg a BLAU
skálán.
A 13. táblából az is kitűnik azonban, hogy az A, DBL és FK formulákkal kapott eredmények egymáshoz rendkívül hasonlók, amire az a tény utal, hogy e formulák—
nak az F' indexre vonatkozó regressziós együtthatói mind igen közel esnek egymás—
hoz.
Ezért e részt az A. DBL és FK formulák viselkedésének kissé részletesebb össze- hasonlitásával fejezzük be. A három formula összehasonlítására használt mutatókat (: 15. tábla tartalmazza.
1 21 6 VITA LÁSZLÓ
A tábla adatainak értékelése előtt elsősorban azt jegyezzük meg, hogy a há- rom szóban forgó formulával kapott értékek között meghatározható összes korrelá- ciós együttható értéke igen magas: négy tizedesjegy alapján kerekítve 1. Ez egyben annyit jelent. hogy a három formula bármelyikének felhasználásával meghatároz- ható indexszámok mindhárom adatbázis esetében gyakorlatilag pontosan előállít—
hatók a másik két formula valamelyikével nyert indexszámok lineáris függvényeként.
Éppen ezért most nincs szükség a bo és b1 értékeknek a reziduális szórással való ösz—
szevetésére, hanem célravezetőbbnek mutatkozik annak vizsgálata, hogy a bo együtt—
hatók O-tól és a bi együtthatók 1-től való eltérései együttesen mekkora eltéréseket hoznak létre a háromféle skálán mért értékek között. Ha az eltérések viszonylag ki—
csik. akkor az együtthatók O—tól. illetve 1-től való eltérései nem lényegesek, s a há—
rom skála egymáshoz képest aránymérőnek tekinthető.
15. tábla
_,,_ Az A, DBL és FK formulák összehasonlitása * , .,
X X ("/1) l bu bi
x íu """"""""""""""*_" "§ " ' l Átlag SZÖTÓS
YU/i) ( A , DBL FK X A l DBL l
Valumeníndexek a) BPF—adatok
A . . 0 —-0,0022 0,0022 1' 'l,0029 09971 l,0924 02164
DBL . 0,0022 0 (10043 0.9971 1 09942 1.09111 02158
FK . . —0,0022 —0,0043 0 10029 1.0058 'l 1.0934 0.2171
b) HVA—adatok
A . . 0 0 ——0,0005 1 ? 1.0004 0,8722 0.3285
DBL . O () —0,0005 'l l 1.0004 03722 03285
FK . . 0.0005 0.0005 0 09996 0.9996 '! 0.8723 03284
c) lCP—adatok
A . . O —0,0008 0.0003 1 13022 09991 04893 02999
DBL . 0.0008 () 0.0011 09978 1 0.9969 (14890 02992
FK . . —0,0003 —D,OOl'l () 1.0009 'l,0031 1 0.4895 0.3001
Árindexek a) BPF-aclatok
A . . 0 —0,0041 (10040 1 l,0043 09959 'l,1063 0,0807
DBL . 0,004'l 0 0.0081 0.9957 1 O,9917 1.1057 00804
FK . . —0,0040 410082 0 10041 1.0084 'l 1.1068 0.0810
b) HVA adatok
A . . O ——D,0098 0,0098 'l 1.0092 09908 12499 03189
DBL . 0.0098 0 0.0196 09908 1 09816 12482 033160
FK . . —0,0098 —0,0l95 O 1.0092 1.01844 1 12516 0.3218
c) lCP-adatok
A . . O —O,1735 0.1188 1 1,0124 0.9913 84,l402 1662819
DBL . 0.1722 () 02901 0.9877 1 09792 832806 1642435
FK . . ——D.l 195 ——0,2940 0 10087 1.0212 l 84,7547 167.7328
A különböző skálákon mért értékek egyezését a /18/—hoz hasonló, előjellel ellá-
tott mérőszámokkal mérhetjük a legegyszerűbben. A /18/—hoz képest az az egyedülieltérés, hogy jelen esetben az F' formula szerepét a DBL formula veszi át. A számi-
tásak eredményeit -— a különböző eredmények átlagos relativ eltérését — a 16. táb—lában közöljük.
TOBBPOZICIÓS INDEXFORMULÁK 1217
A táblából látható, hogy a DBL formulával adódó eredményektől való átlagos relatív eltérések minden esetben — még az lCP-adatokból számított árindexek ese- tében is — 2 százalékon belül vannak. ami igen jó egyezésnek mondható. Úgy tűnik tehát, hogy az A. DBL és FK skálák egymáshoz képest megközelítően azonos arány- mérő skálán mérnek. Az A és FK formulák esetében ez nem is túl meglepő, mert mint ismeretes, az FK indexek a legtöbb gyakorlati esetben igen jól közelíthetők az A indexekkel (12). Sokkal figyelemre méltóbb viszont az egymástól többé-kevésbé független gondolatmeneten alapuló FK és DBL formulák közel azonos viselkedése.
Ezt figyelembe véve még azt a kijelentést is megkockáztathatjuk, hogy a három szó- ban forgó formula aránymérő szinten mér.
16. tábla
Az A és FK formulákkal kapott eredményeknek a DBL formulával kapott eredményektől való
átlagos relatív eltérése
1 Valumen— t Ár-
Adatbázis ! index
. A l FK ] A l FK
BPF . . %ODOl 0 —l—0,001 9 *l—ODOOÓ —l—0,001 0 HVA . . 0.0000 0.0003 —l—0.001 3 0.0026 lCP . . 0.0037 013051 0.0107 —l—0,0181
!
NÉHÁNY KÖVETKEZTETÉS
Végül befejezésképpen részben néhány általánosíthatónak tűnő megállapítást kívánunk tenni az előbbiekben részletesen ismertetett empirikus vizsgálatok ered- ményei alapján, részben pedig a továbblépés lehetőségeiről ejtünk néhány szót.
Ami az általánosíthatónak tűnő megállapításokat illeti, mindenekelőtt azt emel- jük ki, hogy a korreláció—számítás eredményei egyértelműen azt látszanak igazolni, hogy a volumenindex-formulák, illetve az árindexformulák ugyanannak a jelenség- nek az alakulását mutatják. Az egyes formulák konstrukciója folytán valószínűsíthető, hogy e jelenség a volumen-. illetve árszínvonal. Úgy tűnik továbbá, hogy a főkom—
ponens—megközelítésen alapuló indexformulák semmiképpen sem szaporítják az in- dexszámítási irányzatok számát, mert viselkedésük alapján egyértelműen a statisz-
tikai irányzat ún. harmadik generációs formulái (6) közé sorolhatók.
A vizsgálódás empirikus jellege ellenére az is szinte bizonyosnak vehető. hogy a különböző indexformulák használata legtöbbször egyben különböző mérési ská- lák alapulvételét is jelenti. Ami még lényegesebb: e mérési skálák nemcsak mér- tékegységükben, hanem zéruspontjuk elhelyezkedésében is különböznek egymás- tól. ami — mint ismeretes -- lehetetlenné teszi az indexszámítás által hallgatólago—
san feltételezett aránymérő skála szinten való mérést (10).
Úgy tűnik. hogy az előbbi megállapítás alól csak az A, DBL és FK formulák ké- peznek kivételt, melyek — egymáshoz képest — megközelítően azonos helyzetű zé- rusponttal és azonos mértékegységgel rendelkező aránymérő skólákon mérnek. Mi- vel a három formula közül az FK és a DBL formula egymástól többé-kevésbé füg—
getlen gondolatmenet eredménye. megkockáztatható még az az előbbinél általá-
nosabb megállapítás is, hogy e három formula aránymérő szinten mér. Ez egyben
annyit jelent, hogy az általunk vizsgált formulák közül csak az A, DBL és FK formu—lák felelnek meg az indexszámítás által hallgatólagosan feltételezett aránymérő mé—
4 Statisztikai Szemle
