AZ lNDEXFORMULÁK ÁTTEKlNTESE
DR. KÓVES PÁL
Az indexszámitás keletkezését, fejlődésének főbb állomásait, az iránta tanu- sított érdeklődés fellendülésének időszakait nem nehéz összefüggésbe hozni a gazdaság egészének vagy bizonyos lényeges részterületeinek kritikus időszak—ai- val. Napjaink'at is besorolhatjuk az ilyen kritikus időszakok közé. Elég, ha a tőkés világ monetáris és inflációs problémáira gondolunk, de az országok, regionális csoportosulások. társadalmi rendszerek közötti gazdasági verseny szintén próbára teszi a gazdasági fejlődés. fejlettség mérésére, összehasonlítá'sára szolgáló sta—
tisztikai módszertant. E módszertan fejlesztése tehát időszerű feladataink közé tartozik.
Az indexszámításnak idestova többévszázadosnak mondható irodalmal tekin- télyes terjedelmű és a ,,kifullad'ás" jeleit egyelőre nem mutatja. Jelenleg mintegy három naponként lehet egy—egy új indexszámítási tárgyú könyv, folyóiratcikk, ta—
nulmány megjelenésére számítani a világ valamelyik rész—én,2 de ha valaki nem az indexkönyvtár bővítését, hanem a növekedés megfékezését tartaná üdvösnek —- amit maga is szeretne elősegíteni -—-. akkor nem biztos, hogy az írástól való tar—
tózkodással szolgálhatja legjobban ezt az ügyet. Az irodalom áradása mögött a megoldatlan problémák szövevénye húzódik meg. (A régi problémákhoz természe-
tesen újak is csatlakoznak.)
Az irodalom gya/r'apitásá'ba történő felelősségteljes bekapcsolódás előfeltétele a meglevő irodalom legfontosabb eredményeinek rendszerezett ismerete és el- engedhetetlen jellemzője a megoldatlan kérdések körének szűkítésére vagy leg—
alábbis azoknak új oldalról való megvilágítására irányuló törekvés. Ha *ez a tö- rekvés sikerrel jár, akkor az irodalom állományának pillanatnyi növelése esetleg egyben az irodalomáradat megfékezésérhez is hozzájárul.
Jelen tanulmány egy olyan nagyobb mű előmun'kála'tainak részterméke, amely mű az indexszámítás alapvető közgazdasági, statiszti'kaelméleti, statisztikai mód—
szertani kérdéseit igyekszik átfogóan tárgyalni. a megoldatlan problémákat ,,fel- térképezni" és megkísérli azok egy részének megoldását is. Itt a körvonalazott céloknak csupán részleges megközelítésére vállalkozunk. Ezúttal az eddig létre—
jött és a gyakorlatban többé-kevésbé alkalmazott volumen— és árindexformulók
nehezen áttekinthető világát kíséreljük meg rendszerbe foglalni, a formulák ,,fej—
lőd'éstörténetének" logikai útját felvázolni. és a formulák tulajdonságaival, vala- mint e tulajdonságok vizsgálatára alkalmas módszerekkel is foglalkozunk.
1A Nemzetközi Statisztikai intézet (IS!) közreműködésével kiadott indexszámítási bibliográfia (21) kronológikus felsorolásában az első tétel egy 1707-ben készült tanulmány.
2Az emlitett bibliográfia, melynek készítői 22 nyelven megjelent irodalmat vettek figyelembe, az 1950—es évek közepétől évenként mintegy 100—150 művet sorol fel.
DR. KUVES: AZ iNDEXFORMULAK 1479
1. AZ lNDEXFORMULÁK ,,CSALÁDFÁJA". KÉT lDÖSZAK ÖSSZEHASONLITÁSA
,,Kezdetben vala" néhány súlyozatlan árindexformula. Itt két vonatkozásban is lehet szó kezdetről: előbb számítottak árindexeket és csak később volumen- indexeket, továbbá előbb voltak súlyozatlan és csak később súlyozott formulák használatban. Azt is rögtön tisztázzulk, hogy a ,.kezdet" — és majd a ,,folytatás"
— nem teljesen szó szerint értendő. Időben egyik-másik súlyozott formula meg- előzhette valamelyik súlyozatlan formula felbukkanását. itt azonban az időbeli fejlődés logikailag rendezett vonulatait vizsgáljuk. Megjegyezzük azt is, hogy az egyszerűbb és összetettebb. fejlettebb formulák alkalmazása nem egyszerűen a statisztikai módszertan fejlettségének, hanem a szükséges adatok megszerzésének, megszerezhetőségének. az alkalmazandó eljárás költségeinek. a statisztikai munka hatékonyságának a kérdése is. Emiatt a fejlettebb formulák megalkotása nem szünteti meg feltétlenül a kevésbé fejlett formulák létjogosultságát.3
A továbbiakban — átmenetileg — két megszorítást alkalmazunk: 1. csak két időszak összehasonlitásának viszonylatában értelmezzük az indexformu'lákat: 2.
csak árindexekkel foglalkozunk. a volumenindex csak az árindexnek alárendelve kerül szóba, ahol ez szükséges. (Ugyanakkor minden egyes előforduló árindex- formulánk a p jeleknek a—varl történő helyettesítése útját—n. illetve a p és a a jelek felcserélésével volumenindexként is értelmezhető.)
Tekintsük át először röviden a súlyozatlan vagy egyszerű formulákat.
A különböző árucikkek egységárainak a két időszakra vonatkozó összegeiből képzett hányados az egyszerű aggregátindex. (A szumm'ák hányadosának jele le—
gyen: s.) A többi egyszerű formula az egyes cikkekre vonatkozó pj/pn egyedi ár—
indexe—k súlyozatlan középértéke. Ez a középérték lehet valamilyen átlag: szám- tani (aritmetikai, jele: a), harmonikus (h) vagy mértani (geometriai, g) átlag. de lehet valamilyen helyzeti középérték: módusz vagy medián is. (A továbbiakban a két helyzeti középértéknek sem egyszerű. sem súlyozott esetével nem foglalko—
zunk érdemben. ezek az indexformulák a további fej'lődéstörténetben nem játsza- nak szerepet.)
Az egyszerű formulák alapvető és közös fogyatékossága az. ami ,,egyszerűvé"
teszi őket: adatbiázisuk a vizsgált jelenséget közvetlenül jellemző adatokra (ár- index esetében az egységárakra) szorítkozik. Ennél fogva a közgazdasági való—
sággal való kapcsolatuk laza.
Vizsgáljuk meg az egyszerű formulákat a klasszikus indexpróbák tükrében is./' A két időszak összehasonlítása esetén értelmezhető fontosabb próbák közül mind az s, mind pedig a három átlag (a, h, 9) eleget tesz az arányossági (illetve átlag—) próbának.5 de az időpróbának6 csak az s és a g, a tényezőpróbának7 pedig egyik sem. Az 5 értéke az 'egység'árakinxál figyelembe vett méntéik—egy..égtől is függ, vagyis 5 nem tesz eleget az összemérhetőségi próba követelményének.
3 Például a súlyozatlan formulákat napjainkban is használják valamilyen súlyozott indexszámítás kere—
tében az ún. reprezentáns csoportok indexeinek meghatározásánál.
" Néhány legfontosabb indexpróba definícióját lásd (10) 142. old. Lásd még — a jelen cikkben hasz- nált magyar nyelvű terminológia. illetve az átlagpróba értelmezése szempontjából — (15), valamint (19) 379.. 389. és 391. old. (A próbák kritikájával nem foglalkozunk.)
5 Ha minden árucikk ára azonos arányban változik, akkor a, h, 9 és s ugyanilyen arányú változást mutat (arányossági próba). Az a, h és g formulák definiciójából következik, hogy ezek az egyedi indexek átlagoi. Az s-ről is belátható, hogy az egyedi árindexeknek pn-val súlyozott számtani vagy pj-gyel súlyozott harmonikus átlaga. (Most az arányossági próbával egyenértékű átlagpróba tükrében vizsgáltuk a for—
mulákat.)
** Az s vagy a g formulát alkalmazva az időszakok felcserélésével egymással reciprok viszonyban álló eredményeket kapunk, tehát az ,,előre" és ..visszafelé" számitott indexek szorzata 1-et ad. Ha viszont az a formulát alkalmazzuk. akkor ez a szorzat nagyobb. h formulával pedig kisebb 1-nél. Reprezentáns cikkek egyedi indexeinek súlyozatlan átlagolásáro ezért legjobb a mértani átlag.
7 Valamely egyszerű formulával volumen— és árindexet szamitva szorzatuk nem egyenlő az értékindexszel.
1180 DR. KUVES PÁL
Az egyedi indexek átlagaként számitott formulák ,,réme" elvileg a megható- rozottságí próba, bár —— a súlyozatlan árindexnél maradva egyelőre — gyakorlati—
lag nem fenyeget az a veszély. hogy valamelyik egységár nulla értéket vesz fel (és így az eredmény nullává, végtelenné vagy h—atározatlanná válik).
Az irodalom által elihany'agoltabb próbák közé tartozik az asszociációs próba
((i) 51. old.), melynek követelménye úgy szól. hogy az adott formula szerint kiszá—
mított indexszel egyenlő egyedi indexű újabb terméket hozzátéve a termékek hal- mazához vagy ilyet elvéve belőle, az index értéke ne változzék. E követelménynek valamennyi egyszerű formula eleget tesz. A próba fontosságát növeli az a körül—
mény. hogy növekszik a termékek halmazában eszközölt különféle csoporositáso'k szerepe, a főiindlexefk mellett részindexek számítása. Márpedig a részindexe'k és a főindex közötti összhang követelménye megfelel az asszociációs prőbáénak.
melyet az előbbiek értelmében nevezhetnénk aggregácíós próbának is.
A következőkben szemléltető sémán is bemutatjuk az indexformulák ,,család- fáját". Elblben tüntetjük fel az említésre kerülő formulák képleteit is.8 A séma felső sorában találjuk a későbbi formulák ,,őseit", az egyszerű formulákat. A logikai fejlődéstörténetben a második generációt a súlyozott alapformulc'rk9 alkot—
ják. Ezek mélyebbre eresztik gyökereiket a közgazdasági valóság talajába: adat—
bázisuk kiterjed a v : ap érték mindkét tényezőjére. Emellett fő érdemük az átlagp'róba tiszteletben tartása. Nem kedvez ez a fejlődési fok az időpróba és a tényezőpróba követelményeinek.
A második generációnak az elsőtől való származását úgy is ellkrépz'elhetjü'k, ahogyan ez a g-e'nezis l. Fisher ,,The making of index numbers" című ,,indexbib—
liájából" (8) kitűnni látszik. Eszerint minden súlyozatlan formulának lehet több—
kevesebb súlyozott változata. Az egyszerű aggregát (s) súlyozott esetei a Laspey—
res- (L) és a Paasche-féle (P) formulák. de ebben a sz'ármaztatásban e formulrá'knak csak az aggregát formájára .,szabad" gondolni. A súlyozatlan átlagok mindegyi—
kéből leszármaztatható annyiféle súlyozott átlag. ahányféle súlyt tudunk hozzájuk rendelni.
lgy Fisher indexgyártó automatájának futószalagjáról olyan súlyozott átlagok is lekerülnek. amelyekben a pí/po egyedi indexek számtani átlagát C'ipi súlyokkal vagy ugyanezen egyedi indexek harmonikus átlagát Golf-70 súlyokkal kell kiszámí- tani. Ezekből azonban semmilyen ,,értelmes" aggregátformát nem lehet leve- zetni. Fiishernél ez nem is volt követelmény. inkább csak érdekes .,véletlen" volt.
ha több indexge'neráló gondolatmenet azonos eredményre vezetett; mint ahogy például a clopo értékkel súlyozott számtani átlag és a aopj értékkel súlyozott harmonikus átlag az L. a Clipo. illetve a ajpí súlyozású számtani, illetve harmonikus átlag pedig a P formulával — mint súlyozott aggregáttal —- esett egybe. Fisher ,.indexleltárában" emiatt egy-egy formulrának több .,leltári száma" is volt, így pél- dául az L formula :: B.. 6., 17., 20., 53., 60. számok alatt volt katalogizálva. (Lásd (8) 466—471. old.) Ebben a rendszerben az sem volt baj. ha a futószalag selejtet
szállított. Hiszen ott állt a szalag mellett Fisher, a .,meós", aki indexpróbwával
megmérte és könnyűnek találta például a korábban említett torz átlagokat is.Most pedig tekintsük át a második generáció származtatásának azt a fel—
fogását, amelyet a bemutatott séma tükröz. lnnen kiviláglik, hogy az első gene-
8 E tanulmányunkban mellőzzük az egyes termékekre vonatkozó a. p, v és w jeleknél () termékek sor- számának feltüntetését. Ennek megfelelően a Z és a ]] műveleti jelek alkalmazásánál sem tüntetjük fel a summózás és produktumképzés határait. ezeket mindig a termékek összességére értelmezzük. Ha az ősz- szegezés. illetve a szorzat képzése más vonatkozásban történik. akkor ezt minden esetben megfelelő módon jelezzük.
9 Az ,.alapformula" elnevezés a később említendő harmadik generáció kialakulása után keletkezett.
(Az alopformulák az ún. keresztezés kiinduló pontjai.)
AZ INDEXFORMULAK 1181
ráció négy képletéből kiindulva. a fejlődésnek két fő útvonala alakult ki. Az egyik úton — egymással összeszövetlkezve — az aggregát és két átlagfaj'ta indult el.
másikon a mértani átl-ag.
A két időszakot összehasonlító árindexformulák ,,családfája"
[fg/pw //;Jg,v5k súg/gzaf/an (y'/,;yg/ fired/' injexex súlyom/Van "Jeg/MH közel!/likv
/
fgyszaw' ayfntyá/ Szám/am" Hyman/Ms Már/ani Mádi/sz Med/kín
A
s: ÉL a: Z Pa ;, : " gli lyuk "hp/kus" "Muggs "
2717 '7 Z "%A ,00 p,/% fül/pa
! l l l l l !
Jú/Jíazás .S'á/yaza's ó'z/(ylazís Szi/yűlés Kerfsgfyzés JuZyaza's Jd/yazás
hmv/9470 mér/am '
37Az; ]
Solyom/f agynayáf Jáymglf/gar/.mi % alíg—§;— !
SZ __LLr
nd -h' EVI/L p,)
szül/"a ő: VÁTI),:77/1/27', l
üreg/21519 Já/ azal: .
[aspeyres Paascú! .S'u'g/azaf/ mér/(am Szí/yaza/f méhen/' MÉZ/USZ ÁIZ'd/á/z
Z áf/ay áf/ag [c'/,, ,, Ár fil? ,/ !
Z * 47 A W , W, w ersz/lya /' a Saya
:;
izgi; ,0 _ Elf); 60 :F/É J 57 : 77 _A) ÚyyaéwúEVé/e/e'ye/ űWy/gmáwéfa/eve/
___—___: T
Úr?—91 255 líra-145155 ———— '" '''''''''' "í
fdyewpfá—Ik/rs/ia/I [ fir/lep üres!/mű 51/7sz AZ friss/;
mértan/' cár/ip
[: Z NME 7/71 F3l/Á—P ő 5067 máig-W "" ű'ujlű ár
2 WNXWv ill 4
] el ölések:
po, pl —— a termékek, árucikkek egységára a bázis—, illetve a tá rgyidőszakba n.
(70, (71 -- a termékek. árucikkek mennyisége a bázis-, illetve a tárgyidőszakban,
— a termékek száma,
2, H —- a termékek adatainak összege, illetve szorzata.
v : ap (vo és ví értelemszerűen), w :v/Z'v(2'w:1).
- 1
W : " (Wo "l' W1).
SV : Évi/Z vo, értéki'ndex.
gg , Gg — az egyedi volumenindex mértani átlaga,
A: Zapo oI—o— / Zapo
H : 2 Cim/2 am : 81-
Po
A két útvonal kialakulása szükségszerű volt, az utak elágazása az induexszá- mok (módszertani szempontból nézve) többarcú természetében. belső ellentmon—
dásában gyökerezett.10 Az indexszám viszonyszám is, átlag is. Mint viszonyszám:
összetett. átlagos viszonyszám. additív természetű ért—ékek egyik tényezőjiére vonat- kozó együttes viszonyszám. Mint átlag: viszonyszámok átlaga. A több időszakra számított indexek is viszonyszám'ként multipl'ilkatív módon kapcsolódnak egymás-
" A belső ellentmondás összefüggésbe hozható azzal az alapvető problémával. hogy maga az index—
számítás eleve leegyszerűsíti azt a valóságot, amelynek tükrözésére hivatott. (Lásd erről (16) 121. old.)
1 182 DR. KCVES PAL
hoz. Az additív megnyilvánulás a számtani és harmonikus átlag útja felé húzza
az indexszámítás "szekerét", viszont a multi—plikatív összefüggések konzisztenciáját a mértani átl—ag tudja inkább garantálni.2. ADDlTlV ÉS MULTlPLlKATiV FELÉPlTÉSÚ FORMULÁK
Minthogy az in—dexszálmítás ált-al jellemezni kívánt közgazdasági valóságnak lényeges kvantitatív tulajdonsága az additivitás (a különböző termékek értékodra—
tainzalk összegződése), a két említett út közül első számú főútvonal'nak minden—
képpen az aggregátindex és két "szövetségesének" koalíciója által megkezdett utat kell tekinteni. Additív felépítésű indexet számítva lehetőség van arra. hogy a kiszámított indexekkel összhangban álló további elemző számításokat is végezzünk az indexszámításhoz felhasznált tényleges és fiktív aggregá'tumok adataiból, vizs- gálhatjuk például az aggregátumok belső struktúráját.
Az indeszámítás hivatalos gyakorlata szinte kizárólagosan az additív felépí—
tés útját követi. de több jeles kutató elméleti műveiben és illusztratív vagy elemző célzatú gyakorlati számításaiban a multipl'ikatív felépítés útját járja (lásd például
(25)), így az utóbbi is mindvégig ,,versenyben maradt". Látni fogjuk, hogy végül a két említett út sokkal közel-ebb kerül egymáshoz, mint azt az út elején gon-
dolni lehet.Egyelőre térjünk vissza az útelágazáshoz és vizsgáljuk meg először az additív főútvonalon a második, majd a harmadik generáció formuláit, és csak azután térünk rá a másik főútvonalra.
Az additív útvonalon fontos lépés volt a második generáció létrejötte. hiszen a hivatalos indexszámítós az esetek többségében napjainkban is megelégszik ezzel a fejlettségi fokkal." Ez a második generáció hozta létre az ismert ,.La'spey—
res—Paasche dilemmát". ami rendkívül sok vitára adott alkalmat. A dilemma fel- oldására irányuló törekvés nyomán keletkezett a harmadik generáció, mégpedig a második generációs alapformul'ák keresztezése útján. A keresztezés itt az álta—
lábain eltérő eredményt adó L és F (vagy a ág és cu súlyok) valamilyen átlagala- sát jelenti. A sémó'ban a két legismertebb keresztezett formulát tüntettük fel. Az F az L és a P mértani átlaga. az E pedig 0 cm és a g; súlyok átlagolásából kelet- kezett. de L és F súlyozott számtani vagy harmonikus átlagként is felírható. A keresztezett formulák eleget tesznek az időpróba követelményének, de a tényező—
próbát csak F állja. Ez viszont a mértani átlagolással elvesztette az alapformulák-
től örökölt tisztán additív jellegét. az azzal járó előnyökkel együtt.12
,A keresztezés célja valamilyen próbakövetelmény teljesülésének biztosítása.
Az előbbiekben két próbát említettünk, valóban megkülönböztethetjük ezeknek megfelelően a keresztezés kétféle típusát. Az időpróba teljesülését garantáló ke—
resztezés a két összehasonlítandó időszak súlyai irányában ,,semleges" avagy szimmetrikus formulát hoz létre. A keresztezett formula nem tünteti ki egyik idő—
szakot sem a súlyadatok kiválasztásánál. Ez a fajta keresztezés érvényesült E létre—
hozásánál. és jelen volt F születésénél is. Utóbbi formulán—ál azonban éppúgy
fellelhető a keresztezés másik típusa is. A
" Ebben is (csakúgy, mint a multiplikatív felépítésű formulák mellőzésében) szerepet játszik —-— a for- mula értelmezhetőségével kapcsolatos aggályok mellett—a lényegesen eltérő munka— és költségigényesség is.
13 F nincs összhangban az aggregátumokból képezhető megoszlási viszonyszámokkal. (Lásd erről bő—
vebben (5) 46—51. old.) Csak a tisztán additív és a tisztán multiplikatív felépítésű formulák öröklik az egy- szerű formulóknak azt a tulajdonságát. hogy az asszociációs próba követelményét teljesítik. lgy -— bár az egyedi indexekhez képest F a .,legátlagosabb" formulának mondható —- csoportosított termékhalmaznól a főindex nem esik feltétlenül a részindexek közé. E problémának ,,többlépcsős" F formula alkalmazása útján
történő megkerüléséről lásd (iii)—att '
AZ lNDEXFORMULAK
1183 A tényezőpróba követelményének érvényesülését célzó keresztezés abban áll, hogy mértani átlagot számítanak valamely tényezőnek (árnak vagy volumennek) valamilyen alapformula (például L) szerinti indexéből, valamint ennek ,.tényező- antitézisélből." (Lásd (8) 125. old.) A Laspeyres-féle árindex (L) tényező-ain'titéz'ise például az az árindex, amelyet az értékindex (Sv) és az adott árindexhez hasonló típusú, tehát Laspeyres—féle volumen'index (La) hányadosaként nyerünk, ami nem más, mint a Paasche-féle árindex (P). így a Laspeyres—féle árindex ,.tényezőpró—
bás" keresztezése:
j/L—fízj/ííazf
(hasonló eredményre vezet P ,,tényezőprób—ás" keresztezése is).
A séma szerint elérkeztünk az egyik főútvonal végére. Térjünk vissza ezért az útelágazáshoz. és vizsgáljuk meg az egyedi indexek mértani átlagolásán alapuló formulákat. Ez a mu—ltiplikatív főútvonal mindjárt az elején maga is kétfelé ága—
zik. Az egyik ágon (G) a súlyozást kapcsoltuk be mindenekelőtt (az additív fő-
útvonalhoz hasonlóan). a másik ágon viszont a súlyozatlan formulákkal hajtunk végre tényezőpró'bás keresztezést (gi). és ehhez képest későbbi fejlemény a sú- lyok figyelembevétele (Gl). Itt azonban a két mellékút összetalálkozik, g-ből a
GJr formulához eljuthatunk a gJr és a G formulán keresztül is.
A Go és GI formul—áknak a ,,semleges" G-ből való leszármaztatása emlékeztet az L és a P formulák S-ből történő származtatására azáltal, hogy eldöntjülk, hogy
melyik időszak súlyait (kívánjuk használni.
A második generációból a harmadi'kba itt is keresztezéssel lépünk. A G for- mulát az ..időpróbás" keresztezés hozza létre.
A sémában fel nem tűntetett formulák közül itt megemlítjük H. Theilnek egy 1973-ban puébl'ilkált formulájá't. amely a G javított változatának telkiinthető (26).
Theil azt javasolja, hogy w helyett wo, wí és w mértani átlagával súlyozzunk. Ezzel egyrészt az egyes termékeknek az egyik időszakban való ,,eltűnéséből" adódó
problémákat kívánta kiküszöbölni,13 másrészt csökkentette a tényezőpróba meg—
sértésének mértékét is.
A multiplilkatív főútvonal második mellékú'tjának elején a súlyozatlan. de a tényezőpróbás keresztezés során Sv ,,pó'tinformációval" megjavított. ,.másfeledik"
guetn'erátcliósnalk man'dlhlató gJr áll."" Ennek súlyozott változatát Ragnar Frisch ve- zette be (9).15 A sémában a Gf—hez vezető szaggatott vonalú nyilak arra utalnak.
hogy az ennek képletében szereplő G helyett Go, G1 és G is szerepelhet. (Értelem—
szerűen Ga is módosul.)
A multiplílkatív formuláknak a fontosabb próbákhoz való viszonyát a követ- kező oldalon bemutatott sémával szemléltetjük (a betűjelek alatt az adott formula által teljesített próbák megnevezése olvasható).
13 Míg az egyedi indexek súlyozott számtani és harmonikus átlagai az SZAZH egybeesés révén kike- rülik a hatórozottsógi próba megsértését, addig a mértani átlagra ez nem vonatkozik. A G vagy a G formula értéke például nulla. ha egyetlen cikk egyedi indexe nulla értéket vesz fel, illetve meghatározatlan az index értéke. ha egy bázisidőszaki adat nulla. (Reálisan a volumenindexnél fenyeget ez a veszély, ha valamelyik cikknél cm vagy (nr—O.) Theil formulájánól. ha a problémát okozó cikk wn vagy W1 adata nulla.
akkor az általa javasolt súly is nulla lesz, ezzel a nehézség automatikusan kiküszöbölődik.
"* Ezt a formulát elevenítette fel dr. Laczó Ferenc ..lndexszámításunk szükséges reformjáról" c. tanul- mányában (Statisztikai Szemle 1972. évi 5. sz. 550—561. old. és 6. sz. 669—681. old.), nem kevesebbet állitva.
mint azt, hogy g—l— az egyetlen formula amely az indexszámokkal szemben jogosan támasztható követelmé- nyeknek megfelel, s amelyik ily módon az indexszámitás formulaprobléma'jót maradéktalanul megoldja. (A tanulmánnyal kapcsolatos vitát a Statisztikai Szemle 1972. évi 7.. 12. és 1974. évi 5. számaiban közölte.)
"' Pontosabban azt mondhatjuk. hogy R, Frisch több időszak összehasonlítására mutatott be egy for—
mulát. amelynek két időszakra redukált változata Gt. (Lásd a 24. lábjegyzetet.)
1 184 DR. KUVES PAL A .,logikai fejlődéstörténet" kiinduló gondolata szerint értelmezhető ,,fejlődési"
irányokat a nyilak jelzik. A legkevésbé fejlett formula a g, a legfejlettebb a GJF.
Látjuk. hogy a teljesített próbák szóma nem fejezi ki a formula fejlettségét.
A multiplikatív indexformulák és az índexpróbák
Ha, 67) ———-—-ha"
9
[a'/lay ; idő—) (áf/ag—j (áf/ag —, Má'—)
gf- ————be ———*5*
(Má'—, hányni) (fáoyezo'J (Má'—, /e?7y€zí—)
A függőleges nyilak a tényezőpróbás keresztezést jelentik. M'ind'két vízszintes sorban az első nyíl a súlyozást. a második az időpró'bás keresztezést képviseli. A súlyozás nyilvánvalóan javítja a formulát, mégis csökken a teljesített próbák száma a súlyozás bevezetése után. A második vízszintes nyíl végénél helyreállnak a sor elején álló primitiv formullláxk práb—aviszonyai. lgazoflfható azonban, hogy G a gya- korlati alkalmazás során lényegesen kisebb mértékben sérti meg a tényezőprábát.
mint 9, és Gl lényegesen kisebb mértékben sérti meg az átlagpróbát, mint 91.
A függőleges nyilak ,,próbiavásárra" utalnak: az átlagpróbfát ,,eladtulk", helyette
..beszereztük"até'nyezőpróba garanciáját. Az alsó sorban levő formuláknalk a felső
sor megfelelő tagjával szembeni fölénye mérsékelt, viszonylagos.
!!
A családfában szereplő formulák viselkedésének illusztrálására bemutatunk egy számszerű példát. Az 1. tábla a budapesti piacok 1960. és 1970. évi felhoza-
tali (a) és egységc'xradata'it16 (p), valamint az ezekből számított egyedi indexeket
tartalmazza 12 fontos árucikrkre vonatkozóan.171. tábla
A budapesti piacok néhány 1960. és 1970. évi adata
A felhozatal mennyí— Egységár (évi Egyedi indexek
Árucikk, sége (ezer egység) átlagár. forint) (százalék)
mértékegység
1960 l 1970 1950 l 1970 ada.) l prlpo
1. Élő csirke (kg) . . . . * 958 4041 37.6 l 28,9 421.8 l 769
2. Vágott liba (kg) . . . 1 107 444 29,5 39,2 40,1 132,9
3. Tojás (db) . . . . . 21 652 97 016 1.8 1.5 488.1 83.3
4. Tejföl (l) . . . . . . 387 241 19,7 24.8 62.3 1259
5. Burgonya (kg) . . . . 21620 37 752 3,2 3,7 174,5 115.6
6. Sórgarépa (kg) . . . 6 221 5136 3,3 5.5 82.6 166.7
7. Fejesukáposzta (kg) . . 5148 5 225 2.2 3.4 101,5 154,6
8. Karalóbé (kg) . . . . 2 937 2 896 3.8 6.1 98.6 160,5
9. Zöldpaprika (kg) . . . 10 674 13 581 4.7 11.6 1272 246.8
10. Paradicsom (kg) . . . 12129 7174 22 ó,9 59,2 313.6
11. Alma (kg) . . . . . 9607 14884 ó,3 5.1 154.9 81,0
12. Szőlő (kg) . . . . . 2892 3304 8,3 8.8 114,3 106,0
l
15 Ezek évi átlagárak. Jelen cikk tárgya szempontjából az ebből adódó problémákat figyelmen kívül hagyjuk.
" A Budapesti Statisztikai Évkönyvben 39 órucikkre vonatkozólag közölt adatokból — elsősorban a fel—
hozatal értékének nagysága alapján — kiválasztva.
AZ INDEXFORMULÁK
1 185 A táblaadatait a ,,családfánál" megadott képletekbe behelyettesítve a sú—
lyozatlan formulákkal a következő árindexeket kapjuk:
52118.7 %, a:147,0 %. h 21239 %, g:134,2%, g*l':156.7 %.
A súlyozott alapformulák eredményei:
L :140,l Olt]! P: 113,6 O/o, Go: 125,9 0/0, 61 21259 0/0.
A keresztezett formulák zárják legszorosabbra soraikat, ezek között az eltérés lényegesen kisebb, mint a fejletlenebb formulák között:
E :: 123,o %, F : 126,1 %, § : 125,9 %, öt : 126,4 %.
A számszerű eredmények az általános érvényű tendenciák mellett a példa egyedi sajátosságait is tükrözik. A fejlettebb formulálk kisebb szóródása mellett három általános tendenciát emel'hetünik Vki eredményeink alapján (nem evmlitjü'k a keresztezésből adódó szükségszerű nagyságrendi viszonyokat):
1. (: súlyozatlan formulák között szükségszerűen fennáll a h(g(a nagyságrend;
2. egzakt összefüggésként érvényesül a GoíL (ugyanazon értékeknek ugyanazon sú- lyokkal számított mértani és számtani átlagáról lévén szó), valamint a Gl(P (mértani és harmonikus átlag) nagyságrend;
3. nem szükségszerű, de ritka kivétellel érvényesül (az egyedi volumen— és árindexek közötti negatív korreláció miatt) a P(L nagyságrend is.
A példa egyedi sajátossága, hogy a súlyozatlan formulák közül h közelítette meg legjobban a harmadik generációs formulákat. A súlyozatlanság jelen eset- ben felfelé térítette el a súlyozatlan formulákat (: súlyozottdktól. Az 1. táblából
ellenőrizhető, hogy az értéksúlyok (akár a bázis—. akár a tárgyidősza'kra nézve),
valamint az egyedi árindexek között negatív korreláció áll fenn: van olyan ten—dencia. hogy a kisebb egyediárind'exekhez tartoznak nagyobb értélksúlyok, emiatt kisebbek a súlyozott indexek. (Az eltérést természetesen a súlyozatlan formulák rovására írjuk.)
A súlyozatlanság szerepét a következő összeh'asonlítás-sorozattal is jellemez-
hetjükZG)L, 9)G, h)P. g*)G'F. Az itt párba állított súlyozatlan és súlyo-
zott indexek hányadosa kifejezi a súlyozatlanság számszerű hatását, mégpedig
az a/L : 1,049 hányados a bázisidőszaki súlyokra. a h/P : 1.091 a tárgyidősza-
ki súlyokra, a g/G : 1.066 pedig a két időszak átlagos súlyaira vonatkozóan.A g"l"/C;i'IL : 1.240 hányadosb'an nemcsak az játszik szerepet. hogy o súlyozatlan- ság az árindexet hogyan érintette, hanem az is, hogy a volumenindexet hogyan befolyásolta.
A különböző indexformuláik tulajdonságainak összehasonlító vizsgálata ta—
pasztalati adatok nélkül, elméletileg is lehetséges. Mindazok a formulák. amelyek felirhfatók ugyanazon egyediindex-sorozat súlyozott számtani átlagaként, össze- hasonlíthatók egymással annak a vizsgálatnak analógiájára, amelyikkel Bortkiewicz mutatta ki az L és a P közötti eltérést kialakító tényezők szerepét ((2). (19) 378.
old.). Az előbbi feltételeknek megfelel az s, az a, a h, az L és a P formula, de ha az indexek logaritmusát vesszük, akkor Go és Gí is összehasonlíthwató ezzel a mód—
szerrel. minthogy
2 v log %;
*)ng T"'
2 Statisztikai Szemle
1 186 DR. KUVES PAL
A bázis- és tárgyidőszaki érté'kadxatokkal súlyozott mértani átlagolású formulók'
logaritmusónak hányadosa:EEG—(ím V logEL . vii. . f[log PL: YL]
Po Vo
a'hol V relatív szórást. r korrelációs együtthatót jelöl. ; A két index logaritm'us'ának és (minthogy a logaritmusi'üggvény szigorúan monoton) így a két indexnek is nagyságrendi viszonya attól függ. hogy milyen előjelű a képletben szereplő korrelációs együttható. Ha a nagyobb pjlpg egyedi árindexeéklhez (illetve a megfelelő *lvogaritmu—shoz) általában nagyobb v1/v0 egyedi értékindexek tartoz-nak. tehát pozitív a korreláció, alkkor GO(G1. (ismeretes.
hogy L és P eltérése a pjlpo és a (]1/(10 egyedi indexek korrelációj-átó'l függ.)
Felmerül a kérdés. hogy a "szokásos" L ) P nagyságrendet előidéző nega- tív korrel-ációhoz hasonlóan van—e a most tárgyalt korrelációnwak valamilyen ,,tör—
vényszerű" iránya? Minthogy Vi/VO egyik tényezője éppen pl/po (amelynek logarit—
musaa másik változó), csak ezt tekintve pozitív korrelációra számíthatunk. A má—
sik tényező (Ji/go, amellyel az egyedi árindex negatív korrelációban van általában.
Az össthatás függ attól, hogy az egyedi volumen- vagy árindexek szóródnak—e nagyobb mértékben. Ha a gílao—ok mozgékonysága a meghatározó a Vi/VO szó-
ródósban. akkor negatív korreláció alakult ki, és így Go) Gí. Példánkban a két
index egybeesése (tizedszázalékos pontossággal) véletlen. (A korrelációs együtt- ható értéke közel áll O-ihoz.)Az ilyen összefüggések ismeretének gyakorlati haszna többféle lehet. Az ősz—
szefüggés figyelembevétele elősegítheti különböző időben és helyen különböző formulákkal kapott eredmények összehasonlíthxatóságát. vagy pedig egyazon célra kiszámított kéttéle indexszám egybevetéséből az eltérést előidéző tényezőkre vonat—
kozóan nyerhetünk információkat. *
3. KETTÖNÉL TÖBB IDÖSZAK VAGY TERULETI EGYSÉG ÖSSZEHASONLíTÁSA
Amikor áttérünk kettőnél több időszak összehasonlítására, egyidejűleg azt a
hallgatólagos megszorítást is feloldjuk. hogy csak időbeli összehasonlítésra gon—
dolunk. Az indexek családfájóban szereplő valamennyi képlet természetesen tér- beli. ezen belül elsősorban területi (földrajzi) össze—hasonlítósra is használható. ha a g és a p jelek 0 és 1 indexét két területi egység jelének tekintjük. A továbbiak- ban az időszak és a területi egység közös neve az összehasonlítási pozíció. rövi—
den pozíció lesz. (Továbbra is érvényben van az a megszorításunk, hogy a lehet—
séges indexformulákat csak az árindexszámítá'sra értelmezzük.)
Az indexszámítás időbeli és területi összehasonlításoknól történő alkalmazásai
több szempontból eltérő feltételek és körülmények között mennek végbe. eltérő követelményeket támasztanak. Ez azonban nem változtat azon, hogy csak egy in-dexelmélet létezik, az indexszómítás elméleti és módszertani problémái mindkét területen messzemenően közösek, eltérések főleg a kivitelezésnél adódnak.
Az eltérő követelmények egyes esetekben inkább lótszólagosak, mint valósá—
gosak. Inkább arról van szó ilyenkor, hogy bizonyos szempontok mellőzését nem egyenlő feltételekkel lehet az indexszámítás ,.fogyasztó—ival" elfogadtatni az idő—
beli és a területi összehaisonlításoknál, mintsem arról, hogy a valóság tük'rözésé- nek igényéből kiindulva lennének eltérő követelmény—ek. Ha például az árindex—
számításnál a bázisidőszak termékstruktúráját nem vesszük figyelembe. akkor a
AZ lNDÉXFORMULAK
1 187 bázisidőszak tiltakozásától sokkal kevésbé kell tartanunk, mint a báz'isországétól hasonló esetben. Vagyis a pozíciófelcseréle'si próbára (így általánosítható az ed—
dig időpróbának nevezett teszt) a területi összehasonlítás végzői jobban felfigyel—
nek, mint az időbeli összehasonlítások lebonyolítói. Nem véletlen. hogy a ,.sem—
legesség", mint a súlyok megválasztásának egyik irányadó szempontja a nemzet- közi összehasonlítások irodalmában (6) merül fel.
Az árindexszámításnál természetesen lényeges különbség, hogy egy adott valutájú országban vizsgáljuk az árszínvonal időbeli alakulását, vagy két ország valutájának vásárlóerejét hasonlítjuk össze, de ez sem kifejezetten az időbeli és területi összehasonlítás különbözőségét jelenti. Területi összehasonlítás ugyanis egy országon belül is végezhető, másfelől az időbeli összehasonlítás is beleütköz- het a valutaikülönbség problémájába. ha a valutarendszer megváltozik.
Kétségtelen objektív különbség az időbeli és területi összehasonlítás között, hogy az idő egydimenziós, az időegységek sorrendje, valamint a mozgás iránya meghatározott. Mindez a területi összehasonlításra nem érvényes.A,,szomszédos"
időszakok közgazdasági viszonyai között igen szoros a kapcsolat, időben távo- lodva ez a kapcsolat lazul. A földrajzilag szomszédos. hasonló gazdasági fejlett- ségű. továbbá azonos társadalmi rendszerű országok közgazdasági viszonyai is sokkal jobban hasonlítanak egymáshoz, mint két (az előbbiekben említett szem- pontokból) távoli országé, de itt a különbözőségek többdimenziósak és kevésbé nyomonlkövet—hetők, mint időben.
Az időbeli és a területi összehasonlítás objektív különbségei befolyásolják a
figyelembe vett összehasonlítási viszonylatok wéis viszonyítások gyakorlatban alkal- mazott rendszereinek kialakulását. Mielőtt továbbmennénk, definiáljuk ezeket a fo—galmakat.
Ha meghatározzuk, hogy melyik két időszakot vagy területi egységet (össze—
hasonlítási pozíciót) hasonlítjuk össze, akkor ezzel egy viszonylatot határoztunk meg. Ha az is adva van, hogy melyik pozíció adatait viszonyítjuk a másikéhoz, vagyis. hogy melyik pozíció lesz az összehasonlítás tárgya, illetve bázisa, akkor viszonyításról beszélünk. Ha eldöntjük, hogy az elemzés keretében mely viszonyí—
tások szerint számítunk (közvetlenül) indexet, akkor összehasonlítási rendszert ho—
zunk létre. Ha a választott rendszer nem öleli fel a figyelembe vett pozuíciókiból elvben adódó viszonyításdk összességét, akkor hallgatólagosan megengedett a közvetett. leszárm—aztatott indexek számítása a rendszeren kívüli viszonyításokra nézve. Az összehasonlítási rendszerek általában egymástól független viszonyítások—
ból állnak (két-két pozíció között direkt és indirekt index csak egyféleképpen szá- mítható). az ellentmondó eredmények elkerülése érdekében.
Ha a pozíciók száma r, akkor minden pozíciót mindegyik másikkal összeha-
sonlítva r(r-—— 1) viszonyítási lehetőség adódik. Egy—egy pozíciópárhoz, viszonylathoz két viszonyítás tartozik (a pozíciók ezen belül egyszer az összehasonlítás tárgyá- nak. egyszer bázisának szerepét töltik be), így a lehetséges viszonylatok száma:(r/2)(r— 1)-
Az időbeli összehasonlítások terén kialakult konvenciók szerint azonban egy összehasonlítási rendszer általában r—1 viszonyításból áll. Az időbeli összeha- sonlításokra speciális jelölést alkalmazva, a pozíciók az objektív meghatározottság sorrendjében: t: 0, i, ..., m, ahol az összes időszakok száma tehát m-i—i : r.
Időben rendszerint t/O vagy t/t—i viszonyításokra számítanak közvetlen indexeket.
ahol t : 1. 2, .... m. A t/O az állandó bázisú vagy bázisíndexek rendszere, a
t/t—1 a változó bázisú vagy Iáncíndexek rendszere. Ezek mindegyike független viszonyításokból álló, röviden független rendszer.zo
1 188 DR. KUVES PÁL
Az említett konvenciók egyik alaptétele nyilván az, hogy minden t/b össze—
hasonlításnál t ) b, tehát a tárgyidőszak mindig későbbi, mint a bázisidőszak.
A konvenció logikus (hiszen azon alapszik, hogy az idő mindig egy meghatáro- zott irányba halad), de mégis csak konvenció. Nem lenne értelmetlen azt kérdezni
(néha elő is fordul ez). hogy például az 1960. évi árszínvonal hány százaléka az
1970. évinek. A másik alaptétel az, hogy csak olyan t/b viszonyítás iránt érdeklő- dünk (közvetlenül). ahol bZO, vagy ahol b :: t— 1. A konvenciók első alaptétele olyan erős, hogy a t ( b viszonyításokra általában közvetve sem számítanak in-dexet.18
A területi összehraísonlításolk'nál csak a független rendszer létrehozására irá- nyuló törekvés korlátozza a közvetlen,összehasonvlításoknál figyelembe veendő vi—
szonyítások körét. Ebből a szempontból a leglogikusabb a fix bázis kiválasztás—á—
nak módszere. ami analóg az időbeli bázisindex—rendszerrel azzal a különbséggel.
hogy egyrészt nincs ,,O-ik" pozíció, ami fix bázisként kínálkozik. másrészt a terü—
leti egységek nem soraíkoznwaik fel kötött sorrendben a bázist követve.
Területi összehasonlításoknrál a leszármaztatott indexek számítása iránt rend- szerint maximális igény lép fel, minden lehetséges viszonyítás érdeklődésre tart számot, egy adott t/b viszonyítás mellett a b/t is.
Hangsúlyozzuk, hogy eddig az összehasonlítási viszonylatok, viszony'itások rendszerével foglalkoztunk, nem pedig súlyozási indexszíámítási módszerekkel. Ez utóbbiak a következő pontok témáját képezik. A kialakult összehíasonlitási rend- szerek azonban szerepet játszanak abban. hogy az alkalmazott i'ndíexszámitási módszerekkel szemben támasztható követelmények egyikét-másikét milyen súllyal szokás figyelembe venni.
Ha adva van egy összehasonlítási rendszer. akkor az indexszámítás vagy egy kétpozícíós formula, vagy egy indexszámítási rendszer segítségével történik. A két—
pozíciós formula akkor elegendő. ha az összehasonlítási rendszer független viszo- nyításokból áll. vagy ha a formula eleget tesz a láncpróba (körprób'a) követelmé- nyeinek. (Szokás trawnzitivitásról is beszélni, főleg területi összeíhasonlításoknál.) Általában a rendszer is kifejezhető egy formulával, ez esetben töbíbpozíciós formu—
lóról van szó, amelyben -—- egy adott index kiszámítására történő felhasználás—
nál — a két összehasonlítandó pozíción kívül más pozíció(k) adatai is szerepelnek.
(Tehát a többpozíaiós formula adatbázisa bővebb. mint a kétpozíciósé.) A kétpozí- ciós formula alkalmazása is tekinthető rendszernek, ha egy független összehason- lítási rendszer és egy kétpozíciós képlet határozza meg a követendő eljárást.
Az indexszámítási rendszerek között nyílt és zárt rendszereket különböztetünk meg. Ha egy indexszámítási eljárást r számú pozíció helyett r—l—l pozícióra alkal- mazva az eredeti indexek nem változnak meg, akkor az alkalmazott eljárást nyílt indexszámítási rendszernek nevezzük, ellenkező esetben zárt rendszerről beszélhe—
tüínk.19
Az indexszámítási rendszerek egy része a pozíciók kötött sorrendjét tételezi fel. Az ilyen rendszerek időbeli alkalmazása természetes, míg területi alkalmazásuk
18 Itt nincs szó a kialakult konvenciók bírálatáról, melyek az indexszámítási problémák által nem ter—
helt közönséges dinamikus viszonyszámok alkalmazásánál is érvényesülnek. A konvenciókra azonban nem szabad érvet építeni az indexszámítási problémák vizsgálatánál. (Például nem indokolható az időpróba kö- vetelményének elvetése ezzel a konvencióval.)
19 Dlechsler László (o)-ban zárt és nyílt többoldalú összehosonlításokat különböztet meg. Emellett kü—
lönbséget tesz teljes és részleges skálájú összehasonlítások között. Utóbbi megkülönböztetés a jelen cikk rendszerezése szerint az összehasonlítási rendszerek problémája, a zártságot és a nyíltságot pedig az index- számításí rendszer (módszer) problémájaként kezeljük. Drechsler nem tesz különbséget a kétféle rendszer között. Természetesen a nyílt vagy a zárt rendszer Választása is -— miként az összehasonlítási rendszerek valamelyikének választása — függ a megoldandó feladat természetétől; a gyakorlatban e problémák meg- oldása nem különül el egymástól.
ü
AZ INDEXFORMULAK
1189 önkényes döntést igényel.20 Az indexszámítási rendszerek másik csoportja nem tételez fel kötött sorrendet a pozíciók között. Ezeket időbeli és térbeli összehason- lításra egyaránt alkalmazhatjuk minden külön meggondolás nélikül.
Ismeretes, hogy a kétpozíciós formulák közül csak néhány súlyozatlan formula
(5, g, gi) tesz eleget a láncprába követelményének. Ezzel szemben a többpoziciós
rendszerek létrehozása alapgondolatához tartozónak mondható a tranzítivitás érvényesítése. Ezt elérni igen könnyű, hiszen egy független összehasonlítási rend—szerben bármilyen kétpozíciós formulát alkalmazva, a direkt és az indirekt eredmé—
nyek nyilvánvalóan tranzitivek. További két fontos indexpróba az átlagpróiba és a tényezőpróba, amelyeket a többpozíciós formulákkal. rendszerekkel szemben úgy értelmezhetünk. hogy e próbák követelményeinek érvényesülését az összes lehet—
séges viszonylatban megkívánju'k.
A többpozíciós rendszerek bemutatása érdekében korábbi példánkat kiegé—
szítjük (: közbeeső 1961—1969. évek adataival,21 így 11 év áirszinvonralát hasonlít—
hatjuk össze egymással. Állapodjunk meg abban. hogy ez a példa a területi összehasonlítást is képviseli. vagyis adott esetben az éveket területi egységnek
tekintjük.
A részletes adatok mellőzésével megadjuk a kiszámított
AztaiiZZm-pii * (bizt 2 r)
aggregátumok m-atrixát (lásd a 2. táblát),22 amelyből az additív felépítésű súlyozott
indexek számítása ellenőrizhető.Elkészíthwető ennek analógiájára egy
M : [mi]. : Upri]
matrix is, melynek adataiból a multipli'katív felépítésű súlyozott árindexek kiszámít- ha'tólk. Ezt a mátrixot nem közöljük. A kiszámított indvexsoriokat talnulmiányuinkban többnyire grafikus ábrákkal szeimlél'tetjük majd. egyes esetekben pedig a szám—
szerű értélkeiket adjuk meg.
2. tábla
A piaci felhozatal összértéke Budapesten ezer forintban
(12 cikk i-edik évi együttes felhozatala a i-edik év órain számítva)
X . l l
TXl l 1960'4 l 1961 j 1962 l 1963 I 1964 j 1965 I 1966 ' 1967 l 1968 l 1969 l 1970 1960 . . 388 882 414 427 443 143l 384 233 433 948 l 481 995 l 453 923 1 437 918 483 192 495 996l 544 772l
1961 . . 332 442 350 235 368137 324 788 360186 1 403 666 381 187 366 985 398 621 408 022 448 005 1962. . 305 234 j 320 328 331 900 297 437 324 397 362 475 344 257 331 191 356 812 365 282 396 417 1963 . . 391 645 ;: 412 295 432 640 379 506 417 458 460 818 435 409 415128 451 538 462 980 498 317 1964. . 424 691 443 331 465 637 409 722 445 185 489 424 462 236 439 935 471 934 482 748 513 506 1965 . . 402 213 423 237 448 332 388 787 427 748 466 351 439 803 4113 775 455 591 466 476 494 130 1966. . 509 358 536 644 563 774 491 086 542 997 596 762) 560 472 532 632 531 394 596 204 641 656 1967 . . 558 746 587 565 623 261 540 861 593 190 648 393 611 216 579 015 632 855 648 540 697 047 1968 . . ( 637 935 663 642 709 075 622 254 673 593 731 099 693 838 651 967 704 453 721 542 759187 1969 . . 650 539 630 356 ! 713 167 632 977 1 680 079 741 152 705 033 666 164 720 560 736 694 785 273 1970 . . 705 477 734 679 § 772 524 693 554 l 733 637 791 165 758 880 710 434 759 340 175 645 801 075
. l
20 Ebben a cikkben e kérdés mélyebb tárgyalására nem térünk ki, de megjegyezzük. hogy a pozíciók ..közelségének" és .,távolisógónak" kérdése mind az időbeli, mind a területi összehasonlítósnál további vizsgálódást igényel, melynek során nemcsak a kétféle összehasonlítás különbözőségére, hanem ezek dio- lektikus kapcsolatára is fény derül.
'" A budapesti statisztikai évkönyvekből vett adatok.
3 A tábla négy ,.sarkában" levő adatok az 1. táblából kiszámíthatók.
;)
1190 DR. KUVES PAL
4. NYILT TlPUSÚ lNDEXSZÁMlTÁSl RENDSZEREK
Nézzük meg először a kétpozíclós formulák többpozíciós alkalmazásának lehe-
tőségeit. Előbb a t/O. majd a t/t—l független összehasonlítási rendszereket kap- csoljuk össze az eredetileg két időszakra definiált órindexfképletekkel. (Az indexsor meghosszabbítása egyik esetben sem változtatja meg a már kiszámított indexelk értékét. tehát valóban nyílt rendszerrel van dolgunk.)Az 1. ábrán a t/O viszonylatokban a súlyozatlan indexeket hasonlítjuk össze
egymással és két második generációs (L és P) formulával.23 Látható. hogy a súlya—
zatlan formulák eredményei szélesebb sávban helyezkednek el, mint a jelenleg eléggé szélsőségesen viselkedő. ellenkező irányban torzító additív felépítésű súlyozott alapformulák. Figyeljük meg s kirívó viselkedését az első években, továb-
bá a három átlag (a, h, 9), valamint a gJr által jelzett áremelkedést 19őó—ról 1967-
re. amikor a súlyozott indexek jelentős árcsökkenést mutatnak.1. ábra. Áralakulás a súlyozatlan formulák szerint a Laspeyres- és a Paasche-féle formulával összehasonlítva
%
150
755
750
145
740
735
730
725
120
715
710
705
700 —
95
7950 ' 7957 ' 7952 ' 7963 '7954 '7955 '7955 Vga—7 7949 ?m 37970
Ha a különböző típusú index'sorok viselkedését tapasztalati adatokon kívánjuk vizs—
gálni. természetesen a közönséges grafikus ábrázolásnál hatékonyabb lehetőségekkel is rendelkezünk. Például kiválaszthatunk egy indexsortípust, amelyet a többiek mércéjeként
13 Az ábrán s' jelzéssel feltüntetjük az összemérhetőségi próbát megsértő s formula olyan behelyet- tesítését is, amelynél a tojás mértékegységét 10 darabra változtattuk.
AZ lNDEXFORMULAK
1191 használunk, és ennek értékeivel valamennyi indexsor megfelelő tagjait elosztva a kapott eredményeket ábrázoljuk közönséges vagy logaritmikus skálabeosztással. A hányados kép- zésén túl e hányadosok .,normalizálását" is megkisérelhetjülk. Keresünk egy olyan tényezőt, amelyhez a különböző indexsorok egymástól való eltéréseit hozzámérhetjük. így adódik az L és a P formula közötti eltérés mint az eltérések lehetőségeinek normája, mérőeszköze.
A vizsgálandó indexformulát a-val jelölve és bázisformulaként F-et választva, az a/F hányadosok logaritmusait célszerű hozzómérni az L és a P közötti eltérést jellemző érték- hez. Figyelembe véve, hogy L/F : F/P : VL/P. vizsgálhatjuk a/E logaritmusánok ésaz L/F logaritmusánok arányát:
[8 __ lggMa/f __ algg u—log F _ log L/F _ log L—log F
Igy ha a helyébe az L, P és F formulákat helyettesítjük be. akkor ,6 értéke rendre 1, —1 és 0 lesz. A 2 ábrán bemutatjuk a súlyozatlan indexekre (valamint az L, P és F formulákra) vonatkozó ,6 értékeket. A súlyozatlanság hatását ez az ábra világosabban szemlélteti, mint az 1. ábra.
2. ábra. A súlyozatlan indexek normalizált összehasonlítása )!
n
[*
7 ll
a
_ la a—/0 F 0; [ —/ayF
,,ll
,lil /X
_Z a
J A alyrmz-f/l'flzí/lf'í [lő/:
7957 ' 7962 ' 7963 ' 7.964 ' 7955 ' 7955 ' 7557' 7953 '7959 ' 1970
Továbbra is a kétpozíciós formuláknak a t/O rendszerben való alkalmazásánál maradva, ezúttal a harmadik generációs formulákat hasonlítjuk össze az L és a P
olapformulóikkal. (Lásd a 3. ábrát.) A súlyozatlan fonmulákikai ellentétben a har—
madik generációs keresztezett formulák az L—P .,kerítésen" belül haladnak, sőt messzire elkerülik ezeket a szélsőséges értékeket.
1192
3. ábra. Harmadik generációs formulák a Laspeyres—
és a Paasche-Iéle formulával összehasonlítva
% ma
735
130 .
725
7le
716
770
705
70 0
V
Készítsünk itt is egy "mikroszkopikus" óbrót. amelyik felnagyítva mutatja a különböző viszonylagos alakulását, bázisnak az F formulát választva.
típusú indexsorok eltéréseit,
5 r ! I ! I I 1 u
7950 7957 7952 7953/5'54'7955'7555 1957 7353 fm lm
4. ábra. Harmadik generációs formuláknak a Fisher-féle formulához viszonyított eredményei
% 101
700
99
98
IX -
/ x5*
/ § ""——/ X /
. ,____,. ,s F
II:—'*' /N.x
Xx/ 9 x
7357 7.952 ' 7553 7.954 7955 7.955 '796'7'796! 7.959 7.970
DR. KUVES PAL
AZ INDEXFORMULÁK 1193 Jelen esetben az E viselkedése látszik szélsőségesnek. Tudjuk, hogy E az L és a P súlyozott számtani átlagaként is felfogható, amikor L súlya Zaopo, a P súlya pedig Earp".
Ha a volumenindex emelkedő, akkor időben előrehaladva egyre nagyobb súlyt kap P, tehát L)P. illetve a P/L hányados csökkenése esetén ez a körülmény lefelé húzza E értékét.
Az előbbi magyarázat igazolására végezzük el a következő vizsgálatot. Minthogy a lefelé ..húzás" két tényezője a P/L hányados csökkenése és a volumen növekedése, képez—
zük a P/LFa hányadosokat.
Az 5. ábrán e hányadosok alakulását mutatjuk be az idő függvényében. Az 5. ábrát egybevetve a 4. ábrán E/F alakulásával, az előbbi magyarázat igazolást nyer.
5. ábra. Az Edgeworth—Marshall—
és a Fisher-féle formula eredményei közötti eltérést előidéző tényezők együttes hatása
üle XX
a,? X
a,a
0,ll
1757 ! mal 1.965 l zml 7.955l megl/957 lryea lzgsylwo
Ha a kétpozíciós formulákat alkalmazzuk a t/O viszonylatokban, akkor a máso—
dik generációs súlyozott formulák állandó vagy változó súlyú indexsort eredmé—
nyezhetnek attól függően. hogy bázis— vagy tárgyidőszaki adiatolklkal súlyozunk.
minthogy a t/O rendszerben a 0 változatlan, a t pedig változó. lgy az L, a GO és a
Gai" formulák26 állandó. a P, a 61 és a GH formulák változó súlyú _indexsorokat
eredményeznek. A t/t—l viszonylatokra vagy bármely más viszonyításra leszármaz-tatott indexeket számíthatunk.
Ha független rendszerként a t/t—1 összehasonlítási rendszert választjuk, akkor az évről évre bekövetkezett változásokat tudjuk a családfa kél—tpozíciós képleteivel jellemezni. és ebben az esetben a t/O típusú viszonyításo'kban lesznelk leszármaz—
tatott indexeink.
A 6. ábrán
.t t
L't/O :lll1 L ,,H és F,," stíl 1FW1
l—ánci'ndexsoroíkiat hrasonlíthatjuik össze az eddig is összehasonlítási táimpontiként használt L,,vo és Pf/O indexekkel. Ugyanezt megtehetnénk értelemszerűen a (30 és a G1 formulák-kal! is.
% Elgy később említendő zárt típusú formula mellett a Go'*' feleltethető meg Ragnar Frisch (9)-ben közölt kegletenek, melyről megállapította, hogy ez az egyetlen formula, amelyik egyidejűleg eleget tesz a tenyezoproba és a láncpróba követelményeinek. Ez a megállapítás nemcsak a bázisidőszaki súlyadat, hanem bármely 'c'lllandó súly alkalmazására vonatkozik, következésképpen a súlyozatlan esetre, tehát a G*' formulóra is.
