Calculations 2^

(1)

CHAPTER 2^

Calculations

At the end of each method, described in the preceding chapters, factors and formulas are given for calculating the results, and specific examples are calculated. In this chapter some general formulas are given and the factors are collected into tables, one for the gravimetric (Table 4 0 ) and one for the volumetric (Table 4 1 ) . There is included a table of multiples of atomic and molecular weights (Table 4 2 ) which is useful for calculating percentages in empirical formulas.* There are also included discussions on the calculation of factors and on the calculation of percentages from the empirical formula and vice versa. The chapter is concluded with two sets of logarithmic tables.

The first of these, Table 43, the Nitrogen Reduction T a b l e ,⁹-^{1 0} gives the logarithms of the weight of one ml. of nitrogen at the various temperatures and pressures encountered in the laboratory and is used for calculating the results of the Dumas nitrogen determination. The second, Table 44, is a regular table of five-place logarithms.

GENERAL FORMULAS

Gravimetric:

W t . of precipitate X factor X 100 W t . sample

Volumetric:

Ml. of standard solution X factor χ 100 W t . sample

Gasometric:

Corrected ml. of gas X factor X 100 W t . sample

Manometric :

Corrected pressure of gas X factor χ 100 W t . sample

= % Element

* The atomic weights proposed by the Commission on Atomic Weights of the I.U.P.A.C., 1957,6 have been used throughout. Tables showing the percentage composi

tion of many organic compounds have been published by Gysel3 and by Kuffner and Gruber.⁷ Thompson^{1 2} described a calculator for selection of sample weights in the microdetermination of carbon and hydrogen.

565

(2)

MOLECULAR WEIGHT:

(a) Rast:

1000 χ Κ χ S

M.W. = L X A^f

where Κ = the molecular melting (or freezing) point depression (melting or freezing point depression for one mol of solute per 1000 grams of solvent)

S = wt. of sample (solute) L = wt. of solvent

At = depression of the melting point of the solvent (b) Signer:

G.MV AL =

1 GV¹ where M = M . W . of standard

V = vol. of solution of standard G = wt. of standard

M, = M . W . of unknown

v

¹ = vol. of solution of unknown G, = wt. of unknown

( c ) Neutralization Equivalent:

Neut. Ec

(d) Hydrogen Number:

Neut. Equiv. = W t . of sample in mg. X 100 Mi. of 0 . 0 I N alkali used

Wt. of sample in mg. X 22.415 H No. = ^V^o^{l o f H}^^{a t Q}o^c⁷⁶^o ^m ^m

(3)

567 Factors

Calculation of Factors¹¹

Factors, such as given in Tables 40 and 41, usually are found in the various books on analytical chemistry²'^{1 3} and in the handbooks.⁴'⁵-⁸ However, the author believes that an understanding of their methods of calculation is in order since it allows the analyst to calculate factors if the particular ones desired are not listed. The following examples will serve the purpose.

GRAVIMETRIC:

Examples:

a. From the equations given in Chapter 20, it is seen that one methyl group attached to nitrogen is equivalent to one molecule of silver iodide

C H³

c=

Agi

M . W . 1 5 . 0 3 5 M . W . 2 3 4 . 7 9 0

From the proportion

where

we get

M . W . of C H³ : M . W . of Agi : : χ : 1

χ ~ mg. of C H³

1 5 . 0 3 5 : 2 3 4 . 7 9 0 : : χ : 1

or χ = X _ Q Q £ 4 Q 4⁰£^eq^Ui^{v a}i^{e n}t to 1 mg. of Agi

2 3 4 . 7 9 0⁰

b. Likewise, from Chapter 20 it is seen that one ethyl group attached to nitrogen is equivalent to one molecule of silver iodide

C²H⁵ o Agi

M . W . 2 9 . 0 6 2 M . W . 2 3 4 . 7 9 0 .'. M . W . of C²H⁵ : M . W . of Agi : : χ : 1

where χ = mg. of C²H⁵ .*. 2 9 . 0 6 2 : 2 3 4 . 7 9 0 : : χ : 1 2 9 . 0 6 2 X 1

0 . 1 2 3 8 mg. of C²H⁵ equivalent to 1 mg. of Agi 2 3 4 . 7 9 0

VOLUMETRIC:

Examples:

a. From the equations in Chapter 20, it is seen that one methyl group attached to nitrogen is equivalent to six molecules of thiosulfate.

(4)

C H³

M . W . 15.035 M . W . 948.684

Now in 1 ml. of 0.01N thiosulfate there are 1.58114 mg. of N a²S²0³ .*. M . W . of C H3 : M . W . of 6 N a2S203 : : χ : 1.58114

where χ = mg. of C H³ .*. 15.035 : 948.684 : χ : 1.58114 15.035 X 1.58114^{r f} ^^{τ τ}

or χ = = 0.02506 mg. of C H3 equivalent

9 4 8'^{6 8 4} to 1 ml. of 0.01N N a²S²0³

b. Similarly, from the equations of Chapter 20, it is seen that one ethyl group attached to nitrogen is equivalent to six molecules of thiosulfate.

C²H⁵ ο 6 N a²S²0³ M . W . 29.062 M . W . 948.684

29.062 : 948.684 : : χ : 1.58114 (see Example a above) 29.062 X 1.58114

= 0.04844 mg. of C2H5 equivalent 948.684^{t o} !^{m l}"^{o f 0}. 0 1 N N a²S²0³

c. From Chapter 14 it is seen that five atoms of oxygen are equivalent to twelve molecules of thiosulfate.

5[ 0 ] ο 12 N a2S203

M . W . 80 M . W . 1897.368

.'. 80 : 1897.368 : : χ : 1.58114 (see Example a above) 80 X 1.58114

or χ = = 0.06667 mg. or oxygen equivalent 1897.368^{t Q 1} ^m^{l o f 0}⁰ ^l ^N N a²S²0³

Calculation of Percentages from the Empirical Formula and Vice Versa

For many of the samples analyzed the empirical formulas are known and the theoretical values of each element may be calculated. This is accomplished by use of the following formula:

Theoretical per cent of the element =

At. wt. of element X no. of these elements present X 100 M.W. c f compound

Likewise, for groups, the following is used:

Theoretical per cent of the group =

Sum of at. wts. of elements in group X no. of these groups present X 100 M . W . of compound

(5)

569 Percentages

Example:

The percentages of carbon, hydrogen, and carboxyl in benzoic acid, C⁶H⁵C O O H , are obtained by

7 V 1ΠΠ

= 6 8 . 8 5 % C

= 4 . 9 5 % H 12.011 X 7 X 100

122.125 1.008 X 6 X 100

122.125 45.019 X 1 X 100

122.125 and

4 v m o ν 1 ν 1 on

= 3 6 . 8 6 % COOH

On the other hand, for many of the samples the empirical formulas are not known and must be calculated from the found values. The method of calculation given here^{1 1} is that discussed in detail by Clark.¹ For an example, suppose the elementary analyses of a compound showed it to have the fol

lowing percentages of carbon, hydrogen, and oxygen:

C = 5 8 . 7 2 % H = 5 . 9 2 % Ο = 3 5 . 3 6 % Therefore, in 100 grams of substance there are

58.72 grams C 5.92 grams Η 35.36 grams Ο

The atomic weights of the three elements are, respectively, 12.011, 1.008, and 16.000 and if these are called grams, 100 grams of the above compound contains

58.72 12.011

5.92 1.008 35.36

= 4.89 units of C

= 5.87 units of Η

= 2.21 units of Ο 16.000

Therefore, the compound contains carbon, hydrogen, and oxygen in the proportion of 4.89 to 5.87 to 2.21 units respectively. By dividing these three values by that of the smallest, namely, 2.21, the proportion becomes 2.21 units of carbon to 2.66 units of hydrogen to 1 unit of oxygen. Whole num

bers are required and in this case it is not possible to see on inspection what factor is necessary to use in order to have all three come out whole numbers.

Therefore, Table 39 is set up in which all of the values in the proportion 2.21 units of C:2.66 units of H : l unit of 0 are multiplied by 1, 2, 3, 4, etc.

(6)

T A B L E 39

T Y P E O F SERIES USED IN CALCULATION O F EMPIRICAL F O R M U L A E

Series C H Ο

( a ) 2.21 2.66 1

( b ) 4.42 5.32 2

( c ) 6.63 7.98 3

( d ) 8.84 10.64 4

( e ) 11.05 13.30 5

( 0 13.26 15.96 6

( g ) 15.47 18.62 7

( h ) 17.68 21.28 8

( i ) 19.89 23.94 9

( i ) 22.10 26.60 10

( k ) 24.31 29.26 11

(1) 26.52 31.92 12

( m ) 28.73 34.58 13

Before any attempt is made to select a series in which all of the numbers are closest to being whole, the rule concerning the composition of molecules with elements having odd valences must be considered. The number of elements in a molecule having odd valences must be equal to an even number. This must be true since carbon is tetravalent. This rule eliminates immediately each of the series in which the hydrogen is closest to odd numbers and only those closest to the even ones should be considered, namely, ( c ) , ( f ) , ( i ) , and ( 1 ) . Of this group ( i ) has both of the values for C and Η closest to whole numbers.

Consequently, the empirical formula is C2o H24 09 which has the theoretical values of carbon, hydrogen, and oxygen equal to the following

C = 5 8 . 8 2 % , Η = 5.92%, Ο = 3 5 . 2 6 %

which are in excellent agreement with the found figures.

Other data such as the values obtained from carboxyl (neutralization equivalent), methoxyl, acetyl, molecular weight, etc., are helpful in selecting the proper empirical formula.

(7)

571 Factors

T A B L E 4 0

T A B L E OF GRAVIMETRIC FACTORS

Chapter Sought Weighed Factor

6 Na N a²S 0⁴ 0.3237

6 Κ K2S O4 0.4487

6 Ba B a S 0⁴ 0.5885

6 Ca C a S 0⁴ 0.2944

6 Cu CuO 0.7988

6 Fe F e203 0.6994

6 Pt Pt 1.000

6 Au Au 1.000

6 Ag Ag 1.000*

9 H H²0 0.1119

9 C

c o

² 0.2729

10 S B a S 0⁴ 0.1374

11 Cl AgCl 0.2474

11 Br AgBr 0.4255

11 I Agi 0.5405

12 Ρ ( N H4)3P 04. l 4 M o 03 0.014524

13 As M g²A s²0⁷ 0.4826

14 Ο

c o

² 0.3635

16 O C H3 Agi 0.1322

16 O C2H5 Agi 0.1919

20 C H³ Agi 0.06404

20 C2H5 Agi 0.1238

* Also see footnote on page 133.

T A B L E 41

T A B L E O F V O L U M E T R I C FACTORS

1 ml. Equivalent

Chapter Sought Standard solution (mg.)

8 Ν O.OlN HC1 0.14008

10 S O.OlN B a C l² 0.1603

10 and 15 S O.OlN NaOH 0.1603

13 As O.OlN N a²S²0³ 0.3748

14 Ο O.OlN N a²S²0³ 0.06667

15 COOH O.OlN NaOH 0.4502

15 Cl O.OlN NaOH 0.3546

15 Br O.OlN N a O H 0.7992

16 O C H3 O.OlN N a²S²0³ 0.05173

16 O C²H⁵ O.OlN N a2S203 0.07510

17 C H³C O O.OlN N a²S²0³ 0.4305

17 HCO O.OlN N a²S²0³ 0.2902

20 C H³ O.OlN N a²S²0³ 0.02506

20 C²H⁵ O.OlN N a²S²0³ 0.04844

(8)

T A B L E 42

SOME A T O M I C AND M O L E C U L A R W E I G H T S AND SOME M U L T I P L E S O F T H E M

Hydrogen Oxygen

H 1.008 26 26.208 Ο 16.00 7 112.00

2 2.016 27 27.216 2 32.00 8 128.00

3 3.024 28 28.224 3 48.00 9 144.00

4 4.032 29 29.232 4 64.00 10 160.00

5 5.040 30 30.240 5 80.00 11 176.00

6 6.048 31 31.248 6 96.00 12 192.00

7 7.056 32 32.256 Nitrogen

8 8.064 33 33.264

Nitrogen

56.032

9 9.072 34 34.272 Ν 14.008 4 56.032

10 10.080 35 35.280 2 28.016 5 70.040

11 11.088 36 36.288 3 42.024 6 84.048

12 12.096 37 37.296 Sulfur

13 13.104 38 38.304 S 32.066 3 96.198

14 14.112 39 39.312 2 64.132 4 128.264

15 15.120 40 40.320

16 16.128 41 41.328 Chlorine

17 17.136 42 42.336 Cl 35.457 4 141.828

18 18.144 43 43.344 2 70.914 5 177.285

19 19.152 44 44.352 3 106.371 6 212.742

20 20.160 45 45.360 _R_{m m ι}_n

21 21.168 46 46.368

22 22.176 47 47.376 Br 79.916 4 319.664

23 23.184 48 48.384 2 159.832 5 399.580

24 24.192 49 49.392 3 239.748 6 479.496

25 25.200 50 50.400 Fluorine

Carbon F 19.000 3 57.000

C 12.011 21 252.231 2 38.000 4 76.000

2 24.022 22 264.242 Iodine

3 36.033 23 276.253 I 126.91 4 507.64

4 48.044 24 288.264 2 253.82 5 634.55

5 60.055 25 300.275 3 380.73 6 761.46

6 72.066 26 312.286 3 380.73

7 84.077 27 324.297 Sodium

8 96.088 28 336.308 Na 22.991 3 68.973

9 108.099 29 348.319 2 45.982 4 91.964

10 120.110 30 360.330 Potassium

11 132.121 31 372.341

12 144.132 32 384.352 K 39.100 3 117.300

13 156.143 33 396.363 2 78.200 4 156.400

14 168.154 34 408.374 Calcium

15 180.165 35 420.385 Ca 40.08 3 120.24

16 192.176 36 432.396 2 80.16

17 204.187 37 444.407 80.16

18 216.198 38 456.418 Barium

19 228.209 39 468.429 Ba 137.36 3 412.08

20 240.220 40 480.440 2 274.72

(9)

573 Atomic and Molecular Weights

T A B L E 42 (Continued)

Phosphorus Acetyl

Ρ 30.975 3 92.925 C H³C O 43.046 4 172.184

2 61.950 4 123.900 2 86.092 5 215.230

3 129.138 6 258.276

Arsenic Formyl

As 74.91 3 224.73 HCO 29.019 3 87.057

2 149.82 2 58.038

Silver Methoxyl

Ag 107.880 3 323.640 O C H³ 31.035 4 124.140

2 215.760 2 62.070 5 155.175

3 93.105 6 186.210

Carboxyl Ethoxyl

COOH 45.019 4 180.076 O C2H5 45.062 4 180.248

2 90.038 5 225.095 2 90.124 5 225.310

3 135.057 6 270.114 3 135.186 6 270.372

(10)

T A B L E 4 3

NITROGEN REDUCTION T A B L E *

At standard temperature and pressure ( 0 ° C , 760 mm.), 1 ml. of nitrogen weighs 1.2505 mg. The following table gives the logarithm of the weight of 1 ml. of nitrogen at a temperature of t° C. and a pressure of p mm. (Taken from Niederl and N i e d e r l .⁹'^{1 0})

t° V =690 691 692 693 694 t° ρ =695 696 697 698 699 10 03 946 04 009 04 072 04 135 04197 10 04 260 04 322 04 385 04 447 04 509 11 03 793 03 856 03 919 03 982 04 044 11 04 107 04 169 04 232 04 294 04 356 12 03 640 03 703 03 766 03 829 03 891 12 03 954 04 016 04079 04 141 04203 13 03 488 03 551 03 614 03 677 03 739 13 03 802 03 864 03 927 03 989 04051 14 03 336 03 399 03 462 03 525 03 587 14 03 650 03 712 03 775 03 837 03 899 15 03184 03 247 03 310 03 373 03 435 15 03 498 03 560 03 623 03 685 03 747 16 03 033 03 096 03159 03 222 03 284 16 03 347 03 409 03 472 03 534 03 596 17 02 883 02 946 03 009 03 072 03 134 17 03 197 03 259 03 322 03 384 03 446 18 02 733 02 796 02 859 02 922 02 984 18 03 047 03 109 03172 03 234 03 296 19 02 584 02 647 02 710 02 773 02 835 19 02 898 02 960 03 023 03 085 03147 20 02 435 02 498 02 561 02 624 02 686 20 02 749 02 811 02 874 02 936 02 998 21 02 287 02 350 02 413 02 476 02 538 21 02 601 02 663 02 726 02 788 02 850 22 02 139 02 202 02 265 02 328 02 390 22 02 453 02 515 02 578 02 640 02 702 23 01 992 02 055 02118 02 181 02 243 23 02 306 02 368 02 431 02 493 02 555 24 01 846 01 909 01 972 02 035 02 097 24 02 160 02 222 02 285 02 347 02 409 25 01 700 01 763 01 826 01 889 01 951 25 02 014 02 076 02139 02 201 02 263 26 01 555 01 618 01 681 01 744 01 806 26 01 869 01 931 01 994 02 056 02118 27 01 410 01 473 01 536 01 599 01 661 27 01 724 01 786 01 849 01 911 01 973 28 01 266 01 329 01 392 01 455 01 517 28 01 580 01 642 01 705 01767 01 829 29 01122 01185 01 248 01 311 01 373 29 01436 01 498 01 561 01 623 01 683 30 00 979 01 042 01105 01168 01 230 30 01 293 01 355 01418 01 480 01 540 31 00 836 00 899 00 962 01 025 01087 31 01150 01 212 01 275 01 337 01 397 32 00 694 00 757 00 820 00 883 00 945 32 01 008 01 070 01133 01195 01 255 33 00 552 00 615 00 678 00 741 00 803 33 00 866 00 928 00 991 01 053 01113 34 00 411 00 474 00 537 00 600 00 662 34 00 725 00 787 00 850 00 912 00 972 35 00 270 00 333 00 396 00 459 00 521 35 00 584 00 646 00 709 00 771 00 831 36 00130 00193 00 256 00 319 00 381 36 00 444 00 506 00 569 00 631 00 691

* The logarithms up to and including 24° C. were taken from Kiister-Thiel, "Log- arithmische Rechentafeln fur Chemiker," de Gruyter, Berlin, and Leipzig, 1935, and the logarithms from 25° up to and including 36° C. were interpolated.

(11)

575 Calculations

NITROGEN REDUCTION T A B L E (Continued)

At standard temperature and pressure ( 0 ° C , 7 6 0 m m . ) , 1 ml. of nitrogen weighs 1.2505 mg. The following table gives the logarithm of the weight of 1 ml. of nitrogen at a temperature of t° C. and a pressure of p mm. (Taken from Niederl and N i e d e r l .⁹-^{1 0})

t° ρ =700 701 702 703 704 t° ρ =705 706 707 708 709 10 04 571 04 633 04 695 04 757 04 819 10 04 880 04 942 05 003 05 065 05 126 11 04 418 04 480 04 542 04 604 04 666 11 04 727 04 789 04 850 04 912 04 973 12 04 265 04 327 04 389 04 451 04 513 12 04 574 04 636 04 697 04 759 04 820 13 04113 04175 04 237 04 299 04 361 13 04 422 04 484 04 545 04 607 04668 14 03 961 04 023 04 085 04 147 04 209 14 04 270 04 332 04 393 04 455 04 516 15 03 809 03 871 03 933 03 995 04 057 15 04118 04180 04 241 04 303 04 364 16 03 658 03 720 03 782 03 844 03 906 16 03 967 04 029 04 090 04152 04 213 17 03 508 03 570 03 632 03 694 03 756 17 03 817 03 879 03 940 04002 04 063 18 03 358 03 420 03 482 03 544 03 606 18 03 667 03 729 03 790 03 852 03 913 19 03 209 03 271 03 333 03 395 03 457 19 03 518 03 580 03 641 03 703 03 764 20 03 060 03 122 03 184 03 246 03 308 20 03 369 03 431 03 492 03 554 03 615 21 02 912 02 974 03 036 03 098 03 160 21 03 221 03 283 03 344 03 406 03 467 22 02 764 02 826 02 888 02 950 03 012 22 03 073 03 135 03 196 03 258 03 319 23 02 617 02 679 02 741 02 803 02 865 23 02 926 02 988 03 049 03111 03 172 24 02 471 02 533 02 595 02 657 02 719 24 02 780 02 842 02 903 02 965 03 026 25 02 325 02 387 02 449 02 511 02 573 25 02 634 02 696 02 757 02 819 02 880 26 02 180 02 242 02 304 02 366 02 428 26 02 489 02 551 02 612 02 674 02 735 27 02 035 02 097 02159 02 221 02 283 27 02 344 02 406 02 467 02 529 02 590 28 01 891 01 953 02 015 02 077 02 139 28 02 200 02 262 02 323 02 385 02 446 29 01 747 01 809 01 871 01 933 01995 29 02 056 02 118 02 179 02 241 02 302 30 01 604 01666 01 728 01 790 01 852 30 01913 01 975 02 036 02 098 02 159 31 01 461 01 523 01 585 01647 01 709 31 01 770 01 832 01 893 01 955 02 016 32 01 319 01381 01 443 01 505 01 567 32 01 628 01 690 01 751 01 813 01 874 33 01177 01 239 01 301 01 363 01425 33 01 486 01 548 01 609 01 671 01 732 34 01 036 01098 01160 01 222 01 284 34 01 345 01407 01 468 01 530 01 591 35 00 895 00 957 01019 01 081 01143 35 01205 01 267 01 327 01 389 01 450 36 00 755 00 817 00 879 00 941 01 003 36 01065 01127 01 187 01 249 01310

(12)

NITROGEN REDUCTION T A B L E {Continued)

At standard temperature and pressure ( 0 ° C , 7 6 0 mm.), 1 ml. of nitrogen weighs 1.2505 mg. The following table gives the logarithm of the weight of 1 ml. of nitrogen at a temperature of t° C. and a pressure of p mm. (Taken from Niederl and N i e d e r l .⁹-^{3 0})

t° p=710 711 712 713 714 t° p=715 716 717 718 719 10 05 189 05 250 05 311 05 372 05 433 10 05 494 05 554 05 615 05 675 05 736 11 05 035 05 096 05 157 05 218 05 279 11 05 340 05 400 05 461 05 521 05 582 12 04 882 04 943 05 004 05 065 05 126 12 05 187 05 247 05 308 05 368 05 429 13 04 730 04 791 04 852 04 913 04 974 13 05 035 05 095 05 156 05 216 05 277 14 04 578 04 639 04 700 04 761 04 822 14 04 883 04 943 05004 05 064 05125 15 04 427 04 488 04 549 04 610 04 671 15 04 732 04 792 04 853 04 913 04 974 16 04 276 04 337 04398 04 459 04 520 16 04 581 04 641 04 702 04 762 04 823 17 04126 04187 04 248 04 309 04 370 17 04 431 04 491 04 552 04 612 04 673 18 03 976 04 037 04098 04159 04 220 18 04281 04 341 04 402 04462 04 523 19 03 827 03 888 03 949 04010 04 071 19 04 132 04192 04 253 04 313 04 374 20 03 678 03 739 03 800 03 861 03 922 20 03 983 04 043 04 104 04 164 04 225 21 03 530 03 591 03 652 03 713 03 774 21 03 835 03 895 03 956 04 016 04 077 22 03 382 03 443 03 504 03 565 03 626 22 03 687 03 747 03 808 03 868 03 929 23 03 235 03 296 03 357 03 418 03 479 23 03 540 03 600 03 661 03 721 03 782 24 03 088 03149 03 210 03 271 03 332 24 03 393 03 453 03 514 03 574 03 635 25 02 942 03 003 03 064 03125 03 186 25 03 247 03 307 03 368 03 428 03 489 26 02 797 02 858 02 919 02 980 03 041 26 03 102 03 162 03 223 03 283 03 344 27 02 652 02 713 02 774 02 835 02 896 27 02 957 03017 03 078 03 138 03 199 28 02 508 02 569 02 630 02 691 02 752 28 02 813 02 873 02 934 02 994 03 055 29 02 364 02 425 02 486 02 547 02 608 29 02 669 02 729 02 790 02 850 02 911 30 02 221 02 282 02 343 02 404 02 465 30 02 526 02 586 02 647 02 707 02 768 31 02 078 02 139 02 203 02 261 02 322 31 02 383 02 443 02 504 02 564 02 625 32 01 936 01 997 02 061 02119 02 180 32 02 241 02 301 02 362 02 422 02 483 33 01 794 01 855 01 919 01 977 02 038 33 02 099 02159 02 220 02 280 02 341 34 01 653 01 714 01 778 01 836 01 897 34 01 958 02 018 02 079 02 139 02 200 35 01 512 01 573 01 637 01 695 01 756 35 01 817 01 877 01 938 01 998 02 059 36 01 372 01 433 01 497 01 555 01 616 36 01677 01 737 01 798 01 858 01 919

(13)

At standard temperature and pressure ( 0 ° C , 760 mm.), 1 ml. of nitrogen weighs 1.2505 mg. The following table gives the logarithm of the weight of 1 ml. of nitrogen at a temperature of t° C. and a pressure of p mm. (Taken from Niederl and N i e d e r l .9-1 0)

t° ρ = 720 721 722 723 724 t° ρ = 725 726 727 728 729 10 05 796 05 857 05 917 05 977 06 037 10 06 097 06 157 06 216 06 276 06 336 11 05 642 05 703 05 763 05 823 05 883 11 05 943 06 003 06 062 06 122 06 182 12 05 489 05 550 05 610 05 670 05 730 12 05 790 05 850 05 909 05 969 06 029 13 05 337 05 398 05 458 05 518 05 578 13 05 638 05 698 05 757 05 817 05 877 14 05185 05 246 05 306 05 366 05 426 14 05 486 05 546 05 605 05 665 05 725 15 05 034 05 095 05 155 05 215 05 275 15 05335 05 395 05 454 05 514 05 574 16 04 883 04 944 05 004 05 064 05124 16 05 184 05 244 05 303 05 363 05 423 17 04 733 04 794 04 854 04 914 04 974 17 05 034 05 094 05153 05 213 05 273 18 04 583 04 644 04 704 04 764 04 824 18 04 884 04 944 05 003 05 063 05 123 19 04 434 04 495 04 555 04 615 04 675 19 04 735 04 795 04 854 04 914 04 974 20 01285 04 346 04 406 04 466 04 526 20 04 586 04 646 04 705 04 765 04 825 21 04137 04198 04 258 04 318 04 378 21 04 438 04 498 04 557 04 617 04 677 22 03 989 04 050 04110 04 170 04 230 22 04 290 04 350 04 409 04 469 04 529 23 03 842 03 903 03 963 04 023 04083 23 04143 04 203 04 262 04 322 04 382 24 03 695 03 756 03 816 03 876 03 936 24 03 996 04 056 04115 04 175 04 235 25 03 549 03 610 03 670 03 730 03 790 25 03 850 03 910 03 969 04 029 04089 26 03 404 03 465 03 525 03 585 03 645 26 03 705 03 765 03 824 03 884 03 944 27 03 259 03 320 03 380 03 440 03 500 27 03 560 03 620 03 679 03 739 03 799 28 03115 03176 03 236 03 296 03 356 28 03 416 03 476 03 535 03 595 03 655 29 02 971 03 032 03 092 03152 03 212 29 03 272 03 332 03 391 03 451 03 511 30 02 828 02 889 02 949 03 009 03 069 30 03 129 03 189 03 248 03 308 03 368 31 02 685 02 746 02 806 02 866 02 926 31 02 986 03 046 03105 03 165 03 225 32 02 543 02 604 02 664 02 724 02 784 32 02 844 02 904 02 963 03 023 03 083 33 02 401 02 462 02 522 02 582 02 642 33 02 702 02 762 02 821 02 881 02 941 34 02 260 02 321 02 381 02 441 02 501 34 02 561 02 621 02 680 02 740 02 800 35 02119 02 180 02 240 02 300 02 360 35 02 420 02 480 02 539 02 599 02 659 36 01 979 02 040 02 100 02 160 02 220 36 02 280 02 340 02 399 02 459 02 519

(14)

t° ρ = 730 731 732 733 734 t° ρ = 735 736 737 738 739 10 06 395 06 455 06 514 06 573 06 633 10 06 692 06 751 06 810 06 869 06 927 11 06 241 06 301 06 360 06 419 06 479 11 06 538 06 597 06 656 06 715 06 773 12 06 088 06 148 06 207 06 266 06 326 12 06 385 06 444 06 503 06 562 06 620 13 05 936 05 996 06 055 06114 06174 13 06 233 06 292 06 351 06 410 06 468 14 05 784 05 844 05 903 05 962 06 022 14 06 081 06 140 06199 06 258 06 316 15 05 633 05 693 05 752 05 811 05 871 15 05 930 05 989 06 048 06 107 06 165 16 05 482 05 542 05 601 05 660 05 720 16 05 779 05 838 05 897 05 956 06 014 17 05 332 05 392 05 451 05 510 05 570 17 05 629 05 688 05 747 05 806 05 864 18 05 182 05 242 05 301 05 360 05 420 18 05 479 05 538 05 597 05 656 05 714 19 05 033 05 093 05152 05 211 05 271 19 05 330 05 389 05 448 05 507 05 565 20 04 884 04 944 05 003 05 062 05 122 20 05181 05 240 05 299 05 358 05 416 21 04 736 04 796 04 855 04 914 04 974 21 05 033 05 092 05 151 05 210 05 268 22 04 588 04 648 04 707 04 766 04 826 22 04 885 04 944 05 003 05 062 05120 23 04 441 04 501 04 560 04 619 04 679 23 04 738 04 797 04 856 04 915 04 973 24 04 294 04 354 04 413 04 472 04 532 24 04 591 04 650 04 709 04 768 04 826 25 04148 04 208 04 267 04 32G 04 386 25 04 445 04 504 04 563 04 622 04 680 26 04 003 04 063 04122 04181 04 241 26 04 300 04 359 04 418 04 477 04 535 27 03 858 03 918 03 977 04 036 04 096 27 04155 04 214 04 273 04 332 04 390 28 03 714 03 774 03 833 03 892 03 952 28 04 011 04 070 04 129 04188 04 246 29 03 570 03 630 03 689 03 748 03 808 29 03 867 03 926 03 985 04 044 04 102 30 03 427 03 487 03 546 03 605 03 665 30 03 724 03 783 03 842 03 901 03 959 31 03 284 03 344 03 403 03 462 03 522 31 03 581 03 640 03 699 03 758 03 816 32 03 142 03 202 03 261 03 320 03 380 32 03 439 03 498 03 557 03 616 03 674 33 03 000 03 060 03119 03178 03 238 33 03 297 03 356 03 415 03 474 03 532 34 02 859 02 919 02 978 03 037 03 097 34 03156 03 215 03 274 03 333 03 391 35 02 718 02 778 02 837 02 896 02 956 35 03 015 03 074 03 133 03 192 03 250 36 02 578 02 638 02 697 02 756 02 816 36 02 875 02 934 02 993 03 052 03110

(15)

t° ρ = 7 4 0 741 742 743 744 t° ρ = 7 4 5 746 747 748 749 10 06 986 07 045 07 103 07 162 07 220 10 07 279 07 337 07 395 07 4 5 3 07 511 11 06 832 06 891 06 949 0 7 0 0 8 07 066 11 07 125 0 7 1 8 3 07 241 07 299 07 357 12 06 679 06 738 06 796 06 855 06 913 12 06 972 07 030 07 088 07 146 07 204 13 06 527 06 586 06 644 06 703 06 761 13 06 820 06 878 06 936 06 9 9 4 07 052 14 06 375 06 434 06 492 06 551 06 609 14 06 668 06 726 06 784 06 842 06 900 15 06 224 06 283 06 341 06 400 06 458 15 06 517 06 575 06 633 06 691 06 749 16 06 073 06 132 0 6 1 9 0 06 249 06 307 16 06 366 06 424 06 482 06 540 06 598 17 05 923 05 982 06 0 4 0 06 0 9 9 06 157 17 06 216 06 274 06 332 06 390 06 4 4 8 18 05 773 05 832 05 890 05 949 06 007 18 06 066 0 6 1 2 4 06 182 06 240 06 298 19 05 624 05 683 05 741 05 800 05 858 19 05 917 0 5 975 06 033 06 091 06 149 20 05 475 05 534 05 592 05 651 05 709 20 05 768 05 826 05 884 05 942 06 000 21 05 327 05 386 05 444 05 503 05 561 21 05 620 0 5 678 05 736 05 794 05 852 22 0 5 1 7 9 05 238 05 296 05 355 05 413 22 05 472 05 530 05 588 05 646 05 704 23 05 032 05 091 05 149 05 208 05 266 23 05 325 05 383 05 441 05 499 05 557 2 4 04 885 04 944 05 002 05 061 0 5 1 1 9 24 05 178 05 236 0 5 294 05 352 05 410 25 04 739 04 798 04 856 04 915 04 973 25 05 032 05 090 05 148 05 206 05 264 26 04 594 04 653 04 711 04 770 04 828 26 04 887 04 945 05 003 05 061 0 5 1 1 9 27 04 449 04 508 04 566 04 625 04 683 27 04 742 04 800 04 858 04 916 04 974 2 8 04 305 0 4 3 6 4 0 4 422 0 4 481 0 4 539 28 0 4 598 04 656 04 714 04 772 04 830 29 04 161 04 220 04 278 04 337 04 395 29 0 4 4 5 4 04 512 04 570 0 4 628 04 686 30 0 4 0 1 8 0 4 0 7 8 04 135 0 4 1 9 4 04 252 30 04 311 04 369 04 428 04 485 04 543 31 03 875 03 935 03 992 04 051 04 109 31 0 4 1 6 8 0 4 226 04 285 04 342 04 400 32 03 733 03 793 03 850 03 909 03 967 32 04 026 0 4 084 0 4 1 4 3 0 4 200 0 4 2 5 8 33 03 591 03 651 03 708 03 767 03 825 33 03 884 03 942 04 001 04 058 0 4 1 1 6 34 03 450 03 510 03 567 03 626 03 684 34 03 743 03 801 03 860 03 917 03 975 35 03 309 03 369 03 426 03 485 03 543 35 03 602 03 660 03 719 03 776 03 8 3 4 36 03 169 03 229 03 286 03 345 03 403 36 03 462 03 520 03 579 03 636 03 694

(16)

At standard temperature and pressure ( 0 ° C , 7 6 0 mm.), 1 ml. of nitrogen weighs 1.2505 mg. The following table gives the logarithm of the weight of 1 ml. of nitrogen at a temperature of t° C. and a pressure of p mm. (Taken from Niederl and Niederl.9»1 0)

t° ρ = 7 5 0 751 752 753 754 t° ρ = 7 5 5 756 757 758 759 10 07 569 07 627 07 685 07 742 07 800 10 07 858 07 915 07 973 08 030 08 087 11 07 415 07 473 07 531 07 588 07 646 11 07 704 07 761 07 819 07 876 07 933 12 07 262 07 320 07 378 07 435 07 493 12 07 551 07 608 07 666 07 723 07 780 13 0 7 1 1 0 07 168 07 226 07 283 07 341 13 07 399 07 456 07 514 07 571 07 628 14 06 958 07 016 07 074 07 131 0 7 1 8 9 14 07 247 07 304 07 362 07 419 07 476 15 06 807 06 865 06 923 06 980 07 038 15 07 096 0 7 1 5 3 07 211 07 268 0 7 3 2 5 16 06 656 06 714 06 772 06 829 06 887 16 06 945 07 002 0 7 0 6 0 0 7 1 1 7 0 7 1 7 4 17 06 506 06 564 06 622 06 679 06 737 17 06 795 06 852 06 910 06 967 07 024 18 06 356 06 414 06 472 06 529 06 587 18 06 645 06 702 06 760 06 817 06 874 19 06 207 06 265 06 323 06 380 06 438 19 06 496 06 553 06 611 06 668 06 725 20 06 058 0 6 1 1 6 06 174 06 231 06 289 20 06 347 06 404 06 462 06 519 06 576 21 05 910 05 968 06 026 06 083 06 141 21 06 199 06 256 06 314 06 371 06 428 22 05 762 05 820 05 878 05 935 05 993 22 06 051 06 108 06 166 06 223 06 280 23 05 615 05 673 05 731 05 788 05 846 23 05 904 05 961 06 019 06 076 06 133 24 05 468 05 526 05 584 05 641 05 699 24 05 757 05 814 05 872 05 929 05 986 25 05 322 05 380 05 438 05 495 05 553 25 05 611 05 668 05 726 05 783 05 840 26 05 177 05 235 05 293 05 350 05 408 26 05 466 05 523 05 581 05 638 05 695 27 05 032 05 090 05 148 05 205 05 263 27 05 321 05 378 05 436 05 493 05 550 28 04 888 04 946 05 004 05 061 0 5 1 1 9 28 05 177 05 234 05 292 05 349 05 406 29 04 744 04 802 04 860 04 917 04 975 29 05 033 05 090 05 148 05 205 05 262 30 04 601 04 659 04 717 04 774 04 832 30 04 890 04 947 05 005 05 062 0 5 1 1 9 31 0 4 4 5 8 04 516 04 574 04 631 04 689 31 04 747 04 804 04 862 04 919 04 976 32 04 316 04 374 04 432 04 489 04 547 32 04 605 04 662 04 720 04 777 04 834 33 0 4 1 7 4 04 232 04 290 04 347 04 405 33 04 463 04 520 04 578 04 635 04 692 34 04 033 04 091 04 149 04 206 04 264 34 04 322 04 379 04 437 04 494 04 551 35 03 892 03 950 04 008 04 065 0 4 1 2 3 35 0 4 1 8 1 04 238 04 296 04 353 04 410 36 03 752 03 810 03 868 03 925 03 983 36 04 041 04 098 0 4 1 5 6 04 213 04 270

r

(17)

At standard temperature and pressure ( 0 ° C , 760 mm.), 1 ml. of nitrogen weighs 1.2505 mg. The following table gives the logarithm of the weight of 1 ml. of nitrogen at a temperature of f C. and a pressure of p mm. (Taken from Niederl and N i e d e r l .⁹-^{1 0})

t° ρ = 7 6 0 761 762 763 764 t° ρ = 7 6 5 766 767 768 769 10 08 144 08 201 08 258 08 315 08 372 10 08 429 08 486 08 543 08 599 08 656 11 07 990 08 047 08 104 0 8 1 6 1 08 218 11 08 275 08 332 08 389 08 445 08 502 12 07 837 0 7 8 9 4 07 951 08 008 08 065 12 08 122 0 8 1 7 9 08 236 08 292 08 349 13 07 685 07 742 07 799 0 7 8 5 6 07 913 13 07 970 08 027 08 084 08 140 0 8 1 9 7 14 07 533 07 590 07 647 07 704 07 761 14 07 818 07 875 07 932 07 988 08 045 15 07 382 07 439 07 496 07 553 0 7 6 1 0 15 07 667 07 724 07 781 07 837 07 894 16 07 231 07 288 07 345 07 402 07 459 16 07 516 07 573 07 630 07 686 07 743 17 07 081 07 138 07 195 0 7 2 5 2 07 309 17 07 366 07 423 07 480 07 536 07 593 18 06 931 06 988 0 7 0 4 5 07 102 0 7 1 5 9 18 07 216 07 273 07 330 07 386 07 443 19 06 782 06 839 06 896 06 953 0 7 0 1 0 19 07 067 07 124 0 7 1 8 1 07 237 07 294 20 06 633 06 690 06 747 06 804 06 861 20 06 918 06 975 07 032 07 088 0 7 1 4 5 21 06 485 06 542 06 599 06 656 06 713 21 06 770 06 827 06 884 06 940 06 997 22 06 337 06 394 06 451 06 508 06 565 22 06 622 06 679 06 736 06 792 06 849 23 06 190 06 247 06 304 06 361 06 418 23 06 475 06 532 06 589 06 645 06 702 24 06 043 06 100 0 6 1 5 7 06 214 06 271 24 06 328 06 385 06 442 06 49S 06 555 25 05 897 05 954 06 011 06 0 6 8 0 6 1 2 5 25 06 182 06 239 06 296 06 352 06 409 26 05 752 05 809 05 866 05 923 05 980 26 06 037 06 094 0 6 1 5 1 06 207 06 264 27 05 607 05 664 05 721 05 778 05 835 27 05 892 05 949 06 006 06 062 0 6 1 1 9 28 05 463 05 520 05 577 05 634 05 691 28 05 748 05 805 05 862 05 918 05 975 29 05 319 05 376 05 433 05 490 05 547 29 05 604 05 661 05 718 05 774 05 831 30 0 5 1 7 6 05 233 05 290 05 347 05 404 30 05 461 05 518 05 575 05 631 05 688 31 05 033 05 090 05 147 05 204 05 261 31 05 318 05 375 05 432 05 488 05 545 32 04.891 04 948 05 005 05 062 0 5 1 1 9 32 0 5 1 7 6 05 233 05 290 05 346 05 403 33 04 749 04 806 04 863 04 920 04 977 33 05 034 05 091 05 148 05 204 05 261 34 04 608 04 665 04 722 04 779 0 4 836 34 04 893 04 950 05 007 05 063 05 120 35 04 467 04 524 04 581 04 638 04 695 35 04 752 04 809 04 866 04 922 04 979 36 04 327 0 4 384 04 441 04 498 04 555 36 04 612 04 669 04 726 04 782 04 839

(18)

At standard temperature and pressure ( 0 ° C , 760 mm.), 1 ml. of nitrogen weighs 1.2505 mg. The following table gives the logarithm of the weight of 1 ml. of nitrogen at a temperature of t° C. and a pressure of p mm. (Taken from Niederl and N i e d e r l .⁹-^{1 0})

t° ρ =770 771 772 773 774 t° ρ = 7 7 5 776 777 778 779 10 08 712 08 768 08 825 08 881 08 937 10 08 993 09 049 09 105 09 161 09 217 11 08 558 08 614 08 671 08 727 08 783 11 08 839 08 895 08 951 09 007 09 063 12 08 405 08 461 08 518 08 574 08 630 12 08 686 08 742 08 798 08 854 08 910 13 08 253 08 309 08366 08422 08 478 13 08 534 08 590 08 646 08 702 08 758 14 08 101 08157 08 214 08 270 08 326 14 08 382 08 438 08 494 08 550 08 606 15 07 949 08 005 08 062 08118 08 174 15 08 230 08 286 08 342 08 398 08 454 16 07 798 07 854 07 911 07 967 08023 16 08 079 08 135 08191 08 247 08303 17 07648 07 704 07 761 07 817 07873 17 07 929 07 985 08 041 08 097 08 153 18 07 498 07 554 07 611 07 667 07 723 18 07 779 07 835 07891 07 947 08 003 19 07 349 07 405 07 462 07 518 07574 19 07 630 07686 07 742 07 798 07 854 20 07 200 07 256 07 313 07 369 07425 20 07 481 07 537 07 593 07 649 07 705 21 07052 07 108 07 165 07 221 07 277 21 07 333 07 389 07 445 07 501 07 557 22 06 904 06 960 07 017 07 073 07 129 22 07185 07 241 07 297 07 353 07 409 23 06 757 06 813 06 870 06 926 06 982 23 07038 07094 07150 07206 07 262 24 06 611 06 667 06 724 06 780 06 836 24 06 892 06 948 07004 07 060 07116 25 06 464 06 523 06 578 06 634 06 690 25 06 746 06 802 06 858 06 914 06 970 26 06 320 06 378 06 433 06 489 06 545 26 06 601 06657 06 713 06 769 06 825 27 06175 06 233 06 288 06 344 06 400 27 06 456 06 512 06 568 06 624 06 680 28 06 031 06 089 06 144 06 200 06 256 28 06 312 06 368 06 424 06 480 06 536 29 05 887 05 945 06 000 06 056 06112 29 06 168 06 224 06 280 06 336 06 392 30 05 744 05 802 05 857 05913 05 969 30 06 025 06 081 06 137 06193 06 249 31 05601 05 659 05 714 05 770 05 826 31 05 882 05 938 05 994 06 050 06 106 32 05 459 05 517 05 573 05 628 05 684 32 05 740 05 796 05 852 05 908 05 964 33 05 317 05 375 05 431 05 486 05 542 33 05 598 05 654 05 710 05 756 05 822 34 05 176 05 234 05 290 05 345 05401 34 05 457 05 513 05 569 05 615 05 681 35 05 035 05 093 05 149 05 204 05 260 35 05 316 05 372 05 428 05 474 05 540 36 04 895 04 953 05 009 05 064 05 120 36 05 176 05 232 05 288 05 334 05 400

(19)

At standard temperature and pressure ( 0 ° C , 760 mm.), 1 ml. of nitrogen weighs 1.2505 mg. The following table gives the logarithm of the weight of 1 ml. of nitrogen at a temperature of t° C. and a pressure of p mm. (Taken from Niederl and N i e d e r l .⁹-^{1 0})

t° ρ=780 781 782 783 784 t° ρ = 7 8 5 786 787 788 789 10 09 272 09 328 09 384 09 439 09 495 10 09 550 09 605 09 660 09 716 09 771 11 09118 09174 09 230 09 285 09 341 11 09 396 09 451 09 506 09 562 09 617 12 08 965 09 021 09 077 09132 09 188 12 09 243 09 298 09 353 09 409 09 464 13 08 813 08 869 08 925 08 980 09 036 13 09 091 09 146 09 201 09 257 09 312 14 08 661 08 717 08 773 08 828 08 884 14 08 939 08 994 09 049 09 105 09 162 15 08 509 08 565 08 621 08 676 08 732 15 08 787 08 842 08 897 08 953 09 008 16 08 358 08 414 08 470 08 525 08 581 16 08 636 08 691 08 746 08 802 08 857 17 08 208 08 264 08 320 08 375 08 431 17 08 486 08 541 08 596 08 652 08 707 18 08 058 08114 08170 08 225 08 281 18 08 336 08 391 08 446 08 502 08 557 19 07 909 07 965 08 021 08 076 08132 19 08 187 08 242 08 297 08 353 08 408 20 07 760 07 816 07872 07 927 07 983 20 08038 08 093 08 148 08 204 08 259 21 07 612 07 668 07 724 07 779 07 835 21 07 890 07 945 08000 08 056 08111 22 07 464 07 520 07 576 07 631 07 687 22 07 742 07 797 07 852 07 908 07 963 23 07 317 0«7 373 07 429 07 484 07 540 23 07 595 07 650 07 705 07 761 07 816 24 07 171 07 227 07 283 07 338 07 394 24 07 449 07 504 07 559 07 615 07 670 25 07 025 07 081 07137 07 192 07 248 25 07 303 07 358 07 413 07 469 07 524 26 06 880 06 936 06 992 07047 07 103 26 07158 07 213 07 268 07 324 07 379 27 06 735 06 771 06 847 06 902 06 958 27 07 013 07 068 07123 07179 07 234 28 06 591 06 627 06 703 06 758 06 814 28 06 869 06 924 06 979 07 035 07 090 29 06 447 06 483 06 559 06 614 06 670 29 06 725 06 780 06 835 06 891 06 946 30 06 304 06 340 06 416 06 471 06 527 30 06 582 06 637 06 692 06 748 06 803 31 06 161 06197 06 273 06 328 06 387 31 06 439 06 494 06 549 06 605 06 660 32 06 019 06 055 06 131 06 186 06 245 32 06 297 06 352 06 407 06 463 06 518 33 05 877 05 913 05 989 06 044 06 103 33 06155 06 210 06 265 06 321 06 376 34 05 736 05 772 05 848 05 903 05 962 34 06 014 06 069 06 124 06 180 06 235 35 05 595 05 631 05 707 05 762 05 821 35 05 873 05 928 05 983 06 039 06 094 36 05 455 05 491 05 567 05 622 05 681 36 05 733 05 78S 05 843 05 899 05 954

(20)

T A B L E 44

C O M M O N LOGARITHMS O F T H E N A T U R A L N U M B E R S

No.

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

I

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

)

1 4 0 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

00 000 00 043 00 087 00 130 00 173 00 432 00 475 00 518 00 561 00 604 00 860 00 903 00 945 00 988 01 030 01 284 01 326 01 368 01 410 01 452 01 703 01 745 01 787 01 828 01 870 02 119 02 160 02 202 02 243 02 284 02 531 02 572 02 612 02 653 02 694 02 938 02 979 03 019 03 060 03 100 03 342 03 383 03 423 03 463 03 503 03 743 03 782 03 822 03 862 03 902 04 139 04 179 04 218 04 258 04 297 04 532 04 571 04 610 04 650 04 689 04 922 04 961 04 999 05 038 05 077 05 308 05 346 05 385 05 423 05 461 05 690 05 729 05 767 05 805 05 843 06 070 06 108 06 145 06 183 06 221 06 446 06 483 06 521 06 558 06 595 06 819 06 856 06 893 06 930 06 967 07 188 07 225 07 262 07 298 07 335 07 555 07 591 07 628 07 664 07 700 07 918 07 954 07 990 08 027 08 063 08 279 08 314 08 350 08 386 08 422 08 636 08 672 08 707 08 743 08 778 08 991 09 026 09 061 09 096 09 132 09 342 09 377 09 412 09 447 09 482 09 691

10 037 10 380 10 721

09 726 09 760 09 795 09 830 10 072 10 106 10 140 10 175 10 415

10 755 10 449 10 789 10 483

10 823 11 059 11 093 11 126 11 160

10 517 10 857 11193 11 394 11 428 11 461 11 494 11 528 11 727 11 760 11 793 11 826 11 860 12 057 12 090 12 123 12 156 12 189 12 385 12 418 12 450 12 483 12 516 12 710 12 743 12 775 12 808 12 840 13 033

13 354 13 066

13 386 13 098 13 130 13 418 13 450 13 672 13 704 13 735 13 767 13 988 14 019 14 051 14 082 14 301 14 333 14 364 14 395

13 162 13 481 13 799 14 114 14 426 14 613 14 644 14 675 14 706 14 737 14 922 14 953 14 983 15 014 15 045 15 229 15 259 15 290 15 320 15 351 15 534 15 564 15 594 15 625 15 655 15 836 15 866 15 897 15 927 15 957 16 137

16 435 16 732 17 026 17 319

16 167 16 465 16 761 17 056 17 348

16 227 16 524 16 256

16 554 16 197

16 495 16 791 17 085

17 377 17 406 17 435 16 820 16 850 17 114 17 143 17 609 17 638 17 667 17 696 17 725

00 217 00 260 00 303 00 346 00 389 00 647 00 689 00 732 00 775 00 817 01 072 01 115 01 157 01 199 01 242 01 494 01 536 01 578 01 620 01 662 01 912 01 953 01 995 02 036 02 078 02 325 02 366 02 407 02 449 02 490 02 735 02 776 02 816 02 857 02 898 03 141 03 181 03 222 03 262 03 302 03 543 03 583 03 623 03 663 03 703 03 941 03 981 04 021 04 060 04 100 04 336 04 376 04 415 04 454 04 493 04 727 04 766 04 805 04 844 04 883 05 115 05 154 05 192 05 231 05 269 05 500 05 538 05 576 05 614 05 652 05 881 05 918 05 956 05 994 06 032 06 258 06 296 06 333 06 371 06 408 06 633 06 670 06 707 06 744 06 781 07 004 07 041 07 078 07 115 07 151 07 372 07 408 07 445 07 482 07 518 07 737 07 773 07 809 07 846 07 882 08 099 08 135 08 171 08 207 08 243 08 458 08 493 08 529 08 565 08 600 08 814 08 849 08 884 08 920 08 955 09 167 09 202 09 237 09 272 09 307 09 517 09 552 09 587 09 621 09 656 09 864 09 899 09 934 09 968 10 209 10 243 10 278 10 312 10 551 10 585

10 890 10 924 10 619 10 958 10 653

10 992 11 227 11 261 11 294 11 327

10 003 10 346 10 687 11025 11361 11 561 11 594 11 628 11 661 11 893 11 926 11 959 11 992 12 222

12 548 12 872

12 254 12 581 12 905

12 287 12 613 12 937

11 694 12 024 12 320 12 352 12 646 12 678 12 969 13 001 13 194 13 226 13 258 13 290 13 322 13 513 13 545 13 577 13 609 13 640 13 830 13 862 13 893 13 925 13 956 14 145 14 176 14 208 14 239 14 270 14 457 14 489 14 520 14 551 14 582 14 768

15 076 15 381 15 685 15 987

14 799 14 829 15 106 15 137 15 412 15 442 15 715 15 746 16 017 16 047

14 860 15 168 15 473 15 776 16 077 16 286 16 316

16 584 16 613 16 879 17 173 17 464

16 909 17 202 17 493

16 346 16 376 16 643 16 673 16 938 16 967 17 231 17 522

14 891 15 198 15 503 15 806 16 107 16 406 16 702 16 997 17 260 17 289 17 551 17 580 17 754 17 782 17 811 17 840 17 869

(21)

C O M M O N LOGARITHMS O F T H £ N A T U R A L N U M B E R S (Continued)

No.

150

1

151 152 154 153 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

I

182 181 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

17 609 17 898 18 184 18 469

18 752 18 780 18 808 17 638 17 667 17 926 17 955 18 213 18 241 18 498 18 526

17 696 17 984 18 270

17 725 18 013 18 298

19 033 19 312 19 590 19 866

19 061 19 340 19 089

19 368

18 554 18 583 18 837 18 865 19 117 19 145 19 396 19 424 19 618 19 645

19 893 19 921 19 673 19 948 19 700

19 976 20 140 20 167 20 194 20 222 20 249 20 412 20 439 20 466 20 493 20 520 20 683 20 710 20 737 20 763 20 790 20 952 20 978 21 005 21 032 21 059 21 219 21 245 21 272 21 299 21 325 21 484 21 511 21 537 21 564 21 590 21 748 21 775 21 801 21 827 21 854 22 011 22 037 22 063 22 089 22 115 22 272 22 298 22 324 22 350 22 376 22 531 22 557 22 583 22 608 22 634 22 789 22 814 22 840 22 866 22 891 23 045 23 070 23 096 23 121 23 147 23 300 23 325 23 350 23 376 23 401 23 553 23 578 23 603 23 629 23 654 23 805 23 830 23 855 23 880 23 905 24 055 24 080 24 105 24 130 24 155 24 304 24 329 24 353 24 378 24 403 24 551 24 576 24 601 24 625 24 650 24 797 24 822 24 846 24 871 24 895 25 042 25 066 25 091 25 115 25 139 25 285 25 310 25 334 25 358 25 382 25 527 25 551 25 575 25 600 25 624 25 768 25 792 25 816 25 840 25 864 26 007 26 031 26 055 26 079 26 102 26 245 26 269 26 293 26 316 26 340 26 482 26 505 26 529 26 553 26 576 26 717 26 741 26 764 26 788 26 811 26 951 26 975 26 998 27 021 27 045 27 184 27 207 27 231 27 254 27 277 27 416 27 439 27 462 27 485 27 508 27 646 27 669 27 692 27 715 27 738 27 875 27 898 27 921 27 944 27 967 28 103 28 126 28 149 28 171 28 194 28 330 28 353 28 375 28 398 28 421 28 556 28 578 28 601 28 623 28 646 28 780 28 803 28 825 28 847 28 870 29 003 29 026 29 048 29 070 29 092 29 226 29 248 29 270 29 292 29 314 29 447 29 469 29 491 29 513 29 535 29 667 29 688 29 710 29 732 29 754 29 885 29 907 29 929 29 951 29 973 30 103 30 125 30 146 30 168 30 190

6 8

17 754 18 041 18 327 18 611 18 893

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(22)

C O M M O N LOGARITHMS O F T H E N A T U R A L N U M B E R S (Continued)

No. 3 6 8

2 0 0 30 103 30 125 30 146 30 168 30 190 201 30 320 30 341 30 363 30 384 30 406 202 30 535 30 557 30 578 30 600 30 621 203 30 750 30 771 30 792 30 814 30 835 204 30 963 30 984 31 006 31 027 31 048 205 31 175 31 197 31 218 31 239 31 260 206 31 387 31 408 31 429 31 450 31 471 207 31 597 31 618 31 639 31 660 31 681 208 31 806 31 827 31 848 31 869 31 890 209 32 015 32 035 32 056 32 077 32 098 2 1 0 32 222 32 243 32 263 32 284 32 305 211 32 428 32 449 32 469 32 490 32 510 212 32 634 32 654 32 675 32 695 32 715 213 32 838 32 858 32 879 32 899 32 919 214 33 041 33 062 33 082 33 102 33 122 215 33 244 33 264 33 284 33 304 33 325 216 33 445 33 465 33 486 33 506 33 526 217 33 646 33 666 33 686 33 706 33 726 218 33 846 33 866 33 885 33 905 33 925 219 34 044 34 064 34 084 34 104 34 124 2 2 0 34 242 34 262 34 282 34 301 34 321 221 34 439 34 459 34 479 34 498 34 518 222 34 635 34 655 34 674 34 694 34 713 223 34 830 34 850 34 869 34 889 34 908 224 35 025 35 044 35 064 35 083 35 102 225 35 218 35 238 35 257 35 276 35 295 226 35 411 35 430 35 449 35 468 35 488 227 35 603 35 622 35 641 35 660 35 679 228 35 793 35 813 35 832 35 851 35 870 229 35 984 36 003 36 021 36 040 36 059 2 3 0 36 173 36 192 36 211 36 229 36 248 231 36 361 36 380 36 399 36 418 36 436 232 36 549 36 568 36 586 36 605 36 624 233 36 736 36 754 36 773 36 791 36 810 234 36 922 36 940 36 959 36 977 36 996 235 37 107 37 125 37 144 37 162 37 181 236 37 291 37 310 37 328 37 346 37 365 237 37 475 37 493 37 511 37 530 37 548 238 37 658 37 676 37 694 37 712 37 731 239 37 840 37 858 37 876 37 894 37 912 240 38 021 38 039 38 057 38 075 38 093 241 38 202 38 220 38 238 38 256 38 274 242 38 382 38 399 38 417 38 435 38 453 243 38 561 38 578 38 596 38 614 38 632 244 38 739 38 757 38 775 38 792 38 810 245 38 917 38 934 38 952 38 970 38 987 246 39 094 39 111 39 129 39 146 39 164 247 39 270 39 287 39 305 39 322 39 340 248 39 445 39 463 39 480 39 498 39 515 249 39 620 3 9 637 39 655 39 672 3 9 690 2 6 0 3 9 7 9 4 3 9 811 3 9 829 39 846 39 863

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(23)

No. 3

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6 8

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(24)

C O M M O N LOGARITHMS OF T H E N A T U R A L N U M B E R S (Continued)

No. 2 3 0

3 0 0 301 302 303 304 306 305 307 308 309 310 311 812 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350

47 712 47 727 47 741 47 756 47 770 47 857 47 871 47 885 47 900 47 914 48 001 48 015 48 029 48 044 48 058 48 144 48 159 48 173 48 187 48 202 48 287 48 302 48 316 48 330 48 344 48 430 48 444 48 458 48 473 48 487 48 572 48 586 48 601 48 615 48 629 48 714 48 728 48 742 48 756 48 770 48 855 48 869 48 883 48 897 48 911 48 996 49 010 49 024 49 038 49 052 49 136 49 150 49 164 49 178 49 192 49 276 49 290 49 304 49 318 49 332 49 415 49 429 49 443 49 457 49 471 49 554 49 568 49 582 49 596 49 610 49 693 49 707 49 721 49 734 49 748 49 831 49 845 49 859 49 872 49 886 49 969 49 982 49 996 50 010 50 024 50 106 50 120 50 133 50 147 50 161 50 243 50 256 50 270 50 284 50 297 50 379 50 393 50 406 50 420 50 433 50 515 50 529 50 542 50 556 50 569 50 651 50 664 50 678 50 691 50 705 50 786 50 799 50 813 50 826 50 840 50 920 50 934 50 947 50 961 50 974 51 055 51 068 51 081 51 095 51 108 51 188 51 202 51 215 51 228 51 242 51 322 51 335 51 348 51 362 51 375 51 455 51 468 51 481 51 495 51 508 51 587 51 601 51 614 51 627 51 640 51 720 51 733 51 746 51 759 51 772 51 851 51 865 51 878 51 891 51 904 51 983 51 996 52 009 52 022 52 035 52 114 52 127 52 140 52 153 52 166 52 244 52 257 52 270 52 284 52 297 52 375 52 388 52 401 52 414 52 427 52 504 52 517 52 530 52 543 52 556 52 634 52 647 52 660 52 673 52 686 52 763 52 776 52 789 52 802 52 815 52 892 52 905 52 917 52 930 52 943 53 020 53 033 53 046 53 058 53 071 53 148 53 161 53 173 53 186 53 199 53 275 53 288 53 301 53 314 53 326 53 403 53 415 53 428 53 441 53 453 53 529 53 542 53 555 53 567 53 580 53 656 53 668 53 681 53 694 53 706 53 782 53 794 53 807 53 820 53 832 53 908 53 920 53 933 53 945 53 958 54 033 54 045 54 058 54 070 54083 54 158 54 170 54 183 54 195 54 208 54 283 54 295 54 307 54 320 54 332 54 407 54 419 54 432 54 444 54 456

47 784 47 799 47 813 47 828 47 842 47 929 47 943 47 958 47 972 47 986 48 073 48 087 48 101 48 116 48 130 48 216 48 230 48 244 48 259 48 273 48 359 48 373 48 387 48 401 48 416 48 501 48 515 48 530 48 544 48 558 48 643 48 657 48 671 48 686 48 700 48 785 48 799 48 813 48 827 48 841 48 926 48 940 48 954 48 968 48 982 49 066 49 080 49 094 49 108 49 122 49 206 49 220 49 234 49 248 49 262 49 346 49 360 49 374 49 388 49 402 49 485 49 499 49 513 49 527 49 541 49 624 49 638 49 651 49 665 49 679 49 762 49 776 49 790 49 803 49 817 49 900 49 914 49 927 49 941 49 955 50 037 50 051 50 065 50 079 50 092 50 174 50 188 50 202 50 215 50 229 50 311 50 325 50 338 50 352 50 365 50 447 50 461 50 474 50 488 50 501 50 583 50 596 50 610 50 623 50 637 50 718 50 732 50 745 50 759 50 772 50 853 50 866 50 880 50 893 50 907 50 987 51 001 51 014 51 028 51 041 51 121 51 135 51 148 51 162 51 175 51 255 51 268 51 282 51 295 51 308 51 388 51 402 51 415 51 428 51 441 51 521 51 534 51 548 51 561 51 574 51 654 51 667 51 680 51 693 51 706 51 786 51 799 51 812 51 825 51 838 51 917 51 930 51 943 51 957 51 970 52 048 52 061 52 075 52 088 52 101 52 179 52 192 52 205 52 218 52 231 52 310 52 323 52 336 52 349 52 362 52 440 52 453 52 466 52 479 52 492 52 569 52 582 52 595 52 608 52 621 52 699 52 711 52 724 52 737 52 750 52 827 52 840 52 853 52 866 52 879 52 956 52 969 52 982 52 994 53 007 53 084 53 097 53 110 53 122 53 135 53 212 53 224 53 237 53 250 53 263 53 339 53 352 53 364 53 377 53 390 53 466 53 479 53 491 53 504 53 517 53 593 53 605 53 618 53 631 53 643 53 719 53 732 53 744 53 757 53 769 53 845 53 857

53 970 53 983 54 095 54 108 54 220 54 233 54 345 54 357

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(25)

No. 3 6 8

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I

381 ! 382 383 384 385 386 387 388 389 3 9 0 391 392 393 394 395 396 397 398 399 4 0 0

54 407 54 419 54 432 54 444 54 456 54 531 54 543 54 555 54 568 54 580 54 654 54 667 54 679 54 691 54 704 54 777 54 790 54 802 54 814 54 827 54 900 54 913 54 925 54 937 54 949 55 023 55 035 55 047 55 060 55 072 55 145 55 157 55 169 55 182 55 194 55 267 55 279 55 291 55 303 55 315 55 388 55 400 55 413 55 425 55 437 55 509 55 522 55 534 55 546 55 558 55 630 55 642 55 654 55 666 55 678 55 751 55 763 55 775 55 787 55 799 55 871 55 883 55 895 55 907 55 919 55 991 56 003 56 015 56 027 56 038 56 110 56 122 56 134 56 146 56 158 56 229 56 241 56 253 56 265 56 277 56 348 56 360 56 372 56 384 56 396 56 467 56 478 56 490 56 502 56 514 56 585 56 597 56 608 56 620 56 632 56 703 56 714 56 726 56 738 56 750 56 820 56 832 56 844 56 855 56 867 56 937 56 949 56 961 56 972 56 984 57 054 57 066 57 078 57 089 57 101 57 171 57 183 57 194 57 206 57 217 57 287 57 299 57 310 57 322 57 334 57 403 57 415 57 426 57 438 57 449 57 519 57 530 57 542 57 553 57 565 57 634 57 646 57 657 57 669 57 680 57 749 57 761 57 772 57 784 57 795 57 864 57 875 57 887 57 898 57 910 57 978 57 990 58 001 58 013 58 024 58 092 58 104 58 115 58 127 58 138 58 206 58 218 58 229 58 240 58 252 58 320 58 331 58 343 58 354 58 365 58 433 58 444 58 456 58 467 58 478 58 546 58 557 58 569 58 580 58 591 58 659 58 670 58 681 58 692 58 704 58 771 58 782 58 794 58 805 58 816 58 883 58 894 58 906 58 917 58 928 58 995 59 006 59 017 59 028 59 040 59 106 59 118 59 129 59 140 59 151 59 218 59 229 59 240 59 251 59 262 59 329 59 340 59 351 59 362 59 373 59 439 59 450 59 461 59 472 59 483 59 550 59 561 59 572 59 583 59 594 59 660

59 770 59 879 59 988 60 097

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