Faktorok : z1 reakcióidő, min

A kísérletek célja egy speciális anyag optimális előállítási körülményeinek meghatározása volt. A célfüggvény a

kihozatal %. melynek maximális értékét kell elérni.

Faktorok :

z₁ reakcióidő, min;

z₂ hőmérséklet, °C;

z₃ fordulatszám, 1/min;

z₄ katalizátor koncentrációja, %;

z₅ felesleg, %;

z₆ nyomás, bar;

4. példa: 2

részfaktorterv+fold-over. centrumponttal

4. példa: 2

részfaktorterv+fold-over. centrumponttal

z₁ reakcióidő, min;

z₂ hőmérséklet, °C;

z₃ fordulatszám, 1/min;

z₄ katalizátor koncentrációja, %;

z₅ felesleg, %;

z₆ nyomás, bar;

z₇ szennyezés-koncentráció, %

3 2 1

7 x x x

x 

2 1

4 x x

x   ; x₅  x₁x₃ ; x₆  x₂x₃ ;

Az 1. blokk: 2^7-4 rész-faktorterv, 3 ismétlés a centrumpontban:

Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=.99829; Adj:.99143 (4fb_example) 2**(7-4) design; MS Residual=1.366633

DV: y

Include condition: Blokk=1 Factor

EffectStd.Err.t(2) p Mean/Interc.

Curvatr.

(1)idõ

(2)hõmérséklet (3)ford.szám (4)kat.konc.

(5)felesleg (6)nyomás

(7)szenny.konc.

49.342500.413315119.38240.000070 1.401671.5828750.88550.469296 15.500000.82663018.75080.002832 23.135000.82663027.98710.001274 -0.065000.826630-0.07860.944484 -1.230000.826630-1.48800.275157 4.210000.8266305.09300.036458 -0.925000.826630-1.11900.379496 0.090000.8266300.10890.923240

Confounding of Effects (4fb_example) 2**(7-4) design

(Factors are denoted by numbers) Include condition: Blokk=1

Factor

Alias 1

Alias 2

Alias 3 1

2 3 4 5

2*4 3*5 6*7 1*4 3*6 5*7 1*5 2*6 4*7 1*2 3*7 5*6 1*3 2*7 4*6

A 2. blokk: fold-over (3 centrumponttal)

Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=.99852; Adj:.99378 (4fb_example) 7 factors at two levels; MS Residual=.939107

DV: y Factor

Effect Std.Err. t(5) p Mean/Interc.

Blokk(1) Curvatr.

(1)idõ

(2)hõmérséklet (3)ford.szám (4)kat.konc.

(5)felesleg (6)nyomás

(7)szenny.konc.

1 by 2 1 by 3 1 by 4 1 by 5

49.278120.242269203.40270.000000 -0.090910.413215 -0.22000.834568 1.540420.927819 1.66030.157756 15.073750.48453831.10960.000001 23.216250.48453847.91420.000000 -0.226250.484538 -0.46690.660183 -0.663750.484538 -1.36990.229043 4.593750.484538 9.48070.000221 -0.888750.484538 -1.83420.126081 -0.643750.484538 -1.32860.241390 -0.566250.484538 -1.16860.295231 -0.383750.484538 -0.79200.464265 -0.081250.484538 -0.16770.873402 0.161250.484538 0.33280.752792 Confounding of Effects (4fb_example)

Factor

Alias 1

Alias 2 Curvatr.

(1)idõ

(2)hõmérséklet (3)ford.szám (4)kat.konc.

(5)felesleg (6)nyomás

(7)szenny.konc.

1 by 2 1 by 3 1 by 4 1 by 5 1 by 6 1 by 7 2 by 4

3*7 5*6 2*7 4*6 3*6 5*7 2*6 4*7 2*5 3*4 2*3 4*5 3*5 6*7

A felesleget (x₅ ill. z₅) nem lehet tovább növelni. így azt a fölső szintjén rögzítették ( ).



 49.28 7.54 ₁ 11.61 ₂ 2.30 ₅

ˆ + x + x + x

Y

Az illesztett lineáris függvény:

A célfüggvény maximumát (optimum) az x₁ és x₂ független változók terében keressük tovább.

5  1 x

 

30 . 2 28 .

49    

2 1 11.61 54

. 7 58 .

51 + x + x

Box és Wilson módszere az optimum megközelítésére

x₁









 L

M  





N

 R  



p p

x x x f

x x f

x f f

grad 



 



 



   

 2 

2 1

1

xj



ahol a j-edik koordinátatengely irányába mutató egységvektor.

ˆ . ,

ˆ , ˆ ,

2 2

1 1

p p

x b b Y

x b Y

x

Y   











 

p px b x

+b x

+b x

+b b

Yˆ  _{0 1 1 2 2 3 3}   

A gradiens-függvény:

p

p x

b x

b x

b Y

grad ˆ  1 1  2 2  

A gradiens irányában úgy haladhatunk, ha az x₁ tengely mentén b₁, az x₂ tengely mentén b₂ nagyságú stb. lépést teszünk. Az x_j koordinátában az egységnyi lépés a z_j

eredeti fizikai skálán z_j .

- 1 0 1 2 3 - 1

0 1 2 3

x 2

b

b

 

x +b x

+b b

Yˆ  _{0 1 1 2 2} A tervpontokra

illesztett modell:

 tervpontok

 lépésterv

A gradiens:

5. példa: a 4. példa folytatása;

lépésterv a gradiens mentén 5. példa: a 4. példa folytatása;

lépésterv a gradiens mentén

2 1 11.61 54

. 7 58 .

ˆ 51 + x + x

Y  A tervpontokra illesztett egyenlet:

540 .

54 1 . 7

61 . 11

1

2  

b b

x₂

-1 0 1 2 3 4 5 6

1 3 0 1 3 2 1 3 4 1 3 6 1 3 8 1 4 0 1 4 2 1 4 4 1 4 6 1 4 8 1 5 0

hőm.°C

t e r v p o n t o k l é p é s t e r v 9 3 . 4 2

9 7 . 1 6

9 4 . 0 2

8 3 . 8 0

5 1 . 5 8

6. példa: az 5. példa folytatása;

2

terv az optimum közelében 6. példa: az 5. példa folytatása;

2

terv az optimum közelében

Másodfokú modell illesztésére alkalmas terv szükséges!

Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=.98868; Adj:.96605 (6-7_example) 2**(2-0) design; MS Residual=.7016333

DV: y

Include condition: Block=1 Factor

EffectStd.Err.t(2) p Mean/Interc.

Curvatr.

(1)idõ

(2)hõmérséklet 1 by 2

89.2770.4188213.170.000022 10.9721.27958.570.013329 3.6650.83764.380.048469 4.1150.83764.910.039026 -6.3750.8376-7.610.016830

Másodfokú kísérleti tervek

A centrum-ponti kísérletekből csak azt látjuk. hogy valamelyik faktorra nem jó a lineáris függvény.

A másodfokú modell paraméterei nem becsülhetők a 2^p és 2^p-r tervek eredményeiből.

A 2^p kétszintes tervek kiegészíthetők háromszintesekké: 3^p. Minőségi faktorok kettőnél több szinten csak

varianciaanalízissel vizsgálhatók. mert szintjeik nem értelmezhetők intervallum-skálán.

i x₁ x₂

1 0 0

2 + 0

3 – 0

4 0 +

5 + +

6 – +

7 0 –

8 + –

9 – –

3

terv:

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

x₁

9 8

x₂

3 2

5 6

7 1 4

Két faktorra a 3² kísérleti terv

x x

N x x x

ji ji ji ji j

i N

'    



2 2 2 2

1

1

3

másodfokú terv:

3

másodfokú terv:

A 3^p tervben az elvégzendő kísérletek száma a faktorok p számával rohamosan. a becsülhető együtthatók l száma pedig kevésbé nő:

Kompozíciós tervek

magja egy 2p típusú teljes faktoros kísérleti terv (p5 esetén részfaktorterv).

2p csillagpont a centrumtól  távolságra és k_c centrumbeli kísérlet.

N=2p+2p+k_c

Az  értékének megválasztása szerint a terv lehet ortogonális vagy forgatható. Ortogonális terv és k_c=1 esetére:

Kompozíciós terv három faktorra Kompozíciós terv három faktorra





2³ kétszintes terv

 centrumpont

*











*

*

*

*

*

*



Box-Behnken terv 3 faktorra Box-Behnken terv 3 faktorra

a terv centruma

11. példa: a 2

terv módosítása kompozíciós tervvé 11. példa: a 2

terv módosítása kompozíciós tervvé

2² terv

Csillagpontok és centrumpont

A blokk nem szignifikáns

Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=.9888; Adj:.9792 (6-7_example) 2 factors, 2 Blocks, 14 Runs; MS Residual=.3269877

DV: y Factor

EffectStd.Err.t(7) p Mean/Interc.

Block(1)

(1)idõ (L) idõ (Q)

(2)hõmérséklet(L) hõmérséklet(Q) 1L by 2L

94.9500.233406.730.000000 0.2470.3060.810.445370 3.0910.4047.640.000122 -4.6260.421-10.990.000011 3.9380.4049.740.000025 -6.5660.421-15.600.000001 -6.3750.572-11.150.000010

Regr. Coefficients; Var.:y; R-sqr=.9888; Adj:.9792 (6-7_example) 2 factors, 2 Blocks, 14 Runs; MS Residual=.3269877

DV: y Factor

Regressn Coeff.

Std.Err.t(7) p Mean/Interc.

Block(1)

(1)idõ (L) idõ (Q)

(2)hõmérséklet(L) hõmérséklet(Q) 1L by 2L

-3756.48193.9816-19.370.000000 0.120.15280.810.445370 13.560.911814.870.000001 -0.020.0021-10.990.000011 44.222.494917.720.000000 -0.130.0084-15.600.000001 -0.060.0057-11.150.000010

F i t t e d S u r fa c e ; V a r i a b l e : y

2 fa c t o r s , 2 B l o c k s , 1 2 R u n s ; M S R e s i d u a l = . 5 6 6 6 1 9 8 D V : y

9 5 9 0 8 5 8 0 7 5 7 0 6 5 1 3 6

1 3 8 1 4 0 1 4 2 1 4 4 1 4 6 1 4 8 1 5 0 1 5 2 1 5 4

hőm.

Maximum:

92.5 min;

145.8 °C;

95.16%