Mahslanobis, P. C.: Grafikus elemzési módszer kvantilisek segítségével

r'

STATISZTIKAI IRODALMI FIGYELÖ

105

Mahalanobis, P. C.:

Grafikus elemzési módszer kvantilisek segítségével

(A method of fractile graphical analysis.)

—- Sankhyá, (1961) A sor. 23 1 sz. 41—64. p.

Mahalanobis professzor, az Indiai Sta—

tisztikai Intézet igazgatója, tanulmányában egy általa kidolgozott új elemző módszert ismertet. A módszer különösen olyan ese—

tekben hasznos, amikor a szóbanforgó so- kaságot nem lehet valamely eloszlás né- hány paraméterével jellemezni. Ilyen ese- tekben a módszer lehetőséget ad a sokaság különböző csoportjai között valamely is- mérv szempontjából fennálló különbségek grafikus elemzésére. Nagy előnye ezen—

felül, hogy nemcsak mérhető, mennyiségi ismérvek között fennálló különbségek elemzésére alkalmas, hanem minden olyan esetben alkalmazható, amikor a sokaság elemeit a szóbanforgó ismérv alapján rang- sorolni lehet.

A módszer alkalmazásához szükséges, hogy ugyanarról a sokaságról két függet—

len mintával, két rész-mintával rendelkez—

zünk, amelyek egyesítése szintén egy minta a szóbanforgó sokaságról. Ez úgy érhető el, hogy vagy eleve már két min—

tát veszünk, vagy a mintát utólagosan vé—

letlenszerűen két részre osztjuk. A minta- sokaság minden eleménél két ismérv ér- tékét figyeljük meg, legyen például a so—

kaság a háztartások összessége, és jelentse :r az egy főre jutó jövedelmet, y pedig va- lamely cikkre vagy cikkcsoportra fordí- tott kiadás egy főre jutó értékét. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy mindkét részminta ugyanannyi, N számú mintaele—

met tartalmaz, és mindegyik háztartásnak egyenlő esélye van a mintába való bekerü—

lésre. (Ezek a feltételek nem szükségesek a módszer alkalmazhatóságához.) Rendez- zük ezután az x változó értéke szerint nö- vekvő sorrendbe mindkét részminta ele- meit, és az így sorbarendezett elemekből képezzünk 9 számú n elemet tartalmazó

csoportot (ng : N). Állapítsuk meg ezen

csooortokhoz tartozó elemek y értékeinek átlagát, jelölje ezeket a két részmin—

tánál

a,, a,, ag, in- 37 t,, a,,

Ezek a csoportok tulajdonképpen az x vál—

tozó szerinti eloszlás g—ed rendű kvantili- sei, például g : 10 esetén a példánál az első csoport a háztartások legkisebb egy főre jutó jövedelemmel rendelkező 10 szá—

zaléka, a második csoport a jövedelem—

eloszlás következő 10 százaléka, s. i. t.

511,'371,,stb. pedige csoportoknak a szóban

forgó cikkre fordított átlagos egy főre jutó kiadásai.

Ezután a következő grafikonokat készít—

jük el: a vízszintes tengelyen felmérünk 9 ekvidisztans pontot, s ezekben a pontokban sorra az egyes csoportokba tartozó 11 át—

lagokat, majd az így kapott pontokat rend- re egyenesekkel összekötjük. Jelölje G (1), illetve a G (2) a két részminta alapján ily módon szerkesztett grafikonokat. Ezután egyesítjük a két részmintát és ne növekvő értékei szerint szintén g (2 n elemű) cso—- portot képezve az egyesített mintához is hasonlóképpen szerkesztünk grafikont, amelyet G (1,2)—vel jelölünk. Tekintve, hogy G (1) és G (2) ugyanazon sokaság—

ból vett két független részminta alapján készült, eltérésük, speciálisan az általuk bezárt terület úgy tekinthető, mint az egyesített G (1,2) grafikon véletlen "hibá——

jának" mértéke.

Most tekintsünk egy másik sokaságot (vagy ugyanazt a sokaságot más időpont- ban), amelyből szintén két független rész—

mintát veszünk az x és y ismérvekre vo—

natkozóan. Készítsük el itt is a G'(l),_

G'(2) és G' (12) grafikonokat. Itt is a G' (1) és G' (2) által bezárt területet tekint-—

jük G'(1,2) véletlen hibájának.

A G (1,2) és G'(l,2) grafikonok, vala- mint ezek hibájának ismeretében már el lehet dönteni, hogy az y ismérv értéke te—

kintetében a két sokaság (illetve ugyan—

azon sokaság különböző időpontokban) különbözik—e szignifikánsan egymástól. Te—

hát például van—e szignifikáns különbség mondjuk a városi és falusi háztartásoknál az élelmiszerre vagy ruházatra fordított kiadás egy főre jutó értéke tekintetében.

Annak eldöntése, hogy a különbség szigni—

fikánsnak tekinthető—e, annak alapján tör- ténik, hogy a G (l,2) és G' (l,2) grafikonok által bezárt terület nagyobb—e, mint a két hiba négyzetösszegének négyzetgyöke.

így tehát viszonylag egyszerűen, minden különösebb hosszadalmas számítás nélkül megbízható módon el lehet dönteni, hogy valamilyen ismérv szempontjából két so—v kaság szignifikánsan különbözik—e egymás—

tól. Sőt a módszer alapján nemcsak a G (12) és G' (1,2) grafikonok egészéről mu—

tathatjuk ki, hogy azok szignifikánsan el—

térnek-e vagy sem, hanem egyes részeik—

ről is. Előfordulhat például, hogy az el—

oszlás elején a G (1,2) és G' (1.2) grafiko- nok nem különböznek szignifikánsan, de az eloszlás végén például a felső kvintilis—

ben már szignifikánsnak mutatkozik a kü—

lönbség. Ehhez hasonló volt a helyzet pél—

dául a szerző által bemutatott egyik példá- ban, ahol azt vizsgálta, hogy egy adott időpontban van—e szignifikáns különbség a

106

Nyugat Bengália és Andhra államokban élő falusi háztartások által birtokolt föld- terület átlagos nagysága között. A háztar- tásokat földterületük nagysága szei-int ren—

dezve az ismertetett grafikus elemzési módszer azt mutatta, hogy a két államban csak a háztartások felső 15 százalékánál szignifikáns az átlagos földterület nagy- sága közötti eltérés.

Szerző rámutat az általa kidolgozott módszernél alkalmazott eloszlás szerinti csoportosítás néhány előnyére köz—gazda—

sági elemzés szempontjából a szokásos fix kategória-határokkal történő csoportosítás- sal Szemben.

Bár a módszer elméleti alapjai még nin—

csenek teljesen kidolgozva, bizonyos aszimptotikus eredmények teljesen össz- hangban vannak a módszer gyakorlati al- kalmazása során kapott eredményekkel.

(Ism.: Éltető Ödön)

Tövissi, L.:

A korrelációs együttható alkalmazása az indexelméletben

(Apllcarea coeflcientulul de corelatie in teó—

ria indicilor.) —- Revista de Statisticd, 1961. 4. sz.

52—70. 1).

Az indexelmélet egyik alapvető problé- mája a súlyok megválasztása a csoport—

indexek kiszámításánál. A szocialista sta- tisztikában ezt nem esetlegesen oldják meg, hanem azoknak a gazdasági jelensé- geknek függvényeként, amelyeket a több—

oldalú minőségi elemzés alapján készített indexek segitségével jellemeznek.

Ismert tény, hogy az index nagysága meg- változik, ha egy adott súlyozási rendszer he—

lyett másikat használunk. A statisztikában ismeretes az az öszefüggés —- amit 1923- ban V. Bortkevics vezetett be először ——

amelyik lehetőséget ad két, különböző sú- lyozási rendszerrel kiszámított aggregát index közötti különbség megmagyarázá—

sára, valamint a különbség komponensé- nek, irányának és nagyságának kimutatá- sára. Az összefüggésből ezenkívül még meg lehet állapítani azokat az általános feltételeket is, amelyek mellett a két in—

dex egyenlő egymással.

A különbségek elemzését a két, külön—

böző súllyal kiszámított aggregát index ará—

nyából végezhetjük el, a következő össze- függés alapján:

Iz(f):Iz(m——: 1 *rbvl Vix VL III

10 ?

ahol fix, f az :: jellemzők egyedi indexe

?

srAnszrm moDALm mmm

(ix) és a súlyok aránya (i ) közötti korre-

, ?

lációs együttható, a Vix és a V , pedig az

?

egyedi index és a súlyok arányának variá- ciós koefficiensei.

A szerző először megállapítja, hogy ez az összefüggés tulajdonképpen annak az ál- talános formulának különleges esete, amely a két különböző súlyozási rendszerrel ki—

számított, két átlag arányát adia meg, Má- sodszor, megjegyzi, hogy az (1) képlet az indexek különbségének relativ nagyságát adja meg, de ebből következtetni lehet az abszolút különbségre is, mert a két különb- ség összefüggésben van egymással. Ha Ix(,,)( 1 akkor az abszolút különbség ki- sebb mint a relativ,—v forditVa pedig, ha Im,);— 1, a relatív különbség a kisebb. Ha

Ix(v) : 0, akkor a kétindex abszolút és

relatív különbségei egyenlők egymással. A két index egyenlőségének feltétele, nagy 'le : 0 vagyis amikor az egyedi indexek

? ,

és a súlyok aránya között nincsen lineáris korreláció. Az elmondottakat, számszerűen, a kétféle —- bázis- és beszámolási időszak—

ból vett — súlyozással kiszámított ár—

indexek összehasonlításával illusztrálja.

Szerző a korrelációs együtthatón és a variációs koefficienseken alapuló összefüg—

gés alkalmazhatóságára elvégzi a direkt és az indirekt mutatók alapján kiszámított munkatermelékenység állandó állományú indexel közötti eltérés vizsgálatát. A képlet segítségével megállapítja azokat a feltéte—

leket is, amelyek fennállása esetén a két index egyenlő egymással.

Végezetül elméletileg levezeti és gyakor—

lati példán bemutatja, hogy minden olyan esetben amikor

Ewlfl Emilj!

típusú aggregát indexeket számítanak -——

ahol xs a bázis, xl a beszámolási időszak jellemzői, az fi pedig a beszámolási idő- szakból vett súlyokat jelenti —— alkalmazni lehet az (1) összefüggést és segítségével felszínre lehet hozni mindazokat a ténye—

zőket, amelyektől az index nagysága függ.

Az (1) összefüggés sokoldalú felhasznál-_

hatóságára felemliti, hogy hasonló vizsga—_

latokat végeztek még: Köves Pál, L. S.

Kazinec és V. N. Peregudov is.

(Ism.: Pallós Emil)