Reaktortechnikai alapok

Reaktortechnikai alapok

Baranyai László

BIM jegyzet:

253-254.

325-335.

Ideális bioreaktorok



tökéletesen kevert reaktorok: bennük minden

folyadékelem a reaktor valamennyi pontján azonos



sem anyag-, sem hőgradiens nem figyelhető meg

 szakaszos (STR)

 folytonos (CSTR)

Ideális bioreaktorok



dugóáramú reaktorok (PFR): a folyadékelemek a szomszédos elemekkel anyag- és hőkicserélődéstől mentesen haladnak végig a reaktor hosszán



elemi szakaszos reaktorok végighaladása a reaktoron

Tartózkodási-idő eloszlás

Folytonos fermentáció

A reaktorba belépő folyadékelemnek hármas esélye van:

 egyből kilép a reaktorból

 végtelen ideig bent marad a reaktorban

 valamilyen határozott ideig tartózkodik bent

Ezen tartózkodási időket a tartózkodási idő-eloszlással jellemezhetjük. (RTD Residence Time Distribution)

Levezetés

dt m

D

dm   



adott anyag mennyisége zéró időpontban: m₀

megfigyelés időpontjában: m D: hígítási sebesség

t és t+dt idő alatt dm távozik a rendszerből

t és t+dt közé eső tartózkodási idejű anyaghányad

m dF dm 



0

m dt D m

dF

0





Levezetés

t D t

m

m

m e t m

m D dt m

m D

dm



















  

0 0 0

ln

0

dt m

D

dm   



m dt D m

dF

0





Levezetés

t D t

m

m

m e t m

m D dt m

m D

dm



















  

0 0 0

ln

0

dt m

D

dm   



m dt D m

dF

0



 dF  D  e

dt

Levezetés

dt e

D

dF  

2 1

2

1 2

1,

t D t

D t

t

t D t

t

D e dt e e

F   





Az anyaghányad, melynek tartózkodási ideje t₁ és t₂ közé esik:

F-függvény

E- és F- függvények kapcsolata

dt t dF

E ( )  ^{F t } 

^{E t dt}

0

) ( )

(







0

1 )

( t dt E

E-függvény

folyadékhányad, amely t₁-ig elhagyja a rendszert

folyadékhányad, mely t₁ után hagyja el a rendszert





1

0 ,

0

( )

t

t

E t dt

F







1

1_,

( )

t

t

E t dt

F

Eloszlásfüggvény

 0 és t közötti tartózkodási idejű anyaghányad

 t és  közötti tartózkodási idejű anyaghányad

 0 és  közötti tartózkodási idejű anyaghányad

t D Dt

t t

t Edt D e dt e

F 





0 0

, 0

t D Dt

t t

t Edt D e dt e

F ^{  }





 





,

,

1

1 1

, 0 ,

0 _

 F  F



F

Sűrűségfüggvény

dt t dF

E( ) 

E-függvény

Eltérések az ideális viselkedéstől

 folyadékelemek csatornákon történő áramlása

 stagnáló, nem kevert régiók jelenléte

 visszakeveredés

Az E-és F-függvény alkalmas a reaktorban történő nem ideális áramlási viszonyok jellemzésére.

Tracer technikával az E- és F-függvény is kísérletesen meghatározható.

Tracer technika

 zavarást végzünk a bemenő anyagáramban

 vizsgáljuk a rendszer válaszát

 nyomjelző anyag hozzáadása:

1. egységugrás-zavarás

A tracer koncentrációját pillanat- szerűen c-ről c₀-ra változtatjuk, majd ezen az értéken tartva, a reaktorból kilépő áramban mérjük a c koncentrációt^.

ideális egységugrás

c/c₀ - t ábrázolása: F-görbe

c/c₀

Tracer technika

 nyomjelző anyag hozzáadása:

2. impulzuszavarás

  

  







0 0 0

Q ahol

, 1

C dt cdt

Q dt c

ideális impulzuszavarás

A mért koncentrációértékek normalizálásával a C-görbét nyerjük.

függvényértékek minden időpontra:

Q

C  c

F, C és E görbék kapcsolata

 ha a be- és kilépő pontokon nincs visszakaveredés

 Az impulzuszavarásra adott normalizált válaszfüggvény megadja a tartózkodási idő-eloszlás sűrűségfüggvényét

 kétféle tracer technika közötti kapcsolat:

 Egy kísérletileg meghatározott F(t) függvény

deriválásával megkapjuk a tartózkodási idő-eloszlás sűrűségfüggvényét

E C 





t

dt t

E F

0

)

( E

dt

dF 

Átlagos tartózkodási idő

f t  V

V t

D  f  1

kemosztátnál:

V állandó térfogat f térfogatáram

E

C

t

t

t  

A reaktorok két szélső ideális esetére, az ún. dugóárammal (PFR) jellemezhető reaktorra és a tökéletesen kevert (CSTR) reaktorra a következő ábrán látható grafikus képek nyerhetők.

PFR CSTR

Átlagos tartózkodási idő

 Egy eloszlás várható értékét a középértékfüggvény, vagyis az eloszlásfüggvény első momentuma adja meg, ez az átlagos tartózkodási idő:

 A görbék kísérletes meghatározása esetén diszkrét pontok sorozatát kapjuk, ekkor az átlagos tartózkodási idő:













0 1 0

dt C

dt C t t

m

 



Δt C

Δt C

t t

Eloszlás szórásnégyzete

 második momentum segítségével számolható:

 diszkrét pontok sorozatára:

 





























0 0

2 2

0 0

2 2

1 2

2

C C C

C

dt dt t

t t

dt dt t

m

 m

   

 

 





 

 

 

i i

i i i

i i

i i i

t

t t

t t t

t t

C

C C

C ₂ ²

2



Tartózkodási idő eloszlás alkalmazása

 hasznos információk egy reaktorról és annak keveredési viszonyairól

 E és F függvények felhasználása az ideális viselkedéstől való eltérés mértékének becslésére

 az ideális viszonyoktól való eltérések okai gyakran a kimért görbék szemrevételezésével is megállapíthatóak

Mikro- és makrofluidumok

 mikrofluidumok:

 szabadon keveredő egyedi molekulák

 a tökéletes keveredés makro és mikro szinten is megvalósulhat

 makrofluidumok

 viselkedés ~ 10¹²-10¹⁸ molekulát tartalmazó csomagok

 ezek egymással még kevert reaktorban sem keverednek tökéletesen

 a mikrokeveredés változatos esetei két szélső eset között jelenhetnek meg:

 teljes keveredés

teljes szegregáció az RTD erről nem nyújt információt

Teljes szegregáció

 egymástól független fluidumcsomagok ~ sok szakaszos reaktor egy folytonos áramban

 egy rendszer i-edik komponensének koncentrációja a t időpontban cib(t) egy adott szakaszos reaktorban, amelynek kiindulási

összetétele ugyanaz mint a vizsgálni kívánt folytonos reaktoré

 folytonos esetben E(t)dt jelenti a kifolyóban megjelenő fluidum- elemeknek azt a hányadát, amelynek tartózkodási ideje t volt így ezekben cib(t) lesz az i-edik anyag koncentrációja

 mindezen fluidumelemeknek koncentrációit összeadva kapjuk meg a folytonos reaktorból távozó fluidumban az i anyag koncentrációját:

   



 c t E t dt

c

Nem ideális dugóáram

 ideális dugóáram

 a szomszédos folyadékelemekkel nincs cserélődés

 valóság

 fluidumelemek cserélődése

 nem egyenletes áramlási vonal, eltérő sebesség

 visszakeveredés/axiális diszperzió

Diszperziós modell

 nem ideális eset leírásának lehetőségei

 diszperziós modell

 sorbakapcsolt tökéletesen kevert reaktorok modellezése Fick-törvény a molekuláris diffúzióra axiális diszperzióra

2 2

x c t

c



 

 



2 2

D x c t

c



 





D



: axiális diffúziós koefficiens

Diszperziós modell

 modell felírása dimenziómentes formában:

 ideális dugóáram esetén így

 az új diszperziós modell a tökéletes dugóáramhoz hozzáveszi a diszperzió okozta torzulást

L z  x

L u t t

t 







C C

D

C 

 

 

 

 

dt dc dz

u dc 

dt u  dz

dimenziómentes idő dimenziómentes hely

helykoordináta csőhossz

átlagsebesség

Diszperziós modell

z C z

C L

u D Θ

C

2 2



 



 



 



 





L Pe u

D  1

csőreaktorreaktor

diszperziós száma D

L Pe  u

axiális Peclet-szám

konvekció kondukció

 diszperziós/Peclet-szám minősíti a diszperzió fokát:

 0



 D

L u

D a visszakeveredés mértéke nagyon nagy ~ CSTR

a visszakeveredés elhanyagolható, ideális dugóáram

Kicsi D/uL (nagy Pe-szám) esete

 Pe > 100, 1/Pe < 0,01

 a diszperziós modellből adódó C_ függvény:

 Gauss-féle, normáleloszlás-függvénycsalád

 



















 







 



 



 



L u

D L

u C D

4 exp 1

2

1 ²



1



 t

t_c

C 



 



 

 

L u

D t ₂ 2

2  2

 



 



  ₃

2 2

u

 DL

középérték szórásnégyzet

Nagy D/uL (kis Pe-szám) esete

 Pe < 0,01, 1/Pe > 100

 középérték: változatlan

 szórásnégyzet:

 a görbesereg nem szimmetrikus

1



 t

t_c

C

 

  

 



 



 



 



 



 ^{uDL Pe}

2 2

2 2

Θ 1 e

Pe 1 1

Pe e 2

L 1 u 2 D L

u 2 D Θ

σ σ

Keveredési viszonyok, C-görbe

Keveredési viszonyok, F-görbe

Ideális reaktorkaszkád-modell

 dugóáramú viselkedés közelítése sorba kapcsolt kevert reaktorokkal

 mindig használható, ha

 a diszperziós modell is használható

 nem vagyunk túl távol az ideális dugóáramtól

 egy N tartályból álló kaszkádra a dimenziómentes idő

t

 t



tartályra ⁱ

t

 t



Ideális reaktorkaszkád-modell

 a t=0 időpntban impulzus szerűen nyomjelző injektálása az 1. reaktorba

 a nyomjelző koncentrációja egyenletes eloszlás után C₀

 a nyomjelző anyag kimenő koncetrációja C₁

 az anyagmérleg bármely időpontban:

tracer eltűnésének sebessége = bemenet - kimenet

1 1

1 0 fC

dt

V dC   N=1

Ideális reaktorkaszkád-modell

1 1

1 0 fC

dt

V dC   ^{V t}

f 1

t dt 1 C

dC ^t

0 C

C 1 1

1

1

0





0

1 e

C

C ^



t t

t e

E  De^Dt  1 ^{ t1}

t 1

1

E

t  e

 a második reaktorra:

integrálás után:

Ideális reaktorkaszkád-modell

1 1

1 0 fC

dt

V dC   ^{V t}

f 1

t dt 1 C

dC ^t

0 C

C 1 1

1

1

0





0

1 e

C

C ^



t t

t e

E  De^Dt  1 ^{ t1}

t 1

1

E

t  e

2 0

2 2 1

2 fC fC fC fC

dt

V dC    ^t1 

t

e

t2

t

2 2

2

e

t E t

t 

Ideális reaktorkaszkád-modell

 N darab reaktorra, melyek összes térfogata V_R=NV_i

 

 

1 N

i i

2 2 i

1 N N

t N σ

N

t t t

exp t

! 1 N

1 t

E t t

N σ t

t

N t

t

exp tN

! 1 N

N t

E t t



 



 





 



 



 



 



 



 



 



 





E-görbe

 N növekedésével a reaktorkaszkád egyre inkább megközelíti a dugóáramú viselkedést

Ideális reaktorkaszkád-modell

 azonos térfogatú reaktorok esetén a teljes rendszer sűrűség- függvényét az egyes reaktorok sűrűségfüggvényének N-edik hatványa adja meg:

 eltérő térfogatok esetén az egyes elemek szorzatát kell képezni

 ^{t , t , N}  ^E

  ^{t , t}

E 

 ^{t , t , N}  ^E   ^{t , t E}     ^{t , t E t , t ...E}

 ^{t , t}



E 







Diszperziós modell és reakció

 ha egy diszperziós modellel jellemezhető reaktorban

(bio)kémiai reakció játszódik le, annak áramlási és keveredési viszonyokra gyakorolt hatását is figyelembe kell venni

 elsőrendű kinetikájú reakció esetén (pl. hőpusztulás):

 

   



 



 









 



 





exp 2 2 1

exp 1

exp 2 4

2

0 2 Pe y

y y y Pe

y Pe

n L n

ahol ²

1

Pe 1 4Da

y 



 

 



k t

u l Da  k  

dt kn

dn  

Diszperziós modell és reakció

 ha a dugóáramhoz eléggé közeli viszonyok jellemzik a reaktort, az összefüggés egyszerűbb alakra hozható:

 ideális dugóáram esetén:

 

 



 

 Pe

Da Da n exp

L

n ²

0

  ^exp  ^Da 

n L n

0





Kérdések

 melyek az ideális bioreaktorok típusai, mi jellemzi őket?

 E és F függvények jelentése

 hogyan határozzuk meg az E és F függvényeket?

 mire lehet felhasználni az E és F görbéket?

 mi az átlagos tartózkodási idő?

 E és F görbék lefutása ideális esetben

 mit nevezünk mikro-ill makrofluidumnak?

 mi a mikro- ill. makrokeveredés?

 milyen modellekkel lehet leírni a nem ideális dugóáramot?

 miről nyújt információt a diszperziós/Peclet szám?

 ideális reaktorkaszkád modell értelmezése